EFEKTYWNE WYZNACZANIE NAPRĘŻEŃ ZA POMOCĄ METODY PURC Z WYKORZYSTANIEM UOGÓLNIONEJ STRATEGII APROKSYMACJI POCHODNYCH

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE n 47, ISSN X EFEKTYWNE WYZNACZANIE NAPRĘŻEŃ ZA POMOCĄ METODY PURC Z WYKORZYSTANIEM UOGÓLNIONEJ STRATEGII APROKSYMACJI POCHODNYCH Agneszka Bołtuć a, Eugenusz Zenuk b Wydzał Matematyk Infomatyk, Unwesytet w Bałymstoku a aboltuc@.uwb.edu.pl, b ezenuk@.uwb.edu.pl Steszczene W pacy dokonano uogólnena stateg apoksymac pochodnych ozwązań uzyskwanych za pomocą metody PURC. Opacowano pzebadano óżne waanty stateg w celu uzyskana algoytmu stablnego oaz pozwalaącego na efektywne wyznaczane napężeń. Jego waygodność dokładność została pzetestowana na pzykładze z ozwązanem analtycznym. Słowa kluczowe: PURC, napężena, apoksymaca, złe uwaunkowane THE EFFECTIVE DETERMINATION OF STRESSES BY PIES METHOD USING THE GENERALIZED APPROXIMATION STRATEGY FOR DERIVATIVES Summay The pape pesents the genealzaton of the appomaton stategy fo devatves of solutons obtaned by PIES. Authos have developed and tested vaous optons of the mentoned stategy to acheve a stable algothm whch allows fo an effcent detemnaton of stesses. Its elablty and accuacy has been tested on the eample wth the analytcal soluton. Keywods: PIES, stesses, appomaton, ll-condtonng. WSTĘP Paametyczny układ ównań całkowych PURC) [5] est metodą od lat ozwaną ako efektywna altenatywa dla klasycznych metod elementowych [2,4], służących do ozwązywana óżnoodnych zagadneń bzegowych. Wele e zalet w poównanu do MES MEB) zostało dotychczas potwedzonych na podstawe ozwązanych zagadneń bzegowych 2D 3D, modelowanych óżnym ównanam óżnczkowym [5,6,7]. Jednym z ostatno ozwązanych poblemów było opacowane stateg apoksymac pochodnych ozwązań uzyskwanych na baze PURC. Wspomnana statega została wstępne pzetestowana na zagadnenach z zakesu teo spężystośc zastosowana do oblczana napężeń na bzegu oaz w obszaze. Otzymane wynk chaakteyzowały sę dużą dokładnoścą w poównanu z ozwązanam analtycznym, a w zwązku z tym są badzo zachęcaące do ozszezena zastosowań stateg apoksymac na zagadnena badze zaawansowane np. nelnowe. Podczas testowana wstępne wes wspomnanego algoytmu okazało sę ednak, że ozmeszczene punktów ntepolacynych, w któych za pomocą PURC uzyskwane są ozwązana, ma stotny wpływ na dokładność pochodnych. Ponadto, w nektóych pzypadkach otzymywany układ ównań algebacznych, któego ozwązane est nezbędne w pocese apoksymac, est źle uwaunkowany. Poblem ten może stać sę szczególne nekozystny pzy ozwązywanu zagadneń nelnowych, gdze mamy do czynena z pocesem 4

2 EFEKTYWNE WYZNACZANIE NAPRĘŻEŃ ZA POMOCĄ METODY PURC teacynym welokotnym ozwązywanem układu ównań ze zmodyfkowanym wektoem wyazów wolnych. Wówczas złe uwaunkowane może powodować uzyskwane każdoazowo nnych ozwązań układu, co będze powadzło do baku zbeżnośc pocesu teacynego. Kolenym poblemem okazała sę newystaczaąca dokładność ozwązań uzyskwanych w punktach znaduących sę w blske odległośc od bzegu, któa to pzekłada sę na dokładność apoksymac. Celem pacy est opacowane efektywne stateg