Makroekonomia: Opymalna poliyka pieni eżna Krzyszof Makarski Opymalna poliyka pieni eżna. Ws ep Wprowadzenie Modelowanie opymalnej poliyki. Zaczniemy od prosego przyk ladu ilusrujacego problem opymalnej poliyki. Opymalna poliyka w modelu nowo Keynesowskim. Wyprowadzenie przybliżenia drugiego rz edu funkcji dobrobyu spo lecznego w modelu nowo Keynesowskim.. Równowaga prywana Model Rozważmy prosy sayczny model. Problem reprezenaywnego konsumena ma posać: max log c c,l l 4. p.w. c τwl + Π gdzie p laca w, zyski Π oraz podaki τ konsumen rakuje jako dane. Problem reprezenaywnej firmy ma posać Π max y wl 4. c,k p.w. y zl Rzad nak lada podaki na prace aby sfinansować egzogenicznie dane wydaki rzadowe g τwl 4.3 Warunek na oczyszczanie si e rynków c + g y 4.4 Definicja prywanej równowagi doskonale konkurencyjnej Definicja.. Równowaga doskonale konkurencyjna sk lada sie z alokacji c, l, y oraz cen w spe lniaj acych: c, l rozwiazuje problem reprezenaywnego konsumena 4. przy danych cenach. y, l rozwiazuje problem reprezenaywnej firmy 4. przy danych cenach. ograniczenie rzadu jes spe lnione. Rynki sie oczyszczaja równanie 4.4 jes spe lnione.
W lasności prywanej równowagi. Rozwiazuj ac problem reprezenaywnej firmy Rozwiazuj ac problem konsumena orzymujemy Warunki pierwszego rz edu w z 4.5 L c l λc τwl + Π c : λ l :l λ τw Eliminujac λy podsawiajac pod w z 4.5 l τw 4.6 l τz 4.7 Podsawiajac do ograniczenia budżeowego c τwl + Π podsawiajac pod c z 4., pod w z 4.5 oraz Π orzymujemy Nasepnie podsawiajac pod l z 4.7.3 Problem Ramsey a Problem Ramsey a c τzl c τzl τ z 4.8 Teraz możemy zapisać problem rzadu, kóry wybiera podaki ak aby zopymalizować użyeczność reprezenaywnego agena. Problem Ramsay a polega na wyliczeniu opymalnej poliyki uwzgledniaj ac fak, że agenci w reakcji na poliyke podejmuja decyzje opymalnie. Rzad jes ograniczony ym że musi zebrać wysarczajaco dużo przychodów z podaków aby sfinansować wydaki rzadowe. Problem rzadu przybiera posać max ucτ, lτ τ p.w. cτ + g zlτ Podsawiajac pod c oraz l z 4.8 oraz 4.7 orzymujemy max τ z τz τ p.w. τ z + g z τz upraszczajac max τ τ z p.w. g ττz
Zauważ, że ponieważ o jes naprawde prosy model ograniczenie musi zachodzić z równościa i jes spe lnione ylko przez dwie warości τ τ g 4 z τ g + 4 z Ponieważ funkcja celu jes malejaca w τ rozwiazaniem jes τ co daje Teraz możemy lawo policzyć c oraz l Inne podejście τ Z regu ly nie jes możliwe rozwiazanie analiyczne. g 4 z c τ z + g 4 z z l τz + g 4 z z Wówczas wciaż możemy próbować modelować alokacje w ramach opymalnej poliyki. Jeżeli zapiszemy problem w posaci ogólnej korzysajac z równoważności pomiedzy gospodarka zdecenralizowana a problemem poniżej - pokaż o max uc, l c,l p.w. c + g τzl Orzymujemy Jeżeli pomnożymy obie srony przez l orzymamy Ponieważ c τzl max u τzl g, l l u c τz + u l u c τzl + u l l u c c + u l l warunek en nazywamy warunkiem zgodności moywacji z ang. incenive compaibiliy consrain, IC Powyższe równanie w pe lni charakeryzuje alokacje doskonale konkurencyjna. Zaem problem Ramsey a możemy zapisać jako maksymalizacje funkcji użyeczności pod warunkiem zgodności moywacji max uc, l c,l p.w. u c c + u l l c + g zl Sprawdź, że obydwa sposoby daja o samo rozwiazanie. 3
