Twierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałązkowych

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk Twierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałązkowych Piotr Miłoś Praca doktorska napisana pod kierunkiem prof. dr hab. Tomasza Bojdeckiego Praca została wykonana częściowo w ramach projektu badawczego finansowanego przez MNiSzW, nr N21331/47 Warszawa 28

Spis treści Wstęp 3 1 Pomocnicze pojęcia i fakty 21 1.1 Rozkłady, procesy i pola stabilne........................ 21 1.2 Procesy samopodobne i zależności dalekiego zasięgu............. 26 1.3 Przestrzeń S i procesy o wartościach w S................... 28 1.4 Metoda czasoprzestrzenna............................ 3 1.5 Procesy z rozgałęzianiem............................. 31 1.6 Inne........................................ 33 2 Wyniki 35 2.1 Procesy z rozgałęzianiem krytycznym...................... 35 2.1.1 Procesy z rozgałęzianiem krytycznym o wariancji skończonej.... 35 2.1.2 Procesy z rozgałęzianiem krytycznym o wariancji nieskończonej... 37 2.1.3 Porównanie wyników i uwagi...................... 39 2.2 Procesy z rozgałęzianiem krytycznym i imigracją............... 41 2.3 Procesy z rozgałęzianiem podkrytycznym i imigracją............. 43 3 Dowody 47 3.1 Ogólny schemat rozwiązania........................... 47 3.1.1 Równanie dla jednej cząstki....................... 49 3.1.2 Oznaczenia................................ 52 3.2 Ciasność...................................... 53 3.2.1 Metoda drugich momentów....................... 53 3.2.2 Metoda czwartych momentów...................... 54 3.2.3 Metoda funkcji charakterystycznych.................. 54 3.3 Dowody twierdzeń z Sekcji 2.1......................... 55 3.3.1 Fakty pomocnicze............................ 55 1

3.3.2 Transformaty Laplace a......................... 56 3.3.3 Granice transformat Laplace a, identyfikacja granic i rodzaju zbieżności.................................... 58 3.4 Dowody twierdzeń z Sekcji 2.2......................... 7 3.4.1 Transformata Laplace a......................... 7 3.4.2 Granice transformat Laplace a..................... 71 3.4.3 Identyfikacja granic i rodzaju zbieżności................ 73 3.5 Dowód twierdzenia z Sekcji 2.3......................... 75 3.5.1 Fakty pomocnicze............................ 75 3.5.2 Transformata Laplace a......................... 76 3.5.3 Granice transformat Laplace a..................... 76 3.5.4 Identyfikacja granic i rodzaju zbieżności................ 78 4 Obliczenia - zbieżności transformat Laplace a 81 4.1 Układy z rozgałęzianiem o skończonej wariancji................ 81 4.2 Układy z rozgałęzianiem o nieskończonej wariancji.............. 9 4.3 Dowód Faktu 1.8................................. 98 4.4 Dowód Twierdzenia 1.3............................. 99 4.5 Układy z rozgałęzianiem krytycznym i z imigracją.............. 12 4.6 Układy z rozgałęzianiem podkrytycznym i z imigracją............ 17 5 Obliczenia - ciasność 113 5.1 Układy z rozgałęzianiem o wariancji skończonej - wymiary pośrednie.... 113 5.2 Układy z rozgałęzianiem o wariancji skończonej - wymiary duże....... 115 5.3 Układy z rozgałęzianiem o wariancji skończonej - wymiary krytyczne.... 118 5.4 Układy z rozgałęzianiem o wariancji nieskończonej.............. 12 5.5 Układy z rozgałęzianiem krytycznym i z imigracją.............. 121 5.6 Układy z rozgałęzianiem podkrytycznym i z imigracją............ 122 2

Wstęp Przedmiotem pracy jest przeskalowany proces fluktuacji czasu przebywania dla pewnej klasy układów gałązkowych (układów cząstek z rozgałęzianiem). Przedstawimy funkcyjne odpowiedniki centralnego twierdzenia granicznego. Badane procesy będą procesami ciągłymi o wartościach w przestrzeni dystrybucji temperowanych, dualnej do przestrzeni funkcji szybko malejących. Uzyskane wyniki pozwalają na lepsze zrozumienie dynamiki układów cząstek. Z drugiej strony pojawiają się pewne fakty i zjawiska, których fizyczna ( cząsteczkowa ) interpretacja nie jest jasna i które wymagają dalszych badań. Układy cząstek z rozgałęzianiem, superprocesy a ogólniej procesy o wartościach miarowych stanowią pole bardzo intensywnych badań. Jeden z frontów stanowią studia nad asymptotycznym zachowaniem się czasu przebywania. W dalszej części wstępu przybliżymy pojęcie czasu przebywanie, przeskalowanego czasu przebywania i jego fluktuacji. Następnie podamy definicję układów cząstek będących przedmiotem badania w rozprawie. W kolejnej części zarysujemy główne wyniki i prace obejmujące tematykę czasów i procesów przebywania. Wreszcie na końcu przedstawimy wyniki prezentowane w rozprawie. Taki układ ukaże zjawiska, które pojawiły się w toku badań autora rozprawy w szerszym kontekście studiów nad systemami cząstek. Przez (N t ) t oznaczmy proces o wartościach w miarach Radona na pewnej przestrzeni lokalnie zwartej E, jego czas przebywania do chwili T definiujemy jako zmienną losową miarową Y T (A) := T N s (A)ds, A B(E), gdzie B(E) oznacza zbiory borelowskie w przestrzeni E. Naturalnym rozszerzeniem jest przeskalowany proces przebywania. Przeskalowanym procesem przebywania do chwili T nazwiemy proces o wartościach miarowych (Y T (t)) t taki, że Y T (t) = T t N s ds, (.1) (we wzorze pominęliśmy zależność od zbioru). Zauważmy, że w oczywisty sposób czas przebywania Y T odpowiada rozkładowi jednowymiarowemu procesu Y T (1). Interesuje nas 3

sytuacja, gdy T +, tzn. gdy przyspieszamy czas. Badania wykazały, że w wielu przypadkach Y T T zbiega do wartości średniej - co stanowi odpowiednik prawa wielkich liczb. Naturalnym w takiej sytuacji jest pytanie o zachowanie odchylenia od średniej X T (t) = 1 F T T t (N s EN s ) ds, t, (.2) gdzie F T jest pewnym deterministycznym normowaniem potrzebnym do uzyskania nietrywialnej granicy, gdy T +. Badanie asymptotyki Y T, (Y T (t)) t i (X T (t)) t prowadzi do ciekawych wyników typu prawa wielkich liczb, twierdzenia ergodycznego, centralnego twierdzenia granicznego i zasady wielkich odchyleń. Jest oczywiste, że wyniki dotyczące przeskalowanych procesów czasu przebywania są trudniejsze do uzyskania niż wyniki dla czasów przebywania. Te pierwsze często prowadzą do twierdzeń w przestrzeniach funkcyjnych (np. do funkcyjnego centralnego twierdzenia granicznego) i wymagają zaawansowanych metod analizy stochastycznej. Są one o wiele głębsze nie tylko ze względu na techniczną elegancję, ale również dlatego, że ujawniają jednocześnie aspekt przestrzenny i czasowy zachowania procesu N pogłębiając tym samym jego zrozumienie. Przejdziemy teraz do definicji układu cząstek z rozgałęzianiem (lub inaczej układu gałązkowego. Jest to bardzo elastyczny model stochastyczny dopuszczający wiele modyfikacji. Jest przez to interesującym obiektem z matematycznego punktu widzenia, jak również pojawia się w sposób naturalny w opisie zjawisk w hydrologii, genetyce, geografii, ekologii, medycynie. Więcej informacji na ten temat zastosowań można znaleźć np. w [48] i [27]. Dla zachowania jasności poniższa definicja została uproszczona, tak by zarówno obejmowała wszystkie przypadki rozważane w rozprawie, jak i miała możliwe prosty i intuicyjny opis. Definicja modelu w przypadku ogólnym jest zawarta w [22, Chapter 3] i [35]. Układ cząstek z rozgałęzianiem składa się ze zbioru cząstek ewoluujących niezależnie. Jest on opisany matematycznie przez tzw. proces empiryczny (N t ) t, tzn. stan układu w danej chwili czasu t jest zadany przez podanie miary punktowej na przestrzeni stanów E (o której zakładamy, że jest lokalnie zwarta) N t = p P t δ pt, t, gdzie P t to zbiór cząstek w układzie w chwili czasu t, p t oznacza położenie cząstki p w chwili t, zaś δ. to delta Diraca. W czasie określonym zmienną losową o rozkładzie wykładniczym, zwany dalej czasem życia, cząstka p porusza się zgodnie z pewnym procesem Markowa o wartościach w przestrzeni stanów E. Po tym czasie następuje podział - cząstka ginie a na jej miejscu pojawiają się nowe cząstki - potomkowie, których liczba jest zadana 4