apoksymac pochodnych ozwązań otzymywanych za pomocą metody PURC. Wymaga to uogólnena zapoponowane w [3] koncepc popzez: ) zbadane óżnych waantów automatycznego ozmeszczena punktów ntepolacynych wycągnęca wnosków któe waanty maą wpływ na popawene ezultatów oaz uwaunkowana układu ównań algebacznych, 2) zastosowane nnych funkc bazowych w szeegach apoksymuących pochodne ozwązań. Ponadto ważnym etapem pacy est póba zastosowana poceduy maące na celu popawene dokładnośc ozwązań uzyskwanych w blske odległośc od bzegu. Ostateczne bane est także pod uwagę zastosowane nne stateg apoksymacyne, któa pozwol na całkowte wyelmnowane konecznośc ozwązywana układu ównań algebacznych. Waygodność algoytmu apoksymac pzetestowano na pzykładze, a wynk poównano z ozwązanam analtycznym. 2. UOGÓLNIENIE STRATEGII APROKSYMACJI Rozwązanem płaskego zagadnena bzegowego teo spężystośc est wekto pzemeszczena u u, u ]. [ y Badzo często ednak nezbędna est ówneż znaomość pochodnych ozwązań np. tensoa odkształcena czy napężena. W [3] zapezentowano stategę oblczana takch pochodnych z wykozystanem apoksymac bazuące na uzyskanu szeegów zależnych od dwóch zmennych. Szeeg tak, na pzykładze pzemeszczeń w keunku os u ), można pzedstawć w następuące postac uogólnone w stosunku do [3] o wpowadzene m n ) gdze n m l S, a T ) T, ) u m+ l m n est lczbą punktów ntepolacynych, T ), T to dowolne funkce bazowe, zaś a l m + l są newadomym współczynnkam szeegu. Współczynnk te otzymywane są na podstawe ozwązana układu ównań 2), któy powstae w wynku zapsana szeegu ) w odpowedno ozmeszczonych punktach obszau bzegu, y ),,..., m n ) l gdze [ ] a u to wekto watośc u w punktach, y ), a to wekto poszukwanych współczynnków szeegu ), zaś elementam macezy A są loczyny funkc bazowych T ) T z ). Jawną postać A l dla pzypadku m n można znaleźć w [3]. W sposób analogczny uzyskwany est szeeg dla u. Zastosowane y te technk est ównoważne z otzymanem wyażena matematycznego ntepoluącego ozwązana. W następnym etape zóżnczkowano e względem poszczególnych zmennych w celu otzymana wyażeń apoksymuących pochodne. Za pomocą tak uzyskanych szeegów można oblczyć pochodne ozwązań w sposób cągły w dowolnych punktach obszau bzegu [3]. W zwązku z poblemam wskazanym we wstępe pacy postanowono zbadać uwaunkowane macezy układu ównań 2). Dokonano tego na pzykładze kwadatowe ednostkowe taczy, któe lewy dolny naożnk leży w początku układu współzędnych. Waunk bzegowe zadano na podstawe ozwązań analtycznych dla pola pzemeszczeń u 6y 2y, u 6 y 2, 3) + y za pomocą któych wyznaczono ówneż pole napężeń 2 2 σ 24Gy, σ 24Gy, σ 2G y ). 4) y Zadane ozwązano w PSN boąc pod uwagę następuące watośc stałych mateałowych: E MPa oaz ν. 3. Uzyskane watośc wyznacznka macezy główne układu ównań 2) oaz wskaźnka uwaunkowana wyznaczono dla óżne lczby ównomene ozmeszczonych punktów ntepolacynych ównoważne z lczbą ozwązywanych ównań) zapezentowano w tabel. Tab.. Watośc wyznacznka wskaźnka uwaunkowana lczba punktów det cond D D D Jak wynka z tabel, watośc wskaźnka uwaunkowana śwadczą o złym uwaunkowanu macezy, co ne może zagwaantować stablnośc ozwązań. W zwązku z tym postanowono opacować óżne statege maące na celu popawene uwaunkowana macezy, a w ezultace dokładnośc ezultatów końcowych. y Aa u, 2) 42

