. lementy wytrzymałści materiałów.7. Mduł sprężystści Wielkść charakteryzująca reakcję materiału na sprężyste bciążenie zewnętrzne kreślneg rdzaju. Przy bciążeniu jednsiwym (uniaxial lad) dkształcenie w kierunku przyłżneg naprężenia zmienia się wraz z tym naprężeniem. Stsunek naprężenia d dkształcenia ma stałą wartść w zakresie dkształceń sprężystych materiału i zmniejsza się gdy występuje dkształcenie plastyczne. Mdułem sprężystści (mdulus f elasticity, elastic mdulus) jest dwrtnść współczynnika prprcjnalnści we wzrze wyrażającym praw Hke a (Hk s law) wartść stsunku naprężenia d dpwiadająceg mu dkształcenia pniżej granicy prprcjnalnści materiału, nachylenie prstliniwej (zakres sprężystści) części wykresu naprężenie-dkształcenie zwykle wyrażany w MPa, GPa lub GN/m. Dla materiałów, które nie wykazują prstliniwej zależnści naprężeniedkształcenie mżna używać następujących kreśleń: pczątkwy mduł styczny (initial tangent mdulus) - nachylenie krzywej naprężenie-dkształcenie w pczątku układu współrzędnych; mduł styczny (tangent mdulus f elasticity) - nachylenie krzywej naprężenie-dkształcenie dla kreślneg naprężenia lub dkształcenia; mduł siecznej (secant mdulus f elasticity) - nachylenie siecznej pprwadznej z pczątku układu współrzędnych d kreślneg punktu krzywej naprężenie-dkształcenie; mduł cięciwy (chrd mdulus f elasticity) - nachylenie cięciwy pprwadznej między dwma punktami krzywej naprężeniedkształcenie. Dla rzciągania (tensin) znaczany jak mduł sprężystści wzdłużnej, mduł Yunga (Yung s mdulus, elastic mdulus, lngitudinal mdulus f elasticity, cefficient f direct elasticity). Dla ściskania (cmpressin) znaczany jak c mduł ściśliwści, mduł ściskania, (mdulus f cmpressin).
Pdstawy wytrzymałści materiałów Sylwester Kłysz Dla bciążeń hydrstatycznych (hydrstatic lad) znaczany jak K mduł Helmhltza (Helmhltz mdulus), mduł sprężystści bjętściwej (mdulus f vlume elasticity, bulk mdulus f elasticity). Dla ścinania (shear) i skręcania (trsin) znaczany jak G mduł Kirchhffa (Kirchhff mdulus), mduł sprężystści pprzecznej lub mduł sprężystści pstaciwej (rigidity mdulus, mdulus f elasticity in shear, shear mdulus, mdulus f elasticity in trsin, trsin mdulus). Dla materiałów iztrpwych zachdzą związki: G (.) + ν ( ) K (.) ( ν) gdzie ν jest współczynnikiem Pissna (Pissn s rati). Dla materiałów niejednrdnej strukturze (np. kmpzytów lub platerwanych stpów aluminium (clad aluminum ally)) mgą wystąpić w zakresie sprężystym dwa dcinki liniwej zależnści naprężenie-dkształcenie i wówczas dwie różne wartści współczynnika sprężystści. Współczynnik sprężystści pczątkwy lub pierwtny (initial r primary mdulus) jest zazwyczaj średnią ze współczynnika sprężystści rdzenia i współczynnika sprężystści warstwy plateru (matrycy i snwy kmpzytu). Ma n zastswanie tylk d bciążeń na pzimie granicy prprcjnalnści plateru (prprtinal limit f the cladding) i przykładw dla blachy platerwanej (clad sheet) 04-T jest t pzim kł 40 MPa a dla blachy platerwanej 7075-T6 d 70 MPa. Pczątkwy współczynnik sprężystści ma zastswanie głównie d badań zmęczenia niskamplitudweg wyskiej częsttliwści (lw amplitude, high frequency fatigue). Nie jest n jednak zalecany d stswania w gólnej analizie naprężeń lub prjektwaniu knstrukcji. Pwyżej teg pzimu bciążeń następuje krótki zakres przejściwy i materiał wykazuje wtórny współczynnik sprężystści (secndary mdulus) aż d