Rozdział Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Definicja i własności granicy funkcji W rozdziale omówiono granicę ciągu liczbowego przy n, natomiast w rozdziale opisano funkcje elementarne i ich własności Wiemy, iż ciągi liczbowe są to funkcje o dziedzinie w zbiorze liczb naturalnych Jak powiązać pojęcie granicy z dowolną funkcją? Otóż jeżeli do dziedziny funkcji będzie należał przedział (- ;, (c; lub [c; dla pewnej liczby rzeczywistej c, to wówczas analogicznie jak dla ciągów można mówić o granicy funkcji f dla argumentu (czyli w punkcie niewłaściwym +, co zapisujemy f ( i rozumiemy jako opis zachowania funkcji dla argumentu dążącego do nieskończoności Jeżeli natomiast do dziedziny funkcji f będzie należał przedział (- ;, (- ; c lub (- ; c] dla pewnej liczby rzeczywistej c, to wtedy można mówić o granicy funkcji f dla argumentu - (czyli w punkcie niewłaściwym -, co zapisujemy f ( i rozumiemy jako opis zachowania funkcji dla argumentu dążącego do minus nieskończoności Przykłady granic w punktach niewłaściwych + oraz - : Niech f( = / dla (; Granicą wartości funkcji dla jest liczba (wykres funkcji zbliża się do prostej y = dla, czyli Wynik ten jest zgodny z naszą wiedzą o ciągach: n n
97 Rys Wykres funkcji f( = /, f : R \ {} R \ {} Niech f( = / dla (- ; Granicą wartości funkcji dla - jest liczba (jak poprzednio wykres funkcji zbliża się do prostej y = dla -, czyli Wynik ten jest zgodny z naszą wiedzą o ciągach: n n Rys Wykres funkcji f( = -/, f : R \ {} R \ {}
98 W powyższych przykładach i pokazano, iż w punktach niewłaściwych + oraz - funkcja f( = /, a również f( = -/, posiadają granicę właściwą, będącą liczbą skończoną równą Niech f( = dla (- ; + Granicą wartości funkcji dla - jest granica niewłaściwa - : wykres funkcji zbliża się do minus nieskończoności dla -, czyli Wynik ten jest zgodny z naszą wiedzą o ciągach: ( n n Granicą wartości funkcji f( = dla jest granica niewłaściwa (wykres funkcji zbliża się do nieskończoności dla, czyli Wynik ten jest zgodny z naszą wiedzą o ciągach: n n Rys Wykres funkcji f( =, f : R R W powyższym przykładzie pokazano, iż w punktach niewłaściwych + oraz - funkcja f( = posiada granicę niewłaściwą odpowiednio + oraz - Jak powiązać omówione dotychczas granice funkcji z życiowym przykładem? Otóż załóżmy, iż w chwili t = sytuacja finansowa pana o imieniu Bob jest następująca:
99 posiada nieograniczone oszczędności; zaczyna nową pracę w nowej firmie i nie otrzymał jeszcze wypłaty Styl życia Boba i warunki zatrudnienia w nowej firmie powodują, iż wydatki i przychody Boba kształtują się wg schematu (wraz z liczbą lat t: oszczędności f topnieją w tempie odwrotnie proporcjonalnym do mijającego czasu wg wzoru: f (t = /t; pensja f rośnie wprost proporcjonalnie do przepracowanych lat wg wzoru: f (t = t Wykresy funkcji f (rys oraz f (rys pozwalają nam prześledzić sytuację Boba w czasie początkowym t = Sytuacji Boba w czasie początkowym odpowiadają granice funkcji dla t = : oszczędności dążą do nieskończoności, pensja zerowa Jednocześnie widzimy, iż granice funkcji dla t dążącego do nieskończoności odpowiadają sytuacji Boba wraz z mijającymi latami t: funkcja f maleje do zera (oszczędności topnieją do zera, natomiast pensja f rośnie bez ograniczeń do nieskończoności W takiej to sytuacji znalazł się Bob i chciałby odpowiedzieć sobie na pytanie: Czy grozi mu dołek finansowy? A jeżeli tak, to po upływie ilu lat t? Stan finansów Boba w chwili t jest sumą oszczędności i pensji: f = f + f (rys Wykonaliśmy więc operację dodawania funkcji To działanie na funkcjach, jak i pozostałe: odejmowanie, mnożenie, dzielenie i złożenie funkcji oraz funkcja odwrotna, pojawiły się w rozdziale
