w modelu równowagi Zaawansowana Makroekonomia: Pieniadz 1 Model z ograniczeniem CIA Krzysztof Makarski Wprowadzenie Wst ep Model z pieniadzem.

Transkrypt

1 Zaawansowana Makroekonomia: Pieniadz w modelu równowagi ogólnej Krzysztof Makarski Model z ograniczeniem CIA Wprowadzenie Wst ep Model z pieniadzem. Ocena modelu Optymalna polityka pieni eżna Koszty nieoptymalnej polityki pieni eżnej Podstawowe cechy modelu Model z pe ln a informacja. Inflacja ( P/P ) t = Pt Pt P t, gdzie P t poziom cen w okresie t. R t nominalna stopa procentowa. Realna stopa procentowa r t : ( + r t ) = + R t + ( P/P ) t jeżeli r t ( P/P ) t ma le r t R t ( P/P ) t Pieniadz ma zerowa nominalna stope procentowa, realna stopa procentowa wynosi ( P/P ) %. Wprowadzamy do gospodarki pieniadz. W świecie rzeczywistym dobra można podzielić na takie które można kupić za pomoca tylko pieniadza i sa dobra które można kupić za pomoca kredytu (np. karty kredytowej). Wprowadzimy to rozróżnienie do modelu. W modelu wystepuj a dwa typy dóbr: dobra pienieżne c t (można je kupić tylko z pomoca pieniadza) i dobra kredytowe c 2t (nie jest pieniadz konieczny do ich kupna, można je kupić za pomoca kredytu). Nie jest to jedyny możliwy sposób na wprowadzenie pieniadza do modelu. W literaturze wystepuje kilka sposobów na wprowadzenie pieniadza do modelu. Niemniej rezultaty, które pokażemy, wystepuj a w szerokiej klasie modeli. Ponadto aby uprościć analize nie bedziemy mieli w modelu kapita lu. Nastepnie pokażemy w jaki sposób przet lumaczyć sformu lowanie niektóre dobra można kupić tylko za pomoca pieniadza na jezyk modelu.

2 Rzad/bank centralny Prowadzenie polityki pienieżnej ma uproszczona postać. Bank centralny drukuje pieniadze i przekazuje je bezpośrednio konsumentowi T t > 0 (zauważ, że w modelu nie ma banków komercyjnych) - ekspansywna polityka pienieżna. Bank centralny może też zdecydować o zmniejszeniu pieniadza w gospodarce wtedy zabiera pieniadze konsumentom T t < 0 - restryktywna polityka pienieżna. Ograniczenie budżetowe banku centralnego: M t+ M t = T t Oznaczmy stope wzrostu pieniadza jako µ t : M t+ = ( + µ t ) M t = M t + T t (4.) Firmy co daje T t = M t+ M t = µ t M t (4.2) Firmy zatrudniaja si l e robocza i produkuja dobra pienieżne i dobra kredytowe. Obydwa dobra produkowane sa z użyciem tej samej technologii. Z uwagi na to że dobra te produkowane sa z użyciem tej samej technologii ich ceny dóbr pienieżnych i kredytowych sa takie same Oznaczmy ca lkowita produkcje jako y t, wówczas problem firmy ma postać π t = max (l t,y t) P ty t W t l t p.w. y t = A t l t gdzie W t p laca nominalna. Z uwagi na to że funkcja produkcji spe lnia sta le korzyści skali π t = 0. Konsumenci Reprezentatywny konsument w naszym modelu żyje w nieskończoność. W każdym okresie otrzymuje wynagrodzenie za prace oraz dywidendy z firmy. W gospodarce wystepuj a dwa rodzaje aktywów pieniadz oraz obligacje. Jeżeli dzisiaj kupimy obligacje za z l to jutro otrzymamy ( + R t+ ) z l. Oznaczmy obligacje zakupione w okresie t jako b t. Obligacje konsumenci wymieniaja miedzy soba. Jest to forma udzielania pożyczek. Zatem ograniczenie budżetowe konsumenta w okresie t ma postać: P t c t + P t c 2t + b t+ + m t+ = w t l t + π t + b t ( + R t ) + m t + T t (4.3) Z uwagi na wystepowanie dóbr pienieżnych mamy dodatkowe ograniczenie - ograniczenie cash-inadvance (CIA). Można je interpretować nastepuj aco, aby kupić dobro pienieżne musimy wcześniej nabyć pieniadz. Odgrywa ono bardzo ważna role, powoduje że konsumenci trzymaja pieniadz P t m t (4.4) Preferencje konsumenta w okresie t opisane sa nastepuj ac a funkcja u(c t, c 2t, l t ) = log c t + φ log c 2t + a log( l t ). Preferencje konsumenta w cyklu życia opisane sa za pomoca β t [log c t + φ log c 2t + a log ( l t )] Problem konsumenta max {c t,c 2t,l s t,bt+,mt+} β t [log c t + φ log c 2t + a log ( l t )] p.w. P t m t gdzie P t cena. P t c t + P t c 2t + b t+ + m t+ = w t l t + π t + b t ( + R t ) + m t + T t l t [0, ], m 0 dane, b 0 = 0 2

