JÓZEF DREWNIAK, STANISŁAW ZAWIŚLAK * METODY TEORII GRAFÓW DO MODELOWANIA PRZEKŁADNI PLANETARNYCH GRAPH THEORY BASED METHODS USED FOR MODELING OF PLANETARY GEARS S t e s z c z e n e A b s t a c t W nnejszym atykule pzedstawono metody teo gafów, któe mogą być stosowane do modelowana pzekładn planetanych. Podano ogólne zasady modelowana oaz wyznaczono pzełożena pzykładowej pzekładn metodą gafów lnowych oaz kontuowych. Poównano wynk z klasyczna metodą Wllsa. Słowa kluczowe: f-cykl, ównane f-cyklu, ównana dla kontuu, pzełożene, analza knematyczna In the pape, the gaph theoy based methods ae dscussed. These methods have been appled fo modelng of planetay geas. The geneal ules of modelng ae lsted. An exemplay planetay gea s analyzed by means of lnea and contou gaph appoach. The esults wee compaed wth the outcomes obtaned va classcal Wlls fomulas. Keywods: f-cycle, f-cycle equaton, contou equatons, ato, knematcal analyss * D hab. nż. Józef Dewnak, pof. ATH, d nż. Stansław Zawślak, Wydzał Budowy Maszyn Infomatyk, Akadema Technczno-Humanstyczna w Belsku-Bałej.
4 Oznaczena G( V, E ) N j ω ω, j gaf o zboze wezchołków V oaz zboze kawędz E pzełożene dla pay kół zębatych oznaczonych j oaz ; jest ono ówne loazow lczb zębów tj. N = D / D = z / z 4. pędkość kątowa [ad/s] pędkość kątowa (obotowa) elementu ω wekto pędkośc obotowej względnej; elementu względem elementu j v A, j j j pędkość względna lnowa punktu A na ognwe względem punktu A j na ognwe j ε wekto względnego pzyspeszena kątowego ognwa względem ognwa j, j a A, j C a A, j wekto względnego pzyspeszena lnowego punktu A na ognwe względem punktu A j na ognwe j wekto pzyspeszena Coolsa punktu A względem A j wekto od punktu (pzegubu) A do pzegubu B AB wekto od początku układu współzędnych do punktu (pzegubu) A A, ponadto: ω = ω, 0 co oznacza, że można opuszczać wskaźnk 0 (oznaczający układ odnesena), a zatem ozważa sę wtedy watośc bezwzględne pędkośc obotowej. j. Wstęp Pojektowane pzekładn planetanych może być wspomagane óżnym metodam, np.: schematów deowych [0] lub gafów [5]. Gafam modelowano: pzekładne o osach stałych, pzekładne planetane [4, 6] oaz automatyczne skzynk pzekładnowe [] do napędu samochodów. Cele modelowana pzekładn gafam były óżnoodne m.n.: analza dynamczna, analza knematyczna [4], synteza [, 6], analza stuktuy [7], enumeacja [], optymalzacja cągu pzełożeń [] oaz automatyczne pojektowane [8, ] w opacu o tzw. gamatyk gafowe. Nektóe zadana można wykonać za pomocą nnych metod, a nektóe tylko metodam wynkającym z teo gafów, np. enumeacja ozwązań konstukcyjnych, któa powadz do wygeneowana atlasów ozwązań konstukcyjnych na etape koncypowana. Udowadnano kompletność tych atlasów metodam gafowym. Stosowano óżne odzaje gafów np.: gafy pzepływu sygnałów [, 4], gafy lnowe [-7], gafy kontuowe [-4] opsane pzez Maghtu [9] oaz gafy wązań tzw. bond-gafy [5]. Szeoke zestawena pac na temat zastosowań gafów w teo maszyn mechanzmów można znaleźć w ksążce [9], atykule pzeglądowym [5] (dotyczącym tylko pzekładn) oaz w dysetacj [7]. Celem nnejszej pacy jest kótke pzedstawene metod gafów lnowych oaz gafów kontuowych. Paktyczne zalety ch wykozystana będą wykazane na pzykładze analzy knematycznej wybanej pzekładn planetanej opsanej za pomocą jej schematu
