ANALIZA NUMERYCZNA PŁASZCZYZNY FAZOWEJ DLA FALI BIEGNĄCEJ W MATERIALE ZAHORSKIEGO

Transkrypt

1 Budownictwo o zoptymalizowanym potencjale energetycznym Izabela MAJOR, Maciej MAJOR Politechnika Częstochowska ANALIZA NUMERYCZNA PŁASZCZYZNY FAZOWEJ DLA FALI BIEGNĄCEJ W MATERIALE ZAHORSKIEGO This paper presents the numerical analysis of phase plane for the traveling wave in Zahorski material. To analysis of the three rubbers OKA-, OKB- and OKD- are used. WPROWADZENIE Praca obejmuje analizę numeryczną trajektorii fazowych dla przypadku propagacji nieliniowej fali biegnącej w warstwie (zgodnie z [], którą zamodelowano jako ośrodek wykonany z hipersprężystego materiału Zahorskiego. Do przeprowadzenia obliczeń przyjęto trzy rodzaje gumy, dla których zostały opracowane doświadczalnie wartości stałych materiałowych C, C i C []. Potencjał sprężysty dla materiału Zahorskiego opisuje zależność (por. [] ( I + C ( I + C ( 9 W= σρ = C I ( Funkcje materiałowe dla przyjętego potencjału wynoszą: C = ( C + C I σ = σ C = ( ρ ρ ρ σ Gdy C = 0, otrzymujemy potencjał sprężysty i funkcje materiałowe dla materiału Mooneya-Rivlina. Badania eksperymentalne przeprowadzone w pracy [] wykazały, że postać potencjału sprężystego charakteryzująca materiał Zahorskiego dobrze oddaje rzeczywiste własności materiału w zakresie dużych odkształceń sprężystych. Do opisu procesów falowych rozpatrywanych fal biegnących w materiale Zahorskiego zastosowano równania otrzymane w wyniku uśrednienia równań ruchu w przekroju poprzecznym warstwy przy założeniu, że uśrednione wielkości spełniają równania ruchu i warunki brzegowe [4] oraz [5].. ZAŁOŻENIA TEORETYCZNE Przyjmujemy, że fala biegnąca propaguje się w półnieskończonej hipersprężystej warstwie w kierunku osi X w obszarze materialnym X > 0 (rys..

2 Analiza numeryczna płaszczyzny fazowej dla fali biegnącej w materiale Zahorskiego 0 Rys.. Propagacja fali biegnącej w warstwie Warunki brzegowe dla odkształceń zadane są na powierzchni czołowej warstwy X = 0. Wprowadzono również założenie, że ruch opisany równaniem ( odbywa się bez przykładania dodatkowych sił kontaktowych na bocznych płaszczyznach warstwy X = ±h (por. [4]. Opis ruchu dla rozpatrywanej fali biegnącej przyjęto w następującej postaci [6]: ( X, t x= X + X ( X t x X x = ε = ( X+ u, W wyniku zastosowania procedury polegającej na uśrednieniu równań ruchu wzdłuż przekroju poprzecznego A warstwy (por. [5] i [6] oraz wprowadzeniu fazy ξ = X -Vt (gdzie V jest prędkością propagacji fali biegnącej o stałym profilu przemieszczającej się wzdłuż osi X, otrzymujemy równanie ruchu (por. [] h ( C+ C + C + C ( 4 6 ( C+ C + C ε C h ε (, ξ = ν ε 4, ξ + d ε + d h + ν ε 0, ξ C h ε, ξ 8 = (4 gdzie v= V /v 0, ν 0 = (µ/ρ R jest prędkością infinitezymalnych fal poprzecznych, a d i d są stałymi całkowania. Równanie (4 jest rozwiązaniem dla fali biegnącej (zależne od jednego parametru ξ, propagującej się z prędkością V w kierunku współrzędnej X. Wprowadzając transformację ζ = ( /hξ oraz oznaczenia zgodnie z [8], możemy zapisać (por. [8] i [6] (, F ε, D ε ζ = (5