Opymalna poliyka pieni eżna Wprowadzenie Zasanowimy sie jak powinna wygladać opymalna poliyka pienieżna w modelu ze szywnościami nominalnymi. Zaczniemy od opymalnej poliyki przy danej funkcji sray banku cenralnego. W dalszej kolejności wyprowadzimy funkcj e sray w modelu ze szywnymi cenami a nas epnie w modelu ze szywnymi p lacami. Prosy model nowo Keynesowski Jak pokazaliśmy w poprzednim maeriale zachowanie gospodarki w równowadze opisane jes za pomoca nasepuj acych krzywych: Dynamiczna krzywa AS α + γ + σ α θˆπ βθe ˆπ + + βθ θ ŷ α βθ θ + γ αẑ W przypadku braku szywności θ równanie przyjmuje posać: ŷ n + γ α + γ + σ αẑ 4. gdzie y n oznacza hipoeyczny produk w przypadku braku szywności nominalnych. Nasepnie przeksza lćmy dynamiczna krzywa AS α + γ + σ α θˆπ βθe ˆπ + + βθ θ ŷ ŷ n + ŷ n α βθ θ + γ αẑ Definiujac ˆỹ ŷ ŷ n oraz podsawiajac pod ŷ n z 4. α + γ + σ α θˆπ βθe ˆπ + + βθ θ ˆỹ α + βθ θ + γ βθ θ + γ αẑ αẑ θˆπ βθe ˆπ + + βθ θ Upraszczajac noacje i dodajac szok marży gdzie κ βθ θ α+γ+σ α θ α. Dynamiczna krzywa IS σ E ŷ + ŷ+ n + ŷ+ n ˆπ βe ˆπ + + κˆỹ + û α + γ + σ α ˆỹ α σ E ŷ + ŷ + ρ c ˆψ ˆR E ˆπ + ŷ ŷ n + ŷ n + ρ c ˆψ ˆR E ˆπ + 4
Podsawiaja ˆỹ ŷ ŷ n oraz pod ŷ n z 4. + γ + γ σ E ˆỹ + + ˆỹ + α + γ + σ αẑ+ α + γ + σ αẑ σe ˆỹ + ˆỹ Upraszczajac noacje przedefiniowujac szoki gdzie ξ /σ. + ρ c ˆψ ˆR E ˆπ + σ + γ ρ α + γ + σ αẑ + ρ c ˆψ ˆR E ˆπ + ˆỹ E ˆỹ + ξ ˆR E ˆπ + ẑ + ˆψ Podsumowujac mamy gospodarke opisana nasepuj acymi równaniami IS : ˆỹ E ˆỹ + ξ ˆR E ˆπ + ẑ + ˆψ 4. AS : ˆπ βe ˆπ + + κˆỹ + û 4.3 Ierujac krzywe IS i AS w przód orzymujemy korzysamy z prawa ierowanych oczekiwań E E +τ π ++τ E π ++τ ˆỹ E ξ ˆR +τ ˆπ ++τ ẑ +τ + ˆψ +τ 4.4 τ ˆπ E β τ κˆỹ +τ + û +τ 4.5 τ Opymalna poliyka pieni eżna bez samoograniczeń Problem banku cenralnego możemy rozwiazać w dwóch krokach: Krok : bank cenralny wybiera opymalna inflacje ˆπ oraz luke popyowa ŷ maksymalizujac funkcje celu przy ograniczeniu w posaci dynamicznej krzywej AS. Krok : korzysajac Za lożymy, że bank cenralny bezpośrednio konroluje inflacje wówczas znika krzywa IS Krok : Z uwag na o, że bank cenralny nie może sie samoograniczyć z ang. commi wiec w okresie bierze przysz l a poliyke jako dana wiec wybiera ylko inflacje i luke popyowa w okresie. Celem poliyki pienieżnej jes maksymalizacja funkcji celu max ˆπ,ˆỹ ˆπ + ωˆỹ E τ pod warunkiem w posaci dynamicznej krzywej AS 4.5 Lagranżjan β τ ˆπ +τ + ωˆỹ +τ ˆπ κˆỹ + û + E β τ κˆỹ +τ + û +τ τ L ˆπ + ωˆỹ +τ E τ β τ ˆπ +τ + ωˆỹ +τ... λˆπ κˆỹ û E β τ κˆỹ +τ + û +τ τ 5
