Pojęcie funkcji. Funkcje: liniowa, logarytmiczna, wykładnicza dr Mariusz Grządziel Wykład 1; 10 marca 2013 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej w 16 i 17 wieku: opis zjawisk takich jak: ruch jednostajnie przyśpieszony; Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie g 9,81 m s 2 ; eliptyczne trajektorie, po których poruszają się planety; wychylenie wahadła w zależności od czasu (przy małym kącie wychylenia początkowego). Rachunek różniczkowy i całkowy narodziny fizyki klasycznej (newtonowskiej) Jeśli prędkość v punktu materialnego dana jest wzorem v(t) = gt, łatwo jest obliczyć: drogę przebytą na przedziale czasowym [t 1, t 2 ], t 1, t 2 0 (jest ona równa polu trapezu: g 2 (t2 2 t 2 1)); przyśpieszenie: jest ono równe g. Problem: w jaki sposób wykonywać analogiczne obliczenia, gdy funkcja v = v(t) ma bardziej skomplikowaną postać? Np. gdy v(t) = t 2? Niezbędne jest skorzystanie z pojęć i metod rachunku różniczkowego i całkowego. pojęcie pochodnej, całki oznaczonej, twierdzenie Newtona-Leibniza: rozwój fizyki klasycznej w XVII i XVIII wieku. Pole trapezu krzywoliniowego Załóżmy, że funkcja f jest nieujemna i ciągła na przedziale [a, b] (czyli jej wykres można narysować bez odrywania ręki ). Figurę ograniczoną wykresem funkcji f oraz prostymi: x = a, x = b i y = 0 będziemy nazywać trapezem krzywoliniowym odpowiadajacym odcinkowi [a, b] i funkcji f. 1
y y = f(x) 0 a b x Rysunek 1: Trapez krzywoliniowy Pole (wyżej określonego) trapezu krzywoliniowego: całka na przedziale [a, b] z f : notacja b f(x) dx. a Interpretacja fizyczna: droga przebyta przez punkt materialny poruszający się z prędkością v = f(t), f(t) 0, na odcinku czasowym [a, b]. Pojęcie funkcji Kluczowym pojęciem w analizie matematycznej (i naszym kursie) jest pojęcie funkcji. Definicja 1. Niech będa dane dwie zmienne x i y o obszarach zmienności X i Y. Zmienna f jest funkcja zmiennej x w jej obszarze zmienności X jeśli istnieje prawo przypisujace każdej wartości x dokładnie jedna wartość y (z Y). Obszar zmienności X może być np. przedziałem lub podzbiorem płaszczyzny. Funkcje jednej zmiennej Definicja 2 (funkcji jednej zmiennej). Funkcja (jednej zmiennej) określona na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporzadkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Funkcję taka oznaczamy f : X Y. Wartość funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f(x). Definicja 3 (dziedziny i przeciwdziedziny). Niech f : X Y. Wtedy zbiór X nazywamy dziedzina funkcji f i oznaczamy przez D f, a zbiór Y nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy przez W f. Jeżeli dany jest tylko wzór określajacy funkcję, to zbiór tych elementów z R, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedzina naturalna funkcji. Definicja 4 (równości funkcji). Mówimy, że dwie funkcje sa sobie równe, jeśli: (i) ich dziedziny sa sobie równe; (ii) dla wszystkich elementów (wspólnej) dziedziny przybieraja równe wartości. Przykłady. (i) funkcje f(x) = 1 + x, g(x) = 1 x2 1 x nie są sobie równe- ponieważ ich dziedziny naturalne D f i D g nie są sobie równe. (ii) funkcje f(x) = x 2 i g(x) = x 4 są sobie równe. Definicja 5 (wykresu funkcji). Wykresem funkcji f : X Y nazywamy zbiór par (x, f(x)) utworzony dla wszystkich elementów x zbioru X. 2
Przykład. Dla funkcji f : [ 1, 1] R określonej wzorem f(x) = 1 x 2 wykresem jest górna połówka okręgu o środku w początku układu współrzędnych i o promieniu 1 sqrt(1 x^2) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 x Rysunek 2: Wykres funkcji f(x) = 1 x 2 Funkcja liniowa Dla danych a, b R funkcję liniową f definiujemy wzorem: f(x) = ax + b. (1) Współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, a współczynnik b wyrazem wolnym. Prosta MNK Problem: do danych empirycznych chcemy dopasować funkcję liniową f(x) = ax + b w sensowny sposób. Przykład Dane przestawiają pomiary cech: x i y (x może oznaczać zmierzony czas, a y położenie punktu materialnego jego współrzędną poziomą). x -1.0 2.0 5.0 6.0 8.0 10.0 y 1.0-1.0 8.0 4.0 11.0 10.0 W ogólnym przypadku: mamy n pomiarów (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ). Prosta MNK c.d. Innymi słowy: szukamy współczynników a, b takich, aby suma S S(a, b) n (y i ax i b) 2 k=1 była minimalna. Zauważmy, że S jest funkcją dwóch zmiennych! Jeśli nie wszystkie x i są równe tej samej liczbie, współczynniki a i b spełniające ten warunek sa równe: n a = x i(y i ȳ) n (x i x), 2 3
