WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011
Wprowadzenie Gry hazardowe
Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Interpretacja częstościowa.
Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Interpretacja częstościowa. Aksjomatyka Kołmogorowa 1933.
Przestrzeń Stanów Zbiór na którym będzie określone prawdopodobieństwo nazywamy przestrzenia stanów Ω.
Przestrzeń Stanów Zbiór na którym będzie określone prawdopodobieństwo nazywamy przestrzenia stanów Ω. Przestrzeń stanów Ω może zależeć od eksperymentu który chcemy opisać np. Ω = {O, R} dla rzutu moneta.
Przestrzeń Stanów Zbiór na którym będzie określone prawdopodobieństwo nazywamy przestrzenia stanów Ω. Przestrzeń stanów Ω może zależeć od eksperymentu który chcemy opisać np. Ω = {O, R} dla rzutu moneta. W klasycznej definicji prawdopodobieństwa chcielibyśmy, żeby Ω składała się z równie prawdopodobnych elementów ω.
Przestrzeń Stanów Zbiór na którym będzie określone prawdopodobieństwo nazywamy przestrzenia stanów Ω. Przestrzeń stanów Ω może zależeć od eksperymentu który chcemy opisać np. Ω = {O, R} dla rzutu moneta. W klasycznej definicji prawdopodobieństwa chcielibyśmy, żeby Ω składała się z równie prawdopodobnych elementów ω. Problem pojawia się przy opisie zjawisk ciagłych np. opis kata jaki tworzy rzucona igła z krawędzia stołu wymaga Ω = [0, 2π).
Sigma ciała Aby zdefiniować prawdopodobieństwo należy określić jakie podzbiory A zbioru Ω można będzie zmierzyć.
Sigma ciała Aby zdefiniować prawdopodobieństwo należy określić jakie podzbiory A zbioru Ω można będzie zmierzyć. W przestrzeni dyskretnej zwykle przyjmuje się, że mierzalne sa wszystkie podzbiory zbioru Ω
Sigma ciała Aby zdefiniować prawdopodobieństwo należy określić jakie podzbiory A zbioru Ω można będzie zmierzyć. W przestrzeni dyskretnej zwykle przyjmuje się, że mierzalne sa wszystkie podzbiory zbioru Ω W klasycznej definicji prawdopodobieństwa mówimy, że ω A dla A Ω sprzyja zdarzeniu A.
Sigma ciała Aby zdefiniować prawdopodobieństwo należy określić jakie podzbiory A zbioru Ω można będzie zmierzyć. W przestrzeni dyskretnej zwykle przyjmuje się, że mierzalne sa wszystkie podzbiory zbioru Ω W klasycznej definicji prawdopodobieństwa mówimy, że ω A dla A Ω sprzyja zdarzeniu A. Ogólnie ż adamy aby kiedykolwiek zdarzenia A 1, A 2,... można zmierzyć również mierzalne były pewne zdarzenia powstałe w wyniku operacji teoriomnogościowych.
Aksjomaty dla σ-ciała Mówimy, że F- rodzina podzbiorów zbioru Ω jest σ-ciałem jeśli:
Aksjomaty dla σ-ciała Mówimy, że F- rodzina podzbiorów zbioru Ω jest σ-ciałem jeśli: (F1), Ω należa do F;
Aksjomaty dla σ-ciała Mówimy, że F- rodzina podzbiorów zbioru Ω jest σ-ciałem jeśli: (F1), Ω należa do F; (F2) kiedykolwiek A F wtedy A c = Ω\A należy do F;
Aksjomaty dla σ-ciała Mówimy, że F- rodzina podzbiorów zbioru Ω jest σ-ciałem jeśli: (F1), Ω należa do F; (F2) kiedykolwiek A F wtedy A c = Ω\A należy do F; (F3) jeśli A 1, A 2,... należa do F wtedy k=1 A k F.
Interpretacje prawdopodobieństwa Klasyczna definicja: przyjmujemy, że poszczególne ω Ω sa równo prawdopodobne. Prawdopodobieństwo zbioru A jest równe A / Ω.