przez rozkład prawdopodobieństwa, zwany dalej prawem podziału. Nowe cząstki ewoluują zgodnie z tym samym schematem. Ruch cząstek, czas życia i zmienna określająca ilość potomków są niezależne a jedyne interakcje między cząstkami zachodzą podczas podziałów. Dla pełności dodajmy, że można rozpatrywać również uproszczony model - układ cząstek bez rozgałęziania - w którym cząstki nie giną. Można go traktować jako graniczny przypadek układu cząstek z rozgałęzianiem, w którym czas życia cząstki jest nieskończony. Z tego względu zjawiska występujące w układach bez rozgałęziania są często podobne (chociaż zwykle prostsze). Aby dopełnić opis konkretnego systemu należy jeszcze podać rozkład cząstek w chwili t = (zakładamy, że jest on punktową miarą losową niezależną od ewolucji systemu). To kończy definicję układu cząstek w najprostszym przypadku. W dalszej części rozpatrywać będziemy również systemy z imigracją, w których dopuszczamy pojawienie się cząstek w późniejszych chwilach, zgodnie z pewną zadaną losową miarą punktową określoną na iloczynie kartezjańskim czasu i przestrzeni [, + ) E. Okazuje się, że już taki pozornie prosty i intuicyjny w opisie model kryje bogate własności i jest wystarczająco ogólny do dalszych rozważań w rozprawie. Z matematycznego punktu widzenia powyższy model opisany jest przez proces Markowa o wartościach w przestrzeni miar punktowych. Formalna konstrukcja jest podana np. w [29] Inną, blisko związaną z teorią układów cząstek, klasą procesów Markowa o wartościach miarowych są superprocesy (procesy Dawsona-Watanabe). Pojawiają się one w sposób naturalny jako granice układów cząstek przy zwiększaniu ilości cząstek w chwili t = (oraz odpowiedniej zmianie innych parametrów). Procesy te nie będą badane w pracy, ale warto wspomnieć, że wiele wyników w teorii superprocesów jest analogicznych do wyników dla układów cząstek. Podamy teraz definicje układów cząstek, których badanie jest przedmiotem niniejszej rozprawy. Są one opisane przez następujące parametry: przestrzeń stanów, proces Markowa opisujący ruch cząstek, prawo rozgałęziania, rozkład początkowy i rozkład pola opisującego imigrację (w przypadku, gdy imigracja występuje). W układach rozpatrywanych w rozprawie ruch cząstek jest zadany przez sferycznie symetryczny proces α-stabilny Lévy ego w przestrzeni euklidesowej. Wspomnijmy już w tej chwili, że zachowanie samego systemu jak i przeskalowanego procesu czasu przebywania mocno zależy od wymiaru przestrzeni d. Ze względu na prawo podziału systemy dzielimy na następujące klasy (niech H będzie zmienną o rozkładzie zgodnym z prawem podziału) krytyczne, gdy EH = 1, podkrytyczne (subkrytyczne), gdy EH < 1, 5

nadkrytyczne (superkrytyczne), gdy EH > 1. Prawo podziału nazwiemy binarnym, gdy P(H {, 2}) = 1 (tj. albo cząstka ginie, albo dzieli się na dwie). Ponadto, oddzielnie rozważać będziemy przypadki, gdy prawo podziału ma skończoną i nieskończoną wariancję. W drugim przypadku będziemy badać rodzinę praw podziału parametryzowaną liczbą β, których funkcja tworząca zadana jest wzorem F (s) = s + 1 1 + β (1 s)1+β, β (, 1). (.3) Tak zadany rozkład jest krytyczny i leży w obszarze przyciągania zmiennej (1 + β)-stabilnej. W przypadku, gdy β = 1, wzór redukuje się do F (s) = 1 2 + 1 2 s2, który opisuje prawo binarne i krytyczne. Ma ono skończoną wariancję i jest rozpatrywane łącznie z prawami o skończonej wariancji. Poissonowską (losową) miarą punktową z miarą intensywności µ nazywać będziemy zmienną losową N o wartościach w miarach punktowych taką, że dla zbioru borelowskiego B spełniającego µ(b) < + zmienna N(B) ma rozkład Poissona o średniej µ(b). Ponadto zakładamy, że dla zbiorów rozłącznych B 1, B 2,..., B n, zmienne N(B 1 ), N(B 2 ),..., N(B n ) są niezależne. Rozkład spełniający powyższe warunki będziemy oznaczać przez P oiss(µ), a w przypadku miary Lebesgue a λ, krócej przez P oiss. W rozprawie badać będziemy cztery klasy procesów: klasa 1 - układy z rozgałęzianiem krytycznym o skończonej wariancji. Wiadomo z [28], że dla d > α systemy takie są zbieżne (w słabym sensie) do miary równowagowej Eq (będzie ona opisana w dalszej części Wstępu). Jako warunek początkowy przyjmujemy albo P oiss albo Eq. klasa 2 - układy z rozgałęzianiem zadanym przez funkcję tworzącą (.3) (o nieskończonej wariancji). Podobnie jak w poprzednim przypadku wiadomo z [28], że dla d > α/β systemy zbiegają do miary równowagowej Eq. Jako warunek początkowy przyjmujemy albo P oiss albo Eq. klasa 3 - układy z rozgałęzianiem binarnym i krytycznym, z imigracją. Imigracja zadana jest przez losową miarę poissonowską z intensywnością jednorodną w czasie i przestrzeni. Jako warunek początkowy przyjmiemy P oiss. klasa 4 - układy o rozgałęzianiu podkrytycznym i binarnym, z imigracją. Imigracja zadana jest przez losową miarę poissonowską z intensywnością jednorodną w czasie i przestrzeni. Jako warunek początkowy przyjmiemy P oiss. 6

