Iterowane układy funkcyjne Fraktale i chaos K. Leśniak X przestrzeń metryczna (w szczególności X R lub X C R 2 ). Rodzinę odwzorowań {f i : X X} k i= nazywamy iterowanym układem funkcyjnym (ang. IFS iterated function system). Domknięty zbiór = A X nazywamy globalnym atraktorem układu {f i } k i=, gdy przyciąga wszystkie trajektorie x 0 f i fi (x 0 ) = x f i2 fi2 (x ) = x 2... (At) x n = f in (f in (... (f i2 (f i (x 0 )))...)) n A, i, i 2,... {,..., k}, i A jest minimalny ze względu na własność (At) tzn. każdy zbiór domknięty = A # X przyciągający trajektorie x n n A #, zawiera w sobie A.
2 Fraktale i chaos K. Leśniak Przykład. f : X X układ dynamiczny, P orbita okresowa przyciągająca wszystkie trajektorie P atraktor globalny IFS-u {f : X X}. Poniżej X = [0, ], {f, f 2 : X X}. Przykład. f (x) = 3 x, f 2(x) = 4 x. Ponieważ f i (x) 2 x, więc x n = f in (f in (... (f i2 (f i (x 0 )))...)) 2 f i n (f in 2 (... (f i2 (f i (x 0 )))...)) 2 czyli A = {0}. 2 f in 2 (... (f i2 (f i (x 0 )))...) 2 n x 0 n 0, Znacznie wygodniej jest śledzić nie ewolucję punktów (pojedyncze trajektorie), lecz ewolucję zbiorów ( globalny obraz wszystkich trajektorii ). Tak też czynimy w dalszych przykładach. Od strony formalnej podejście to wymaga jednak bardziej szczegółowych wyjaśnień, gdyż dla dowolnych (niezwartych) układów prowadzi do tzw. globalnego atraktora maksymalnego, a nie minimalnego.
Fraktale i chaos K. Leśniak 3 Przykład. f (x) = 3 x, f 2(x) = 2 3 x + 3. Mamy f ([0, ]) = [ 0, 3], f 2 ([0, ]) = [ 0, 2 3 ] + 3 = [ 3, ] f ([0, ]) f 2 ([0, ]) = 0, 3 A = [0, ]. 3, = [0, ] 0 f f 2 0 3 Wniosek: Atraktor nie musi być ani punktem stałym ani orbitą okresową. Ogólnie atraktor może być dziwnym zbiorem np. ekstremalnie niespójnym zwartym zbiorem mocy continuum albo stanowić krzywą nieskończonej długości leżącą w ograniczonym obszarze.
4 Fraktale i chaos K. Leśniak Przykład (pył Cantora). f (x) = 3 x, f 2(x) = 3 x+ 2 3. f ([0, ]) = [ 0, 3 ], f2 ([0, ]) = [ 0, 3 [0, ] f [ ] [ f 2 0, 2 3, f f 2 ] 3 ] + 2 3 = [ 2 3, ], [ [ f f 2 0, 9] 2 9, [ 3] 2 3, 7 ] [ 9 8 9,.... ] 0 f f 2 0 3 0 9 2 9 3 2 3 2 3 f f 2 f f 2 7 9 8 9 stan po iteracji stan po 2 iteracjach W konsekwencji [!!] A = d i 3 i : d i {0, 2} i= zbiór trójkowy Cantora. Ćwiczenie: Zbadać układ {f i : [0, ] [0, ]} 2 i=, f (x) = 3 x, f 2(x) = 3 x.
Fraktale i chaos K. Leśniak 5 Przykład (dywan Sierpińskiego). X = [0, ] 2, f ij : X X, f ij (x, y) = (i, j) {0,, 2} 2 \ {(, )}. 3 x + i 3, 3 y + j 3, 02 2 22 f ij 0 2 00 0 20 Po trzykrotnym zadziałaniu IFS-u na punkty kwadratu:
6 Fraktale i chaos K. Leśniak Twierdzenie (kontraktywny IFS) X metryczna zupełna, f i kontrakcje (i =,..., k), L< x,y X f i (x) f i (y) L x y, oznacza odległość w X. Wówczas IFS {f i : X X} k i= posiada globalny atraktor. Dowód. (Szkic, gdy X jest zwarta.) Φ : 2 X 2 X tzw. operator Hutchinsona-Barnsleya, Kładziemy Mamy A X Φ(A) = k i= f i (A). A 0 = X, A = Φ(A 0 ) = Φ(X), A 2 = Φ(A ) = Φ 2 (X),......................... A n = Φ(A n ) = Φ n (X). A 0 = X Φ(X) = A, A n A n A n+ = Φ(A n ) [!] Φ(A n ) = A n. [!] f i (A n ) f i (A n ). Dzięki zwartości X: A = n=0 A n jest niepusty, zwarty oraz stanowi globalny atraktor IFS-u {f,..., f k }.
