Teoria Chaosu. Proste modele ze złożonym zachowaniem: o teorii chaosu w ekologii.

Transkrypt

1 Teoria Chaosu Proste modele ze złożonym zachowaniem: o teorii chaosu w ekologii.

2 Zanim zaczniemy... Komputer - symulacja wizualizacja w fizyce.

3 Zanim zaczniemy Prowadzimy pilotażowe warsztaty w szkołach, chętnych prosimy o kontakt.

4 Robert May, Oxford 1976 W latach siedemdziesiątych XX wieku, na Uniwersytecie w Oxford, australijski uczony Robert May zajmował się teoretycznymi aspektami ekologii.

5 Robert May, Oxford 1976 Ekologia Teoretyczna dyscyplina naukowa poświęcona badaniu układów ekologicznych z wykorzystaniem metod teoretycznych, takich jak: modeli matematycznych symulacji komputerowych zaawansowanej analizy danych.

6 Co badał Robert May w 1976? Rozważmy populację owadów. Niech Ni oznacza liczebność w i-tym roku. Równanie ewolucji może wyglądać tak:

7 Co badał Robert May w 1976? a = 0.5 x = 142 for i in range(10): x = a*x print x link

8 Co badał Robert May w 1976? a = 1.5 x = 142 for i in range(10): x = a*x print x link

9 Co badał Robert May w 1976? Niech pożywienie będzie ograniczone: mało osobników - rozmnażają się bez ograniczenia dużo osobników - brakuje pożywienia i rozmnażają się wolniej za dużo osobników, wszystkie giną z głodu!

10 Mapa logistyczna

11 Własności mapy logistycznej a = 0.5 x = 0.45 for i in range(10): x = a*x*(1-x) print x Permalink

12 Punkt stacjonarny f(x)=x a = 2.0 x = 0.1 for i in range(10): x = a*x*(1-x) print x

13 Punkt stacjonarny o okresie 2 a = 3.2 x = 0.45 for i in range(10): x = a*x*(1-x) print x

14 Bifurkacje

15 Pajęczyna w służbie matematyka f(x1) f(x2) f(x0) x0 x1 x2

16 Wykres pajęczynowy

17 Wykres pajęczynowy

18 Wykres pajęczynowy

19 Wykres pajęczynowy

20 Wykres pajęczynowy

21 Wykres pajęczynowy

22 Wykres pajęczynowy Jednocześnie symulowaliśmy dwie trajektorie Punkt startowe różną sie o

23 Wykres pajęczynowy Jednocześnie symulowaliśmy dwie trajektorie Punkt startowe różną sie o

24 Samodzielna zabawa w Sage def cobweb(r=slider(0,4.001,0.001,default=2),x0=slider(0,1,0.1,default=0.4)): f(x)=r*x*(1-x) p = plot(f(x)==0,(x,0,1),ymin=-0.1,ymax=1.5,xmin=0,xmax=1.5,color='black') p += plot(x,(x,0,1),color='green',figsize=7) for n in range(50): th = 1 if n>45: th = 1.5 color='red' elif n < 5: color='blue' th=1.5 else: color='grey' th =0.5 l1 = line([(x0,x0),(x0,f(x0))],color=color,thickness=th) l2 = line([(x0,f(x0)),(f(x0),f(x0))],\ color=color,thickness=th,xmin=0,xmax=1,ymin=0,ymax=1) p = p+l1+l2 x0 = f(x0) p.axes_labels(["$x_n$","$x_{n+1}$"]) p.show(aspect_ratio=1) Permalink

25 Punkty stałe mapy logistycznej Mapa ma punkt stały jeżeli odwzorowanie f go nie zmienia:

26 Diagram bifurkacyjny

27 Punkty stałe mapy logistycznej Punkt o okresie 2 var('a x') f(x) = a*x*(1-x) show( expand( f(f(x))==x) ) s = solve(f(f(x))==x,x) show(s) Permalink

28 Diagram bifurkacyjny

29 Diagram bifurkacyjny

30 a= Diagram bifurkacyjny

31 Diagram bifurkacyjny

32 Diagram bifurkacyjny

33 Diagram bifurkacyjny

34 Diagram bifurkacyjny

35 Generacja diagramu bifurkacyjnego Permalink import numpy as np Nx = 100 Na = 400 x = np.linspace(0,1,nx) x = x + np.zeros((na,nx)) x = np.transpose(x) a=np.linspace(1,4,na) a=a+np.zeros((nx,na)) for i in range(1000): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] for a_,x_ in zip(a.flatten(),x.flatten())] point(pt,size=1,figsize=(7,5))

36 Benoît Mandelbrot, 1967 Pytanie: Jaka jest długość linii brzegowej Anglii? przyczyniło się do odkrycia Fraktali: obiekty o ułamkowym wymiarze i własnościa samopodobieństwa.

37 Jaka jest długość linii brzegowej Anglii? jednostka: 200km, wynik: 2400km jednostka: 50km, wynik: 3400km

38 Jaka jest długość linii brzegowej Anglii? Źle postawione zagadnienie: długość brzegu zdaje się rosnąć do nieskończoności!!! Okazuje się, że brzeg Anglii ma wymiar ok 1.25!

39 Co to jest wymiar? punkt, d=0 odcinek, d=1 koło, d=2 cylinder, d=3

40 Co to jest wymiar? Wymiar korelacyjny: Z jaką potęgą rośnie liczba punktów w otoczeniu punktu ze zbioru?

41 Fraktal: objekt z ułamkowym wymiarem Zbiór Cantora, wymiar:

42 Fraktal: objekt z ułamkowym wymiarem Krzywa Kocha, wymiar d=

43 Diagram bifurkacyjny a = 3.

44 Chaos deterministyczny w a=4

45 Nasi i nienasi Pionierzy Chaotyczni Andrzej Lasota James Alan Yorke

46 Układ chaotyczny Posiada czułość na warunki startowe. Nieregularność rozwiązań. Niezwykle często występuje w fizyce. Proste układy posiadają niezwykle skomplikowane zachowanie. Majac deterministycze reguły, praktycznie nie znamy przyszłości.

47 dziekuję za uwagę!