3 Agneszka Bołtuć, Eugenusz Zenuk 2. WARIANTY ROZMIESZCZANIA PUNKTÓW INTERPOLACYJNYCH W dotychczasowych badanach ozważane pzete- punktów stowane były tzy waanty ozmeszczena ntepolacynych: a) ównomeny, w mescach odpowadaących pewastkom n-tego welomanu Czebyszewa I odzau, c) w mescach odpowadaących pewastkom n-tego welomanu Legende a. Dwa ostane waanty b c) chaakteyzuą sę zaobszau. Zbada- gęszczenem punktów pzy kawędzach no uwaunkowane macezy w odnesenu do tzech wymenonych waantów ozmeszczena punktów, a uzyskane wynk zameszczono w tabel 2. Tab. 2. Watośc wskaźnka uwaunkowana w zależnośc od waantów ozmeszczena punktów lczba punktów ównomene a) I odzau Legende a c) Analzuąc watośc zameszczone w tabel 2, należy podkeślć, że wskaźnk uwaunkowana dla waantów ozmeszczeń zagęszczonych b c) są mnesze od tych uzyskanych dla ozmeszczena ównomenego, ale mmo to są one nezadowalaąco wysoke. Ne zważaąc ednak na złe uwaunkowane macezy, w dalszym etape badań postanowono spawdzć, ak ozpatywane waanty ozmeszczena punktów ntepolacynych wpływaą na watośc napężeń. Kole- napężeń nym kokem było węc oblczene watośc nomalnych. Rozwązana uzyskano w dwudzestu punktach ponowego pzekou ozważane taczy pze- begaącego w badzo blske odległośc.) od bze- tożsamośc gu. Początkowo wyznaczono za pomocą całkowe dla napężeń w metodze PURC uzyskano śedn błąd względny ozwązań wynoszący około 537%. Wynka to z faktu, ż napężena uzyskwane były w punktach leżących w badzo blske odległośc od bzegu, co powodue duże błędy oblczenowe. Wyko- w pacy zystane do oblczana napężeń poponowane stateg apoksymac pochodnych ozwązań elmnue ednak wspomnany poblem oblczenowy. Na ys. zapezentowano watośc śednch błędów względnych dla boąc pod uwagę óżną lczbę punktów wykozy- stanych do ntepolac ozwązań oaz óżne waanty ch ozmeszczena. Rys.. Śedne błędy względne dla napężeń σ dla óżnych waantów ozmeszczena punktów ntepolacynych Jak wdać na ys., pzy zastosowanu ozmeszcze- zeowy bez względu na ównomenego błąd est nemal na lczbę wykozystanych punktów ntepolacynych. Dużo wyższe watośc błędów geneuą waanty oz c). Szczególne błędo- meszczena oznaczone ako genny est waant - pzy wększe lczbe punktów chaakteyzue sę błędem nawet 4%. Wynka to z umescowena skanych punktów takego ozodległośc od bzegu meszczena w badzo blske uzyskwana watośc funkc pzemeszczeń) w tych punktach obaczone błędem. Z tego powodu postanowono dodatkowo wpowadzć pzetestować eszcze nne waanty ozmeszczeń popodozdzału 2.. Pew- za tym podanym na początku szym była lokalzaca punktów w mescach odpowadawelomanu Czebyszewa ących pewastkom n-tego II odzau oznaczona ako waant d). Sposób ozmesz- dla 9 punktów czena na pzykładze ednowymaowym zapezentowano na ys. 2d. Jak wynka z ys.2d, punkty ozmeszczone zgodne z waantem d) są ówneż coaz gęśce upakowane na kańcach pzedzału, ale skane punkty są dale odsunęte od końców nż to ma mesce w pzypadku z ys. 2b. W celach badawczych wpowadzono ówneż nne ozmeszczene, oboczo nazwane dodatkowe oznaczone ako waant e), któe umescawało punkty pomędzy wynkaącym z ozmeszczeń bazuących na welomanach Czebyszewa I II odzau ys. 2e). d) e) Rys. 2. Waanty ozmeszczena punktów zgodne z: pewastkam welomanu Czebyszewa I odzau, d) Czebyszewa II odzau, e) dodatkowe oznaczena podpsów zgodne z oznaczenem ozmeszczeń wpowadzonym w podozdzale 2.) 43