Rys Wykresy funkcji f (t = /t (linia kropkowana, f (t = t (linia ciągła oraz f(t = t +/t (linia złożona z odcinków Z wykresu łatwo można odczytać, iż dołek finansowy dopadnie Boba po upływie czasu t = [rok] Jest to punkt przecięcia funkcji f oraz f Więcej o sposobach szukania ważnych punktów na wykresie funkcji, takich jak dołek (minimum funkcji czy górka (maksimum funkcji, Czytelnik znajdzie w rozdziale Jest tam min dokładnie omówiona funkcja f(t = t +/t Zanim pojawią się formalne definicje interesującej nas teorii, rozważmy pewne kwestie dotyczące granicy funkcji w sposób odbiegający nieco od innych opracowań, lecz nie odbiegający od prawdy w przypadku funkcji elementarnych Granica funkcji może zostać wyznaczona dla argumentu dążącego do liczby rzeczywistej s należącej lub nie należącej do dziedziny funkcji, ale leżącej na granicy dziedziny W przypadku funkcji elementarnych dziedzina funkcji jest przedziałem lub sumą przedziałów otwartych lub domkniętych obustronnie albo jednostronnie Granicę dziedziny będziemy rozumieć jako liczbę leżącą na brzegu przedziału z dziedziny
Uwaga Jeżeli liczba rzeczywista s należy do dziedziny funkcji D oraz s nie leży na granicy dziedziny D, wówczas granicą funkcji elementarnej dla argumentu s jest wartość funkcji w punkcie s Symbolicznie można zapisać: jeżeli f : D R s D s granica(d, to f ( f ( s s Przykłady granic w punktach właściwych (czyli będących liczbą skończoną: Dla funkcji z rys dziedzina D = (; i liczba s = 5: 5 5 Dla funkcji z rys dziedzina D = (- ; i liczba s = -8: 8 8 Dla funkcji z rys dziedzina D = (- ; i liczba s = : W przypadku liczby s gdy s leży na granicy dziedziny: D rozważenia wymagają jeszcze dwa przypadki, Dziedzina D jest postaci (- ; s], (c; s] lub [c; s] dla pewnej liczby rzeczywistej c < s Wówczas istnieje wartość funkcji w punkcie s oraz dla argumentów mniejszych od s (leżących na osi liczbowej po lewej stronie liczby s i dlatego mówimy o granicy lewostronnej w punkcie s Fakt ten oznaczamy górnym wskaźnikiem minus przy s: s f ( f ( s
Dziedzina D jest postaci [s;, [s; c] lub [s; c dla pewnej liczby rzeczywistej c > s Wówczas istnieje wartość funkcji w punkcie s oraz dla argumentów większych od s (leżących na osi liczbowej po prawej stronie liczby s i dlatego mówimy o granicy prawostronnej w punkcie s Fakt ten oznaczamy górnym wskaźnikiem plus przy s: s f ( f ( s Krótko mówiąc: nie ma problemu z wyznaczeniem granicy funkcji elementarnej w punkcie należącym do dziedziny funkcji, ponieważ granicą jest wartość funkcji w danym punkcie (może to być granica obustronna, lewostronna lub prawostronna Nie musi tak być, gdy dowolna funkcja (spoza funkcji elementarnych nie jest ciągła Prawdziwe obliczenia granicy zaczynają się dla argumentu dążącego do liczby s, która nie należy do dziedziny funkcji Wówczas dziedzina funkcji może być postaci: (s;, (s; c], (s; c dla c > s lub (- ; s, (c; s, [c; s dla c < s Rozpatrzmy funkcję z rys : liczba s = iż wartości funkcji dążą do nieskończoności przy istnieje granica prawostronna: D Na rys można zaobserwować, od strony prawej, czyli Jest to zgodne z wiedzą o symbolach oznaczonych w przypadku ciągów: [ ] ( Wzór ( jest zapisem symbolicznym i należy rozumieć go w odniesieniu do granic Z kolei na rys można zaobserwować, iż wartości funkcji dążą do minus nieskończoności przy od strony lewej, czyli istnieje granica lewostronna: Jest to zgodne z wiedzą o symbolach oznaczonych w przypadku ciągów:
