Analiza układu II rzędu

Akademia Mrka w Gdyi Katedra Autmatyki Okrętwej Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab Mirław Tmera. WPROWADZENIE Ocea jakści terwaia plega a ceie dwóch taów układu regulacji: tau przejściweg tau utaleg W pierwzym przypadku mówimy dkładści dyamiczej, w drugim dkładści tatyczej. Dkładść dyamicza kreśla zdlść układu d wiereg i zybkieg śledzeia zmia wartści zadaej, a dkładść tatycza zdlść układu regulacji d utrzymywaia wartści regulwaej jak ajbliżej wartści zadaej w taie utalym, a więc p zakńczeiu tau przejściweg. O ile uchyb utaly łatw zdefiiwać i wyzaczyć jeg wartść tyle dkładść dyamiczą mża charakteryzwać różymi parametrami, a w rezultacie ceiać a pdtawie różych kryteriów. Kryteria cey jakści terwaia mża pdzielić a cztery grupy: ) Kryteria bezpśredie (cea dbywa ię a pdtawie dpwiedzi kkwej). ) Kryteria całkwe. 3) Kryteria częttliwściwe. 4) Kryteria rzkładu pierwiatków (cea a pdtawie rzkładu pierwiatków rówaia charakterytyczeg). Chciaż w praktyce układy regulacji drugieg rzędu wytępują bardz rzadk t ich aaliza daje pdtawy zrzumieia i aalizy układów wyżzych rzędów, które rówież mgą być aprkymwae przez układy drugieg rzędu. Rzważy ztaie układ regulacji drugieg rzędu z jedtkwym przężeiem zwrtym reprezetway przez układ pkazay a ryuku. Tramitacja układu z rzwartą pętlą przężeia Y ( ) G ( ) () E( ) ( ) gdzie raz ą tałymi parametrami. Tramitacja układu zamkięteg T( ) Y( ) R( ) G ( ) = G ( ) Układ z ryuku tramitacjach piaych wzrami () raz () kreślay jet jak prttypwy układ drugieg rzędu. R() w Y() ( + zw ) () Ry.. Prttypwy układ regulacji II rzędu Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab. WSKAŹNIKI JAKOŚCI OKREŚLANE NA PODSTAWIE ODPOWIEDZI SKOKOWEJ UKŁADU Charakter przebiegów przejściwych w liiwych układach terwaia bardz częt jet baday p pdaiu fukcji kkwej (jedtkwej) (t) a wejście układu. Wówcza dpwiedź układu terwaia azywaa jet dpwiedzią kkwą. Na ryuku przedtawia ztała typwa dpwiedź kkwa liiweg układu II rzędu..4..0 90% 0.8 M p D =± % y(t) 0.6 50% 0.4 0. 0% t t t p 0 4 6 8 0 4 6 8 0 t [] Ry.. Typwa dpwiedź kkwa układu terwaia Na pdtawie tej dpwiedzi defiiwae ą atępujące wkaźiki jakści charakteryzujące liiwe układy terwaia w dziedziie czau:. Makymale przeregulwaie M p t R M p = y max y u (3) gdzie: y(t) dpwiedź kkwa układu, y max makymala wartść y(t), y u wartść y(t) w taie utalym (y u y max ). Makymale przeregulwaie częt kreślae jet jak prcetwy udział kńcwej wartści dpwiedzi kkwej M p M p% 00% (4) y u Makymale przeregulwaie bardz częt wykrzytywae jet d pmiaru tabilści względej układu terwaia. Układ z bardz dużym przeregulwaie jet zazwyczaj iepżąday. Na etapie prjektwaia układu zazwyczaj kreśla ię wartść teg przeregulwaia. Odpwiedź kkwa układu z ryuku pkazuje, że makymale przeregulwaie pjawia ię przy pierwzym przeregulwaiu. W pewych układach makymale przeregulwaie mże pjawiać ię w jedym z atępych pików i jet tak wówcza gdy tramitacja układu piada ieparzytą liczbę zer w prawej półpłazczyźie Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab i mgą ię wówcza pjawiać pierwze przeregulwaie przy wartściach ujemych.. Cza późieia t defiiway jak cza p którym dpwiedź kkwa iąga 50% wjej wartści kńcwej. Pkazae jet t a ryuku. 3. Cza arataia t defiiway jet jak cza ptrzeby d wzrtu dpwiedzi kkwej układu d 0% d 90% wartści utalej. 4. Cza utalaia (regulacji) t R defiiway jak cza ptrzeby d teg aby przejściwa dpwiedź kkwa zalazła ię i pztała w pewej kreślej trefie dkładści ( %, %, itd., patrz tabela ) d wartści utalej. Najczęściej jet t 5% wartści utalej. Te cztery pwyżze wkaźiki umżliwiają bezpśredi pmiar charakterytyk przejściwych układu terwaia a pdtawie dpwiedzi kkwej. Wkaźiki te ą łatwe d kreśleia a pmierzej charakterytyce dpwiedzi kkwej, atmiat trud jet je wyprwadzić aalityczie za wyjątkiem układów, których rząd jet miejzy d trzecieg... WZORY APROKSYMUJĄCE CZASOWE WSKAŹNIKI JAKOŚCI Jedtkwa dpwiedź kkwa wyzacza z dwrtej trafrmaty Laplace'a tramitacji () piaa jet wzrem e t y (t) = i t arc c dla t 0 (5) Na pdtawie dpwiedich przekztałceń wzru aalityczeg (5) piująceg dpwiedź kkwą układu II rzędu mżliwe jet kreśleie wzrów pzwalających a zaprjektwaie układu II rzędu pełiająceg dpwiedie wymagaia. Piżej zajdują ię wzry aprkymujące czawe wkaźiki jakści układu II rzędu: amplituda makymaleg przeregulwaia wyraża prcetw M = e 00% dla 0 < < (6) p% czyli l( M l p ) ( M p ) (7) chwila czau t p w której pjawia ię makymale przeregulwaie cza późieia t t p dla 0 < < (8) 0.7 t dla 0 < < (9) cza arataia t t.8 dla 0 < < (0) cza utalaia t R (regulacji) według tabeli Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera 3