Fraktale i chaos K. Leśniak 7 Zwartość powoduje, że choć trajektorie nie są zbieżne, to ich podciągi są zbieżne, a trajektorie łącznie są przyciągane. Nieco trudniej przekonać się, że zbiór A jest istotnie najmniejszym zbiorem przyciągającym wszystkie trajektorie (minimalność). Uwaga:. W szczególności powyższe twierdzenie dotyczy zwartego odcinka [0, ] i kwadratu [0, ] 2. 2. Wszystkie dotychczas rozważone IFS-y miały stałą kontrakcji co najwyżej L = 2 3. 3. IFS jako jednorodny schemat generowania wielu fraktali (np. śnieżynki Kocha) został zaproponowany przez Hutchinsona w 98. W dowodzie twierdzenia o istnieniu atraktora Hutchinson zastosował metodę wzorowaną na dynamice symbolicznej. Jako niezależną ciekawostkę podał też dowód oparty na twierdzeniu Banacha o punkcie stałym. 4. Różne warianty powyższego twierdzenia z różnymi dowodami były odkrywane od dawna choć formułowano je przy użyciu odmiennej terminologii: np. Strother w 953, Ponomariew w 963, Williams ok.970 (wszyscy przed słynną książką Mandelbrota!).
8 Fraktale i chaos K. Leśniak 5. Przedstawiona metoda dowodu nawiązuje do twierdzenia Knastera-Tarskiego o punkcie stałym. Twierdzenie tego typu (twierdzenie Tarskiego-Kantorowicza) zostało użyte do IFS-ów po raz pierwszy najprawdopodobniej dopiero w 985 przez S.Hayashiego, choć w 984 ukazała się praca z informatyki teoretycznej autorstwa Soto-Andrade i Varela na temat obiektów końcowych rekursji. Ok.928 Knaster zreferował swój wynik dotyczący przekrojów rodzin zbiorów. Miał to być sposób na szybki dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina o porównywaniu liczb kardynalnych. Twierdzenie Knastera powstałe z myślą o dowodzie twierdzenia Cantora na temat liczb kardynalnych pozwala udowodnić istnienie w IFS-ach takich atraktorów jak pył Cantora. Historia zatacza koło???
Fraktale i chaos K. Leśniak 9 Przykład (uciekające trajektorie). X = [0, ), f (x) = 2x, f 2 (x) = 3x. f (0) = 0 = f 2 (0) f in (f in (... (f i2 (f i (0)))...)) = 0 n 0. x 0 > 0, i, i 2,..., i n {, 2} f in (f in (... (f i2 (f i (x 0 )))...)) 2 n x 0 n dowolny zbiór {0} [a, ), a > 0, przyciąga wszystkie trajektorie. Ale {0} = a>0 {0} [a, ) nie przyciąga wszystkich trajektorii. Brak minimalnego zbioru przyciągającego (=globalnego atraktora).
0 Fraktale i chaos K. Leśniak Baseny Newtona g : C C, f(z) = z g(z) g (z). Zespolony schemat Newtona-Raphsona: (NR) z n+ = z n g(z n) g (z n ) = f(z n) = f n (z 0 ). Przykład ( 3 ). g(z) = z 3 g (z) = 3z 2, f(z) = 2z3 + 3z 2. Miejsca zerowe: g (0) = {ε k, k = 0,, 2} = {, ε, ε}, gdzie ε = cos π 3 + i sin π 3. Przypomnijmy: Bas f (u) = {z C : z n = f n (z) n u}. Bas f (), Bas f (ε), Bas f ( ε) baseny Newtona. Ciągi (NR) startujące z basenu Bas f (ε k ) są przyciągane przez pierwiastek z jedynki ε k. J(f) = C \ 2 k=0 Bas f (ε k ) zbiór Julii odwzorowania f, oddziela baseny.
Fraktale i chaos K. Leśniak Baseny Newtona 3 zobrazowane programem Fractint. Zoom na węzeł. Zoom na ramię. Zagadka: które ramię zostało powiększone?
2 Fraktale i chaos K. Leśniak Odpowiedź (lokalizacja na lewym obrazku): lewe górne ramię (górny warkocz w warkoczu ). Choć sądząc po rozkładzie basenów równie dobrze mogło to być górne lub dolne ramię (po obrocie obrazu).
Funkcja logistyczna Model Malthusa Fraktale i chaos K. Leśniak 3 x n+ = r x n x n = r n x 0, r przyrost naturalny, x n liczebność lub gęstość populacji. r > x n n (eksplozja demograficzna).