W kolejnej części Wstępu dokonamy przeglądu wyników związanych z czasem przebywania i jego fluktuacjami. Wymieniamy tutaj jedynie prace najważniejsze i w większości blisko związane z tematyką przedstawioną w rozprawie. W kilku przypadkach pokazujemy też wyniki nieco odleglejsze, aby pokazać jak rozwijana teoria osadza się w nurcie badań nad systemami cząstek. Koncentrujemy się głównie na układach, w których przestrzenią stanów jest przestrzeń euklidesowa. Na początek przedstawimy wyniki dla systemów z rozgałęzianiem krytycznym bez imigracji, dla których otrzymano najciekawsze wyniki. Pionierskie badania dotyczące czasu przebywania układów cząstek pojawiły się w latach osiemdziesiątych w pracach [14] i [15] (pewne wyniki we wcześniejszych pracach np. [21]). Szczególnie interesująca z punktu widzenia tej rozprawy jest druga praca (tematem pierwszej jest prostszy przypadek układu bez rozgałęziania). Zawiera ona twierdzenie dotyczące czasu przebywania dla układu cząstek poruszających się ruchem Browna z rozgałęzianiem krytycznym i binarnym. Rozkład początkowy zdany jest przez losowe pole Poissona z miarą intensywności λ. Przedstawimy zawarte w pracy wyniki dokładnie, gdyż pomimo, że badany układ jest stosunkowo prosty, pojawiają się zjawiska obecne w innych modelach. Szczególnie ważny tutaj jest podział jakościowy wyników ze względu na wymiar przestrzeni stanów. Można wyróżnić dwie krytyczne wartości wymiaru d k1 = 2 i d k2 = 4, które stanowią punkty jakościowej zmiany wyników. Dla skrócenia dalszego opisu przyjmijmy d m na oznaczenie wymiarów małych spełniających d m < d k1, d p dla wymiarów pośrednich spełniających d k1 < d p < d k2 i d d na oznaczanie wymiarów dużych, dla których d d > d k2. Oczywiście w tym przypadku po prostu d m = 1, d p = 3 warto jednak zachować te oznaczenia ponieważ, jak zobaczymy później, analogiczny podział wyników ze względu na wymiary występuje w innych ogólniejszych modelach. Zachodzą następujące fakty (niech B oznacza ograniczony zbiór borelowski, a zbieżność słabą) dla d m zachodzi X T (B) X p.n i X B < + p.n, gdzie X B zależną od zbioru B, jest zmienną losową dla d k1 zachodzi X T (B) T XB, gdzie X B jest zmienną losową dodatnią zależną od zbioru B, ponadto w przypadku rozpatrywanego układu XB =d λ(b) X, gdzie X jest nieskończenie podzielną dodatnią zmienną losową, dla d p, d k2 i d d zachodzi X T (B) T EX 1 (B) (= λ(b)) p.n. Wyniki te są mniej zaskakujące w kontekście zachowania się układu cząstek. Pokazać bowiem można, że dla d m i d k1 zachodzi lokalne wymieranie, tj. lim P(N t(b) = ) = 1. t + 7

Co więcej w rozpatrywanym przypadku brownowskim można udowodnić (mimo że trudno znaleźć ten dowód w literaturze), że zachodzi mocniejsza zbieżność N t (B) p.n., możemy zatem podać intuicyjną interpretację. Mianowicie w dowolnym zbiorze ograniczonym po dostatecznie długim czasie (zależnym od zbioru) nie ma cząstek. W pierwszym przypadku wymieranie jest na tyle szybkie, że otrzymujemy zbieżność bez normalizacji. Ciekawszy jest przypadek drugi odpowiadający pewnemu twierdzeniu ergodycznemu. Zostanie on omówiony w dalszej części wstępu. Zauważmy, że w trzecim przypadku zachodzi analog prawa wielkich liczb, naturalnym w takiej sytuacji jest pytanie o tempo zbieżności. Prowadzi to do twierdzeń typu centralnego twierdzenie granicznego. Mianowicie dobieramy normowanie F T tak, aby dostać słabą zbieżność poniższego wyrażenia do nietrywialnej granicy L X T (B) T EX 1 (B) T L. F T Okazuje się, że badanie tego przypadku prowadzi do kolejnego podziału dla d p normowanie jest większe od normowania klasycznego - F T = T 3/4, dla d k2 normowanie jest prawie klasyczne - F T = (T log T ) 1/2, dla d d normowanie jest klasyczne - F T = T 1/2. W przypadku rozpatrywanego układu zmienna L ma rozkład N (, σ 2 ). Wzory na σ różnią się w poszczególnych przypadkach. Okazuje się, że to zróżnicowanie nie jest przypadkowe, w dalszej części wstępu przedstawimy prace, w których dokładniejsza - funkcyjna - analiza pokazuje, że granice różnią się jakościowo. Innym sposobem badania tempa zbieżności w prawie wielkich liczb są zasady wielkich odchyleń. Nie są one rozpatrywane w rozprawie, ale dla pełności przytoczymy najważniejsze wyniki z tej dziedziny. Przypomnijmy, że dla ciągu zbieżnego X n, mówimy, że spełniona jest zasada wielkich odchyleń, gdy lim h(n) log P (X n > t) = Λ(t), n + gdzie Λ jest nietrywialną funkcją, a h(n) wyznacza tempo zbieżności. Należy wspomnieć, że podział, który ukazał się podczas badania centralnego twierdzenia granicznego zachowuje się również dla zasad wielkich odchyleń. Dla d p tempo zbieżność jest mniejsze od klasycznego (h(t ) = T 1/2 ), dla d k2 klasyczne (h(t ) = T ). jest prawie klasyczne (h(t ) = T/(log T )) a dla d d jest Powyższe wyniki mają obecnie znaczenie raczej historyczne, zostały one bowiem uogólnione. Otóż wszystkie pojęcia wymienione powyżej dają się sformułować dla przeskalowanego procesu przebywania otrzymując ich odpowiedniki ze zbieżnościami w przestrzeniach 8

funkcyjnych. Jak już wspominano twierdzenia funkcyjne są trudniejsze do uzyskania, ale i znacznie mocniejsze (w sposób oczywisty implikują odpowiadające wyniki niefunkcyjne ), gdyż jednocześnie ujmują strukturę czasową i przestrzenną. W dalszej części pokażemy, jak one tłumaczą zależność wyników od wymiaru. Nadmieńmy jeszcze, że podobny podział występuje dla rozpatrywanych w [14] układów bez rozgałęziania, ale jest on prostszy i ogranicza się do przypadków odpowiadającym d k2 i d d. W pracy [41] rozpatrywano szeroką klasę procesów (obejmuje układy z ruchem α-stabilnym jako przypadek szczególny) i przy dosyć ogólnych założeniach pokazano twierdzenie typu prawa wielkich liczb. Na uwagę zasługuje praca [34], która przenosi zasadę wielkich odchyleń znaną z [15] na przypadek superprocesu brownowskiego i układu z rozgałęzianiem na Z d w wymiarach d p i s k2. Kolejny interesujący wyniki przedstawiony jest w pracy [19], udowodniona jest tutaj zasada wielkich odchyleń i twierdzenie graniczne w przestrzeni funkcyjnej dla układu cząstek poruszających się ruchem Browna bez rozgałęziania. Powyższe wyniki zostały w ciekawy sposób rozszerzone w pracach [39] i [2]. Autorzy zauważyli, że dla funkcji spełniających E X T, f = uzyskane wcześniej wyniki nie są optymalne. W tym przypadku udowodnili funkcyjne centralne twierdzenie graniczne z klasycznym normowaniem T 1/2 w szerokim zakresie wymiarów, w szczególności, co było zaskoczeniem, obowiązuje ono również dla wymiarów średnich, gdzie uprzednio potrzebne było normowanie nieklasyczne (np. T 3/4 ). W wymiarach d p poprawili też zasadę wielkich odchyleń, dowodząc ją dla T 1/4 X T, f zamiast X T, f. Ponadto należy dodać, że wyniki swoje pokazali dla szerokiej klasy procesów - z α-stabilnym ruchem cząstek. Na szczególną uwagę, z punktu widzenia tematyki rozprawy, zasługuje praca [33] obejmuje ona przypadek superprocesów z ruchem α-stabilnym i krytycznym rozgałęzianiem zadanym przez ogólną funkcję generującą (.3). W pracy dowiedzione są funkcyjne twierdzenia graniczne fluktuacji czasu przebywania. Są one bardzo podobne do wyników uzyskanych przez Bojdeckiego et al (omówionych poniżej). Co więcej podobne, choć prostsze, są też techniki dowodowe. Należy wspomnieć kilka słów o technicznej stronie problemu. Czas przebywania w zbiorze B - X T (B) jest zmienną o wartościach rzeczywistych. Zbieżności opisanie powyżej zwykle łatwo daje się uogólnić - prosta aproksymacja pozwala zastąpić X T (B) przez X T, h, gdzie h L 1. W toku badań okazało się, że często wygodną przestrzenią do formułowania twierdzeń granicznych dla układów cząstek jest przestrzeń dystrybucji temperowanych (tj. przestrzeń nuklearna, dualna do przestrzeni funkcji szybko malejących). Przy minimalnych założeniach miary są elementami S ( ), zatem wszystkie opisywane wielkości można wyrazić w tej przestrzeni traktując czas przebywania jako zmienną wartościach w S ( ). Podejście to jest zarówno efektywne, gdyż przestrzeń S ( ) ma dobre własności probabili- 9