[ ] ( Wzór ( jest zapisem symbolicznym i należy rozumieć go w odniesieniu do granic Przyjmując dla funkcji f( = / dziedzinę R\{} można stwierdzić, iż granica lewostronna i prawostronna przy różni się Jest to związane z brakiem ciągłości funkcji w punkcie =, ale pojęcie ciągłości funkcji zostanie wyjaśnione później Przykłady wyznaczenia granicy funkcji w punkcie nie należącym do dziedziny funkcji: ( ( ( ( ( ( W analizie matematycznej istnieją dwie równoważne definicje granicy funkcji: Cauchy ego i Heinego Ideą definicji Cauchy ego jest pokazanie zależności, że w przypadku granicy właściwej g funkcji f w punkcie (czyli f ( g z faktu, iż pewne argumenty leżą bardzo blisko punktu (czyli wynika zawsze, iż wartości funkcji dla argumentów położone są bardzo blisko granicy g (czyli f ( g
Def - definicja Cauchy ego granicy funkcji Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie, jeżeli dla każdej dowolnie małej liczby rzeczywistej > istnieje taka liczba rzeczywista >, że z nierówności wynika f g ( Powyższa definicja Cauchy ego oznacza, iż dla dowolnie małej odległości (pomiędzy wartością f( a granicą g można dobrać dowolnie małą odległość (pomiędzy argumentem a punktem Uwaga Jeżeli punkt należy do dziedziny funkcji f, to w przypadku wspomnianych wcześniej funkcji elementarnych zachodzi: f ( g f ( Wówczas w definicji Cauchy ego spełniona jest nierówność z drugiej części implikacji: f f ( ( Definicja Heinego odwołuje się do wiedzy o ciągach liczbowych: Def - definicja Heinego granicy funkcji Funkcja f posiada granicę właściwą g w punkcie, jeżeli dla każdego ciągu argumentów a n zbieżnego do, czyli dla a n ciąg wartości f(a n dąży do liczby g Uwaga Jeżeli punkt należy do dziedziny funkcji f, to w przypadku funkcji elementarnych zachodzi: f ( g f ( Wówczas w definicji Heinego odpowiedni ciąg wartości f(a n dąży do f(
5 Analogicznie do def i definiuje się granice lewostronne (dla argumentów <, co zapisujemy: f ( g oraz prawostronne (dla argumentów > : f ( g Def - definicja Cauchy ego granicy lewostronnej funkcji Liczbę g nazywamy lewostronną granicą funkcji f w punkcie, jeżeli dla każdej dowolnie małej liczby rzeczywistej > istnieje taka liczba rzeczywista >, że z nierówności wynika f ( g Def - definicja Cauchy ego granicy prawostronnej funkcji Liczbę g nazywamy prawostronną granicą funkcji f w punkcie, jeżeli dla każdej dowolnie małej liczby rzeczywistej > istnieje taka liczba rzeczywista >, że z nierówności wynika f ( g Dla dowolnie małej odległości (pomiędzy wartością f( a granicą g można dobrać dowolnie małą odległość (pomiędzy argumentem a punktem Zauważmy różnicę z warunku w porównaniu z warunkiem w def Def 5 - definicja Heinego granicy lewostronnej funkcji Funkcja f posiada lewostronną granicę właściwą g w punkcie, jeżeli dla każdego ciągu argumentów a n zbieżnego do i takiego, iż począwszy od pewnego n: a n <, odpowiedni ciąg wartości f(a n dąży do liczby g