warunki pierwszego rz edu pochodne ze wzgl edu na ˆπ oraz ˆỹ ˆπ : ˆπ λ ˆỹ : ωˆỹ + λκ Eliminujac λ ωˆỹ ˆπ κ ˆỹ κ ω ˆπ 4.6 Oznacza o, że jeżeli inflacja jes powyżej celu inflacyjnego bank cenralny redukuje luke popyowa, naomias jeżeli inflacja jes poniżej celu inflacyjnego bank cenralny zwieksza luke popyowa. Podsawiajac do krzywej AS 4.3 orzymujemy Ierujac ˆπ ˆπ βe ˆπ + + κˆỹ + û ˆπ βe ˆπ + κ ω ˆπ + û ω + κ ˆπ ω βe ˆπ + + û ˆπ βω ω + κ E ˆπ + + ω ω + κ û βω βω ω + κ E ω + κ ˆπ + + ˆπ ω ω + κ E τ ω ω + κ û+ βω τ û+τ ω + κ + ω ω + κ û Ponieważ û podaża procesem AR o E u +τ ρ τ u, gdzie ρ < podsawiajac Ponieważ βρω/ω + κ < ˆπ ˆπ ω ω + κ ω βω τ ρ τ ω + κ ω + κ u τ βρω ω+κ u ω κ + ω βρ u 4.7 Podsawiajac do 4.8 ˆỹ κ ω ˆπ κ κ + ω βρ u 4.8 Krok : Wyliczenie sopy procenowej. Korzysajac z 4.8 ω E ˆπ + E κ + ω βρ u ωρ + κ + ω βρ u ρˆπ 4.9 co daje Nasepnie podsawiajac do krzywej IS 4. ˆπ ρ E ˆπ + ˆỹ E ˆỹ + ξ ˆR E ˆπ + ẑ + ˆψ κ ω ˆπ κ ω E ˆπ + ξ ˆR E ˆπ + ẑ + ˆψ κ ρω E ˆπ + κ ω E ˆπ + ξ ˆR E ˆπ + ẑ + ˆψ 6
gdzie γ π ξ κ ρω κ κ ρ ω + ξ + ξρω >. ξ ˆR κ ρω κ ω + ξe ˆπ + ẑ + ˆψ ˆR γ π E ˆπ + ξ ẑ + ξ ˆψ Wniosek. Opymalna poliyka pienieżna powinna w odpowiedzi na wzros oczekiwań inflacyjnych w aki sposób aby realne sopy procenowe wzros ly. Zaem nominalna sopa procenowa powinna wzrosnać wiecej niż oczekiwania inflacyjne. Ponado opymalna poliyka pienieżna nie reaguje na szoki podnoszace koszy û. Nas epnie z 4.7 i 4.8 policzymy odchylenie sandardowe inflacji ˆπ oraz luki popyowej ˆỹ σ π ω κ + ω βρ σ u 4. Podsawiajac do 4. σỹ κ κ + ω βρ σ u 4. Wniosek: Isnienie szoków podnoszacych koszy z ang. cos push shocks powoduje, że bank cenralny musi wybrać czy ograniczy wariancje inflacji czy luki popyowej. Jeżeli ω wówczas σ π ale σỹ σ u /κ. Naomias jeżeli ω o σ π σ u i σỹ σ u / βρ. Obserwacja: szywne p lace maja podobny efek. Wniosek: Jeżeli nie isnieja szoki podnoszace koszy wówczas mamy do czynienia z boskim zbiegiem okoliczności serujac sopa procenowa ak aby σ π jednocześnie uzyskuje σỹ. Wniosek: Opymalna poliyka pienieżna oznacza elasyczna poliyke bezpośredniego celu inflacyjnego. Poliyka aka jes rozumiana jako celujaca w powró inflacji do celu w nieskończoności. Z 4.7 orzymujemy lim E ωρ τ π +τ lim τ τ κ + ω βρ u Opymalna poliyka pieni eżna z samoograniczeniem Za lożymy, że bank cenralny bezpośrednio konroluje inflacj e wówczas znika krzywa IS Przypuśćmy, że celem poliyki jes minimalizacja funkcji celu E τ β τ ˆπ +τ + ωˆỹ +τ warunkiem ograniczajacym jes dynamiczna krzywa AS Lagranżjan ˆπ +τ βe +τ ˆπ +τ+ + κˆỹ +τ + û +τ L E ˆπ + ωˆỹ + βˆπ + + ωˆỹ + +... + β τ ˆπ +τ + ωˆỹ +τ +... λ ˆπ βˆπ + κˆỹ û βλ + ˆπ + βˆπ + κˆỹ + û +... β τ λ +τ ˆπ +τ βˆπ +τ κˆỹ +τ û +τ β τ λ +τ ˆπ +τ βˆπ +τ+ κˆỹ +τ û +τ... 7
warunki pierwszego rz edu pochodne ze wzgl edu na ˆπ oraz ˆỹ ˆπ :ˆπ λ ˆπ + :βˆπ + + λ β βλ +.. ˆπ +τ :β τ ˆπ +τ + β τ λ +τ β τ λ +τ. ˆỹ :ωˆỹ + λ κ ˆỹ + :ωβˆỹ + + βλ + κ. ˆỹ +τ :ωˆỹ +τ + λ +τ κ. Zauważmy, że warunek dla okresu gdy oczekiwania sa już usalone jes inny niż dla okresów pozosa lych, + τ. Powoduje o powsanie problemu niespójności czasowej poliyki. Inflacja na okres + usalona w okresie bedzie inna, niż inflacja, kóra bank cenralny bedzie chcia l wybrać w okresie + dla okresu +. Eliminujac λy korzysajac z równania drugiego λ ω ˆỹ κ co daje ˆπ ω κ ˆỹ ˆπ + ω κ ˆỹ ω κ ˆỹ +. ˆπ +τ ω κ ˆỹ +τ ω κ ˆỹ +τ ˆπ ω κ ˆỹ. ˆπ +τ ω κ ˆỹ +τ ˆỹ +τ, dla τ Bank cenralny wybiera luke popyowa zgodnie z nasepuj ac a regu l a ˆỹ κ ω ˆπ ˆỹ +τ κ ω ˆπ +τ + ˆỹ +τ, dla τ Ponieważ regu la w okresie jes inna niż w nas epnych okresach jes o źród lem niespójności czasowej poliyki. Przeksza lcaj ac ˆπ + ω κ ˆỹ ω κ ˆỹ + ˆπ + + ˆπ ω κ ˆỹ + ˆP + ˆP + ˆP ˆP ω κ ˆỹ + ˆP + ˆP ω κ ˆỹ + 8