styczne, jak i eleganckie. Okazuje się bowiem, że w pewnych przypadkach granice wyrażają się jako zmienne o wartościach w S ( ) i nie dają się wyrazić jako zmienne o wartościach w miarach. Analogicznie rozważmy proces fluktuacji na zbiorze B - (X T (t)(b)) t, oczywiste jest, że ma on ciągłe trajektorie. Rozpatrując X T (t), h lub Y T (t), h dla h L 1 można badać zbieżność procesów o trajektoriach w C([, 1], R). Podobnie jak poprzednio wygodne jest przejście do przestrzeni S ( ) i traktowanie przeskalowanego czasu przebywania i jego fluktuacji, jako procesów o trajektoriach w C([, 1], S ( )). Punktem wyjścia części rozważań w rozprawie były wyniki z serii prac Bojdeckiego et al. [7], [8], [9], [1]. Została w nich przedstawiona spójna teoria dotycząca zbieżności procesów fluktuacji przeskalowanego czasu przebywania dla układów cząstek z ruchem α-stabilnym i rozgałęzianiem binarnym, krytycznym i z rozgałęzianiem zadanym funkcją generującą (.3). Podkreślić należy, że uzyskana w pracach zbieżność, jest zbieżnością funkcyjną (poza przypadkiem, gdzie udowodniono, że zbieżność takowa nie zachodzi), co jest wynikiem bardzo mocnym, z którego trywialnie wynika szereg wyników uzyskanych wcześniej. Podobnie jak w omawianych już pracach zarysowuje się zróżnicowanie wyników ze względu na wymiar. Dla wymiarów pośrednich d p proces graniczny ma prostą strukturę przestrzenną i skomplikowaną strukturę czasową (daną przez pewien proces o zależnościach dalekiego zasięgu). Struktura czasowa w tym przypadku jest też odpowiedzialna za większe niż klasyczne normowanie potrzebne w centralnym twierdzeniu granicznym. Dla wymiarów dużych d d granica ma natomiast skomplikowaną strukturę przestrzenną a struktura czasowa jest prosta (proces o przyrostach niezależnych). Wyniki tych prac zostaną przestawione dokładniej przy prezentacji rezultatów rozprawy. Dychotomię wyników można próbować wyjaśnić w oparciu o zachowanie cząstek (czy raczej klanów cząstek, które zostały wprowadzone w pracy [49] i zostaną dokładniej omówione poniżej). W przypadku wymiarów małych ruch jest powracający (recurrent) i rozmywa strukturę przestrzenną, ale jednocześnie wprowadza silne zależności czasowe. Na odwrót w wymiarach dużych ruch jest chwilowy (transient) przez co struktura przestrzenna jest zachowana, ale nie powstają zależności czasowe. Dla wymiarów krytycznych uzyskano najprostsze rezultaty, prosta jest zarówno struktura przestrzenna i czasowa. Podobne wyniki zostały uzyskane w [3], [2]. Autorzy badali strukturę czasową fluktuacji przeskalowanego procesu czasu przebywania w punkcie dla przypadku błądzenia losowego w Z d z rozgałęzianiem. Pierwsza z prac zostanie jeszcze wspomniana przy przedstawieniu wyników tej rozprawy, z kolei druga zasługuje na uwagę ze względu na ogólniejsze prawo rozgałęziania dopuszczające zależność od ilości cząstek w danym punkcie przestrzeni. Wspomnieć należy, że badanie czasów przebywania dla układów na przestrzeniach dyskretnych również stanowi pole intensywnych badań. Wykracza to poza tematykę rozprawy, 1

dlatego wspomnimy jedynie prace [46], [38], w których można znaleźć dalsze referencje. We wspomnianej pracy [49] badane było zachowanie klanów. Nie wdając się w ścisłą definicję, klanem nazwiemy zbiór cząstek, które mają wspólnego przodka w odległej przeszłości. W pracy zostało udowodnione, że w przypadku układów cząstek poruszających się ruchem Browna z rozgałęzianiem binarnym krytycznym startujących z miary równowagowej, dla wymiarów d = 3 i d = 4 każda kula jest odwiedzana przez każdy klan dla dowolnie dużych czasów (klan jest powracający). Natomiast dla d 5 każdy klan opuszcza dowolną kulę po skończonym czasie (klan jest chwilowy). Wynik w podobnym duchu został uzyskany w imponującej pracy [17]. Badany przez autorów model jest bardziej skomplikowany, gdyż oprócz standardowego rozgałęziania cząstek, dopuszcza też rozgałęzianie całych klanów, a ponadto przestrzenią stanów jest dowolna lokalnie zwarta grupa abelowa. Okazuje się, że kluczowe znaczenie dla zachowania systemu i dla pojawienia się nieklasycznych normowań w centralnym twierdzeniu granicznym dla czasu przebywania ma zachowanie kolejnych potęg operator Greena G = + T s ds, gdzie T s to półgrupa odpowiadająca ruchowi cząstki. Druga potęga określa zachowanie asymptotyczne klanów. To z kolei bezpośrednio przenosi się na zachowanie czasów przebywania dla układów z rozgałęzianiem cząstek. Gdy G 2 = + pojawiają się zależności dalekozasięgowe między cząstkami, które z kolei implikują nieklasyczne normowania potrzebne do uzyskania centralnego twierdzenia granicznego, które można wyznaczyć badając tempo wzrostu t G t G. Jeśli natomiast G 2 < +, to nie ma zależności dalekiego zasięgu, a normowanie jest klasyczne T 1/2. Równie ciekawe wyniki otrzymano dla wymiarów krytycznych. Pionierska tutaj była wspomniana już praca [15], wspomnieć należy także prace [25] i [32], które dotyczą pewnych klas superprocesów. Mocny wynik został przedstawiony w pracy [5], gdzie udowodniono twierdzenie ergodyczne w przestrzeni funkcyjnej. Pozwala on spojrzeć jednocześnie na strukturę czasową i przestrzenną. W tym przypadku struktura czasowa jest zadana przez pewien proces o rozkładach nieskończenie podzielnych a struktura przestrzenna przez miarę Lebesgue a. Wszystkie opisane powyżej wyniki dotyczą układów cząstek bez imigracji. Dodanie imigracji może znacząco zmienić zachowanie systemu cząstek i uzyskane wyniki a ponadto umożliwia badanie systemu z rozgałęzianiem podkrytycznym, dla którego uprzednio, ze względu na szybkie - globalne - wymieranie, badanie fluktuacji czasów przebywania nie miało sensu. Systemy te nie doczekały się jeszcze równie dogłębnego zbadania, wśród znanych wcześniej wyników wspomnimy prace [35], [3], [26] i [31]. Szczególnie interesująca jest ostatnia, w której dla superprocesu z rozgałęzianiem binarnym, podkrytycznym dowiedziono centralne twierdzenie graniczne dla czasu przebywania przy bardzo ogólnych założeniach dotyczących ruchu cząstek. Pomimo, że założenia dotyczące rozgałęziania są 11