6 Def 6 - definicja Heinego granicy prawostronnej funkcji Funkcja f posiada prawostronną granicę właściwą g w punkcie, jeżeli dla każdego ciągu argumentów a n zbieżnego do i takiego, iż począwszy od pewnego n: a n >, odpowiedni ciąg wartości f(a n dąży do liczby g Uwaga Definicje Cauchy ego i Heinego można stosować zamiennie Jeżeli granica funkcji liczona jest dla argumentu lub dla -, to mówi się o granicy funkcji w punkcie niewłaściwym Wówczas definicje Cauchy ego i Heinego przyjmują następującą postać: Def 7 - definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie niewłaściwym + Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie niewłaściwym +, jeżeli dla każdej dowolnie małej liczby rzeczywistej z nierówności > M wynika f ( g > istnieje taka liczba rzeczywista M, że Def 7 zawiera w sobie informację, iż dla dowolnie dużego argumentu możemy znaleźć wartość funkcji f( leżącą bardzo blisko granicy g Def 8 - definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie niewłaściwym - Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie niewłaściwym -, jeżeli dla każdej dowolnie małej liczby rzeczywistej z nierówności < M wynika f ( g > istnieje taka liczba rzeczywista M, że Def 8 zawiera w sobie informację, iż dla dowolnie małego argumentu możemy znaleźć wartość funkcji f( leżącą bardzo blisko granicy g
7 Def 9 - definicja Heinego granicy funkcji w punkcie niewłaściwym + Funkcja f posiada granicę g w punkcie w punkcie niewłaściwym +, jeżeli z faktu, iż dla każdego ciągu argumentów a n (o elementach należących do dziedziny funkcji zbieżnego do + wynika, że odpowiedni ciąg wartości f(a n dąży do liczby g Def - definicja Heinego granicy funkcji w punkcie niewłaściwym - Funkcja f posiada granicę g w punkcie w punkcie niewłaściwym -, jeżeli z faktu, iż dla każdego ciągu argumentów a n (o elementach należących do dziedziny funkcji zbieżnego do - wynika, że odpowiedni ciąg wartości f(a n dąży do liczby g Granice w punktach niewłaściwych zapisuje się: f ( g oraz f ( g Granica w punkcie o może okazać się nieskończona Mówimy wtedy o granicy niewłaściwej Def - definicja Cauchy ego granicy niewłaściwej + f ( M R >: ( f( > M Definicja zawiera w sobie fakt, iż w przypadku granicy wynoszącej + dla każdego argumentu leżącego dowolnie blisko punktu o możemy znaleźć dowolnie dużą wartość funkcji f( Def - definicja Cauchy ego granicy niewłaściwej - f ( M R >: ( f( < M Definicja zawiera w sobie fakt, iż w przypadku granicy wynoszącej - dla każdego argumentu leżącego dowolnie blisko punktu o możemy znaleźć dowolnie małą wartość funkcji f( Zwróćmy uwagę na kolejność występowania kwantyfikatora ogólnego przed kwantyfikatorem szczegółowym
8 W przypadku granic niewłaściwych można także mówić o granicach lewo- i prawostronnych Są one szczególnymi przypadkami granic z def i Def - definicja Cauchy ego lewostronnej granicy niewłaściwej + f ( M R >: ( f( > M Def - definicja Cauchy ego prawostronnej granicy niewłaściwej + f ( M R >: ( f( > M Def 5 - definicja Cauchy ego lewostronnej granicy niewłaściwej - f ( M R >: ( f( < M Def 6 - definicja Cauchy ego prawostronnej granicy niewłaściwej - f ( M R >: ( f( < M W def -6 zamieniono różnicę z def i na odpowiednie różnice bez wartości bezwzględnej, w zależności od położenia argumentu względem Definicje Heinego w przypadku granicy niewłaściwej przyjmą następującą postać, w której granice ciągu wartości funkcji f(a n wynoszą odpowiednio + i - : Def 7 - definicja Heinego granicy niewłaściwej + f ( a n D ( a n = f (a n = + Def 8 - definicja Heinego granicy niewłaściwej - f ( a n D ( a n = f (a n = -