4 EFEKTYWNE WYZNACZANIE NAPRĘŻEŃ ZA POMOCĄ METODY PURC Tab. 3. Watośc wskaźnka uwaunkowana w zależnośc od waantu ozmeszczena punktów ównomene a) I odzau Legende a c) II odzau d) dodatkowe e) punktów ntepolacynych), a ego watośc zawato w tabel 4. Spawdzono ówneż ak na dokładność wylczanych pochodnych ozwązań wpłynęła zmana funkc bazowych w szeegach ), co zapezentowano na ys. 4. Tab. 4. Watośc wskaźnka uwaunkowana w zależnośc od funkc bazowych I odzau II odzau ednomany Ponowne zbadano wskaźnk uwaunkowana mace- dla 49 punk- zy dla nowo wpowadzonych waantów tów ntepolacynych) zawato e w tabel 3. Wylczono także śedne błędy względne dla napężeń, któe zape- zentowano na ys. 3. Rys. 3. Śedne błędy względne dla napężeń dla óżnych waantów ozmeszczena punktów Podobne ak dla wcześne testowanych waantów ozmeszczena punktów ntepolacynych, tak dla nowo wpowadzonych tabela 3) wskaźnk uwaunkowana macezy est zbyt wysok, by gwaan- zaś wynk tować stablność ozwązań. Analzuąc zawate na ys. 3, wdać, że nadokładnesze ezultaty otzymano ponowne dla ozmeszczena ównomenego oaz boąc pod uwagę wesę, gdze punkty ntepola- d). Śedn cyne odpowadaą waantow ozmeszczena błąd względny w tym pzypadku ne pzekacza.5%, zaś pozostałe waanty ozmeszczena wygeneowały nedopuszczalne duże błędy. 2.2 FUNKCJE BAZOWE W SZEREGACH APROKSYMUJĄCYCH Dotychczas w szeegach ), ako funkce bazowe, stosowane były welomany Czebyszewa I odzau. Postanowono spawdzć, ak użyce nnych funkc wpłyne na uwaunkowane ozwązywanego układu ównań algebacznych oaz dokładność ezultatów. Zastosowano w tym celu: ) ednomany postac T ), T ), T ), 2) welomany Czebyszewa II odzau [] T ), T ) 2, T ) 2T ) T T ). 2 Zbadano uwaunkowane układu ównań popzez wyznaczene wskaźnka uwaunkowana macezy dla 25 Rys. 4. Śedne błędy względne dla napężeń funkc bazowych dla óżnych Jak wynka z tabel 4, watośc wskaźnków uwa- unkowana dla funkc bazowych nnych nż Czebyszewa I odzau zmneszyły sę, dale ednak ch watośc są zbyt duże. Analzuąc zaś wynk zwzualzowane w postac śednch błędów względnych, na ys. 4 wdać, że pozom dokładnośc ozwązań uzyskany dla tzech waantów funkc bazowych est ednakowy. Należy węc stwedzć, że dla badanego pzykładu odzau zagadnena zmana funkc bazowych w szeegach ne wpłynęła na ozwązana. 3. POPRAWA DOKŁADNOŚCI ROZWIĄZAŃ W PUNKTACH PRZY BRZEGU Rozwązana uzyskwane w punktach obszau leżących w poblżu bzegu w MEB [2], a tym samym w metodze PURC, są obaczone błędem. Błąd pze- ntepolacynych meszczeń uzyskanych w punktach pzekłada sę następne na błędy dalszych oblczeń, co est wyaźne wdoczne w pzypadku ozmeszczena tych punktów zgodne z waantem c). Podęto 44