Interpretacje prawdopodobieństwa Klasyczna definicja: przyjmujemy, że poszczególne ω Ω sa równo prawdopodobne. Prawdopodobieństwo zbioru A jest równe A / Ω. Interpretacja częstościowa: powtarzamy ten sam eksperyment n razy w sposób niezależny, niech n(a) oznacza liczbę wystapień zdarzenia A. Jako p-stwo zdarzenia A przyjmujemy lim n n(a)/n.
Interpretacje prawdopodobieństwa Klasyczna definicja: przyjmujemy, że poszczególne ω Ω sa równo prawdopodobne. Prawdopodobieństwo zbioru A jest równe A / Ω. Interpretacja częstościowa: powtarzamy ten sam eksperyment n razy w sposób niezależny, niech n(a) oznacza liczbę wystapień zdarzenia A. Jako p-stwo zdarzenia A przyjmujemy lim n n(a)/n. Interpretacja częstościowa ma częściowe potwierdzenie w postaci MPWL, wymaga jednak wprowadzenia modelu probabilistycznego.
Funkcja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwem P nazywamy funkcję określon a na przestrzeni F o wartościach w odcinku [0, 1].
Funkcja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwem P nazywamy funkcję określona na przestrzeni F o wartościach w odcinku [0, 1]. W wypadku definicji klasycznej przyjmujemy, że Ω < oraz F = 2 Ω oraz P(ω) = 1/ Ω. Stad P(A) = A / Ω.
Funkcja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwem P nazywamy funkcję określona na przestrzeni F o wartościach w odcinku [0, 1]. W wypadku definicji klasycznej przyjmujemy, że Ω < oraz F = 2 Ω oraz P(ω) = 1/ Ω. Stad P(A) = A / Ω. Ogólnie potrzeba aby funkcja prawdopodobieństwa była miara.
Aksjomaty dla funkcji prawdopodobieństwa Mówimy, że P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem (miara probabilistyczna), jeśli:
Aksjomaty dla funkcji prawdopodobieństwa Mówimy, że P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem (miara probabilistyczna), jeśli: (P1) 0 P(A) 1 dla każdego A F;
Aksjomaty dla funkcji prawdopodobieństwa Mówimy, że P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem (miara probabilistyczna), jeśli: (P1) 0 P(A) 1 dla każdego A F; (P2) P(Ω) = 1;
Aksjomaty dla funkcji prawdopodobieństwa Mówimy, że P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem (miara probabilistyczna), jeśli: (P1) 0 P(A) 1 dla każdego A F; (P2) P(Ω) = 1; (P3) A 1, A 2,... F oraz A i A j = dla i j, to P( k=1 A k) = k=1 P(A k).
Aksjomatyka Kołmogorowa Przestrzenia probabilistyczna nazywamy trójkę: (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem, F - σ-ciałem, a P funkcja prawdopodobieństwa.
Aksjomatyka Kołmogorowa Przestrzenia probabilistyczna nazywamy trójkę: (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem, F - σ-ciałem, a P funkcja prawdopodobieństwa. Dowolny podzbiór A F nazywamy zdarzeniem mierzalnym, a P(A) prawdopodobieństwem tego zdarzenia.
Aksjomatyka Kołmogorowa Przestrzenia probabilistyczna nazywamy trójkę: (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem, F - σ-ciałem, a P funkcja prawdopodobieństwa. Dowolny podzbiór A F nazywamy zdarzeniem mierzalnym, a P(A) prawdopodobieństwem tego zdarzenia. W przypadku Ω < zwykle F = 2 Ω, natomiast P jest całkowicie wyznaczona przez podanie wartości P(ω) dla wszystkich ω Ω.
Przykłady Prawdopodobieństwo na zbiorze przeliczalnym. Niech Ω = ω 1, ω 2... będzie zbiorem przeliczalnym, F = 2 Ω, definiujemy P(ω k ) = p k, k = 1, 2,...
Przykłady Prawdopodobieństwo na zbiorze przeliczalnym. Niech Ω = ω 1, ω 2... będzie zbiorem przeliczalnym, F = 2 Ω, definiujemy P(ω k ) = p k, k = 1, 2,... Prawdopodobieństwo geometryczne. Niech A oznacza miara zbioru A będacego podzbiorem zbioru Ω. Definiujemy F = B(Ω) oraz P(A) = A / Ω.