knematycznego. Wynk analzy zostaną poównane z klasyczną metodą Wllsa. Celem pacy jest ówneż zwócene uwag na nowoczesne metody modelowana pzekładn szeoko ozwjane na śwece zwłaszcza w ostatnm dzesęcolecu. Zaletą modelowana pzekładn gafam jest to, że wszystke wymenone wyżej zagadnena ozpatywane za pomocą model gafowych ozwązywane były w sposób algoytmczny, zatem często na podstawe tych algoytmów opacowywano pogamy komputeowe. Wele czynnośc lub całość postępowana można zautomatyzować, co pzyspesza dzałana z zakesu pojektowana koncepcyjnego pzekładn. Gaf w sense teo gafów zwązany jest weloma nnym stuktuam algebacznym jak np.: maceze, matody, lczby stuktualne, pzestzene lnowe odcęć oaz cykl weloma nnym. Obekty te umożlwają kodowane stuktuy pzekładn, a to z kole pozwala na zastosowane zaawansowanych algoytmów sztucznej ntelgencj: ewolucyjnych, mówkowych lub mmunologcznych. Publkacje dotyczące poblematyk ozwązywana zadań pojektowana pzekładn za pomocą metod sztucznej ntelgencj dla pzekładn ( nnych obektów nżyneskch) zestawono w pacy [7]. Obecne na śwece można zaobsewować znaczne zanteesowane metodam gafowym w mechance, a zwłaszcza w modelowanu pzekładn, wszelkch mechanzmów oaz katownc am. Pewszą ksążką o zasęgu śwatowym z tej dzedzny jest paca [], natomast pace Maghtu ([9] dwe nne) dotyczą tylko gafów kontuowych ch zastosowana do modelowana mechanzmów. 5. Modele teoo-gafowe pzekładn Pzekładne można modelować óżnym odzajam gafów, jak to zostało pzedstawone w częśc pewszej nnejszej pacy. Ogólny schemat postępowana jest następujący: wybó poblemu do analzy (np. analza knematyczna lub synteza), abstahowane ozważane elementów zwązanych z wybanym poblemem, pomnęce nnych oaz dysketyzacja, ustalene zwązków (elacj) pomędzy wyszczególnonym elementam, na pzykład: wyszczególnene pa knematycznych obotowych, zazębeń oaz pa obotowych: planeta-jazmo, pzypsane gafu do ozważanej pzekładn według wybanej zasady, pzykłady modelowana są pzedstawone ponżej, tansfe wedzy z dzedzny mechank do teo gafów oaz w keunku odwotnym w odnesenu do wybanego poblemu, wyszczególnene wybanych podgafów (np. f-cykl albo kontuów) na postawe (zasadnczego) gafu pzekładn, zapsane kodów wybanych podgafów, wygeneowane ównań opsujących pzekładnę na podstawe kodów a węc w sposób upoządkowany, algoytmczny, ozwązane otzymanego układu ównań. Rozwązując poblem knematycznej analzy pzekładn klkoma metodam, możemy unknąć błędów, któe są badzo pawdopodobne w pzypadku stosowana tylko jednej metody.