restrykcyjne, wynik ten sugeruje, że teoria dla układów z imigracją jest prostsza i bardziej jednorodna. W przypadku podkrytycznym zanika podział wyników ze względu na wymiary. Potwierdzają to również wyniki przedstawione w rozprawie. Wspomniano już fakt, że system cząstek z rozgałęzianiem jest procesem Markowa. W naturalny sposób pojawia się pytanie o jego rozkład stacjonarny, który będziemy nazywać miarą równowagową. W przypadku systemów cząstek bez rozgałęziania odpowiedź jest prosta. Jeżeli miarą niezmienniczą dla ruchu pojedynczej cząstki jest µ, to miarą stacjonarną jest P oiss(µ) losowa miara Poissona z miarą intensywności µ. W przypadku układów cząstek z rozgałęzianiem pytanie jest znacznie trudniejsze. Różne wyniki dotyczące tej tematyki można znaleźć np. w [16], [4], [24] i [28]. Szczególnie interesujące, z punktu widzenia tej rozprawy, są wyniki z ostatniej pracy. Autorzy rozpatrują system cząstek (N t ) t poruszających się ruchem α-stabilnym w i rozgałęziających zgodnie z prawem zadanym przez (.3). Naśladując ich terminologię mówimy, że system (N t ) t jest trwały (ang. persistent), gdy jego średnia intensywność (tj. EN t ) jest zachowana przy przejściu do granicy t +. Pojęcie to okazało się blisko związane ze wspomnianym pojęciem lokalnego wymierania. Nie zachodzą bowiem przypadki pośrednie. System albo jest trwały, co oznacza, że średnia ilość cząstek w zbiorze pozostaje stała, albo zachodzi lokalne wymieranie i średnia ilość cząstek dąży do. Korzystając z zaawansowanych technik autorzy dowodzą, że wspomniany system (N t ) t jest trwały wtedy i tylko wtedy, gdy d > α/β. Co więcej, jeśli system jest trwały, to istnieje miara równowagowa i system startujący z P oiss dąży do niej. Sama miara równowagowa stanowi obiekt oddzielnych badań. Wyniki dla różnych modeli można znaleźć w [35], [18] i [51]. Badana jest w nich struktura wielkoskalowa miary równowagowej - np. w [51] okazuje się, że przy przeskalowaniu przestrzeni i odpowiednim (nieklasycznym) normowaniu otrzymujemy w granicy losowe pole gaussowskie. Jego struktura kowariancji i wspomniane już nieklasyczne normowanie wskazują na silne zależności przestrzenne w mierze równowagowej. Przechodzimy teraz do omówienia wyników rozprawy. Część z nich została opublikowana w [43], [44]. Otrzymano szereg twierdzeń granicznych typu funkcyjnego centralnego twierdzenia granicznego dla procesów fluktuacji przeskalowanego procesu przebywania dla klas systemów cząstek opisanych w drugiej części wstępu. Procesy te traktowano jako procesy o wartościach w S ( ) i pokazano w większości przypadków zbieżność słabą w przestrzeni C([, 1], S ( )). Badania te w naturalny sposób wpisują się w program badawczy przedstawiony w cyklu prac Bojdeckiego et al. [7], [8], [9], [1], [12], [11]. Wyniki podzielone są na trzy części (którym odpowiadają podsekcje w Rozdziale 2). 12

Pierwsza część dotyczy procesów z klasy 1 i 2. Klasa 1 jest rozszerzeniem systemów rozpatrywanych w pracach [7], [8]. Przytoczymy na początek wyniki z tych prac. Rozpatrywano w nich system cząstek poruszających się ruchem α-stabilnym w przestrzeni, prawo rozgałęziania było krytyczne i binarne, jako rozkład początkowy przyjęto P oiss. Dla odpowiednio znormalizowanego procesu fluktuacji przeskalowanego czasu przebywania udowodniono funkcyjne centralne twierdzenia graniczne. Podkreślić należy, że wyniki silnie zależą od wymiaru przestrzeni. Dla wymiarów pośrednich, α < d < 2α, w granicy otrzymano proces o prostej, jednorodnej strukturze przestrzennej (miara Lebesgue a) i o skomplikowanej strukturze czasowej opisanej przez pewien proces gaussowski ζ (nazwany podułamkowym procesem Browna - patrz Definicja 1.7) o zależności dalekozasięgowej. Wymiary duże, d > 2α, cechują się jakościowo innym zachowaniem - proces graniczny ma prostą strukturę czasową, jest to proces gaussowski o przyrostach niezależnych, ale jego wartości są zmiennymi losowymi w przestrzeni S ( ). Zaznaczmy, że wybór przestrzeni S ( ) okazał się nie tylko trafnym zabiegiem technicznym, ale również naturalnym wyborem. Dla przypadku wymiarów dużych proces graniczny nie może być przedstawiony jako proces o wartościach w miarach. Dla wymiaru krytycznego, d = 2α, prosta jest zarówno struktura czasowa jak i przestrzenna, a mianowicie granicą jest Kγλ, gdzie tym razem γ jest standardowym procesem Browna. Celem badań opisanych w rozprawie było rozszerzenie tych wyników. W pracach [43], [44] uczyniono to na dwa sposoby. Po pierwsze pokazano, że wyniki zachowują się, jeśli zastąpić binarne i krytyczne prawo rozgałęziania dowolnym prawem o wariancji skończonej (Twierdzenia 2.1, 2.2, 2.3 z niewielkimi zastrzeżeniami z Uwagi 2.3). Wynik ten był raczej spodziewany, ale otrzymane potwierdzenie słuszności wcześniejszych intuicji wydaje się mieć pewną wartość. Po drugie zbadano zachowanie systemu startującego z miary równowagowej. Z pracy [28] wiadomo było, że istnieje ona, o ile d > α, ponadto zgrubne obliczenia z [7] sugerowały możliwość otrzymania zaskakujących wyników. Badania potwierdziły to - w wymiarach pośrednich, α < d < 2α, (Twierdzenie 2.1) otrzymano w granicy proces o strukturze przestrzennej zadanej przez ułamkowy proces Browna i strukturze przestrzennej zadanej przez miarę Lebesgue a. Struktura czasowa jest inna niż dla przypadku systemu startującego z rozkładu poissonowskiego. Wynik zasługuje na uwagę, bo miara równowagowa jest granicą, do której zbiega system startujący z P oiss i wydawać by się mogło, że wyniki dla niej powinny być takie same. W przeciwieństwie do tego przypadku, dla wymiarów krytycznych, d = 2α, i dużych, d > 2α, (Twierdzenia 2.2 i 2.3) proces graniczny w obu przypadkach jest taki sam. Nie jest znane intuicyjne wyjaśnienie tego zjawiska. Można jedynie się do- 13