4 Fraktale i chaos K. Leśniak Model Verhulsta (logistyczny) x n+ = r x n ( x n ), (0, 4] r przyrost naturalny, [0, ] x n gęstość populacji. f : [0, ] [0, ], f(x) = r x ( x) f (x) = r ( 2x), Fix(f) = { 0, r } [0, ].
Fraktale i chaos K. Leśniak 5 Punkty stałe r (0, ) obserwacje f(x) r x x r, f n (x) r n n 0 stabilność punktów stałych {0} atraktor, przyciąga wszystkie trajektorie f(x) = x ( x) x, {0} atraktor, przyciąga (f n (x)) n=0 malejący i ograniczony wszystkie trajektorie (, 3) 3 (3, 4] f (0) = r >, f ( ) r = 2 r < x > r x < r f(x) < x, f(x) > x, (f n (x)) n=0 monotoniczny f ( r ) = 2 r > {0} repeler, { } r atraktor {0} repeler, { } r atraktor {0} repeler, { } r repeler Przy r = 3 oba punkty stałe przestają być stabilne pojawia się przyciągająca orbita 2-okresowa. W r = 3 mamy do czynienia z bifurkacją podwojenia okresu.
6 Fraktale i chaos K. Leśniak Bifurkacja zmiana jakościowa w zachowaniu układu dynamicznego przy zmianie któregoś z parametrów tego układu. W teorii układów dynamicznych (w szczególności równań różniczkowych) wyróżnia się kilka odmian bifurkacji. W naszej sytuacji wraz ze zmianą parametru r pojawiają się orbity okresowe...
Punkty dwuokresowe Fraktale i chaos K. Leśniak 7 Fix(f 2 ) \ Fix(f) = {p, p 2 }, p,2 = r + r 2 2 r 3 2r. r obserwacje stabilność punktów stałych (3, + 6) f (p ) f (p 2 ) = r 2 2 r 4 < {p, p 2 } atraktor + 6 dist(f(x), P ) < dist(x, P ) x P P = {p, p 2 } atraktor ( + 6, 4] f (p ) f (p 2 ) > {p, p 2 } repeler
8 Fraktale i chaos K. Leśniak Pojawiają się dalsze podwojenia okresu. + 6 = r < r 2 <... < r n <... < lim n r n = r < 4. r (r n, r n ) r = r n r (r n, r n+ ) niestabilne orbity 2 k -okresowe, k = 0,,..., (n 2), stabilne orbity 2 n -okresowe, brak orbit 2 n -okresowych i wyższych punkt podwojenia okresu niestabilne orbity 2 k -okresowe, k = 0,,..., (n ), stabilne orbity 2 n -okresowe, brak orbit 2 n+ -okresowych i wyższych Obserwujemy bifurkację podwojenia okresu (ang. period doubling bifurcation). Odstępy r n+ r n pomiędzy kolejnymi bifurkacjami spełniają: lim n r n r n r n+ r n = δ 4, 6992 (tzw. stała Feigenbauma).
Fraktale i chaos K. Leśniak 9 Ze wzrostem r kolejne orbity tracą stabilność i pojawiają się nowe orbity stabilne. Ilustruje to drzewo figowe. 0.8 0.6 0.4 0.2 0 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 Diagram Feigenbauma. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 3.5 3.52 3.54 3.56 3.58 3.6 3.62 3.64 Zoom na gałęzie drzewa. Wreszcie dla pewnego r < 4 pojawiają się orbity 3-okresowe.
20 Fraktale i chaos K. Leśniak Twierdzenie 2 (Szarkowskiego) Uporządkujmy liczby naturalne następująco: 2 2 2 2 3... 2 m...... 2 k (2n )... 2 3...... (2n )...... 5 3. R J przedział domknięty, f : J J ciągłe. f posiada punkt okresowy o okresie minimalnym τ, τ 2 τ f posiada punkt okresowy o okresie minimalnym τ 2. Zatem dla r bliskich 4 odwzorowanie logistyczne posiada punkty okresowe o wszystkich możliwych okresach. Ale to jeszcze nie chaos.
Fraktale i chaos K. Leśniak 2 Dopiero f(x) = 4 x ( x)(przekształcenie Ulama) zachowuje się naprawdę chaotycznie. Ale co to znaczy chaos? Definicja (Devaney). f : J J chaotyczne, gdy posiada gęstą trajektorię: x 0 J ε > 0 y J n x n = f n (x 0 ) [y ε, y + ε], ma gęsty zbiór punktów okresowych: ε > 0 y J x [y ε, y + ε] τ f τ (x) = x. Innymi słowy pewna trajektoria nawiedza wszystkie otoczenia, choć trajektorie okresowe są powszechne.
