Badaa Operacye (dualośc w programowau lowym) Zadae programowaa lowego (PL) w postac stadardowe a maksmum () c x = max, podczas gdy spełoe są erówośc () ax = b ( m ), x 0 ( ) Zadae programowaa lowego (PL) w postac stadardowe a mmum () c x = m, podczas gdy spełoe są erówośc (4) ax = b ( m ), x 0 ( ) Zmeym decyzyym są tu zmeex 0 ( ), zaś pozostałe lczby traktuemy ako parametry modelu, czyl zmee egzogecze W przypadku zadaa PL a maksmum ()-() adamy m teraz astępuące ekoomcze terpretace: c = cea edostk produktu falego; x = lośc sztuk wyprodukowaych sprzedaych produktów falych; a = lośc edostek czyka produkc potrzebych do wyprodukowaa edostk produktu falego Wyaśmy że czykam produkc mogą byc p roboczogodzy, elaa, weła, materał a podszewkę (w zakładach kraweckch szyących gartury) tp A zatem () podae wzór a przychód ze sprzedaży wszystkch produktów falych (garturów, suk, płaszczy, tp) O czym w takm raze mówą erówośc występuące w ()? Weźmy pod uwagę perwszą z tych erówośc: a x + a x + a x + + a x = lośc czyka produkc (p roboczogodz) potrzebych do uszyca x garturów, x suk, x płaszczy, tp Łącze ta lośc
składka : (roboczogodz) mus być ż dostępa w te frme lośc roboczogo- dz, czyl b gdyż b = zapasy w magazye -go czyka produkc (roboczogodz) Aalogcze, b = zapasy w magazye -go czyka produkc (elay); b = zapasy w magazye -go czyka produkc (weły); b = zapasy w magazye 4-go czyka produkc (materał a podszewkę); td 4 Łatwo teraz wdac że druge rówae w (), czyl a x + ax + ax + + a x ozacza lość czyka produkc (elay) potrzebego do uszyca x garturów, x suk, x płaszczy, tp Łącze ta lość składka (elay) mus być ż dostępa w te frme lość elay, czyl b Aalogcza uwaga odos sę do -go 4-go czyka produkc, tz weły oraz materału a podszewkę Wosek Zadae PL a maxmum ozacza maksymalzacę przychodów ze sprzedaży przy produkc którą frma est w stae wykoac przy wykorzystau edye dostępych w e magazyach zapasów wszystkch czyków produkc Przykład Rozważmy y przykład zagadea PL a maxmum odoszący sę do pewe frmy ABC: (5a) (5b) x + 4x max gdy x 0, x 0 oraz x 4x x + x + 9x + 5x 44 54 Jak wdac, cea sprzedaży produktu falego wyos zł, zaś produktu falego rówa est 4zł Do ch produkc potrzebe są czyk produkc: I, II, III Zapasy czyka produkc I wyoszą 44 edostek, zapasy czyka II 54 edostek, zaś zapasy czyka III edostek Do wytworzea edostk produktu falego
potrzeba edostk czyka produkc I, zaś do wytworzea edostk produktu falego potrzeba edostek czyka produkc I Zatem dla wytworzea całe produkc ( x sztuk produktu falego oraz x produktu falego ) potrzeba x + x edostek czyka produkc I przy czym lczba ta me może przekroczyc zapasu tego czyka w magazye W aalogczy sposób terpretuemy -ą -ą erówośc w (5b) Zalezee optymalych wartośc dla zmeych decyzyych x oraz x to zadae dla zarządu frmy ABC Powstae aturale pytae: Jake zadae PL powa rozwązać frma DEF, będąca kokuretem frmy ABC, która chce kupc/przeąc ABC? Badaa Operacye, ako dyscypla wedzy, udzelaa astepuące odpowedz a to pytae Frma DEF powa zaoferowac take cey y, y, y za edostkę czyka produkc I, II, III tak aby z ede stroy mmalzować oferowaą ceę za wszystke czyk produkc (włączaąc roboczogodzy), czyl (6) 44y + 54y + y m, y 0, y 0, y 0 oraz aby z druge stroy zachęcac właśccel ABC do sprzedaży ch frmy W ak sposób może to zrobc? Wystarczy że DEF pokaże że płac wystarczaąco dużo, a węc p tyle że oferowaa przez ą cea za wszystke czyk produkc borące udzał w wytworzeu dowolego produktu falego (łącze z roboczogodzam) est wększa bądź rówa cee aka uzyskue ABC za te produkt Matematycze to umuąc, ozacza to że spełoe są poższe erówośc (7) y y + 4y + 9y + y + 5y 4 Rzeczywśce, zgode z (5), aby wytworzyc produkt faly, którego cea sprzedaży wyos zł, potrzeba wystarcza użyc edostk -go czyka produkc, 4 edostk -go czyka produkc oraz -a edostkę -go czyka produkc Speł-, ee erówośc (7) ozacza że frma DEF oferue take peądze za czyk