myślać, że odpowiedzialne za to są zależności czasowe między cząstkami z jednego klanu (opisane dla szczególnego przypadku w [49]), które w wymiarach pośrednich, α < d < 2α, są na tyle mocne by zachować pamięć o rozkładzie początkowym a w wymiarach dużych są słabe i rozkład początkowy jest zapominany. Badania analogicznego systemu w dyskretnej przestrzeni Z d ujęte w pracach [2] i [3] ukazały podobne zjawiska. Badany przez autorów system odpowiada przypadkowi cząstek poruszających się ruchem Browna (α = 2) z rozgałęzianiem o wariancji skończonej. Struktura czasowa procesu fluktuacji przeskalowanego procesu przebywania (w pracach nie badano struktury przestrzennej) uległa zmianie przy zmianie rozkładu początkowego z jednorodnego poissonowskiego na miarę równowagową. Warto podkreślić, że metody dowodowe w pracach [2] i [3] są całkowicie odmienne od naszych. Procesy ułamkowy i podułamkowy są z sobą blisko związane, w pracy [23] został przedstawiony rozkład procesu ułamkowego na sumę dwóch procesów niezależnych, z których jeden jest podułamowym ruchem Browna. Oba są procesami samopodobnymi o dalekozasięgowej strukturze zależności, mocniejszej dla ułamkowego procesu, który ponadto ma stacjonarne przyrosty. Klasa 2 jest rozszerzeniem systemów badanych w pracach [9], [1]. Układy te składają się z cząstek poruszających się ruchem α-stabilnym w przestrzeni, prawo rozgałęziania zadane przez funkcję tworzącą (.3) było krytyczne o nieskończonej wariancji, jako rozkład początkowy przyjęto P oiss. Otrzymano wyniki analogiczne do przypadku układu z rozgałęzianiem binarnym. W wymiarach pośrednich, α β < d < α(1+β) β, granicą fluktuacji przeskalowanego czasu przebywania jest proces o skomplikowanej strukturze czasowej, tym razem proces (1 + β)-stabilny, który przez analogię do przypadku gaussowskiego nazwany został podułamkowym procesem stabilnym a struktura przestrzenna jest zadana przez miarę Lebesgue a λ. W przypadku wymiarów dużych, d > α(1+β) β, proces graniczny jest pewnym procesem stabilnym o wartościach w S ( ) i o przyrostach niezależnych. Najprostsze wyniki uzyskano w przypadku wymiarów krytycznych, d = α(1+β) β, mianowicie struktura przestrzenna procesu granicznego jest dana miarą Lebesgue a λ a czasowa pewnym procesem stabilnym o przyrostach niezależnych. W rozprawie zbadano fluktuacje czasu przebywania dla układu startującego z miary równowagowej; wyniki zostały zawarte w pracy [42]. Podobnie jak w przypadku układów z rozgałęzianiem binarnym dla wymiarów pośrednich, α β < d < α(1+β) β, (Twierdzenie 2.4) otrzymano proces różniący się od procesu otrzymanego w [9]. Jego struktura czasowa dana jest przez ułamkowy proces stabilny (czy raczej przez jego pewną, jak się wydaje nową, wersję) a przestrzenna przez miarę Lebesgue a λ. Dodajmy, że procesy ułamkowy i podułamkowy stabil- 14

ny są względem siebie w podobnej zależności jak ułamkowy i podułamkowy proces Browna. Oba są procesami samopodobnymi o dalekozasięgowej strukturze zależności, mocniejszej dla ułamkowego procesu stabilnego, który ponadto ma stacjonarne przyrosty. W przypadku wymiarów krytycznych, d = α(1+β) β, i dużych, d > α(1+β) β, (Twierdzenia 2.5 i 2.6) nie nastąpiła zmiana granicy. Podobnie jak poprzednio, nie jest znane intuicyjne wyjaśnienie, ale podobieństwo wyników pozwala sformułować pewnego rodzaju meta-twierdzenie. Granica fluktuacji procesów przebywania jest wrażliwa na warunki początkowe wtedy i tylko wtedy, gdy ma nietrywialną strukturę czasową. Twierdzenia dla klasy 1 i klasy 2 są podobne, co wynika z faktu, że prawo podziału (.3) dla β = 1 redukuje się do prawa krytycznego, binarnego. Istotnie różnią się natomiast metody dowodowe. Druga część dotyczy procesów z klasy 3. Podobnie jak poprzednio, wyniki zależą od wymiaru przestrzeni. Dla wymiarów małych i pośrednich, d < 2α, (Twierdzenie 2.7) udowodniono zbieżność fluktuacji przeskalowanego procesu przebywania do procesu o skomplikowanej strukturze czasowej danej przez pewien samopodobny proces gaussowski o zależności dalekozasięgowej i strukturze przestrzennej danej przez miarę Lebesgue a. Ciekawym zjawiskiem jest to, że wyniki można uzyskać również dla wymiarów małych, d < α. Jest to związane bezpośrednio z faktem, że imigracja eliminuje zjawisko lokalnego wymierania układu, gdyż w każdej kuli pojawiają się cząstki dla dowolnie dużych momentów czasu. W przypadku wymiarów dużych, d > 2α, (Twierdzenie 2.9) podobnie jak w przypadku bez imigracji otrzymujemy pewien proces o przyrostach niezależnych i wartościach w S ( ). Najprostszy jest przypadek wymiarów krytycznych, d = 2α (Twierdzenie 2.8), gdzie w granicy uzyskano proces o prostej strukturze przestrzennej danej przez miarę Lebesgue a i czasowej danej przez proces o przyrostach niezależnych (proces Wienera z przyspieszonym czasem). Dodajmy ponadto, że wyniki nie zależą od rozkładu początkowego. Układ ten rozpatrywano już w [26] dla wymiarów pośrednich, α < d < 2α, dowodząc jedynie zbieżność odpowiednich kowariancji. Trzecia część dotyczy procesów z klasy 4. Czas przebywania dla takich procesów jest badany po raz pierwszy. Imigracja i rozgałęzianie są tutaj antagonistycznymi siłami, z których pierwsza powoduje zwiększanie liczby cząstek a druga zmniejszanie. Zachowanie graniczne zdeterminowane jest przez równowagę, która ustala się między nimi. W przypadku tej klasy otrzymano wynik zasługujący na uwagę (Twierdzenie 2.1). Okazuje się bowiem, że zanikają różnice w zachowaniu się układu w różnych 15