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab Tabela. Typwe wartści czau utalaia (regulacji) % % 5% 0% t R 4.6 4 3. 3 3. CZĘSTOTLIWOŚCIOWE WSKAŹNIKI JAKOŚCI W prjektwaiu liiwych układów terwaia z użyciem metd w dziedziie częttliwści, kiecze jet zdefiiwaie zbiru wych wkaźików jakści układu. Określeia takie jak makymale przeregulwaie, cza arataia, itd., używae w dziedziie czau ie mgą być zatwae w pób bezpśredi w dziedziie częttliwści. Piżze wkaźiki jakści pkazae ą rówież a ryuku 3 i ą ajczęściej używae w dziedziie częttliwści.. Mduł rezawy M rdb wyraży w decybelach (db) jet makymalą wartścią charakterytyki amplitudwej 0lg M ( j ). Amplituda M rdb pzwala a kreśleie tabilści względej tabileg układu zamkięteg. Zazwyczaj duże wartści dpwiadają dużym wartścim makymaleg przeregulwaia dpwiedzi kkwej. M. Częttliwść rezawa r rdb M r M rdb 0 lg () jet częttliwścią przy której wytępuje mduł rezawy. 3. Szerkść pama BW jet zakreem częttliwści d zera d częttliwści przy której charakterytyka amplitudwa 0lg M ( j ) 3 db d jeg amplitudy przy zerwej częttliwści. 0 lg M j M rdb 3dB BW r lg j lg Ry. 3. Przykładwe lgarytmicze charakterytyki amplitudy i fazy prttypweg układu II rzędu (wyzaczae w układzie zamkiętym). Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera 4