granicy prprcjnalnści materiału rdzenia/matrycy jak nachylenie drugieg dcinka prstliniweg wykresu. Na skutek ddziaływań niesprężystych wartści mdułów sprężystści wyznaczne z nachylenia krzywej naprężenie-dkształcenie (stress-strain curve) są zaniżne (częst dwukrtnie, a nawet i więcej razy) w stsunku d wartści mdułów wyznacznych metdami dynamicznymi, plegającymi np. na wzbudzeniu drgań własnych w belce alb drucie lub na wyznaczeniu prędkści rzchdzenia się fali dźwiękwej (sund wave) w materiale. W przypadku
Mduł sprężystści (.) materiału iztrpweg (istrpic material) między mdułami sprężystści zachdzą przybliżne zależnści G /8 i K raz następujące związki: K G, K, G K( υ) G( + ν) 9KG K + G K G ν ( ν) ( + ν) K + 6K K K( ν) ( + ν) K + G (K + G) G( + ν) ( ν) G + G G G (G ) K 9K Mduł Yunga większści materiałów zależy d dwóch czynników: sztywnści wiązania międzyatmweg i gęstści wiązań na jednstkę pwierzchni. Wiązanie chemiczne pdbnie jak sprężyna charakteryzuje się sztywnścią k jednstce N/m. Mduł Yunga w przybliżeniu wynsi k/r 0, gdzie r 0 jest wielkścią atmu (r jest średnią bjętścią atmu lub jnu). Szerki zakres zróżnicwania wartści mdułu sprężystści jest przede wszystkim związany ze zróżnicwaniem wartści k. Wiązanie kwalencyjne jest sztywne (k 0 00 N/m). Wiązania metaliczne i jnwe charakteryzują się niec mniejszymi wartściami k (5 00 N/m). Diament ma bardz duży mduł Yunga, pnieważ atmy węgla są małe (c daje dużą gęstść wiązań) i są bardz silnie wiązane (k 00 N/m). Metale charakteryzują się dużym mdułem Yunga, dzięki gęstemu upakwaniu atmów. Wiązania są silne, chciaż nie tak silne, jak wiązania w diamencie. W plimerach występują jedncześnie silne wiązania kwalencyjne - takie jak w diamencie raz słabe - wdrwe, tj. wiązania Van der Waalsa (k 0,5 N/m). Słabe wiązania umżliwiają znaczne dkształcanie plimerów, pwdując zmniejszenie wartści mdułu tych materiałów d pzimu rzędu GPa. Materiały mdułach Yunga mniejszych niż ta wartść t elastmery lub pianki. Spwdwane jest t mżliwścią swbdneg pruszania się segmentów łańcucha plimeru (temperatura zeszklenia T g (glassy temperature) leży pniżej temperatury pkjwej) raz zdlnścią łańcucha d brtów wkół jeg wiązań pjedynczych. Małe mduły pianek są związane ze zginaniem się ścianek ich
Pdstawy wytrzymałści materiałów Sylwester Kłysz kmórek pd wpływem bciążania materiału, umżliwiającym duże przemieszczenia pd wpływem bciążenia materiałów. Mduły Yunga materiałów inżynierskich przybierają wartści d 0,0 GPa (pianki małej gęstści) d 000 GPa (diament); natmiast gęstści materiałów mieszczą się w przedziale 0, 0 Mg/m - Rys... Prędkść rzchdzenia się fal sprężystych w materiale raz częsttliwść drgań własnych wyknanych z nieg elementów są prprcjnalne d (/ρ) m. Wielkść (/ρ) m jest prędkścią pdłużnej fali w cienkim pręcie na rysunku są naniesine linie dpwiadające jednakwym wartścim (/ρ) m - prędkść fali pdłużnej waha się d pniżej 50 m/s dla miękkich elastmerów, d pnad 0 4 m/s w materiałach ceramicznych. Aluminium i szkł z pwdu małej gęstści przekazują drgania z dużą prędkścią, pmim małeg mdułu Yunga. Prędkść dźwięku w piankach nie jest mała, na c wskazywałby ich niewielki mduł sprężystści, gdyż kmpensuje t ich mała gęstść. W drewnie dźwięk rzchdzi się z małą prędkścią w kierunku prstpadłym d włókien, natmiast wzdłuż włókien znacznie szybciej (w przybliżeniu tak jak w stalach) - właściwść tę wykrzystuje się m.in. w knstruwaniu instrumentów muzycznych. 4