5 Agneszka Bołtuć, Eugenusz Zenuk węc póbę popawena dokładnośc tych ozwązań popzez zastosowane poceduy opsane w [2]. Pocedua ta polega na zastąpenu tożsamośc cał- pze- kowe stosowane w PURC [7] do wyznaczana meszczeń w obszaze u ) n tożsamoścą zmodyfkowaną u ) u Q) n s s ˆ * ˆ * U, s) p s) P, s) u s ) J s) ds, 5) s ˆ * ˆ * U, s) p s) P, s)[ u s) u 6) Q)] J s) ds, s gdze Q est punktem bzegowym leżącym w poblżu punktu, w któym oblczamy ozwązane. Zmodyfkowana tożsamość całkowa 6) została na- pzemeszczeń stępne zastosowana do wyznaczanaa w punktach ntepolacynych, zaś pzemeszczena do apoksymac napężeń. Śedne błędy względne dla w ozpatywanym pzekou, w odnesenu do waantu ozmeszczeń oaz d) zapezentowanoo na ys. 5. błąd względny. Należy ednak tego ulepszena ezultaty dla podkeślć, że pommo waantu ozmeszcze- na są zbyt mało dokładne, stąd ekomendaca stoso- ntepolacynych wana pzy duże lczbe punktów waantu ozmeszczena d). 4. APROKSYMACJA POCHODNYCH WIELOMIANAMI INTERPOLACYJNYMI LAGRANGE A Wu, n m u Wskaźnk uwaunkowana we wszystkch badanych waantach ozmeszczena punktów ntepolacynych oaz ozpatywanych odzaach funkc bazowych w szeegach apoksymuących znaczne pzekoczyły dopuszczalne watośc. Poponowana w pacy statega apoksymac po- z myślą o zagad- chodnych ozwązań est zaś ozwana nenach badze złożonych np. nelnowych, ozwązy- tego typu naczęśce wanych teacyne. Zagadnenaa wymagaą welokotnego ozwązywana układu ównań, w któym to dokonywane są neznaczne modyfkace. Pzy złym uwaunkowanu macezy ne ma gwaanc uzyskana stablnych ozwązań, stąd numeyczne oz- nawet newel- wązywane a szczególne welokotne) kch układów ównań z taką macezą będze neway- W zwązku z tym postanowono pzepowadzć dal- godne obaczone dużym błędam. sze badana maące na celu wykozystane nne metody apoksymac, take któa ne wymaga ozwązywana układu ównań algebacznych. W tym celu zastosowano ntepolacę Lagange a, ako szczególny pzypadek apoksymac. Weloman ntepolacyny Lagange a dla poblemów 2D będący uogólnenem pzypadku D) można zapsać za pomocą, y ) L,, 7) gdze L, L ) L, n k L ), L k, k k k L y yk, y y m, k k d) Rys. 5. Śedne błędy względne dla ozmeszczena: Czebyszewa I odzau, d) Czebyszewa II odzau oznaczena podpsów zgodne z oznaczenem ozmeszczeń wpowadzonym w podozdzale 2.) Jak wynka z ys. 5, uzyskano znaczącą popawę do- w ska- kładnośc apoksymac pochodnych ozwązań, nym pzypadku był to nawet -kotne mneszy śedn zaś u, y ) to watośc pzemeszczeń w keunku os w zadanych m n punktach. Po uogólnenu welomanu ntepolacynego Lagancelu oblczena pochod- ge a na zagadnena 2D 7), w nych ntepolowanych funkc wystaczy go zóżnczkozmennych. W efekce wać względem poszczególnych otzymue sę welomany apoksymuące pochodne ozwązań, m.n.: n dw, u d m dl, u, y ), 8) d 45