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab 3.. WZORY APROKSYMUJĄCE CZĘSTOTLIWOŚCIOWE WSKAŹNIKI JAKOŚCI Dla prttypweg układu drugieg rzędu (ry.), mduł rezawy M r, częttliwść rezawa i zerkść pama BW dzą ię w pób uikaly d wpółczyika tłumieia i częttliwść drgań właych () ma ptać r. W iuidalym taie utalym, = j i wówcza rówaie Y( j ) G ( j ) () R( j ) ( j ) ( j ) j( ) ( ) Mża uprścić rówaie () przez pdtawieie u Amplituda i faza G ( j ) ą atępujące raz. Wówcza rówaie () taje ię j ( ) G ( j ) M ( j ) e (3) ju u M ( j ) G( j ) (4) ( u ) ( u) u ( j ) G( j ) arcta (5) u Na pdtawie zależści (4) i (5) wyprwadza ię wzry pzwalające a wyzaczeie wartści częttliwściwych wkaźików jakści dla układu II rzędu, które ą atępujące: Mduł rezawy M wyraży w jedtkach bezwzględych r M r, dla 0 0. 707 (6) Zależść między mdułem rezawym wyrażym w jedtkach bezwzględych wyliczaym w parciu mduł rezawy wyraży w decybelach jet atępująca MrdB 0 M 0 (7) r Częttliwść rezawa r r, dla 0 0. 707 (8) Szerkść pama BW 4 BW 4 4 (9) Zapa fazy PM wyzaczay w układzie twartym z ryuku. PM arcta 4 4 (0) Przykład ilutruje związki pmiędzy czawymi i częttliwściwymi wkaźikami jakści dla układu II rzędu. Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera 5

Magitude (db) Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab Przykład Amplitudwa charakterytyka częttliwściwa M ( j ) prttypweg układu II rzędu pkazaa jet a ryuku 3.. Wyzacz czawe wkaźiki jakści dpwiadające tej charakterytyce. 0 Bde Diagram 0 Peak gai (db): 3.09 At frequecy (rad/ec): 3.03-0 -0-30 -40-50 -60 0-0 0 0 0 Frequecy (rad/ec) Ry... Amplitudwa charakterytyka częttliwściwa lgarytmicza. Rzwiązaie. Odczytae z ryuku. wartści mdułu rezaweg M r i częttliwści rezawej r M rdb = 3.09 [db] (.) r = 3.03 [rad/] (.) Wzór kreślający mduł rezawy (4) dla układu II rzędu wyraży jet w wartściach bezwzględych, atmiat dczytay z wykreu w decybelach, dlateg też w pierwzej klejści ależy g przeliczyć a wartści bezwzględe. Zależść pmiędzy wartścią mdułu rezaweg wyrażeg w decybelach M rdb, a wartścią bezwzględą mdułu rezaweg M r M 0 lg (.3) rdb M r P przekztałceiu wzru (.3) wyzacza ztała wartść mdułu rezaweg M r wyraża w wartściach bezwzględych MrdB 0 M 0 = 0 0 =.47 (.4) r 3.09 P pdtawieiu uzykaej wartści mdułu rezaweg M r d wzru (5) uzykuje ię zależść, która pzwala a wyzaczeie wartści wpółczyika tłumieia dla układu II rzędu, która ajpierw ztała przekztałca d ptaci rówaia (.5) Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera 6

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab 4 4 M r 0 (.5) Rzwiązaiami rówaia (.5) ą atępujące wartści wpółczyika : = 0.956, = 0.956, 3 = 0.3785, 4 = 0.3785 (.6) Pieważ wzór (5) jet pprawy dla wpółczyika z przedziału 0 0. 707, pprawym rzwiązaiem ze zbiru rzwiązań (.6) jet 3 0.3785 (.7) Na pdtawie rówaia (5) wyzacza ztała częttliwść drgań właych r 3.03 3.587 [rad/] (.8) 0.3785 Mając wyzacze wartści wpółczyika tłumieia raz częttliwści drgań właych ależy w pierwzej klejści dkać prawdzeia uzykaych wyików pdtawiając je d rówań (4) i (5) M rdb 0 lg 0 lg 3.09 [db] (.9) 0.3785 0.3785 r 3.587 0.3785 3.03 [rad/] (.0) Wyiki uzykae w rówaiach (.9) i (.0) dwdzą, że wyzacze wartści wpółczyika tłumieia raz częttliwści drgań właych ą pprawe. Wartści pztałych częttliwściwych i czawych wkaźików jakści ą atępujące Szerkść pama częttliwści BW (6) 4 BW ( ) 4 = 4.966 [rad/] (.) Amplituda makymaleg przeregulwaia (6) Chwila czau M p% = e 00% = 7.676 [%] (.) t p w której pjawia ię t makymale przeregulwaie Cza późieia t Cza arataia t t p = 0.946 [] (.3) 0.7 t = 0.353 [] (.4) t.8 Cza utalaia t R (regulacji), dkładść = [%]. = 0.50 [] (.5) t R 4.6 4.6 = 3.388 [] (.6) Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera 7