3 Oczyszczanie si e rynków Rynek pieniadza, popyt na pieniad, m t, równy podaży pieniadza, M t. m t = M t Rynek dóbr c t + c 2t = y t Ponieważ zobowiazanie jednego konsumenta jest aktywem drugiego konsumenta w równowadze b t = 0. Definicja równowagi doskonale konkurencyjnej Definicja. Równowaga doskonale konkurencyjna sk lada sie z alokacji {c t, c 2t, y t, b t, m t, l t } i cen {w t, R t, P t } : {c t, c 2t, l t, b t+, m t+ } rozwi azuje problem konsumenta przy danych cenach i transferach max {c t,c 2t,l t,b t+,m t+} β t [log c t + φ log c 2t + a log ( l t )] p.w. P t m t, P t c t + P t c 2t + b t+ + m t+ = w t l t + π t + ( + R t ) b t + m t + T t, l t [0, ], m 0 dane, b 0 = 0 dla każdego t, (l t, y t ) rozwiazuje problem producenta przy danych cenach. π t = max ty t w t l t (l t,y t) p.w. y t = A t l t dla każdego t, budżet rzadu jest zrównoważony budżet rzadu jest rynki sie oczyszczaja Rozwiazanie. Nastepnie znajdziemy równowage. Problem producenta. M t+ M t = T t m t = M t b t = 0 c t + c 2t = y t Korzystajac z problemu producenta znajdziemy p lace realna wt P t. Warunki pierwszego rzedu Problem konsumenta. w t P t = A t (4.5) y t = A t l t 3