3 04 I. Major, M. Major gdzie ( ε D ( D ε+ D+ ε ( + b ( b+ b+ b + b ( 6 F = (6, 4 ( b b ( + Stała D jest argumentem funkcji F, przyjmując różne wartości, możemy uzyskiwać różne kształty trajektorii fazowych na płaszczyźnie fazowej, natomiast parametry b, b, b i D określają charakter krzywych [8]. Wprowadzamy dalej oznaczenie y= ε ζ = F ε, (7, ( D i obliczamy pierwszą pochodną tego wyrażenia względem ξ y = ( ε D (8, ζ ε, ζ = F, Warunkiem koniecznym, aby punkt fazowy był punktem równowagi na płaszczyźnie fazowej, jest: y = ε y ζ, ζ = 0 = 0 F F ( ε, D = 0 ( ε, D = 0 Spełniając warunek konieczny równowagi (9 po podstawieniu wyrażenia (6 i eliminując stałą D, otrzymujemy równanie 5 [ ε ε( + b 8 6 ( + + b ( + ( b+ b+ b ] 0 ˆ = D (0 Poprzez linearyzację równań (7 i (8 można określić charakter każdej postaci równowagi (por. [6]. Przyjmując, że ε = ε e, y = 0 jest rozwiązaniem wyprowadzonego powyżej równania (0, zgodnie z (9, mamy dla tego punktu ( D = F ( ε, D 0 e, e = (9 F ε ( Dla warunku F"(ε e,d < 0 punkt osobliwy (równowagi na płaszczyźnie fazowej ma charakter centrum (stateczne położenie równowagi. Gdy F"(ε e,d >0, punkt osobliwy ma charakter siodła (niestateczne położenie równowagi. Natomiast dla przypadku, gdy F"(ε e, D = 0 otrzymujemy punkt wierzchołkowy []. Analizę numeryczną przeprowadzono dla funkcji F(ε, D w oparciu o równanie ( wyprowadzone dla materiału Zahorskiego. Stała D zgodnie z (0 jest równa ( 6 8 ( b+ b+ b + b( ( b D ε + ( = ε 5

4 Analiza numeryczna płaszczyzny fazowej dla fali biegnącej w materiale Zahorskiego 05 natomiast stałą D, zgodnie z warunkiem (9, określimy jako równą D + ( ε ε = 6 8 ( b+ b+ b + b ε ( 6 8 ( b+ b+ b + + b( + + ε ( + b ( Dla wybranej wartości ε możemy odpowiednio z warunków ( i ( wyznaczyć stałe D i D.. PARAMETRY TECHNICZNE ANALIZOWANYCH GUM Zgodnie z [] dla gumy: OKA- (twardość 50-5 Sh, OKB- (twardość Sh oraz OKD- (twardość 7-74 Sh zastosowano następujący skład mieszanki zamieszczony w tabeli. Tabela. Skład mieszanek gumowych Składniki w częściach wagowych Guma OKA- OKB- OKD- Czas walcowania w min Kauczuk naturalny I gat Stearyna,5,5 Tlenek cynku Merkapto, Thiuram 0, 0, 0, Sadza Furnal Siarka Pozostałe parametry analizowanych gum podano w tabelach i. Tabela. Stałe materiałowe gum Guma Stała C C C N/m N/m N/m OKA- 4, , , OKB- 4, , , OKD-, ,00,

5 06 I. Major, M. Major Tabela. Wytrzymałości mieszanek gumowych Guma OKA- OKB- OKD- Czas walcowania w min Temperatura walców C 0 Czas wulkanizacji w min at. 4 C Wytrzymałość w kn/m przy 500 mm/min ~,0 0 4 ~, ~,5 0 4 Wytrzymałość w kn/m przy 5 mm/min ~,05 0 4, ,9 0 4, ,8 0 4 Wydłużenie w % przy 5 mm/min ~5, , ,69 0 4, , 0 4. ANALIZA NUMERYCZNA W PROGRAMIE MATHCAD Analizę numeryczną przeprowadzono dla trzech gum, opisanych stałymi materiałowymi zgodnie z tabelą. a b Rys.. Wykresy: a rozkładów funkcji, odpowiednio przy ε = 0,5 dla F OKA (ε stała D = 0,5086, dla F OKB (ε stała D =,099 i dla F OKD (ε stała D = 0,657. Materiał Zahorskiego przy prędkościach odpowiednio: V OKA = 0 m/s, V OKB = 6,8 m/s, V OKD = 40 m/s, b trajektorii fazowych analizowanych gum