9 Definicje lewostronnych i prawostronnych granic niewłaściwych wg Heinego pozostawiam jako ćwiczenie Uwaga Weźmy pod uwagę dwie różne sytuacje: istnienie granicy niewłaściwej oraz brak granicy Co innego oznacza, iż w jakimś punkcie właściwym lub niewłaściwym funkcja ma granicę + lub -, a co innego oznacza brak granicy w danym punkcie Większość wprowadzonych definicji granic została wyjaśniona na początku tego rozdziału dla funkcji z rys - Najważniejszy na początku dla czytelnika jest fakt, aby kojarzyć granicę z zachowaniem funkcji w punkcie lub i sprawnie ją wyliczyć (np wartość funkcji w punkcie, jeżeli istnieje Więcej obliczeń granic znajdzie się w podrozdziale Jakie są podstawowe własności granicy funkcji? Podstawowe twierdzenia o granicach funkcji Tw Granica funkcji (właściwa lub niewłaściwa istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe: f ( g ( f ( f ( g Przykład:,, więc
Rys 5 Wykres funkcji f (, f : R\{} R + 9, 9, więc 9 Tw Suma granic: jeżeli f ( g oraz f ( g, to: ( f ( f ( g g Przykład:,, więc ( 9 Tw Różnica granic: jeżeli f ( g oraz f ( g, to: ( f ( f ( g g
Przykład: 5, 5 5, więc ( 5 75 Tw Iloczyn granic: jeżeli f ( g oraz f ( g, to: ( f ( f ( g g Przykład:,, więc ( Tw 5 Iloraz granic: jeżeli f ( g oraz f ( g, to: f ( g g g dla f ( Przykład:,, więc 8 ( Tw 6 Twierdzenie o granicy trzech funkcji (jest to analogia tw o trzech ciągach Jeżeli dla trzech funkcji f, f, f spełnione są warunki: a f ( f ( f ( dla każdego należącego do pewnego sąsiedztwa punktu ; b f( g oraz f ( g, to również f ( g
sin( Wybrane granice funkcji: a (jest to granica typu /, ( sin( f ( b f ( f (, ( Uwaga Równości ( i ( mówią nam, iż w przypadku obliczania sinusa kąta leżącego bardzo blisko zera, wartość funkcji sinus można zastąpić jej argumentem (wielkością kąta jest to bardzo ważna własność w zastosowaniach technicznych c ( e (jest to granica typu, (5 ( f d ( f ( e, (6 f ( e ( e, (7 f ( f f ( ( e (8 f ( Wzory (5-(8 są uogólnieniami granic ciągów W przypadku funkcji symbole (wyrażenia oznaczone i nieoznaczone są takie same jak dla ciągów liczbowych Wyznaczanie granicy funkcji Przy wyznaczaniu granicy funkcji będącej symbolem nieoznaczonym w wielu przypadkach dokonuje się dozwolonych przekształceń algebraicznych i sprowadza
się wzór funkcji do postaci symbolu oznaczonego lub wykorzystuje się znane już granice = ( ( 5 ( [( ] e e 5 ( [( ] e 6 ( sin( 7 sin( sin( 7 [( sin( ] e 7 sin( 7 8 sin( sin( 9 sin(5 sin(5 ( sin(5 5( 5 5 5
5 5 5 8 ( 6 ( 5 8 5 8 ( 5 8 7 ( 5 8 5 8 ( 5 8 ( Granicą każdego wielomianu przy + jest: a plus nieskończoność, jeżeli współczynnik przy największej potędze jest dodatni;
5 b minus nieskończoność, jeżeli współczynnik przy największej potędze jest ujemny ( 8 ( 5 8 5 8 ( 5 8 9 ( 5 8 5 8 ( 5 8 ( ( ( 5 8 5 8 ( 5 8 ( 5 8 5 8 ( 5 8 ( Granicą każdego wielomianu przy - jest: a plus nieskończoność, jeżeli wielomian ma stopień parzysty i współczynnik przy największej potędze jest dodatni albo wielomian ma stopień nieparzysty i współczynnik przy największej potędze jest ujemny; b minus nieskończoność, jeżeli wielomian ma stopień parzysty i współczynnik przy największej potędze jest ujemny albo wielomian ma stopień nieparzysty i współczynnik przy największej potędze jest dodatni