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab Wyiki uzykae ztały przy wykrzytaiu atępująceg kdu prgramu Matlaba clear % Wartści zadae MrdB = 3.09 wr = 3.03 % Wyzaczeie w i zeta Mr = 0^(MrdB/0) r_zeta = rt([4 0-4 0 (/Mr^)]) zeta = r_zeta(3) w = wr/qrt(-*zeta^) % Sprawdzeie pprawści uzykaych wyików dla w i zeta % i prówaie ich z wartściami zadaymi MrdB = 0*lg0(/(*zeta*qrt(-zeta^))) wr = w*qrt(-*zeta^) % Brakujący częttliwściwy wkaźik jakści BW = w*qrt(-*zeta^+qrt(zeta^4-4*zeta^+)) % Czawe wkaźiki jakści Mp = exp(-pi*zeta/qrt(-zeta^))*00 tp = pi/(w*qrt(-zeta^)) t = (+0.7*zeta)/w t =.8/w tr = 4.6/(zeta*w) % Graficza prezetacja uzykaych wyików ltiview( tf( w^, [ *zeta*w w^])) Klejy przykład ilutruje zatwaie wzrów (6), (7), (8), (9), (6), (8), (9) d prjektwaia dpwiedzi kkwej układu II rzędu. Przykład Dla układu pkazaeg a ryuku., wyzacz takie wartści parametrów K i K aby pełie były atępujące wymagaia dtyczące wybraych częttliwściwych i czawych wkaźików jakści: zerkść pama częttliwści BW = 4.58 [rad/], cza arataia t = 0.5 []. Mając wyzacze wartści parametrów K raz K, blicz jakie będzie w tym układzie makymale przeregulwaie M p i cza utalaia t R (dkładść %) jedtkwej dpwiedzi kkwej. R() K + Y() K Ry... Schemat blkwy układu z pzukiwaymi wartściami parametrów K i K Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera 8

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab Rzwiązaie: Tramitacja zatępcza całeg układu z ryuku. Y( ) K G ( ) (.) R( ) ( K ) K Prówując rówaie (.) z rówaiem (), uzykuje ię zależści pzwalające a wyzaczeie pzukiwaych wartści parametrów K raz K i ą e atępujące: K (.) K (.3) Z zależści (.) raz (.3) wyika, że d wyzaczeia wartści parametrów K raz K ptrzeba jet zajmść wartści wpółczyika tłumieia raz częttliwści drgań właych, które t wartści uzykae ztaą z wymagań jakie ałże ztały a prjektway układ z ryuku.. Szerkść pama częttliwści BW piaa jet przez rówaie (6) 4 BW ( ) 4 = 4.58 [rad/] (.4) atmiat cza arataia t przez rówaie (9).8 = 0.5 [] (.5) t Z układu tych dwóch rówań (.4) i (.5) z dwma iewiadmymi wyzacza ztaie w pierwzej klejści pzukiwaa wartść częttliwści drgań właych z rówaia (.5).8.8 = 3.6 [] (.6) t 0.5 i atępie p pdtawieiu d rówaia (.4) wyzaczej wartści przekztałceń uzykuje ię atępujący wielmia 3 4 4 BW Rzwiązaiami rówaia (.7) ą atępujące wartści wpółczyika : BW 4 BW 0 i dkaiu kilku (.7), j.544 3 = 0.4755, 4 = 0.4755 (.8) Pprawym rzwiązaiem ze zbiru rzwiązań (.8) jet 3 0.4755 (.9) gdyż jet wartścią rzeczywitą ddatią. W celu prawdzeia uzykaeg rzwiązaia ależy jezcze raz wyzaczyć zadaą wartść zerkści pama, według wzru (.4) i uzykae wyiki prówać z zadaymi wymagaiami. Mając wyzacze wartści wpółczyika tłumieia i częttliwści drgań właych, pzukiwae wartści parametrów K raz K z zależści (.) i (.3) ą atępujące: K.960 (.0) K 0.4755 3.6 =.44 (.) Amplituda makymaleg przeregulwaia (6) M p% = e 00% = 8.3 [%] (.) Cza utalaia t R dla dkładści ( = %) Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera 9