wymiarach a uzyskany wynik jest jakościowo taki sam dla wszystkich wymiarów. Jest to pewien proces Wienera o wartościach w S ( ), który swoją postacią przypomina wyniki uzyskane dla układów z klasy 1 (bez imigracji) w wymiarach dużych. Wyniki te można zinterpretować w sposób intuicyjny. Zauważmy na początek, że czas życia rodziny zapoczątkowanej przez jedną cząstkę jest krótki (jest to zmienna o rozkładzie wykładniczym). Zatem cząstki w odległych chwilach czasu nie mają z sobą nic wspólnego, stąd niezależność przyrostów w procesie granicznym. Trudniejsze jest wyjaśnienie struktury przestrzennej, w innych przypadkach kluczowe znaczenie dla granicy miały własności ruchu pojedynczej cząstki. Dla układu z klasy 3, w wymiarach małych ruch cząstek jest powracający i wygładza fluktuacje w przestrzeni do miary Lebesgue a. Przy rozgałęzianiu podkrytycznym cząstki wymierają szybko, stąd nierówności przestrzenne są zachowane. Wyjaśnienie to nie jest oczywiście ścisłym rozumowaniem i nie jest całkowicie poprawne dla wymiarów średnich, niemniej daje intuicję na temat zachowaniu układu. Dodajmy, że podobnie jak w przypadku układów z rozgałęzianiem krytycznym z klasy 3 wyniki uzyskano dla wszystkich wymiarów a ponadto nie zależą one od rozkładu początkowego. Główny schemat dowodów twierdzeń przedstawionych w rozprawie był podobny jak w serii prac [7], [8], [9], [1], [11]. W niektórych miejscach obliczenia były jednak znacząco dłuższe i wymagały pokonania nowych trudności technicznych. Przypadek imigracji podkrytycznej wymagał nowego, oryginalnego sposobu szacowania wyrażeń w oparciu o nowe równania. Na koniec przedstawimy kilka pytań, które zrodziły się podczas powstawania pracy i mogą stanowić ciekawe propozycje badawcze. Przedstawione modele kryją wiele możliwości uogólnień. W [11] przedstawiono wyniki dla układów startujących z pewnych rozkładów niejednorodnych w czasie. Możliwe jest badanie dalszych rozkładów. W przypadku rozgałęziania o nieskończonej wariancji rozpatrywano tylko szczególne prawo o postaci funkcji tworzącej (.3), prawdopodobnie dla postaci granicy znaczenie ma jedynie asymptotyczne zachowanie rozkładu (tj. indeks zmiennej stabilnej w obszarze której leży dany rozkład). Możliwe wreszcie jest rozszerzenie klasy procesów przyjmowanych za ruch cząstek, na początek do procesów o rozkładach nieskończenie podzielnych. Wyniki z [31] wskazują, że może to być najłatwiejsze dla przypadku układów podkrytycznych. Dla układów z imigracją rozpatrywano jedynie binarne prawa podziału. Kolejnym 16

krokiem byłoby zbadanie innych bardziej skomplikowanych praw. Praca [31] sugeruje, że możliwe jest otrzymanie wyników dotyczących zbieżności fluktuacji przeskalowanego czasu przebywania dla znacznie szerszej klasy układów z bardziej ogólnym ruchem cząstek. Miara równowagowa dla układów z klasy 1 i klasy 2 z rozgałęzianiem krytycznym nie została dostatecznie dobrze zbadana. Być może da się uzyskać wyniki analogiczne do wyników z [51]. W pracy [12] badane są fluktuacje przeskalowanego czasu przebywania przy zwiększaniu intensywności początkowego rozkładu cząstek. Pozwala to w nietrywialny sposób uzyskać wyniki dla wymiarów małych. W rozpatrywanych w rozprawie przypadkach układów z imigracją rozkład początkowy nie miał wpływu na granicę. Poprzez zwiększanie jego intensywności i odpowiednie normowanie można by zwiększyć jego wpływ na tyle, by miał znaczenie i otrzymać inną postać granicy. W pracy [2] ciekawe wyniki uzyskano zawężając klasę funkcji testujących f, dla których badano zbieżność Y T, f do takich funkcji, że E N 1, f =. Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla układów badanych w rozprawie. W pracy [17] przedstawiono wyniki dla ogólniejszej klasy rozgałęzień, dopuszczających też rozgałęzianie klanów. Uzyskano zbieżność jedynie dla czasów przebywania. Odpowiednie twierdzenie funkcyjne mogłoby być bardzo ciekawym wynikiem. We wszystkich znanych autorowi przykładach imigracja była zadana przez losową miarę Poissona. Ciekawa byłoby zmiana tej miary na inną. Przykładowo taką, której rozkład przestrzenny jest miarą równowagową dla jakiegoś układu cząstek. W pracy [2] badano układ, który jest dyskretnym odpowiednikiem niektórych układów rozpatrywanych przez Bojdeckiego et. al. Stosując zupełnie inne metody dowodowe uzyskano analogiczne wyniki, łącznie z zależnością granicy od rozkładu startowego dla wymiarów pośrednich. Bardzo interesująca byłaby ogólna metoda pozwalająca przenosić wyniki między modelami dyskretnymi i ciągłymi. Dla intuicyjnego zrozumienia wyników zaprezentowanych w rozprawie bardzo pożyteczne byłoby przeniesienie wyników z pracy [49] na temat zachowania się klanów cząstek dla szerszej klasy układów cząstek. Układ dalszych części pracy jest następujący. W Rozdziale 1 zbieramy fakty i pojęcia używane w dalszych częściach. Nie ma tu nowych wyników (z wyjątkiem Definicji 1.9 i 17

Twierdzenia 1.3). Główne twierdzenia rozprawy przedstawione są w Rozdziale 2. Dowodami tych twierdzeń zajmujemy się w Rozdziale 3. Podziękowania Pragnę wyrazić wdzięczność Promotorowi, prof. Tomaszowi Bojdeckiemu, który wprowadził mnie w tematykę procesów gałązkowych i fluktuacji czasu przebywania. Jego pomoc, wskazówki i uwagi były drogowskazem podczas całej mojej pracy nad doktoratem. Dzięki jego wielokrotnym korektom rozprawa ta przybrała ostateczną postać. Chciałbym też podziękować całemu Zakładowi Rachunku Prawdopodobieństwa Uniwerstytetu Warszawskiego, prof. Jerzemu Zabczykowi i doktorantom z Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego oraz Instytutu Matematycznego PAN, którzy byli dla mnie źródłem niewyczerpanej naukowej inspiracji. Dziękuję prof. Luisowi L. Gorostizie za pomoc i uwagi dotyczące moich publikacji. Osobne podziękowania kieruję Mojej rodzinie, Rodzicom i Grzegorzowi za pomoc i wsparcie. 18

Lista symboli = d - równość rozkładów, λ, λ d - miara Lebesgue a, miara Lebesgue a w, Poiss(µ), Poiss(E, µ) - pole poissonowskie na przestrzenie E z miarą intensywności µ zgodnie z Definicją 1.16, X T - przeskalowany proces fluktuacji czasu przebywania dany równaniem (.2), F T - normowanie deterministyczne występujące w procesie danym przez (.2), N t, N Eq t, Nt P oiss, Nt x - proces empiryczny odowiadający pewnemu układowi cząstek z rozgałęzianiem, δ x - delta Diraca w x,, - relacja dualności, z reguły między S ( ) i S( ), ζ - podułamkowy proces Browna/stabilny dany przez Definicję 1.7/1.8, ξ - ułamkowy proces Browna/stabilny dany przez Definicję 1.6/1.9, T t, p t, α, G - półgrupa standardowego proces α-stabilnego, Lévy ego, jej gęstość, operator infinitezymalny (laplasjan ułamkowy) i operator potencjału (patrz Fakt 1.3), - splot, z - sprzężenie zespolone, ϕ - transformata Fouriera ϕ, κ - wykładnik zależności (patrz Definicja 1.1), S( ) - funkcje szybkomalejące, przestrzeń Schwartza z Definicji 1.11, jej elementy zwykle oznaczmy przez ϕ, φ, χ, S ( ) - przestrzeń dystrybucji temperowanych z Definicji 1.12, C(X, Y ) - przestrzeń funkcji ciągłych o argumetnach w X i wartościach w Y, i, c, f - odpowiednio zbieżność czasoprzestrzenna, funkcjonalna i rozkładów skończenie wymiarowych (patrz Sekcja 1.4), X - zmienna czasoprzestrzenna odpwiadająca procesowi X (patrz Sekcja 1.4), Eq - miara równowagowa zdefiniowana wzorem (1.19), F, M, G, g - F zwykle oznacza funkcję tworzącą rozkładu prawdopodobieństwa, M jest dane 2.2, G przez (3.6) a g to funkcja jej odpowiadająca z Faktu 3.3, - produkt tensorowy, - zbieżność wg. rozkładu, v Ψ, v T - funkcje dana wzorem (3.5), n Ψ, n T - funkcje dana wzorem (3.25), V T - funkcja dana wzorem (3.34), ṽ Ψ, ṽ T - funkcje określona wzorem (3.11), 19