gdzie ˆπ ˆP ˆP oraz ˆP log P. Nas epnie ˆπ + ω κ ˆỹ + ˆỹ + ˆP + ˆP + ω κ ˆỹ + ω κ ˆỹ + ˆP + ˆP + + ˆP + ˆP ω κ ˆỹ + ˆP + ˆP ω κ ˆỹ + Uogólniajac ˆỹ +τ κ ω ˆP +τ ˆP Wniosek. Orzymujemy jako opymalna sraegie nakierowana na urzymanie poziomu cen z ang. price-level argeing. Opymalna poliyka pieni eżna z pozaczasowej perspekywy Za lożymy, że bank cenralny bezpośrednio konroluje inflacj e wówczas znika krzywa IS Przypuśćmy, że celem poliyki jes minimalizacja funkcji celu E τ β τ ˆπ +τ + ωˆỹ +τ warunkiem ograniczajacym jes dynamiczna krzywa AS Rozwiazuj ac orzymujemy ˆπ +τ βe +τ ˆπ +τ+ + κˆỹ +τ + û +τ ˆπ ω κ ˆỹ ˆπ + ω κ ˆỹ ω κ ˆỹ + 4.. ˆπ +τ ω κ ˆỹ +τ ω κ ˆỹ +τ. Zauważmy, że warunek dla okresu gdy oczekiwania sa już usalone jes inny niż dla okresów pozosa lych, + τ. Powoduje o powsanie problemu niespójności czasowej poliyki. Inflacja na okres + usalona w okresie bedzie inna, niż inflacja, kóra bank cenralny bedzie chcia l wybrać w okresie + dla okresu +. Żeby rozwiazać a sprzeczność zasapimy warunek pierwszego rzedu dla okresu warunkiem pierwszego rzedu dla okresu + τ, τ. Oznacza o, że rozwiazujemy problem ak aby zminimalizować wp lyw warunków poczakowych. Wówczas warunki 4. przyjmuja posać: ˆπ ω κ ˆỹ ω κ ˆỹ ˆπ + ω κ ˆỹ ω κ ˆỹ + 4.3. ˆπ +τ ω κ ˆỹ +τ ω κ ˆỹ +τ. 9
Co daje ˆπ ω κ ˆỹ ˆỹ ˆỹ κ ω ˆπ + ˆỹ Wówczas regu la jes aka sama dla każdego okresu. W lieraurze cz eso wykorzysuje si e poliyk e z pozaczasowej perspekywy. Uwaga: czasami może si e okazać, że poliyka z pozaczasowej perspekywy jes gorsza niż a niespójna czasowo. Bibliografia Clarida, Richard, Jordi Galí, i Mark Gerler 999 The Science of Moneary Policy: A New Keynesian Perspecive, Journal of Economic Lieraure 37, 66 77. Erceg, C., D. Henderson i A. Levin 999 Opimal Moneary Policy wih Saggered Wage and Price Conracs, Journal of Moneary Economics 46, 8-33. Kydland, Finn E. i Edward C. Presco 977 Rules Raher Than Discreion: The Inconsisency of Opimal Plans, Journal of Poliical Economy 853, 473-9. Jensen, C., i B. McCallum The Non-Opimaliy of Proposed Moneary Policy Rules Under Timeless Perspecive Commimen. Economics Leers 77, 63-68. Woodford, Michael 999. Commenary : how should moneary policy be conduced in an era of price sabiliy?, Proceedings, Federal Reserve Bank of Kansas Ciy, 77-36. Giannoni, M., i M. Woodford a Opimal Ineres-Rae Rules: I. General Theory, NBER Working Paper #949. Giannoni, M., i M. Woodford b Opimal Ineres-Rae Rules: II. Applicaions. NBER Working Paper #94. 3 Aproksymacja użyeczności przy lepkich cenach Krok : Funkcja użyeczności Noacja c c hdh oraz l l hdh. Wiemy eż, że dla każdego h w równowadze c c h oraz l l h. Bedziemy korzysali z nasepuj acej w lasności Rozważmy nasepuj ace równanie V AR i ˆx i x ˆx i di ˆx idi 4. x i di wyliczajac przybliżenie drugiego rzedu oraz wykorzysujac x xi x + ˆx + ˆx xi + ˆx i + ˆx idi ˆx + ˆx ˆx idi + ˆx idi