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab 4 4 4 t R =.337 [] (.3) 0.4755 3.6 Wyiki uzykae ztały przy użyciu atępujących liii kdu prgramu % Wymagaia ałże a układ BW = 4.58; t = 0.5; % Wyzaczeie w i zeta w =.8/t a = (BW/w)^ r_zeta = rt([3 0 4*a 0 (a^-*a-)]) zeta = r_zeta(3) % Sprawdzeie pprawści wyzaczych parametrów w i zeta BW = w*qrt(-*zeta^+qrt(zeta^4-4*zeta^+)) % Pzukiwae wartści wzmcień K = w^ K = *zeta*w- % Wybrae czawe wkaźiki jakści Mp = exp(-pi*zeta/qrt(-zeta^))*00 tr = 4/(zeta*w) % Graficza prezetacja uzykaych wyików ltiview( tf( K, [ (+K) K])) 4. PRZEKSZTAŁCANIE WYMAGAŃ PROJEKTOWYCH NA PŁASZCZYZNĘ S Przekztałcaie wymagań prjektwych a płazczyzę związae jet z czwartym kryterium cey jakści regulacji związaych z ceą jakści a pdtawie płżeń bieguów tramitacji. Odpwiedź kkwa układu II rzędu mże być kztałtwaa przez utaleie dpwiedich płżeń pierwiatków rówaia charakterytyczeg tramitacji II rzędu (). Pierwiatki te mgą być wyraże jak, = j = j () gdzie = () charakterytyczeg raz,, = (3) raz. Dla pierwiatków zeplych przężych: pierwiatek Im płazczyza Re pierwiatek Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera 0

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab Ry.4. Zależść pmiędzy pierwiatkami rówaia charakterytyczeg prttypweg układu II rzędu raz,,,, gdzie jet kątwą dległścią pierwiatka d pczątku układu (częttliwścią drgań właych). jet częścią rzeczywitą pierwiatków. jet częścią urją pierwiatków (częttliwścią drgań tłumiych). (wpółczyik tłumieia) jet ciuem kąta pmiędzy liią kątwą pierwiatków i półią rzeczywitą ujemą (gdy pierwiatki leżą w lewej półpłazczyźie) c (4) Na etapie prjektwaia układu akłada ię pewe wymagaia dtyczące czau arataia t, makymaleg przeregulwaia M p i czau utalaia (regulacji) t R i zadaje ię pytaie: gdzie pwiy zajdwać ię bieguy, aby uzykać dpwiedź w której te wielkści będą miejze lub rówe zadaym wymagaim. Dla zadaych wartści t, M p raz t R frma ytezwa tych rówań:.8 t l( M l 4.6 t R p ) ( M p ) (5) (6) (7) Zależści te w frmie graficzej przedtawie ą a ryuku 5 i 6. Im Im Im Re arccz Re Re (a) (b) (c) Ry. 5. Wymagaia prjektwe dtyczące układu II rzędu pkazae w frmie graficzej (a) cza arataia, (b) makymale przeregulwaie, (c) cza utalaia. Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab Im Re Ry.6. Wymagaia prjektwe z ryuku 5 zebrae a jedym wykreie. Przykład 3 Zajdź bzary płżeń bieguów tramitacji układu a płazczyźie, jeśli wymagaia ałże a dpwiedź kkwą ą atępujące: t 0.6 [], M p 0 [%] raz t R 3 [], ( = [%]). Rzwiązaie: Bez wiedzy, czy układ II rzędu piada zera czy też ie, ie jet mżliwe zalezieie dkładych bzarów. Mża atmiat uzykać pierwzą aprkymację z użyciem zależści dla układu II rzędu. Rówaie () zacza, że.8 = 3 [rad/] (3.) t Z rówaie () wyika czyli kąt l( M l ) ( M raz w parciu rówaie (3) uzykuje ię p p ) l(0.) l (0.) = 0.59 (3.) arcc( 0.59) 53.76 (3.3) 4.6 3 =.5333 [] (3.4) Wymagaia defiiwae dla dpwiedzi kkwej przekładają ię a atępujące bzary mżliwych płżeń pełiających te wymagaia. 0.59 czyli 3 (3.5) 0 53.76, (3.6).5333 (3.7) Obzar mżliwych płżeń bieguów a płazczyźie pełiających wymagaia z teg przykładu zajduje ię a ryuku 3.. Zauważ, że pewe wymagaia dtyczące raz autmatyczie pełiają wymagaiu dtyczącemu. Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab Ry.3.. Fragmet bzaru mżliwych płżeń bieguów a płazczyźie pełiających wymagaia z przykładu 3. W Matlabie d wykreślaia a płazczyźie zmieej zeplej liii tałych wartści raz łuży fukcja grid. Wyiki w tym przykładzie uzykae ztały przy użyciu atępujących liii kdu prgramu. clear cle clc % Wymagaia ałże a układ t_gr = 0.6; % Wartść graicza czau arataia Mp_gr = 0; % Wartść graicza makymaleg przeregulwaia tr_gr = 3; % Wartść graicza czau regulacji % wyzaczeie graiczych wartści parametrów tramitacji w_gr =.8/t_gr zeta_gr = -lg(mp_gr/00)/qrt(pi^+lg(mp_gr/00)^) theta_gr = ac( zeta_gr)*80/pi igma_gr = 4.6/tr_gr % graficza prezetacja uzykaych wyików grid( zeta_gr, w_gr, 'ew') axi aut axi equal lie([-igma_gr -igma_gr], [-3 3]) ĆWICZENIA W MATLABIE M. Dla układu z ryuku M dbierz takie wartści parametrów K i K aby pełie były atępujące wymagaia: cza arataia t =.8 [] mduł rezawy M r =.7 [db] R() K 0 ( + ) Y() K Ry. M. Schemat blkwy układu zamkięteg Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera 3