4 Skonstruujmy Lagranżian (zauważ, że mamy po dwa ograniczenia dla każdego okresu t) L = β t [log c t + φ log c 2t + a log ( l t )] {... + λ t [P t c t m t ] + λ 2 t [P t c t + P t c 2t + b t+ + m t+ w t l t π t ( + R t ) b t m t T t ] + λ t+[p t+ c t+ m t+ ] + λ 2 t+[p t+ c t+ + P t+ c 2t+ + b t+2 + m t+2 w t+ l t+ π t+ ( + R t+ ) b t+ m t+ T t+ ] +...} gdzie λ t oznacza mnożnik Lagranża przy ograniczeniu CIA, a λ 2 t oznacza mnożnik Lagranża przy ograniczeniu budżetowym. Skracajac zapis L = β t [log c t + φ log c 2t + a log ( l t )] [λ t (P t c t m t ) + +λ 2 t (P t c t + P t c 2t + b t+ + m t+ w t l t π t ( + R t )b t m t T t, )] Nastepnie policzymy warunki pierwszego rzedu. Zauważ że w każdym okresie konsument wybiera c t, c 2t, b t+, m t+, l t. Podczas liczenia pochodnych należy zwrócić uwage gdzie wystepuj a m t+ i b t+. W równaniach powyżej sa one specjalnie zaznaczone. oraz CIA Przekszta lcaj ac: c t : β t c t λ t P t λ 2 t P t = 0 c 2t : β t φ λ 2 t P t = 0 c 2t b t+ : λ 2 t + λ 2 t+ ( + R t+ ) = 0 m t+ : λ t+ λ 2 t + λ 2 t+ = 0 l t : β t ( a) l t + λ 2 t w t = 0 P t m t β t P t c t = λ t + λ 2 t (4.6) β t φ P t c 2t = λ 2 t (4.7) λ 2 t λ 2 t+ = ( + R t+ ) (4.8) λ t+ + λ 2 t+ = λ 2 t (4.9) β t a = λ 2 t w t (4.0) l t Nast epnie wyeliminujemy λ-y i powyższe równania sprowadzimy do trzech równań + ograniczenie CIA. Skorzystamy z równań (4.6),(4.8) i (4.9). Przesuńmy równanie (4.6) jeden okres do przodu, a nast epnie podstawmy z równania (4.9), aby otrzymać β t+ P t+ c t+ = λ t+ + λ 2 t+ = λ 2 t (4.) Nast epnie podstawmy do równania (4.8) pod λ 2 t i λ 2 t+ z równania (4.) β t+ P t+c t+ β t+2 P t+2c t+2 = ( + R t+ ) 4

5 Opóźniajac to równanie o jeden okres i przekszta lcajac otrzymujemy β t P tc t β t+ P t+c t+ = ( + R t ) β t P t+ c t+ β t β P t c t = ( + R t ) P t+ c t+ P t c t = β ( + R t ) (4.2) Skorzystamy z (4.), (4.7), (4.2) i (4.9). Podstawmy z (4.7) do (4.) Upraszczajac i korzystajac z (4.2) β t+ = β t φ P t+ c t+ P t c 2t φ = β P t c 2t P t+ c t+ φp t+ c t+ = βp t c 2t φβ ( + R t ) P t βp t c 2t otrzymujemy φ ( + R t ) c 2t (4.3) Nast epnie podstawmy (4.7) do (4.0): Upraszczajac β t a = β t φ w t l t P t c 2t ac 2t l t = φ w t P t (4.4) Zatem problem konsumenta zosta l zredukowany do nastepuj acych równań (4.2), (4.3), (4.4) i CIA. Równowaga Nastepnie znajdziemy R t. Podstawiajac z (CIA) do (4.2): P t+ c t+ P t c t = m t+ m t = M t+ M t = β ( + R t ) + µ t = β ( + R t ) otrzymujemy stope procentowa R t = β ( + µ t ) (4.5) Aby znaleźć l t użyjemy warunku równowagi na rynku dóbr c t + c 2t = y t, funkcji produkcji y t = A t l t, oraz równań (4.3), (4.4) i (4.5). Podstawiajac z równania (4.5) do równania (4.3) pod R t φβ ( + µ t ) c 2t Rozwiazuj ac ze wzgledu na c t otrzymujemy Nastepnie rozwiazuj ac (4.4) ze wzgledu na c 2t otrzymujemy β φ ( + µ t ) c 2t (4.6) c 2t = φa t a ( l t) (4.7) 5