6 Analiza numeryczna płaszczyzny fazowej dla fali biegnącej w materiale Zahorskiego 07 Do obliczeń przyjęto gęstość gumy ρ = 90 kg/m oraz moduł sprężystości µ = N/m. Stałe D i D dla ε = 0,5 wyznaczono na podstawie ( i (. Dla gumy OKA- stałe b = 0,58, b = 0,0504, b = 0,09, D = 0,6 i D = = 0,5086. Dla gumy OKB- stałe b = 0,960, b = 0,058, b = 0,079, D = 0,4056 i D =,099. Dla gumy OKD- stałe b = 0,5689, b = 0, b = 0,07, D = 0,09 i D = 0,657. Prędkości, dla których otrzymano separatrysy, wynoszą odpowiednio: V OKA = 0 m/s, V OKB = 6,8 m/s i V OKD = 40 m/s. Rysunek b przedstawia trajektorie fazowe w układzie współrzędnych (ε,ζ = y,ε dla funkcji F(ε, znajdujących się na rysuku a dla materiału Zahorskiego. Wykres zależności F(ε sporządzono zgodnie z (6, natomiast wykres funkcji y(ε otrzymano z zależności y(ε = ± F(ε. PODSUMOWANIE Wykresy na rysunku zostały sporządzone dla różnych prędkości propagacji fal biegnących. Są to w przybliżeniu minimalne prędkości, przy których uzyskuje się separatrysę dla analizowanych gum: OKA-, OKB- i OKD-. Analiza potwierdziła, że prędkość uzależniona jest od rodzaju materiału. Im twardsza jest analizowana guma, tym prędkość fali bięgnącej potrzebna do uzyskania separatrysy musi być większa. W rozpatrywanych przypadkach gumy prędkości te odpowiednio wynosiły: V OKA = 0 m/s, V OKB = 6,8 m/s i V OKD = 40 m/s. Na podstawie powyższej analizy wykazano, że propagacja fal biegnących w cienkiej warstwie w obszarze wyznaczonym przez separatrysę jest solitonem. Możemy zauważyć różnice ilościowe w przebiegu trajektorii fazowych dla analizowanych rodzajów gum zamodelowanych jako materiał Zahorskiego. LITERATURA [] Major M., Major I., Traveling waves in a thin layer composed of nonlinear hyperelastic Zahorski's material, Journal of Theoretical and Applied Mechanics 009, 47,, [] Zahorski S., Doświadczalne badania niektórych własności mechanicznych gumy, Rozprawy Inżynierskie 96, 0(, [] Zahorski S., A form of elastic potential for rubber-like materials, Archives of Mechanics 959, 5, [4] Wright T.W., Nonlinear waves in rods, Proc. of the IUTAM Symposium on Finite Elasticity, D.E. Carlson and R.T. Shields (eds., 4-44, Martinus Nijhoff The Hague 98. [5] Kosiński S., Odbicie i ewolucja fali uderzeniowej w wybranych materiałach hipersprężystych, Wydawnictwo IPPT PAN, Warszawa 995. [6] Major M., Major I., Nonlinear traveling waves in a thin layer composed of the Mooney-Rivlin material, Journal of Theoretical and Applied Mechanics 007, 45,, [7] Truesdell C., Toupin R.A., The classical field theories, Handbuch der Physik, III/, Springer- -Verlag, Berlin 960. [8] Dai H.-H., Nonlinear dispersive waves in a circular rod composed of a Mooney - Rivlin material, Nonlinear elasticity: Theory and applications, London Mathematical Society Lecture Note Series 8, 9-4, London 00.