u Ψ, u T - funkcje okrślona wzorem (3.111), Ψ T, Φ T, ϕ, χ, ϕ T, χ T, ψ - oznaczenia przedstawione w Sekcji 3.1.2, ponadto zaznaczmy, że w dowodach zbieżności zakładmy często, że są one nieujemne (patrz Sekcja 3.1). W większości dowodów funkcje te są ustalone. c, c 1,..., C, C 1,... - stałe, zależne jedynie od ustalonych wielkości. W dowodach najczęściej zależą one od Ψ, Φ, które zgodnie ze schematem opisanym w Sekcji 3.1 są ustalone. 2

Rozdział 1 Pomocnicze pojęcia i fakty 1.1 Rozkłady, procesy i pola stabilne W tej sekcji przypomnimy krótko podstawowe pojęcia dotyczące zmiennych i procesów stabilnych a także zarysujemy teorię całkowania względem stabilnych pól losowych. Jednym z wielu źródeł informacji na temat zmiennych poniższych pojęć jest książka [47]. Na początek przypomnijmy pojęcie zmiennej stabilnej. Definicja 1.1. Zmienną losową X o wartościach w nazwiemy stabilną, gdy dla dowolnych liczb dodatnich a i b istnieją liczby c i d takie, że zachodzi ax (1) + bx (2) = d cx + d, gdzie X (1), X (2) są niezależnymi kopiami X. Jeżeli ponadto założymy, że d =, to zmienną nazywamy ściśle stabilną. Uwaga 1.1. Można pokazać ([47, Theorem 1.1.1]), że definicja wymusza zależność a α + b α = c α, dla pewnej α (, 2]. α, która jest nazywana indeksem stabilności. Zmienną o indeksie α nazywamy krótko zmienną α-stabilną. Zmienne o wartościach w R mają szczególnie prostą postać i mogą być scharakteryzowane za pomocą czterech parametrów. Fakt 1.1 ([47, Definition 1.1.4 ]). Zmienna X o wartościach w R jest stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją α (, 2], β [ 1, 1], σ i µ R takie, że funkcja charakterystyczna ma postać exp { α θ α (1 iβ(sgnθ) tan πα 2 Eexp(iθX) = ) + iµθ}, gdy α 1, } exp { σ θ (1 + iβ 2 π (sgnθ) log θ) + iµθ, gdy α = 1. 21

Uwaga 1.2. Liczby σ, µ, β są nazywane parametrami skali, przesunięcia i skręcenia zmiennej α-stabilnej. W przypadku, gdy β = 1 zmienną nazwiemy całkowicie skręconą w prawo. W przypadku gdy α = 2 rozkład jest gaussowski a parametr β nie ma znaczenia. Wielowymiarowe rozkłady α-stabilne również zostały dobrze zbadane. Do ich charakteryzacji potrzebny jest wektor µ i miara skończona Γ na sferze jednostkowej. Fakt 1.2 ([47, Theorem 2.3.1 ]). Niech < α 2. Zmienna X o wartościach w jest α-stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje miara skończona Γ na sferze jednostkowej S d i wektor µ taki, że funkcja charakterystyczna ma postać E exp(i θ, X ) = exp { S d θ, s α (1 isgn( θ, s ) tan πα 2 )Γ(ds) + i θ, µ }, gdy α 1 exp { } S d θ, s α (1 + i 2 π sgn( θ, s ) log θ, s )Γ(ds) + i θ, µ, gdy α = 1 Ponadto, jeżeli α 2, to para (Γ, µ) jest wyznaczona jednoznacznie. Uwaga 1.3. Charakteryzacja wektora gaussowskiego (α = 2) jest znacznie prostsza. Zachodzi wzajemna odpowiedniość między rozkładami scentrowanych wektorów gaussowskich X a macierzami dodatnio określonymi M. Jest ona dana zależnością M = [Cov(X i, X j ) i,j ]. Do określenia niescentrowanego wektora gaussowskiego X potrzebny jest jeszcze wektor jego wartości średnich µ = EX. Geometryczne własności miary Γ przenoszą się na własności rozkładu. Jeśli miara Γ jest jednorodna i µ =, to otrzymany rozkład jest sferycznie symetryczny. Przejdziemy teraz do definicji procesów. Definicja 1.2. Procesem α-stabilnym nazwiemy proces, którego rozkłady skończenie wymiarowe są α-stabilne. Definicja 1.3. Proces (ς t ) t nazywamy sferycznie symetrycznym α-stabilnym procesem Lévy ego w, gdy ς = ma przyrosty niezależne i stacjonarne a ς 1 jest zmienną losową o rozkładzie α-stabilnym sferycznie symetrycznym w, zadanym przez jednorodną miarę probabilistyczną Γ. Ponadto zakładamy, że proces ς ma trajektorie cádlág. W rozprawie na oznaczenie tego procesu będziemy stosować skróconą nazwę standardowy proces α-stabilny (Lévy ego). Poniższy fakt podsumowuje własności standardowego procesu α-stabilnego wykorzystywane w dowodach w rozprawie. 22

Fakt 1.3. Niech (ς t ) t będzie symetrycznie sferycznym procesem α-stabilnym w. Wtedy 1. (ς t ) t jest procesem Markowa z miarą niezmienniczą λ (miara Lebesgue a). 2. Dla procesu (ς t ) t istnieje gęstość przejścia. Oznaczmy ją przez p. p ma własność samopodobieństwa ponadto dla < α < 2 zachodzi szacowanie p t (x) = t d α p1 (xt 1 α ), t, (1.1) c 1 1 + x d+α p 1(x) dla pewnych dodatnich stałych c 1 i c 2. 3. Załóżmy, że q > d d+α, wtedy c 2 1 + x d+α, x Rd, (1.2) p t q q = t d α (1 q) p 1 q q. (1.3) 4. Oznaczmy T półgrupę przejścia ς T t ϕ = p t ϕ, ϕ S( ) L 1 ( ) +, t, (1.4) jej transformata Fouriera dana jest wzorem T t ϕ(z) = e t z α ϕ(z), t. (1.5) Ponadto dla α < d definiujemy operator potencjału G Gf(x) = + T t f(x)dt (= c α,d ) f(y) x y d α dy, f S( ), (1.6) ( ) ( ( gdzie c α,d = Γ d α 2 2 α π d 1 2 Γ d α)) (w tym wzorze Γ oznacza standardową funkcję gamma). Przytoczymy teraz fakt, który w następnym rozdziale pozwoli rozszerzyć definicję zmiennych α-stabilnych na przestrzenie nieskończenie wielowymiarowe. Fakt 1.4 ([47, Theorem 2.1.2 ]). Niech X będzie wektorem losowym o wartościach w. Wtedy gdy α (1, 2], rozkład X jest α-stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wektora b rozkład kombinacji liniowej d i=1 b i X i jest α-stabilny. 23