22 Fraktale i chaos K. Leśniak Odwzorowania chaotyczne są czułe na zmianę warunków początkowych: trajektorie startujące blisko siebie po kilku iteracjach przestają być skorelowane. Poniżej przedstawiamy efekt motylich skrzydeł dla f(x) = 4 x ( x), x n+ = f(x n ). n x n x n x n x n x n 0.09.095..0.0.3276.3439.36.3632.3635 2.88.9025.926.925.9255 3.490.359.2890.2770.2758 4.9738.922.829.80.7990 5.022.3202.5854.6373.6424 6.3670.8708.9708.9246.989 7.9292.4502.33.2788.2980 8.2630.990.4020.8042.8368 9.7753.0393.966.6298.5463
Zastosowania chaosu Fraktale i chaos K. Leśniak 23 Przykład (generator losowy Ulama) x 0 ziarno (ang. seed), f : [0, ] [0, ] przekształcenie chaotyczne, x n+ = f(x n ), (x n ) N n=0 ciąg liczb pseudolosowych. 50 liczb {0,..., 9} wylosowanych przez: standardowy generator Maple a: 0, 9, 4, 5, 3, 9,,, 5, 9, 6, 3, 0, 3, 6, 7, 3, 3, 6, 8, 8, 8, 6,, 4, 3, 2, 2, 7, 5, 0, 6, 3, 7,, 8,, 9, 9, 3, 5, 2, 0, 9, 7, 8, 4, 8, 2, 6. pierwsze cyfry po przecinku punktów trajektorii f(x) = 4 x ( x) startującej z x 0 = 0.095: 0, 3, 9, 3, 9, 3, 8, 4, 9, 0,, 5, 9, 0, 0, 0,, 5, 9, 0, 2, 8, 5, 9,, 5, 9, 0, 0, 0, 3, 8, 4, 9, 0, 0, 2, 8, 6, 9,, 6, 9, 2, 6, 8, 3, 9, 2, 7.
24 Fraktale i chaos K. Leśniak Problem: Rozkład częstości wpadania trajektorii do poszczególnych przedziałów jest nierównomierny powyżej otrzymaliśmy dużo liczb 0 i 9. Rozw.: Znana jest gęstość rozkładu ϱ(x) = /π x x 2. Generator można ujednostajnić, albo użyć odwzorowania namiotowego, które ma jednostajny rozkład i jest sprzężone z logistycznym: 2x, x [ 0, 2], T : [0, ] [0, ], T (x) = 2 ( x), x [ 2,, ] Sprzężenie oznacza w szczególności, że oba odwzorowania mają jednakowo złożoną strukturę trajektorii. Problem: Znamy jawny wzór na trajektorie x n = cos(2n arc cos( 2 x 0 )). 2 Rozw.: Formuła ta nie jest zbyt użyteczna i wcale nie umożłiwia oczywistej predykcji dalszych wartości liczb losowych: czułość na zmiany warunków początkowych nie zezwala na jakiekolwiek przybliżenia wartości funkcji trygonometrycnych.
Fraktale i chaos K. Leśniak 25 Kryptografia chaotyczna (Crandall) f(x) = 4 x ( x), (0, ) x 0 utajniona wiadomość, f(x) = y równanie kwadratowe, więc dla y istnieją dwa rozwiązania x; x = f (x 0 ) wybieramy Lewe/Prawe rozw. x,... x n = f (x n ) wybieramy Lewe/Prawe rozw. x n odczytujemy wiadomość x n ; ciąg S S 2... S n, S i {L, P } stanowi klucz długości n bitów. Problem (degeneracja chaosu): Każde odwzorowanie nawet chaotyczne po obcięciu do zbioru skończonego jest okresowe (przynajmniej od pewnego miejsca). Do jakiego stopnia zdyskretyzowany chaos zachowuje złożoność dynamiki? Odp.:??? (brak wiarygodnej i użytecznej definicji chaosu na przestrzeni dyskretnej).
26 Fraktale i chaos K. Leśniak Problem: Jeżeli komputer dokonuje zaokrągleń (np. w trakcie obliczeń pierwiastków), to jaką mamy gwarancję wiarygodności uzyskanych wyników? Czy obliczenia numeryczne mają sens? Odpowiedź: własność cieniowania ( shadowing ). Problem: Komputer może reprezentować zbiory skończone. Czy chaos można potwierdzić komputerowo? Być może nie mamy w konkretnym wypadku do czynienia z trajektorią chaotyczną, ale z orbitą o bardzo długim okresie! Odpowiedź: Arytmetyka przedziałowa.