Ponieważ ˆx jes wyrażeniem drugiego rzedu ˆx ˆx idi co po podsawieniu powyżej daje ˆx + ˆx idi ˆx idi + ˆx idi Korzysajac z 4. ˆx ˆx idi + ˆx idi ˆx idi ˆx ˆx idi + V AR iˆx i 4. Ca lkujac funkcje użyeczności agena h uc h, l h c h σ σ ψζ l h +γ + γ orzymujemy korzysajac z ego że miara agenów wynosi użyeczność reprezenaywnego agena U uc h, l hdh c σ l+γ ψ σ + γ gdzie c c h oraz l l h h. Naomias użyeczność w cyklu życia W E β U U c σ W sanie usalonym użyeczność reprezenaywnego konsumena c σ U σ ψ l+γ + γ oraz Ponieważ w sanie usalonym Podsawiajac pod y z Oznaczmy ϱ α c y k l α wówczas αy l W U β β U k α u l αz w l u c αy l αc c y l w u l u c ϱ. c l u l u c α c. c y l u l u c Ponieważ U c σ σ ψ l+γ +γ W u c c W c σ β ϱu c c + u l l ϱc σ ψl +γ U c σ β σ ϱ + γ
Przybliżajac funkcje użyeczności wyrażeniem drugiego rzedu co daje gdzie nas epnie co daje c σ σ l +γ + γ c σ σ + c σ c c + σc σ c c c σ σ + c c c σ c + c σc σ c c c c ĉ + ĉ + σc σ ĉ c σ σ + c σ c σ σ + c σ c σ σ + c σ c σ σ ĉ + ĉ σĉ ĉ + σĉ + σĉ + σ ĉ c σ σ c σ σ c σ ĉ + σĉ c c ĉ + ĉ c c c ĉ + ĉ ĉ + ĉ 3 + 4ĉ4 ĉ c l+γ + γ + lγ l l + γlγ l l l+γ + γ + l lγ+ l + l γlγ l l l l l+γ + γ + + γl l + l γ + γl l l l+γ + γ + + γˆl + ˆl + γ + γˆl l+γ + γ + + γˆl + + γ ˆl + γ + γˆl l+γ + γ + + γˆl + + γˆl ψ l +γ +γ l+γ +γ c σ ψ l+γ c σ ˆl + + γˆl Podsawiajac z ϱc σ ψl +γ gdzie ϱ α c α zauważ c y y wykorzysujac ψ l +γ +γ l+γ +γ c σ αˆl + + γˆl l l l ˆl + ˆl l l ˆl + ˆl ˆl + ˆl 3 + 4ˆl 4 ˆl l
Krok : Zamiana ˆl and V AR i p i. Relacja pomi edzy c oraz y. Z równania na oczyszczanie rynków c y orzymujemy oraz gdzie Pi P ĉ ŷ y z k α l α y z l α y z l α + di, co daje w sanie usalonym log + ŷ ẑ + αˆl Wykorzysujac definicje P P P i di dzielac obie srony przez P oraz definiujac p i P i/p p i di Korzysajac z przybliżenia drugiego rzedu pi ˆp i + ˆp i di Ponieważ pi Korzysajac z 4. zauważ, że V AR i ˆp i ˆp idi + ˆp idi ˆp i di ˆp i di ˆp i di jes wyższego niż drugi rz edu ˆp i di ˆp i di 4.3 ˆp idi ˆp i di V AR i ˆp i ˆp i di 4.4 Nas epnie wyliczymy przybliżenie drugiego rz edu dla równania gdzie p i P i/p. Przybliżenie drugiego rz edu pi + p i + di + ˆp i + 3 + ˆp i di
podsawiajac pi Podsawiajac z 4.3 Podsawiajac do Podsawiajac z 4.4 + + + + + + ˆp i + + + ˆp i + + + + + ˆp idi ˆp idi + + ˆp idi + ˆp i di ˆp idi + + ˆp i di ˆp i di ˆp i di ˆp i di + + V AR iˆp i ˆp i d ˆp i di ˆp i di ˆp i di Teraz log log log + + Podsawiajac pod log + + V AR + iˆp i + V AR iˆp i + V AR + iˆp i V AR i ˆp i ponieważ drugie wyrażenie jes wyższego niż dwa rz edu log + V AR iˆp i 4.5 Teraz podsawimy do funkcji użyeczności wykorzysujac ˆl α log + ŷ ẑ oraz 4.5 ψ l +γ +γ l+γ +γ c σ αˆl + + γˆl l +γ +γ ψ l+γ +γ c σ α α log + ŷ ẑ + log + γ + ŷ ẑ α + V AR iˆp i + ŷ ẑ + + γ α + V AR iˆp i + ŷ ẑ 4