6 Na ysunku (ys. ) pzedstawono schemat pzykładowej pzekładn planetanej, pzy czym pzyjęto, że element 6 = 9 = h (oznaczony skótowo jako II) jest uneuchomony (zahamowany). Wtedy uchlwość układu (mechanzmu) wynos, zatem mamy jedno wejśce jedno wyjśce. Jeśl żaden element ne jest zahamowany, to uchlwość tego mechanzmu wynos. Na kolejnych ysunkach pzedstawono gafy pzypoządkowane tej pzekładn gaf lnowy (ys. ) oaz kontuowy (ys. ). Rys.. Schemat funkcjonalny pzykładowej pzekładn planetanej Fg.. Functonal scheme of the exemplay planetay gea 8 6=9=h 5 IN =4 h 7=h OUT Rys.. Gaf lnowy jako model pzykładowej pzekładn planetanej Fg.. Lnea gaph lnea models of the exemplay planetay gea
Podstawowe zasady twozena gafu lnowego są następujące: () Wyóżnone elementy pzekładn jak koła słoneczne, planety, jazma stają sę wezchołkam gafu opsywanym tym samym oznaczenam co pzypsane m obekty. Układ odnesena (obudowę) zwykle pomjamy. () Kawędze gafu epezentują pay elementów będących w pewnej elacj: paę planeta jazmo oaz dwa elementy obacające sę wokół głównej os epezentuje sę lną cągłą, paę elementów (ognw) w zazębenu epezentuje sę lną keskową. () Wszystke kawędze epezentujące elementy obacające sę wokół wspólnej os obotu waz z wezchołkam twozą tzw. klkę w sense teo gafów. Zgodne z egułą Hsu klkę taką epezentuje sę wypełnonym tłem welokątem. (v) Popozycja Hsu została zmodyfkowana pzez autoów dodając śceżkę od wejśca do wyjśca oaz stosowane podwójnych ln dla kawędz ncydentnych do wezchołków epezentujących elementy uneuchomone. Ułatwa to analzę dzałana pzekładn oaz pzypomna o uzupełnenu układu ównań o waunek zeowej pędkośc obotowej elementu uneuchomonego. W naszym pzypadku (ys. ) wspomnana śceżka ma następujący pzebeg: IN = 4 5 6 7 = h 8 h OUT. Natomast kawędze podwójne to kawędze ncydentne do wezchołka: 6 = 9 = h. Na ys. wezchołk będące naożam welokąta epezentują elementy pzekładn obacające sę wokół głównej os symet pzekładn. Wezchołk, 5 oaz 8 epezentują planety ozważanej pzekładn planetanej. Kawędze naysowane lną keskową epezentują zazębena np. (, ), a kawędze naysowane lną cągłą pay: planetajazmo, np. (8, h ). 7 6=9=h I 8 h II III 0 7=h IV =4 5 V VI Rys.. Gaf kontuowy jako model pzykładowej pzekładn planetanej Fg.. Contou gaph model of the exemplay planetay gea W odnesenu do gafu kontuowego podobna zasada epezentowana wezchołków gafu pozostaje, ale w tym pzypadku uwzględna sę zawsze układ odnesena (obudowę). Ponadto gaf jest skeowany. Wyóżnamy cykle nezależne zwane tu kontuam, aby zachować nomenklatuę wpowadzoną pzez Maghtu. W pzypadku pzekładn ozważa
8 sę cykle zaczynające sę właśne w obudowe oznaczanej zwykle jako element 0. Każdy kontu można epezentować jego kodem, na podstawe, któego w sposób algoytmczny ustala sę wskaźnk ównań. Gaf kontuowy został w pewnym stopnu zmodenzowany w poównanu do popozycj Maghtu: wpowadzono zwot kawędz w dowolnych keunkach oaz dowolne wstawane kawędz mędzy paą tych samych wezchołków. Umożlwa to dowolny wybó skeowana cykl. Metoda jest nadal popawna, bo z ogólnych wzoów te skeowana ne wynkają.. Analza knematyczna pzykładowej pzekładn planetanej Analzę knematyczną pzekładn planetanej można pzepowadzać na podstawe gafu lnowego pzekładn tzw. gafu Hsu, któy został zmodenzowany pzez autoów nnejszej pacy. Analza polega na wyóżnenu, tzw. f-cykl, czyl cykl zaweających kawędze keskowe epezentujące zazębena. Każdy f-cykl koduje sę kodem (, j)k gdze (, j) to kawędź keskowa epezentująca paę kół zębatych zazębonych, a symbolem k oznaczone jest jazmo planety. Takemu f-cyklow pzypoządkowane jest ównane f-cyklu: gdze: ω ω k = ± N j, (ω j ω k ) () znak + dla zazębena wewnętznego, znak dla zazębena wewnętznego. Układ wskaźnków jest ustalony na stałe, czyl podejśce jest algoytmczne. Układ ównań jest kompletny, gdy zestaw sę ównana dla wszystkch kawędz keskowych oaz doda sę ównana ujmujące stan elementów zahamowanych. W pzypadku