4 produkc które pokrywaą całkowte koszty wytworzea każdego z dwóch (w tym przypadku) produktów falych W te sposób, eako mmochodem, sformułowalśmy zadae duale (6)-(7), oza- czae dale przez (ZD), do zadaa perwotego (5a)-(5b), ozaczaego w dalsze częśc przez (ZP) Czym sę róż (ZD) od (ZP)?, albo w czym te zadaa są do sebe podobe? Otóż, (ZP) które rozważalśmy moża zapsac bardzo krótko w postac macerzowowektorowe (8) a, x max gdy Ax b, 44 x gdze a = (,4); x = ; A = x 4 9 ; b = 54, 5 zaś (ZD) zdefowae wzoram (6)-(7) zapsuemy rówe prosto: (9) b, y m gdy A T y a, gdze b = (44,54,); y T 4 y = y ; A = ; a = y 9 5 4 Teraz podamy trochę teor Nech dae będze zadae programowaa lowego ZP: c, x max gdy Ax b Twerdzee Jeżel x est rozwązaem dopuszczalym dla ZP to zaczy Ax b, zaś yest rozwązaem dopuszczalym dla ZD, to zaczy A T y c, to c, x b, y, to zaczy oferowaa cea zakupu frmy ABC (wszystkch e czyków produkc) rówa est bądź wększa od przychodu ze sprzedaży frmy ABC, czyl od c, x
5 Twerdzee Jeśl steą rozwązaa dopuszczale x = ( x, x,, x ) dla ZP oraz y = ( y, y, y ) dla ZD, take że c, x = b, y, to x oraz y są opty- male m Wosek Załóżmy że cała produkca est sprzedawaa, zatem produkcyość możemy merzyć welkoścą sprzedaży W take sytuac krańcowa produkcyość edostk -ego środka (czyka) produkc rówa est y, gdze m Ozacza to że eśl zarząd frmy ABC chce zać krańcową produkcyość we włase frme, powe postawć sę w położee zarządu frmy DEF rozwązać ZD które a perwszy rzut oka ma ewele lub c wspólego z frmą ABC! Dowód Wemy ż c, x = b, y, tz (0) c, x = m cx = c x + cx + cx = by + by + bmy m = by = b, y = = Aby oblczyć krańcową produkcyość edostk -ego czyka produkc, zwęk- szmy lość zasobów -ego czyka produkc z b do b + Wówczas wartość prawe stroy rówośc (0) zwększy sę o y gdyż ( b + ) y by = y, zaś lewa stroa merząca optymalą welkość sprzedaży mus a mocy twerdzea zwekszyć sę o tyle samo! Ozacza to że krańcowa sprzedawalość, a węc krańcowa produkcyość (z uwag a to że cała produkca est sprzedawaa) rówa est zmae po prawe stroe rówośc (0), czyl ak pokazalśmy lczbe y Wosek Jeśl krańcowa produkcyość -ego środka produkc est wększa ż > p ego cea zakupu ( y = cea zakupu -ego czyka produkc), to opłaca sę zwększyć zasoby tego czyka o tyle aż astap zrówae krańcowe produkcyośc z ceą zakupu Wosek dotyczy mędzy ym roboczogodz, a węc lośc robotków w zakładze produkcyym Scśle mówąc, eśl robotk wytwarza węce sprzedae
6 produkc (w cągu p da ż wyos ego dówka), to frma powa zatrudć węce robotków gdyz a każde take dówce frma zaraba ekstra peądze O przecwe sytuac gdy krańcowa produkcyość est mesza ż cea zakupu środka produkc mów koley wosek Wosek 4 Jeśl krańcowa produkcyość -ego środka produkc est mesza ż < p ego cea zakupu ( y = cea zakupu -ego czyka produkc), to frme opłaca sę sprzedać pewą lość -ego środka produkc aż astap zrówae krańcowe produkcyośc z ceą zakupu Gdy czykem produkc są roboczogodzy, warto w take sytuac zwolć część pracowków Przykład (rozwązae zadue sę w dołączoym plku Excelowskm) (ZP) x + x + 6x max gdy 5 x 6x + x + 8x + 7x + x 4 (ZD) x 0 ; x 0 ; x 0 y + 4y+ m gdy y y 7y + 6y + 8y + y + 5 6 y 0 ; y 0 Koleym tematem do omówea a wykładze z Badań Operacyych będze Zasada Programowaa Dyamczego Bellmaa
7