6 Podstawiajac z (4.6) do warunku równowagi na rynku dóbr z (4.7) c t + c 2t = y t = A t l t β φ ( + µ t ) c 2t + c 2t = A t l t ( ) β φ ( + µ t ) + c 2t = A t l t ( ) β + φ ( + µt ) φat φ ( + µ t ) a ( l t) = A t l t ( ) β + φ ( + µt ) ( l t ) = l t ( + µ t ) a Rozwiazuj ac ze wzgledu na l t ( ) ( ) β + φ ( + µt ) β + φ ( + µt ) l t + l t = ( + µ t ) a ( + µ t ) a ( ) ( ) ( + µt ) a + β + φ ( + µ t ) β + φ ( + µt ) l t = ( + µ t ) a ( + µ t ) a ( ) ( ) β + (a + φ) ( + µt ) β + φ ( + µt ) l t = β + φ ( + µ t ) l t = Aby znaleźć y t podstaw pod l t do funkcji produkcji y t = A t l t = A t β + φ ( + µ t ) Nast epnie znajdziemy c t i c 2t. W tym celu podstawimy pod l t do równania (4.7): c 2t = φa t a ( l t) c 2t = φa ( ) t β + φ ( + µ t ) a c 2t = φa ( ) t β + (a + φ) ( + µt ) β φ ( + µ t ) a c 2t = φa t a c 2t = a ( + µ t ) φa t ( + µ t ) a nast epnie podstawimy wstawimy l t do równania (4.6): Aby znaleźć ceny P t podstaw m t = M t do (CIA) : β φ ( + µ t ) c 2t β φa t ( + µ t ) φ ( + µ t ) P t m t 6 P t = M t c t

7 Ponieważ β+(a+φ)(+µ t) : { P t = M t β+(a+φ)(+µ t) P t = M t Aby znaleźć p lace nominalna w t wstawimy P t do równania (4.5): Pe lna odpowiedź w t = A t P t = A t M t = M t β Równowaga doskonale konkurencyjna sk lada si e z alokacji β+(a+φ)(+µ t), c 2t = φat(+µt) β+(a+φ)(+µ, y β+φ(+µ t) t = A t) t β+(a+φ)(+µ, l t) t = i{ cen } β+(a+φ)(+µ P t = M t) t, R t = β β+(a+φ)(+µ ( + µ t ), w t = M t) t β Inflacja Za lóżmy, że stopa wzrostu pieniadza jest sta la µ t+ = µ t = µ, dla każdego t. Formu la opisujaca stope wzrostu produktu (γ t ). Stopa wzrostu produktu zdefiniowana jest nastepuj aco γ t y t+ y t y t = y t+ y t Podstawiajac wartości w równowadze otrzymujemy β+φ(+µt) β+(a+φ)(+µ t), b t = 0, m t = M t } + γ t = A t+ Formu la opisujaca inflacje Inflacja zdefiniowana jest nastepuj aco β+φ(+µ t) β+(a+φ)(+µ t) β+φ(+µ A t ) t β+(a+φ)(+µ t ) β+φ(+µ) β+(a+φ)(+µ) β+φ(+µ) A t β+(a+φ)(+µ) = A t+ = A t+ A t (4.8) Podstawiajac wartości w równowadze ( P/P ) t = P t+ P t Podstawiajac z (4.8) ( P/P ) t = M β+(a+φ)(+µ t+) t+ + = β+(a+φ)(+µ M t) t + ( P/P ) t = M t+ M t A t A t+ + ( P/P ) t = ( + µ)m t M t ( + γ t ) ( + µ) + ( P/P ) t = ( + γ t ) Co dla wystarczajaco ma lych wartości ( P/P ) t i γ t daje M t+ β+(a+φ)(+µ) + M t β+(a+φ)(+µ) (4.9) ( P/P ) t µ γ t 7