6 EFEKTYWNE WYZNACZANIE NAPRĘŻEŃ ZA POMOCĄ METODY PURC dl, dl ) L, 9) d d dl ) d n l, l p. n p, p, p l l p Na ys. 6 zapezentowano śedne błędy względne dla tzech składowych tensoa napężeń uzyskanych za pomocą apoksymac pochodnych z szeegam apok- 2 pac symuącym opsane w ozdzale oaz welomanam ntepolacynym Lagange a. Rys. 6. Śedne błędy względne dla napężeń ) Jak wynka z ys.6, dokładność ozwązań uzyskwa- est ednako- nych za pomocą obu metod apoksymac wa. Pzy zastosowanu szeegów apoksymuących ), pommo złego uwaunkowana macezy układu ównań, otzymano pawdłowe ezultaty. Sytuaca ednak może znacząco sę pogoszyć w pzypadku zastosowana poponowane stateg do zagadneń, gdze ma mesce neznaczna modyfkaca takego układu ównań. Wystę- zagadneń pue to na pzykład pzy ozwązywanu nelnowych w pocese teacynym może powadzć do baku ego zbeżnośc. Stąd zachodzła koneczność zastosowana pzebadana metody elmnuące ozwąównań. Zastoso- zywane źle uwaunkowanego układu wane dwuwymaowych welomanów ntepolacynych Lagange a ozwązało wspomnany poblem, pzy ednoczesnym zachowanu tego samego pozomu dokładnośc pochodnych ozwązań. 5. WNIOSKI W pacy dokonano uogólnena stateg apoksyma- za pomocą c pochodnych ozwązań otzymywanych metody PURC. Realzaca pewszego etapu uogólnena punkt oaz 2 we wstępe pac pozwolła na sfomułowane wstępnych wnosków. Okazało sę, że wskaźnk uwaunkowana macezy układu ównań est zbyt wysok we wszystkch badanych waantach, stąd kometody apoksymac neczność zastosowana ne wymagaące ozwązywana układu ównań. W odnesenu do dokładnośc uzyskwanych ezultatów: nabadze dokładne wynk otzymano dla ozmeszcze- na lczbę punktów, na ównomenego, bez względu a także ozmeszczena w mescach pewastków welomanów Czebyszewa II odzau. Rozwązana uzyskane pzy zastosowanu óżnych funkc bazowych w szee- założeń pzyę- gach były ednakowe. Ostateczne, po ealzac wszystkch tych we wstępe pacy, otzymano efektywną uogólnoną stategę wyznaczana napężeń bazuącą na apoksyma- za pomocą meto- c pochodnych ozwązań uzyskanych dy PURC. Wyelmnowano wady koncepc pewotne: a) wpowadzono możlwość apoksymowana bez ozwązachowanu ednakowe zywana układu ównań pzy dokładnośc, co dae możlwość wykozystana stateg do ozwązywana zagadneń badze złożonych np. nelnowych, dokonano popawena dokładnośc w punktach obszau leżących blsko bzegu, ozwązań c) sfomułowano ekomendace dotyczące optymalnego ozmeszczena punktów ntepolacynych. Statega est możlwa do zastosowana w zagadne- wyznaczana nach badze złożonych do efektywnego napężeń, bądź nnych pochodnych ozwązań. Lteatua. Abamowtz M., Stegun I. A.: Handbook of mathematcal functons wth fomulas, gaphs, and mathematcal tables. New Yok: Dove, Ameen M.: Bounday element analyss: theoy and pogammng. Alpha Scence Intenatonal Ltd., Bołtuć A., Zenuk E.: Poównane metod apoksymac pochodnych ozwązań otzymywanych za pomocą metody PURC w zagadnenach bzegowych. Modelowane Inżyneske 22, t.3, n 44, s Klebe M. ed.): Komputeowe metody mechank cał stałych. Sea Mechanka Technczna, Waszawa: PWN, Zenuk E.: Potental poblems wth polygonal boundaes by a BEM wth paametc lnea functons. Engnee- ng Analyss wth Bounday Elements 2, 25, p

7 Agneszka Bołtuć, Eugenusz Zenuk 6. Zenuk E., Bołtuć A.: Béze cuves n the modelng of bounday geomety fo 2D bounday poblems defned by Helmholtz equaton. Jounal of Computatonal Acoustcs 26, 4/3, p Zenuk E., Bołtuć A.: Non-element method of solvng 2D bounday poblems defned on polygonal domans modeled by Nave equaton. Intenatonal. Jounal of Sold and Stuctues 26, 43, p