6 6 6 6 5 6 Funkcja homograficzna posiada w punkcie zerowania się mianownika różne granice prawo i lewostronną Jedna wynosi plus nieskończoność, a druga minus nieskończoność Asymptota pionowa funkcji homograficznej przechodzi przez współrzędną, dla której zeruje się mianownik 6 6 ( 6 7 6 7 6 Funkcja homograficzna (jako przypadek funkcji wymiernej niewłaściwej, która w liczniku i mianowniku posiada wielomian tego samego stopnia posiada w plus nieskończoności i minus nieskończoności taką samą granicę, równą ułamkowi współczynników przy (współczynników przy największej potędze Wartość tej granicy wyznacza asymptotę poziomą funkcji
7 8 5 6 5 ( (6 6 9 5 6 5 ( (6 6 Funkcja wymierna właściwa posiada w plus nieskończoności i minus nieskończoności taką samą granicę równą Wartość tej granicy wyznacza asymptotę poziomą funkcji l im 8 6 ( 5 5 = ( l im 8 6 ( 5 5 = ( Funkcja wymierna niewłaściwa posiada w plus nieskończoności i minus nieskończoności taką samą granicę jak jednomian powstały w wyniku podzielenia składnika z największą potęgą z licznika przez składnik z największą potęgą z mianownika Granice funkcji logarytmicznych i wykładniczych: log a dla a >
8 log dla a > a log a dla < a < 5 log dla < a < a 6 a dla a > 7 a dla a > 8 a dla < a < 9 a dla < a < Granice funkcji trygonometrycznych: sin( sin( nie istnieje sin( nie istnieje Funkcja sinus nie ma granicy w wartości z przedziału [-,], ponieważ okresowo przyjmuje te same
9 cos( cos( nie istnieje 5 cos( nie istnieje Funkcja cosinus nie ma granicy w wartości z przedziału [-,], ponieważ okresowo przyjmuje te same 6 tg( 7 tg( 8 tg( 9 tg( 5 tg( 5 tg( nie istnieje 5 tg( nie istnieje
Funkcja tangens nie ma granicy w wartości z przedziału (-,, ponieważ okresowo przyjmuje te same 5 ctg( 5 ctg( 55 ctg( 56 ctg( 57 ctg( 58 ctg( nie istnieje 59 ctg( nie istnieje Funkcja cotangens nie ma granicy w wartości z przedziału (-,, ponieważ okresowo przyjmuje te same Pojęcie ciągłości funkcji Ciągłość funkcji jest pojęciem bardzo istotnym w analizie matematycznej Pojęcie funkcja ciągła nie sprowadza się tylko do intuicyjnego rozumienia funkcji ciągłej jako funkcji, której wykres można narysować bez odrywania ręki (aczkolwiek
w przypadku funkcji elementarnych jest w takim myśleniu trochę racji Np funkcja f(=/ nie jest ciągła dla = i rzeczywiście dla współrzędnej = na wykresie funkcji występuje uskok Definicja 9 Funkcję f określoną w otoczeniu punktu nazywamy ciągłą w punkcie, jeżeli granica funkcji w punkcie równa jest wartości funkcji w tym punkcie, tzn f ( f ( Funkcję f nazywamy ciągłą prawostronnie w punkcie, jeżeli: f ( f ( (9 Funkcję f nazywamy ciągłą lewostronnie w punkcie, jeżeli: f ( f ( ( Jeżeli w punkcie zachodzi jednocześnie (9 oraz (, to mówimy o ciągłości obustronnej (lub po prostu o ciągłości funkcji f w punkcie Przykłady ciągłości funkcji: Funkcja wykładnicza f( = e jest ciągła dla każdego rzeczywistego punktu Funkcja niewymierna f ( jest ciągła prawostronnie w punkcie = Funkcja niewymierna f ( jest ciągła lewostronnie w punkcie =
Funkcja wymierna ciągła w tym punkcie 5 f ( nie ma wartości dla = -, więc nie jest Uwaga Korzystając z def Cauchy ego granicy funkcji można stwierdzić, iż funkcja f jest ciągła w punkcie, jeżeli dla każdej dowolnie małej liczby rzeczywistej > istnieje taka liczba rzeczywista >, że z nierówności wynika f f ( ( Powyższa uwaga zawiera w sobie informacje, iż w przypadku ciągłości funkcji f w punkcie dla dowolnie małego otoczenia argumentów punktu można znaleźć dowolnie małe otoczenie wartości f( Definicja Funkcję nazywamy ciągłą w przedziale otwartym, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału Definicja Funkcję nazywamy ciągłą w przedziale domkniętym [a;b], jeżeli jest ciągła w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału oraz prawostronnie ciągła w punkcie a i lewostronnie ciągła w punkcie b Przykład: funkcja niewymierna f ( jest ciągła w przedziale otwartym (; i jest ciągła w przedziale domkniętym [;] Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe wewnątrz swoich dziedzin