8 Wyniki Inflacja ( P/P ) t µ γ t Nominalna stopa procentowa R t = β ( + µ t ) Wp lyw inflacji na dobrobyt? Ocena modelu Dane i model: inflacja negatywnie skorelowana z PKB, a pozytywnie ze stopa wzrostu pieniadza. Brak dobrej motywacji do wystepowania pieniadza. Modele z dobra motywacja zbyt abstrakcyjne, do analiz polityki pienieżnej. Modelu CIA można używać do analizy polityki pieni eżnej. Optymalna polityka pieni eżna. Definicja. Alokacja efektywna to taka alokacja {c t, c 2t, y t, l t }, która rozwiazuje problem centralnego planisty max β t [log c t + φ log c 2t + a log ( l t )] {c t,c 2t,y t,l t} p.w. c t + c 2t = y t = A t l t l t [0, ] Alokacja efektywna (P oznacza efektywna lub inaczej Pareto alokacje) c P A t t = a + + φ, φa t cp 2t = a + + φ, lp t = + φ a + + φ Alokacja doskonale konkurencyjna c E t = l E t = (a + φ) ( + µ t ) + β, φ ( + µ t ) A t ce 2t = (a + φ) ( + µ t ) + β, β + φ ( + µ t ) (a + φ) ( + µ t ) + β Pytanie, kiedy równowaga doskonale konkurencyjna jest efektywna, c E t = c P t, c E 2t = c P 2t, l E t = l P t i y E t = y P t (4.20) Odpowiedź: zauważmy, że (4.20) jest spe lnione tylko i wy l acznie gdy (sprawdź to): µ t = β < 0 Definicja. µ t takie, że µ t = β, spe lnia regu l e Friedmana. Twierdzenie. () Przypuśćmy że bank centralny podaża regu l a Friedmana (czyli µ t = β ), wówczas równowaga doskonale konkurencyjna jest efektywna. (2) Jeżeli bank centralny nie podaża regu l a Friedmana (czyli µ t > β ), wówczas równowaga doskonale konkurencyjna nie jest efektywna. Dowód. Cześć : jeżeli bank centralny podaża regu l a Friedmana, wówczas równanie (4.20) jest spe lnione, a zatem alokacja doskonale konkurencyjna jest efektywna (alokacja doskonale konkurencyjna i alokacja efektywna sa takie same). Cześć 2: jeżeli bank centralny nie podaża regu l a Friedmana, wówczas gdyż µ t>β < (a + φ) ( + µ t ) + β (a + φ) ( + β ) + β = cp t co oznacza, że alokacja doskonale konkurencyjna nie jest efektywna (alokacja doskonale konkurencyjna i alokacja efektywna nie sa takie same). 8

9 Inflacja: Podstawiajac do (4.9): ( P/P ) t = ( + µ) ( + β ) β = = ( + γ t ) ( + γ t ) ( + γ t ) Jeżeli γ t > 0, ( P/P ) t < 0 (deflacja) (zauważ β < < + γ t ). Nominalna stopa procentowa przy optymalnej polityce pieni eżnej R t = β ( + µ t ) = R = β ( + β ) = 0 Intuicja. Dodatnia nominalna stopa procentowa dzia la jak podatek na dobra pieni eżne - zaburza wybór mi edzy dobrami pieni eżnymi a kredytowymi. Koszt nieoptymalnej polityki pieni eżnej Jak policzyć czy koszty odejścia do optymalnej polityki pienieżnej sa duże czy ma le Przedstawimy procedur e oraz interpretacj e wyniku Wyniki badań na nast epnych wyk ladach. Rozważmy dwie gospodarki różniace sie tylko polityka pienieżn a: () µ t = µ F = β ; (2) µ t = µ > µ F Dobrobyt: () : U F = (2) : U (µ) = β t [log c µf t + φ log c µf 2t + a log( l µf t )] β t [log c µ t + φ log cµ 2t + a log( lµ t )] Zasada: nie porównujemy wielkości użyteczności Zatem poszukamy x W gospodarce z µ > µ F zwiekszymy konsumpcje w okresie 0 (dzisiaj) o x tak aby osiagn ać poziom dobrobytu taki jak w gospodarce podażaj acej regu l a Friedmana. Formu la U F = β 0 [log ( + x) c µ 0 + φ log( + x)cµ 20 + a log( lµ 0 )] + β t [log c µ t + φ log cµ 2t + a log( lµ t )] Interpretacja Przypuśćmy że x = 0, 05, wówczas to znaczy, że jeżeli w gospodarce, w której polityka pienieżna dana jest przez µ, bank centralny zacznie podażać regu l a Friedmana to da to przyrost dobrobytu taki jaki można otrzymać przez zwiekszenie dzisiaj konsumpcji o 5% (przy innych czynnikach niezmienionych). Przekszta lcaj ac U F = β 0 [log ( + x) + φ log( + x)] + β 0 [log c µ 0 + φ log cµ 20 + a log( lµ 0 )] + β t [log c µ t + φ log cµ 2t + a log( lµ t )] t= t= 9