gafu kontuowego wyóżnamy zamknęte cykle zwane tym azem kontuam, aby zachować oygnalną nomenklatuę używaną pzez Maghtu [9] w jego monogafach. Dla każdego kontuu złożonego z kolejnych ognw mechanzmu obowązuje układ ównań: ( ) ω, = 0 () ω + v = A, A, ( ) ( ) 0 () ( ) ε, = 0 (4) c a +, a + ω =, a A A A, A A ( ) ( ) ( ) + 0 (5) gdze sumowane odbywa sę po wszystkch elementach kontuu. Pzystępując do analzy knematycznej pzekładn w opacu o gaf lnowy, należy znaleźć wszystke cykle zaweające kawędze oznaczone lnam keskowym w gafe lnowym pzekładn (ys. ). Należy dodać, że czynność ta może być wykonana
algoytmczne na podstawe specjalnej macezy pzypoządkowanej gafow. Pogam komputeowy do geneowana f-cykl jest opsany w pacy [7]. W pzypadku naszej pzekładn kody sześcu f-cykl są następujące: (,) h (,) h (4,5) h (5,6) h (7,8) h (8,9) h Na podstawe tych kodów można napsać następujący układ ównań algebacznych wykozystując zasadę okeśloną ównanem (), czyl tzw. ównanem f-cyklu: (9). Analzę można pzepowadzć także dla gafu kontuowego. W naszym pzypadku można wyóżnć sześć następujących nezależnych kontuów: (I) 0 h 8 9 0 (II) 0 h 8 7 0 (III) 0 4 5 6 0 (IV) 0 (7 = h ) 5 ( = 4) 0 (V) 0 ( = 4) 0 (VI) 0 (6 = 9 = h ) 0 W pzypadku kontuów ważne jest, aby były one nezależne bo wtedy wynkający z nch układ ównań jest kompletny. h 0 8h 98 09 ω + ω = 0 H 8h J 98 h 0 8h 78 07 ω + ω = 0 H 8h G 78 40 54 65 06 ω + ω = 0 D 54 F 65 h 0 5h 45 05 ω + ω = 0 E 5h D 45 0 0 ω + ω = 0 C A h 0 h 0 ω + ω = 0 B h A (8) ω ω = N ( ω ω ) h h ω ω = + N ( ω ω ) h h ω ω = N ( ω ω ) 4 h 54 5 h ω ω = + N ( ω ω ) 5 h 65 6 h ω ω = N ( ω ω ) 7 h 87 8 h ω ω = + N ( ω ω ) 8 h 98 9 h dodatkowe ównane: (9) 9 (6) (7) ω = ω = ω = 0 6 9 h gdze: dla układu (8) mamy pędkośc obotowe względne, któe w takce ozwązywana tzeba wyelmnować.
0 Dla każdego z kontuów można wypsać ównana typu () oaz (), pzy czym ze względu na geometyczną postać pzekładn ostatn składnk w ównanu () ne występuje. Ponadto loczyny wektoowe można od azu zastępować skalanym, bo keunk wektoów pędkośc obotowej oaz pomena są w pzypadku pzekładn planetanych zawsze wzajemne postopadłe. Podane ównana są właścwe dla wszelkego odzaju mechanzmów, jednak w mechanzmach z paam knematycznym pzesuwnym pzegubowym wszystke składnk są bane pod uwagę [9]. Dla pzykładowej pzekładn układ pzyjmuje postać opsaną układem ównań (8). Układ można ozwązać, elmnując jedną po dugej welkośc epezentujące pędkośc obotowe względne mędzy wszelkm elementam, pozostawając tylko te względem układu odnesena. Wzó Wllsa na pzełożene w tym pzypadku ma postać: z z z = z z z 7 4 II 9 6 I h Dla zestawu lczb zębów: z = ; z = 4; z = 7 (0); z 4 = 7; z 5 = 4; z 6 = (); z 7 = 4; z 8 = 4 oaz z 9 = 06 (06) otzymujemy pzełożene ozważanej pzekładn planetanej ówne: 99,57. Pzy czym ujemne lczby zębów pzyjmuje sę w metodze Wllsa. Ten sam wynk uzyskuje sę dla metod gafowych, ozwązując układy ównań (8) oaz (9). Pzyjmuje sę zęby poste, węc pomene są loczynam modułu oaz odpowednch lczb zębów. Pzyjmując stały moduł, wzoy sę upaszczają pozostawając jedyne zależność od lczby zębów poszczególnych kół zębatych. (0) 4. Wnosk W nnejszej pacy pzedstawono wybane metody modelowana pzekładn planetanych gafam. Zastosowane tych metod pozwala na poównane wynków z nnym metodam klasycznym, np. gafczno-analtyczną (Kutzbacha) lub analtyczną Wllsa. Może to umożlwć wykyce błędów. Metody te pozwalają też na głębsze zozumene stuktuy pzekładn pzez nżynea. Zaletam metod gafowych są: algoytmczne ujece poblemów oaz możlwość ealzowana nnych zadań, któe ne zostały opsane w nnejszej pacy, np. algoytmczne znajdowane kół nadmaowych, enumeacja ozwązań konstukcyjnych czy też nnych wymenonych w pewszej częśc pacy. Sposób postępowana w odnesenu do metody gafów lnowych kontuowych pzestawono dla wybanej pzekładn planetanej dla poblemu analzy knematycznej. Uzyskano zgodność wynków metod gafowych oaz metody Wllsa.