Intuicyjnie ciągłość funkcji można kojarzyć z faktem, iż pojedynczy fragment wykresu funkcji da się narysować bez odrywania ręki (bez przerywania Własności funkcji ciągłych: Suma funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą Różnica funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą Iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą Iloraz funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą z wyjątkiem miejsc zerowych mianownika 5 Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej jest funkcją ciągłą 6 Funkcja złożona z funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą Tw 7 - twierdzenie Weierstrassa Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a;b], to jest ograniczona i osiąga w tym przedziale swój kres górny M i kres dolny m, tzn istnieją punkty s, t [a;b] takie, iż f(s = m i f(t = M Intuicyjnie tw Weierstrassa można kojarzyć z faktem, iż rysując fragment wykresu funkcji ciągłej w domkniętym przedziale argumentów nie należy rozpatrywać wartości funkcji w nieskończoności Twierdzenie Weierstrassa jest bardzo ważne i zawiera w sobie następującą własność funkcji ciągłych: jeżeli zbiór argumentów [a;b] funkcji ciągłej jest domknięty, to również zbiór wartości jest przedziałem domkniętym Kolejna własność funkcji ciągłych nosi nazwę własności Darbou: Tw 8 - twierdzenie Darbou Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a;b] oraz f(a f(b, to dla każdej liczby S o własności: S [f(a, f(b] lub S [f(b, f(a] istnieje argument s [a;b], dla którego S = f(s
Tw Darbou zawiera w sobie następującą własność funkcji ciągłych: jeżeli zbiór argumentów [a;b] funkcji ciągłej jest domknięty, to również zbiór wartości jest przedziałem domkniętym Wniosek Jeżeli na końcach przedziału określoności funkcji ciągłej [a;b] wartości są przeciwnych znaków, czyli f(a f(b <, to istnieje w tym przedziale miejsce zerowe funkcji, czyli punkt s [a;b], dla którego f(s = Powyższy wniosek jest często wykorzystywany w algorytmach szukania miejsca zerowego funkcji, na przykład: f (, f (- =, f (- = -, funkcja f posiada miejsce zerowe leżące w przedziale (-;- Przedział (-,- można podzielić na dwa podprzedziały (-;-5 oraz (-5;- Wtedy: f (-5 > i przedział poszukiwań miejsca zerowego można zawęzić do (-;-5 Sprawdzając wartość funkcji w punkcie środkowym tego przedziału = -75 znowu można zmniejszyć przedział do (-;-75 lub (-75;-5 I tak dalej aż do osiągnięcia żądanej dokładności wyznaczenia miejsca zerowego funkcji Naszkicowana metoda nosi nazwę złotego środka Omówione pojęcia granicy funkcji i ciągłości funkcji są kluczowe w dalszym badaniu kolejnych własności funkcji
5 Zadania Oblicz granicę funkcji i sprawdź ciągłość funkcji: 9 5 6 7 8 9 * 9 8 ( ( 9 6 ( sin( sin( sin(5 6 sin( sin(
6 7 5 ( 5 8 6 7 8 9 6 5 5 l im l im 5 8 8 log 5 log 6 log 5 7 log 5 6 6 8 e 9 ( (9
7 sin( cos( tg( 6 5 ctg( Odpowiedzi 6; ; ; ; 5 - ; 6 ; 7 ; 8 e ; 9 9 e ; e ; ½; 5; 5; ; 5 - ; 6 - ; 7 ; 8 -; 9 -; ; ; - ; - ; - ; 5 ; 6 ; 7 - ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5