Gubiac wszyskie elemeny wyższego niż drugi rzedu l +γ +γ ψ l+γ +γ c σ + V AR iˆp i + ŷ ẑ + + γ α ŷ ŷ ẑ + ẑ Oznaczmy elemeny niezależne od poliyki jako.i.p. ψ l +γ +γ l+γ +γ c σ + V AR iˆp i + ŷ + Krok 3: Wprowadzenie luki popyowej L acz ac U U c σ + αŷ γ + γ α ŷ ẑ +.i.p. ŷ + + σŷ V AR iˆp i + ŷ + + αŷ γ + γ α ŷ ẑ +.i.p. U U c σ + V AR iˆp i σŷ + + αŷ γ + γ α ŷ ẑ +.i.p. U U c σ + V AR iˆp i σŷ + + αŷ γ + γ α ŷ ẑ +.i.p. U U c σ + V AR iˆp i + γ σ α + ŷ + γ α α ŷ ẑ +.i.p. U U c σ + V AR iˆp i + Podsawiajac pod z z 4. U U c σ + V AR iˆp i + Zdefiniujmy ˆỹ ŷ ŷ n + γ α ŷ U U c σ + V AR iˆp i + γ + α + σ α ŷ + γ α α ŷ ẑ +.i.p. α + γ + σ α ŷ n + γ γ + α + σ α α +.i.p. ŷ γ + α + σ α ŷ ŷ ŷ n α wówczas podsawiajac pod ŷ ˆỹ + ŷ n ŷ ŷ ŷ n ŷ ŷ ŷ n ˆỹ + ŷ n ˆỹ + ŷ n ŷ n ˆỹ + ŷ n ˆỹ ŷ n ˆỹ ŷ n +.i.p. gdzie ŷ n wyladuje jako elemen niezależny od poliyki.i.p.. Podsawiajac U U E c σ + EV AR γ + α + σ α iˆp i Eˆỹ +.i.p. 4.6 α 5
Krok 4: Osaeczna funkcja użyeczności Woodford 3 pokazuje EV ar i ˆp i Korzysajac z parz Erceg e. al., 999 θ βθ θ Eˆπ Eˆx V ARˆx 4.7 Podsawiajac do 4.6 U U E c σ + EV AR γ + α + σ α iˆp i Eˆỹ +.i.p. α z 4.7 oraz U U E c σ + W W c σ θ βθ θ V ARˆπ γ + α + σ α V ARˆỹ +.i.p. α β E U U c σ 4 Aproksymacja użyeczności przy lepkich p lacach i cenach Krok : Funkcja użyeczności Noacja c c hdh c h and oraz w sanie usalonym c ch. W sanie usalonym użyeczność reprezenaywnego konsumena gdzie U U uc h, l h c h σ σ ψ l h +γ + γ u ch σ σ ψ l h+γ + γ uc h, l hdh W c σ β σ ψ l+γ + γ c σ σ ψ l+γ +γ. Ponieważ w sanie usalony c h σ σ ψ l h +γ dh + γ Podsawiajac pod y z k l α k α u l αz w l u c αc c y l α c. c y l αy l w u l u c 6
Oznaczmy ϱ α c α ponieważ w modelu gospodarki zamknieej y bez kapia lu i bez rzadu c y wówczas orzymujemy Ponieważ U c σ σ ψ l+γ +γ W u c c Nas epnie funkcj e użyeczności W c σ β ϱ. c u l l u c ϱu c c + u l l αc σ ψl +γ 4. U c σ β σ ϱ + γ uc h, l h c h σ σ ψ l h +γ + γ sca lkujemy aby orzymać użyeczność reprezenaywnego agena gdzie c c h h. U uc h, l hdh c σ σ ψ + γ l h +γ dh Wyliczajac przybliżenie drugiego rzedu c σ σ c σ σ + c σ c c + σc σ c c c σ σ + c c c σ c + c σc σ c c c c ĉ + ĉ + σc σ ĉ c σ σ + c σ c σ σ + c σ c σ σ + c σ c σ σ ĉ + ĉ σĉ ĉ + σĉ + σĉ + σ ĉ co daje podsawiajac c y c σ σ c σ σ c σ ŷ + σŷ Nas epnie policzymy przybliżenie drugiego rz edu z l h +γ dh l h +γ dh + γ lh +γ + γ + lhγ l h lh + γlhγ l h lh dh lh+γ + γ + + lh γ l h lh lh lh dh γlh γ lh l h lh lh 7 dh
l h +γ dh + γ lh+γ + γ + lh+γ + γlh+γ ˆl h dh lh +γ + γ + + ˆl h dh + lh +γ + γ + co daje zauważ w sanie usalonym l lh ψ podsawiajac 4. orzymujemy ψ Z 4. orzymujemy przeksza lcaj ac lh+γ dh +γ l+γ +γ c σ ψ l+γ c σ lh+γ dh +γ l+γ +γ c σ α V AR h ˆl h ˆl h dh Podsawiajac do funkcji użyeczności lh+γ dh +γ l+γ +γ ψ c σ ˆl h + ˆl h dh ˆl hdh γˆl h dh ˆl hdh + + γ ˆl h dh ˆl hdh + + γ ˆl h dh ˆl hdh + + γ ˆl h dh ˆl h dh ˆl hdh ˆl hdh + V AR h ˆl h 4. α ˆl hdh + + γ ˆl h dh α ˆl hdh + + γ ˆl hdh + + γv AR hˆl h Krok : Eliminacja ˆl hdh. Wykorzysajmy równanie na agregacj e pracy +w l l h wyliczajac przybliżenie drugiego rzedu korzysajac z 4. ˆl ˆl hdh + +w dh + V AR hˆl h 4.3 Nasepnie wykorzysamy fak, że jeżeli zsumujemy zarudnienie we wszyskich firmach N i orzymamy ca lkowie zarudnienie N l l idi 8