Własności funkcji prawdopodobieństwa P( ) = 0;
Własności funkcji prawdopodobieństwa P( ) = 0; A 1, A 2,..., A n parami rozłaczne, to P( n k=1 A k) = n k=1 P(A k);
Własności funkcji prawdopodobieństwa P( ) = 0; A 1, A 2,..., A n parami rozłaczne, to P( n k=1 A k) = n k=1 P(A k); A B to P(A) P(B) oraz P(B\A) = P(B) P(A);
Własności funkcji prawdopodobieństwa P( ) = 0; A 1, A 2,..., A n parami rozłaczne, to P( n k=1 A k) = n k=1 P(A k); A B to P(A) P(B) oraz P(B\A) = P(B) P(A); P(A B) = P(A) + P(B) P(A B);
Własności funkcji prawdopodobieństwa P( ) = 0; A 1, A 2,..., A n parami rozłaczne, to P( n k=1 A k) = n k=1 P(A k); A B to P(A) P(B) oraz P(B\A) = P(B) P(A); P(A B) = P(A) + P(B) P(A B); P( k=1 A k) k=1 P(A k).
Wzór właczeń i wyłaczeń Niech A 1, A 2,..., A n będa zdarzeniami losowymi.
Wzór właczeń i wyłaczeń Niech A 1, A 2,..., A n będa zdarzeniami losowymi. Zachodzi wzór n P(A 1 A 2... A n ) = P(A i ) i=1 i<j + ( 1) n+1 P(A 1 A 2... A n ). P(A i A j ) +...+
Reguła ciagłości Ciag A 1 A 2 A 3... nazywamy wstępujacym.
Reguła ciagłości Ci ag A 1 A 2 A 3... nazywamy wstępujacym. Wtedy lim n P(A n ) = P( k=1 A k).
Reguła ciagłości Ciag A 1 A 2 A 3... nazywamy wstępujacym. Wtedy lim n P(A n ) = P( k=1 A k). Ciag A 1 A 2 A 3... nazywamy zstępujacym.
Reguła ciagłości Ciag A 1 A 2 A 3... nazywamy wstępujacym. Wtedy lim n P(A n ) = P( k=1 A k). Ciag A 1 A 2 A 3... nazywamy zstępujacym. Wtedy lim n P(A n ) = P( k=1 A k)
Kombinatoryka Wariacje z powtórzeniami: liczba k-elementowych ci agów o wyrazach w zbiorze n-elementowym wynosi n k.
Kombinatoryka Wariacje z powtórzeniami: liczba k-elementowych ciagów o wyrazach w zbiorze n-elementowym wynosi n k. Wariacje bez powtórzeń: liczba różnowartościowych ciagów k-elementowych o wyrazach w zbiorze n-elementowym wynosi n!/(n k)! jeśli n k i 0 wpp.
Kombinatoryka Wariacje z powtórzeniami: liczba k-elementowych ciagów o wyrazach w zbiorze n-elementowym wynosi n k. Wariacje bez powtórzeń: liczba różnowartościowych ciagów k-elementowych o wyrazach w zbiorze n-elementowym wynosi n!/(n k)! jeśli n k i 0 wpp. Permutacje: liczba różnowartościowych ci agów n-elementowych w zbiorze n-elementowym wynosi n!.
Kombinatoryka Wariacje z powtórzeniami: liczba k-elementowych ciagów o wyrazach w zbiorze n-elementowym wynosi n k. Wariacje bez powtórzeń: liczba różnowartościowych ciagów k-elementowych o wyrazach w zbiorze n-elementowym wynosi n!/(n k)! jeśli n k i 0 wpp. Permutacje: liczba różnowartościowych ciagów n-elementowych w zbiorze n-elementowym wynosi n!. Kombinacje: liczba podzbiorów k-elementowych w zbiorze n-elementowym (k-elementowych ciagów rosnacych) wynosi ( ) n k = n!, n k i 0 wpp. k!(n k)!