10 Zauważmy, że β 0 [log c µ 0 + φ log cµ 20 + a log( lµ 0 )] + t= βt [log c µ t + φ log cµ 2t + a log( lµ t )] = βt [log c µ t + φ log cµ 2t + a log( lµ t )] U F = ( + φ) log ( + x) + Ponieważ U(µ) = βt [log c µ t + φ log cµ 2t + a log( lµ t )] β t [log c µ t + φ log cµ 2t + a log( lµ t )] U F = ( + φ) log ( + x) + U(µ) (4.2) Przyk lad. Koszt nieoptymalnej polityki pienieżnej µ = 2% przy zerowym wzroście gospodarczym (co oznacza 2% inflacje). Rozważmy nastepuj ace parametry: φ = 2, a =, A t =, µ t = 2%, β = 0, 99. Jeżeli polityka pienieżna podażaj a regu l a Friedmana µ F = β : c F t = c F 2t = β + (a + φ)( + µ F ) = 0, 99 0, 99 + ( + 2) ( + 0, 99 ) = 4 φ( + µ F )A t β + (a + φ)( + µ F ) = 2 ( + 0, 99 ) 0, 99 + ( + 2) ( + 0, 99 ) = 2 4 l F t = A t β + φ( + µ F ) β + (a + φ)( + µ F ) = 0, ( + 0, 99 ) 0, 99 + ( + 2) ( + 0, 99 ) = 3 4 podstawiajac do formu ly na U F U F = [log(/4) + 2 log(2/4) + log( 3/4)] 0, 99 = 45, 89 Jeżeli polityka pienieżna dana jest za pomoca µ = 2%: c µ t = β + (a + φ)( + µ) = 0, 99 = 0, 244 0, 99 + ( + 2) ( + 0, 02) c µ 2t = φ ( + µ) A t β + (a + φ)( + µ) = 2 ( + 0, 02) = 0, 504 0, 99 + ( + 2) ( + 0, 02) l µ β + φ ( + µ) t = A t β + (a + φ)( + µ) = 0, ( + 0, 02) = 0, 748 0, 99 + ( + 2) ( + 0, 02) podstawiajac do formu ly na U(µ) U (2%) = [log 0, log 0, log( 0, 748)] 0, 99 = 45, 93 Nastepnie znajdziemy x korzystajac z równania (4.2) U F = ( + φ) log( + x) + U(µ) Rozwiazuj ac ze wzgledu na x Przekszta lcaj ac i podstawiajac e UF U(µ) +φ = e log(+x) = + x x = e UF U(µ) +φ = e ( 45,89) ( 45,93) +2 =, 34% Interpretacja: odejście od polityki pienieżnej wyznaczonej przez µ = 2% na rzecz polityki pienieżnej wyznaczonej regu l a Friedmana ma taki sam efekt jak zwiekszenie konsumpcji dziś o, 34%. Zauważ, że w przyk ladzie parametry gospodarki sa arbitralne, wiec nie należy, z tych wyliczeń, wyciagać jakichkolwiek wniosków, co do rzeczywistych kosztów 2% inflacji. 0

11 Podsumowanie Model z mikropodstawami, który ilustruje źród la kosztów inflacji. Z punktu widzenia kosztów inflacji uwzglednianych w modelu możemy zajać sie problemem optymalnej inflacji. Model umożliwia też ilościowe oszacowanie kosztów inflacji.