przybliżenie drugiego rzedu daje 4. ˆl korzysajac z funkcji produkcji oraz z faku, że k i l i k l k αl y i z i l ˆl idi + V AR iˆl i 4.4 co daje ca lkujac podsawiajac skracajac V AR i ˆl i ŷ i ẑ αˆl + ˆl i 4.5 ŷ idi ẑ αˆl + ŷ i ẑ + αˆl di ŷ idi ẑ + αˆl ŷ i ẑ ŷ i + αˆl ŷ i ẑ ŷ i + ẑ αẑ ˆl + αˆl ŷ i αẑ ˆl + α ˆl di ŷ idi ẑ ŷ idi + αˆl ŷ idi ˆl idi 4.6 ẑ ŷ idi + ẑ αẑ ˆl + αˆl ŷ idi αẑ ˆl + α ˆl V AR i ˆl i ŷ i di ŷ idi Nasepnie podsawiajac z 4.6 i 4.7 do 4.4 ˆl ˆl α V AR i ˆl i V AR i ŷ i 4.7 ŷ idi ẑ + αˆl + V AR iˆl i ŷ idi + αẑ α V AR iˆl i 4.8 Z funkcji produkcji y + l i + di korzysajac z 4. orzymujemy ŷ ŷ idi + + V AR iŷ i Podsawiajac do 4.8 pod ŷidi oraz z 4.7 pod V AR i ˆl i ˆl ŷ α + V AR iŷ i + αẑ α V AR iˆl i ˆl α ŷ ẑ + V AR i ŷ i 4.9 α + 9
Podsawiajac z 4.8 do 4.9 ˆl hdh α ŷ ẑ + V AR i ŷ i 4. α + + V AR hˆl h Podsawiajac 4. do funkcji użyeczności α ˆl hdh + + γ ˆl hdh + + γv AR hˆl h U U c σ ŷ + σŷ α ˆl hdh + + γ ˆl hdh + + γv AR hˆl h ŷ + σŷ α α ŷ ẑ + α + V AR iŷ i + V AR hˆl h + γ α α ŷ ẑ + α + V AR iŷ i + V AR hˆl h + γ αv AR hˆl h Gubiac wyrażenia rzedu wyższego niż drugi U U c σ σŷ + ẑ + γ α ŷ ŷ ẑ + ẑ + V AR iŷ i + α + V AR hˆl h + γ α V AR h ˆl h U U c σ σŷ + γ αŷ + + γ α ŷ ẑ + V AR iŷ i α + γ + + γv AR h ˆl h +.i.p. Upraszczajac i podsawiajac pod ẑ z 4. U U c σ σŷ + γ αŷ + + γ α ŷ α + γ + σ α ŷ n + γ + V AR iŷ i αγ + + γ V AR h ˆl h +.i.p. + γ + α + σ α ŷ ŷ n ŷ α + V AR iŷ i αγ + + γ V AR h ˆl h +.i.p. +
Zdefiniujmy ˆỹ ŷ ŷ n wówczas podsawiajac pod ŷ ˆỹ + ŷ n ŷ ŷ ŷ n ŷ ŷ ŷ n ˆỹ + ŷ n ˆỹ + ŷ n ŷ n ˆỹ + ŷ n ˆỹ ŷ n ˆỹ ŷ n gdzie ŷ n wyladuje jako elemen niezależny od poliyki.i.p.. U U c σ γ + α + σ α ˆỹ α + V AR iŷ i αγ + + γ V AR h ˆl h +.i.p. + Krok 3: Ca lki ˆl hdh oraz ŵhdh sa wyrażeniami drugiego rzedu. Dowód parz Erceg e al. 999. Krok 4: Powiazanie V ar h l h and V ar h lnw h. Korzysajac z równania na p lace wyrażajac je w wielkościach realnych W w w W h w dh w w h w dh gdzie w W /P oraz w h W h/p. Korzysajac z ego, że w sanie usalonym w w wh w możemy policzyć przybliżenie drugiego rzedu ego równania w w ŵ + ŵ w ŵ ŵ Ponieważ, ŵ jes wyrażeniem drugiego rz edu ŵ wh w ŵ hdh ŵ h + ŵhdh w ŵ h dh ŵ h dh podsawiajac z 4. Nas epnie z ŵ ŵ hdh ŵ l h ŵ h dh ŵ hdh ŵ hdh V AR h ŵ h 4. +w +w w w W h w h l l W w orzymujemy l hw +w w w h +w w l
Ca lkujac w +w w Nas epnie wyliczamy przybliżenie drugiego rz edu w w + l + ˆl + ˆl ŵ + + w h +w w l hdh l ŵ lh + + w h +w w ˆl hdh + dh ŵ hdh+ + ˆl h dh ŵ h dh Wykorzysujac, że ca lki ˆl hdh oraz ŵhdh sa wyrażeniami drugiego rzedu Z 4. orzymujemy + ŵ + + ŵ + + ŵ + + ŵ + Ponieważ ˆl ˆl hdh + ŵ + + ŵ + + ˆl + ˆl + V AR h ˆl h ˆl hdh + ŵ hdh + + ˆl h dh ˆl hdh + V AR hˆl h + ˆl + ˆl + ˆl hdh ˆl h dh ˆl hdh ŵ hdh ŵ hdh + + ˆl hdh + V AR hˆl h + ˆl hdh ˆl + ˆl hdh + ŵ hdh + + ŵ hdh ŵ hdh + ŵ + + ŵ + ˆl hdh + V AR hˆl h Podsawiajac ˆl ˆl hdh + + V AR w hˆl h + ŵ + + ŵ + + ˆl + ˆl hdh + V AR hˆl h + V AR hˆl h + ŵ hdh + + ˆl hdh+ ŵ hdh + + ŵ hdh ŵ hdh + ŵ + + ŵ + V AR hˆl h + ŵ hdh + + ŵ hdh