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab M. Dla układu z ryuku M, dbierz takie wartści parametrów K i K aby pełie były atępujące wymagaia: cza (chwila) wytąpieia pierwzeg przeregulwaia t p = [], częttliwść rezawa r = [rad/] K R() K Y() Ry. M. Schemat blkwy układu zamkięteg M3. Dla układu z ryuku M3, dbierz takie wartści parametrów K i K aby pełie były atępujące wymagaia: mduł rezawy M r =.5 [db] częttliwść rezawa r = [rad/] R() K Y() K Ry. M3. Schemat blkwy układu zamkięteg M4. Dla układu z ryuku M4, dbierz takie wartści parametrów K i aby pełie były atępujące wymagaia: cza utalaia (regulacji) t R = 4 [], ( = %) częttliwść rezawa r = [rad/] R() K + Y() Ry. M4. Schemat blkwy układu zamkięteg M5. Dla układu z ryuku M5, dbierz takie wartści parametrów K i aby pełie były atępujące wymagaia: cza (chwila) wytąpieia pierwzeg przeregulwaia t p = [], cza utalaia (regulacji) t R = [], ( = %) Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera 4

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab R() (+ K Y() 0.5 Ry. M5. Schemat blkwy układu zamkięteg M6. Dla układu z ryuku M6, dbierz takie wartści parametrów K raz aby pełie były atępujące wymagaia dtyczące przejściwej dpwiedzi kkwej: cza arataia M p = 4 [%] zerkść pama BW = 4 [rad/] R() K (+ ) Y() Ry.M6. Schemat blkwy układu zamkięteg M7. Dla układu z ryuku M7, dbierz takie wartści parametrów K raz aby pełie były atępujące wymagaia dtyczące przejściwej dpwiedzi kkwej: cza arataia M p = 4 [%] cza późieia t = 0.6 [] R() + K Y() Ry.M7. Schemat blkwy układu zamkięteg M8. Dla układu z ryuku M8, dbierz takie wartści parametrów K i K aby pełie były atępujące wymagaia: mduł rezawy M r =. [db] zerkść pama BW = 3 [rad/] R() K + Y() K Ry. M8. Schemat blkwy układu zamkięteg M9. Dla układu z ryuku M9, dbierz takie wartści parametrów K i K aby pełie były atępujące wymagaia: cza późieia t = [], mduł rezawy M r = [db] Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera 5

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab R() K Y() K Ry. M9. Schemat blkwy układu zamkięteg M0. Dla układu z ryuku M0, dbierz takie wartści parametrów K i K aby pełie były atępujące wymagaia: mduł rezawy M r = 3 [db] zerkść pama BW = 5 [rad/] R() K Y() K Ry. M0. Schemat blkwy układu zamkięteg M. Dla układu z ryuku M, dbierz takie wartści parametrów K i aby pełie były atępujące wymagaia: cza (chwila) wytąpieia pierwzeg przeregulwaia t p = [], cza utalaia (regulacji) t R = [], ( = %) R() + K Y() K Ry. M. Schemat blkwy układu zamkięteg M. Dla układu z ryuku M, dbierz takie wartści parametrów K raz aby pełie były atępujące wymagaia dtyczące przejściwej dpwiedzi kkwej: częttliwść rezawa r = 3 [rad/] zerkść pama BW = 6 [rad/] R() K Y() K Ry.M. Schemat blkwy układu zamkięteg Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera 6