L t e a t u a [] B o n n e l l R., H e s s R., Applcatons of sgnal-flow gaph theoy to epcyclc gea tans, IEEE Tans. on Autom. Contol, No., 968, 594-595. [] D e w n a k J., Z a w ślak S., Synthess of planetay geas by means of atfcal ntellgence appoach especally gaph-theoetcal modelng, Sold State Phenomena, Vol. 64, 00, 4-48. [] D e w n a k J., Z a w ślak S., Knematcal and dynamcal analyss of closed knematcal chans usng gaphs and pofle equatons, PAMM Poceedngs on: Anwendung Mechank und Mathematk, Vol. 9, No., 009, 547-548. [4] D e w n a k J., Z a w ślak S., Lnea-gaph and contou-gaph-based models of planetay geas, Jounal of Theoetcal and Appled Mechancs, No., 00, 45-4. [5] H s u C.H., Gaph notaton fo the knamatc analyss of dffeental gea tans, Jounal of Fankln Insttute, Vol. 9, No. 5, 99, 859-867. [6] H s u C.H., L a m K.T., L n Y.L., Automatc synthess of dsplacement gaphs fo planetay gea tans, Math. Comput. Modellng, Vol. 9, No., 994, 67-8. [7] H u a n g P.Y., L u L.H., C h e n D.Z., Geang confguaton aangement fo multspeed epcyclc dve, Poceedngs of the th CSME Annual Confeence, Tape, 996, 68-7. [8] L X., S c h m d t L.C., H e W., L L., Q a n Y., Tansfomaton of an EGT gamma: new gamma, new desgns, ASME J. of Mechancal Desgn, Vol. 6, No. 4, 004, 75-756. [9] M a g h t u D.B., Knematc chans and machne components desgn, Academc Pess, London 005. [0] M ü l l e L., Pzekładne obegowe, PWN, Waszawa 98. [] S c h m d t L.C., C a g a n J., GGREADA: a gaph gamma-based machne desgn algothm, Reseach n Engneeng Desgn, Vol. 9, 997, 95-. [] T s a L.W., Enumeaton of knematc stuctues accodng to functon, CRC Pess, Boca Raton, FL 487, USA, 00. [] T s a L.W., M a g a b E.B., M o g a l a p a l l S.N., A CAD system fo optmsaton of gea atos fo automotve automatc tansmssons, Dept. of Mechancal Engneeng, Unv. of Mayland, College Pak, Mayland 074, 99. [4] U e m a t s u S., An applcaton of gaph theoy to the knematc analyss of planetay gea tans, Int. Jounal of the Japan Soc. fo Pecs. Eng., No.,997, 4-46. [5] W o j n a o w s k J., K o p eć J., Z a w ślak S., Geas and Gaphs, Jounal of Appled and Theoetcal Mechancs, Vol. 44, No., 006, 9-6. [6] Z a w ślak S., Gaph-based methodology as a suppot of conceptual desgn of planetay geas, Teoa Maszyn Mechanzmów, ed. J. Wojnaowsk, M. Galck, Ofcyna Wydawncza Unwesytetu Zelonogóskego, 006, 405-4. [7] Z a w ślak S., Gaph-based methodology as atfcal ntellgence tool fo mechancal engneeng desgn, ozpawa habltacyjna, ATH, Belsko-Bała 00.