Nasepnie wykorzysamy ŵ ŵhdh oraz 4. ŵ ŵhdh + ŵ hdh V AR h ŵ h + + ŵ hdh + V AR hˆl h + ŵ hdh + + V AR h ŵ h ŵ hdh + V AR h ŵ h + + ŵ hdh Z 4. orzymujemy V AR h ŵ h + V AR h ŵ h + + + V AR h ŵ h + V AR hˆl h + + ŵ h dh ŵ hdh ŵ hdh + V AR hˆl h + + V AR h ŵ h + + w w V AR h ŵ h ŵ hdh ŵ hdh + V AR hˆl h + + V AR h ŵ h + V AR hˆl h Mnożac przez +w + w V ARh ŵ h V AR h ˆl h 4. Krok 5: Powiazanie E V ar h ŵ h oraz V arˆπ w. Zaczniemy od wykorzysania równania na p lace lub w jednoskach realnych W θ w W π w + θ w W new w w w w w θ w π π orzymujemy przybliżenie pierwszego rz edu w + θ w w new ŵ θ w ŵ ˆπ + θ w ŵ new w podsawiajac ŵ ŵ ˆπ w ˆπ orzymujemy wyrażenie pierwszego rz edu ŵ θ w ŵ + ŵ ŵ ˆπ w + θ w ŵ new θ w θ w ˆπ w ŵ new ŵ 4.3 3
Nas epnie przechodzimy do przeksza lcania, oznaczmy V AR h ŵ h ŵ hdh ŵhdh V AR h ŵ h + + ŵ hdh ŵ hdh ŵ hdh ŵ hdh ŵ hdh ŵ hdh + ŵ hdh ŵ h dh ŵ hdh ŵ hdh ŵ hdhdh + V AR h ŵ h ŵ h ŵ h ŵ hdh + ŵ h ŵ hdh dh Zauważmy, że dla ych h, kórzy nie zmieniaja p lacy ŵ h ln W h P w Podsawiajac do równania na V AR h ŵ h V AR h ŵ h Podsawiajac EW EW ŵ hdh dh ln W h π P π w ln w h π ŵ h ˆπ wπ ŵ h ŵ hdh dh θ w ŵ h ˆπ ŵ hdh dh + θ w ŵ new ŵ hdh ŵ h ˆπ ŵhdh dh. V AR h ŵ h θ w EW EW + + θ w ln w new h ln w hdh Najpierw skupimy si e pierwszym wyrażeniu π w ŵ ŵ + ˆπ E W EW ŵ h ˆπ ŵ hdh dh ŵ h + ŵ ŵ ˆπ w ŵ h ŵ ˆπ w + ŵ ŵ hdh dh ŵ hdh dh 4
Ponieważ jes o wyrażenie drugiego rz edu możemy podsawić ŵ ŵhdh E W EW ωh ŵ h ωh ωh ŵ h ωh ω H ωh ω H ŵ h ω H ωh ŵ hdh ˆπ w dh ωh ŵ hdh dh + ŵ hdh ˆπ w dh ˆπ w dh E W EW ωh ŵ h ˆπ w ωh ω H ωh ŵ hdh ωh ŵ hdh dh + ˆπ w dh ωh ŵ hdhdh ω H ŵ hdh dh + ω H ˆπ w ωh ωh ŵ h ωh ω H V AR h ŵ h + ω H ˆπ w Nasepnie przechodzimy do drugiego wyrażenia. Ponieważ jes ono drugiego rzedu możemy wykorzysać ŵ ωh ω H ŵ hdh oraz 4.3 Podsawiajac ŵ new ω H Wyliczajac bezwarunkow ωh ŵ hdh ŵ new ŵ θw ˆπ w θ w V AR h ŵ h θ w V AR h ŵ h + ˆπ w θw + θ w ˆπ w θ w a warość oczekiwana E V AR h ŵ h θ w E V AR h ŵ h + θ w +E ˆπ w θw θ w E ˆπ w Ponieważ E V AR h ŵ h E V AR h ŵ h orzymujemy θ w V AR h ŵ h θ w + θ w E ˆπ w θ w Korzysajac z parz Erceg e. al., 999 Eˆx V ARˆx 4.4 dosajemy L acz ac z 4. orzymujemy E V AR h ŵ h θ w θ w V ARˆπw + w V ARh ŵ h V AR h ˆl h E V AR h ˆl h + w θw θ w V ARˆπw 4.5 5
Krok 6: E V AR i ŷ i. Roemberg and Woodford 999 pokazuja analogicznie jak w poprzednim kroku E V AR i ŷ i + θ θ V ARˆπ 4.6 Krok 7: Osaeczna funkcja użyeczności Podsawiajac do funkcji użyeczności U U E c σ E γ + α + σ α ˆỹ α + V AR iŷ i αγ + + γ V AR h ˆl h +.i.p. + U U E c σ γ + α + σ α Eˆỹ α Podsawiajac z 4.4, 4.5 i 4.6 orzymujemy oraz U U E c σ + EV AR iŷ i αγ + + γ EV AR h ˆl h +.i.p. + γ + α + σ α α V ARˆỹ + αγ + + γ + W W c σ β E θ θ V ARˆπ θ w θ w V ARˆπw +.i.p. U U c σ 6