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab M3. Nazkicuj bzar a płazczyźie w którym pwiy zaleźć ię bieguy układu II rzędu, które pełiają piżze wymagaia. a) b) cza arataia t 0.5 [] prcetwe przeregulwaie pwi być w zakreie M p 6.7 [%] cza regulacji t R [], ( = [%]) cza arataia 0.3 t 0.6 [], makymale przeregulwaie 5 M p 30 [%], 0 0 cza regulacji t R [], ( = [%]) 7 3 c) d) e) f) g) h) i) j) k) cza arataia t [] prcetwe przeregulwaie pwi być w zakreie 0 M p 5 [%] cza regulacji t R 6 [], ( = %) cza arataia t 0.6 [], makymale przeregulwaie M p 0 [%], cza regulacji t R [], ( = %) cza arataia t 0.8 [], makymale przeregulwaie M p 5 [%], cza regulacji t R 3.6 [], ( = %) cza arataia 0.6 t.8 [], makymale przeregulwaie M p 0 [%], cza regulacji t R.8 [], ( = %) cza arataia t.5 [], makymale przeregulwaie 5 M p 50 [%], cza regulacji t R 8 [], = [%] cza arataia t 0.3 [], makymale przeregulwaie 5 M p 5 [%], 0 cza regulacji t R [], ( = [%]) 7 cza arataia t 0.45 [] prcetwe przeregulwaie pwi być w zakreie M p 4 [%] cza regulacji t R 4 [], ( = [%]) cza arataia t.6 [] prcetwe przeregulwaie pwi być w zakreie M p 8 [%] cza regulacji t R 8 [], ( = %) cza arataia t 0.3 [], Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera 7

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab l) makymale przeregulwaie M p 0. [%], cza regulacji t R 0.8 [], ( = %) cza arataia t. [], makymale przeregulwaie M p 4 [%], cza regulacji t R 7. [], ( = [%]) ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ M. K 0., K 0. M. G ( ) K (K K ) K, = 0.607, = 3.9673 [rad/], K = 5.739, K = 6.6330 M3. G ( ) K K K, = 0.4794, =.706 [rad/], K = 7.406, K =.6083 M4. K 3, M5. G( ) ( K 0.5) M6. K.39,. 569 M7. K 5.4,. 45 M8. K 5.94, K. 458 K, = 0.5907, = 3.8935 [rad/], K = 5.596, = 4.000 M9. G ( ) K ( K K ) K, = 0.4430, =.30 [rad/], K =.764, K =.589 M0. G ( ) K K K, = 0.383, = 3.638 [rad/], K = 3.36, K =.7775 M. G ( ) K ( K ) K, = 0.5907, = 3.8935 [rad/], K = 5.596, K = 3.6 M. Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera 8

Teria terwaia Aaliza układu II rzędu Matlab K G ( ), = 0.600, ( K K K ) K = 5.783 [rad/], K = 3.699, K =.05 M3. a) 3.6 ; 0.495 ; b) 3 6 ; 0.358 0. 57; c) 0.9 ; 0.404 0. 59; d) 3, 0.456 ; e) 0. 5 0.404 ; f) 3 0.59 ; g). 0.5 0. 57 ; h) 6 0.403 0. 690 ; i) 0 4 0.5305 ; j).5 0.479 0. 559; k) 0 6, 0.5878, l).5, 0.43 0. 559, 0 60.3,. 3 58.9 69.0,.. 8 53.8 66., 0 0. 667 0 6.9, 4 0 66., 0. 0 53.8, 0. 58.9 77.5, 0. 575 46.4 66., 3. 4. 6 0 58,. 5 56.0 6.4, 0. 5 0 53.9, 0 5 56.0 65.6, 0. 639 LITERATURA. Ku B.C. Autmatic Ctrl Sytem, Jh Wiley & S, Ic, 995. Otatia aktualizacja: 04-05-06 M. Tmera 9