Mduł sprężystści pstaciwej, mduł Kirchhffa (.) Rys... Zakresy zmiennści mdułów Yunga i gęstści ρ materiałów inżynierskich.8. Mduł sprężystści pstaciwej, mduł Kirchhffa Stsunek kąta dkształcenia pstaciweg (shear strain) γ d naprężenia τ w przypadku jednrdneg ścinania (shear stress) dwrtnść współczynnika prprcjnalnści we wzrze wyrażającym praw Hke a (Hk s law) dla czysteg ścinania. Jest zależny d rdzaju materiału (składu, struktury, dmiany plimrficznej) raz temperatury i ciśnienia nie zależy d prędkści dkształcania. Mduł Kirchhffa (Kirchhff mdulus, G) jest k. -krtnie mniejszy d mdułu Yunga. Stan czysteg ścinania (shear state) mżna uzyskać np. w płaskim stanie naprężenia (plane stress state) przy działaniu na element knstrukcji głównych naprężeń (principal stress): σ τ i σ -τ. W wyniku takieg bciążenia pczątkw kwadratwa ściana hiptetycznej kstki materiału (ABCD na Rys..) bku równym jednści zamieni się w rmb (A B C D ). 5
Pdstawy wytrzymałści materiałów Sylwester Kłysz Odkształcenia względne dla występująceg w tym przypadku płaskieg stanu naprężenia wynszą: ε ε ( σ νσ ) + ν τ ν ( σ νσ ) τ (.) a) b) Rys... Czyste ścinanie wywłane naprężeniami głównymi σ σ τ i σ -σ -τ a) schemat bciążenia i dkształceń, b) dpwiednie kł Mhra czyli: + ν ε ε ε τ (.4) Długści przekątnych rmbu B D i A C będą równe: B D ε A C + ε (.5) Pnieważ miarą dkształcenia pstaciweg jest kąt γ, jaki zmniejszyły się pczątkw prste kąty <BAD i <BCD lub pwiększyły się kąty <ADC i <ABC rzpatrywanej kstki sześciennej, a kąt <OA D π/-γ stąd: tg π γ ε 4 + ε (.6) 6
Mduł sprężystści bjętściwej, mduł Helmhltza (.7) a wykrzystując wzór na tangens różnicy kątów i przyjmując, że kąt γ jest bardz mały (tzn. tg(γ/) γ/), zachdzi: Prównując ba pwyższe wzry trzymamy: γ π γ tg (.7) 4 γ + + ν ε τ γ (.8) i statecznie kąt dkształcenia pstaciweg γ, pisany prawem Hke a dla czysteg ścinania, wynsi: τ γ ( + ν) τ G (.9) Wyrażenie w mianwniku, zależne d stałych materiałwych, mdułu Yunga i współczynnika Pissna ν, jest stałą materiałwą, znaczaną przez G współczynnik (mduł) sprężystści pstaciwej (mduł Kirchhffa, Kirchhffa mdulus): G (.0) + ν ( ).9. Mduł sprężystści bjętściwej, mduł Helmhltza Stsunek ciśnienia d względnej zmiany bjętści materiału w przypadku wszechstrnneg iztermiczneg ściskania/sprężania, bciążenia hydrstatyczneg (hydrstatic lad, hydrstatic pressure) dwrtnść współczynnika prprcjnalnści we wzrze wyrażającym praw Hke a (Hk s law). Zmiana bjętści elementarneg prstpadłścianu pczątkwych wymiarach dx l, dx, dx, pddaneg działaniu przestrzenneg stanu naprężenia wynsi: V V V dx ( + ε ) dx ( + ε ) dx ( + ε ) dx dx dx ( + ε )( + ε )( + ε ) dx dxdx (.) 7
Pdstawy wytrzymałści materiałów Sylwester Kłysz Pmijając małe drugieg i trzecieg rzędu, nie wpływające isttnie na wartść ww. wyrażenia mżna zapisać: V V V ε + ε + ε Wykrzystując ugólnine praw Hke a pstaci: ε ε ε ( σ ν( σ + σ )) ( σ ν( σ + σ )) ( σ ν( σ + σ )) (.) (.) (.4) (.5) względną zmianę bjętści dla hydrstatyczneg bciążenia σ σ σ -p mżna wyrazić jak: V V V p ( ν)( σ + σ + σ ) ( ν) (.6) Tak więc względną zmianę bjętści wyrażną w funkcji wywłująceg ją ciśnienia, pisaną prawem zmiany bjętści, mżna zapisać jak: V V V p K (.7) gdzie K jest współczynnikiem sprężystści bjętściwej, stałą zależną d i ν, mdułem Helmhltza (Helmhltz mdulus): K (.8) ( ν) 8