y 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x 1 5 10 2 Rysunek 3: Prosta MNK jest dobrana tak, aby suma pól kwadratów przedstawionych na rysunku była minimalna oraz gdzie b = 1 ( n n ) y i a x i, n x = 1 n n x i, Dla danych z przykładu: a = 1,05, b = 0,25. ȳ = 1 n n y i. Program wykładu szkic Pierwsze dwanaście wykładów będą poświęcone rachunkowi różniczkowemu i całkowemu jednej zmiennej. Na ostatnich trzech wykładach zostaną omówione podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa. Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p. Symbol oznacza równy z definicji. Powyższa definicja ma sens także dla a ujemnych, jeśli q jest nieparzyste. Dla x niewymiernego możemy obliczyć z zadaną dokładnością a x znajdując wartości a x1, a x2,..., gdzie x k oznacza przybliżenie dziesiętne liczby x wyrażone dokładnością do k miejsc po przecinku. Obliczanie kolejnych wartości a x k należy kontynuować do momentu, w którym błąd przybliżenia a x a x k będzie mniejszy niż zadana liczba dodatnia. Funkcja potęgowa Funkcja, która przyporządkowuje argumentowi x D, gdzie D jest zbiorem liczb rzeczywistych lub jego odpowiednim podzbiorem, potęgę x p, gdzie p jest liczbą rzeczywistą, nazywamy funkcją potęgową. 4
Zastosowania w naukach przyrodniczych Przy pewnych założeniach można pokazać, że stosunek powierzchni ciała zwierząt do ich masy jest proporcjonalny do odwrotności trzeciego pierwiastka z masy (czyli do m 1/3, gdzie m oznacza masę zwierzęcia). Wynika stąd, że mniejsze zwierzęta muszą więcej wysiłku czasu wkładać w zdobywanie pożywienia niż zwierzęta o większej masie por. [Wrz08, str. 71 72]. Funkcje wielomianowe Funkjcę W (x) a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n nazywamy funkcją wielomianową. łatwo można obliczyć ich wartość; mogą opisać bogactwo kształtów badanych obiektów w naukach przyrodniczych i ekonomicznych. Funkcja wykładnicza Dla a dodatniego i różnego od 1 definiujemy funkcję f(x) a x. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych R. Funkcja wykładnicza jest stosowana do modelowania procesów wzrostu populacji, rozpadu promieniotwórczego itd. Funkcja logarytmiczna Logarytmem o podstawie a, 0 < a 1 z liczby dodatniej x nazywamy liczbę rzeczywistą y, dla której a y = x. Funkcja logarytmiczna, dla ustalonej podstawy 0 < a 1 przyporządkowuje argumentowi x > 0 logarytm log a x. Własności funkcji parzystość,nieparzystość Definicja 6 (funkcji parzystej). Funkcja f : X Y jest parzysta, jeśli dla każdego x X x X oraz f( x) = f(x). Interpretacja geometryczna: funkcja jest parzysta, gdy oś Oy jest osia symetrii jej wykresu. Definicja 7 (funkcji nieparzystej). Funkcja f : X Y jest nieparzysta, jeśli dla każdego x X x X oraz f( x) = f(x). Interpretacja graficzna: funkcja jest nieparzysta, jeśli początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu. Przykłady Funkcje f 1 (x) = cos x, f 2 (x) = cos x + x 2 są parzyste; funkcje f 3 (x) = sin x, f 4 (x) = 2x 3 są nieparzyste. 5
Definicja 8 (funkcji okresowej). Funkcja f : X R jest okresowa, jeśli istnieje T > 0 takie, że dla każdego x X x ± T X oraz f(x + T ) = f(x). Liczbę T nazywamy okresem funkcji f. Jeżeli istnieje najmniejszy okres funkcji f, to nazywamy go okresem podstawowym. Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne sinus i kosinus są funkcjami okresowymi. Ich okres podstawowy jest równy 2π 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 sin cos 6 4 2 0 2 4 6 x Rysunek 4: Wykresy funkcji sinus i kosinus Definicja 9. Zbiór A R będziemy nazywać: ograniczonym z dołu, jeśli istnieje dla niego ograniczenie dolne, tj. jeśli dla każdego m R istnieje x A taki, że m x. ograniczonym z góry, jeśli istnieje dla niego ograniczenie górne, tj. jeśli tj. jeśli dla każdego m R istnieje x A taki, że M x. ograniczonym, jeśli jest ograniczony z góry i z dołu. Definicja 10 (funkcji ograniczonej). Funkcja f jest na zbiorze (będacym podzbiorem jej dziedziny D f : ograniczona z dołu, jeśli jej zbiór wartości jest ograniczony z dołu, tj. istnieje m R taki, że dla każdego x A m f(x). ograniczona z góry, jeśli jej zbiór wartości jest ograniczony z góry; ograniczona, jeśli jest zarówno ograniczona z dołu jak i z góry. Przykłady. (i) Funkcja f(x) = 1 x na zbiorze (0, ) jest ograniczona z dołu, ale nie jest ograniczona z góry; (ii) funkcja g(x) = x 2 jest ograniczona na zbiorze [1, 2]. Definicja 11 (funkcji rosnącej). Funkcja f jest rosnaca na zbiorze A D f, jeśli dla każdych x 1, x 2 A [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) < f(x 2 ))] Definicja 12 (funkcji malejącej). Funkcja f jest malejaca na zbiorze A D f, jeśli dla każdych x 1, x 2 A [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) > f(x 2 ))] 6
Funkcje rosace,malej ace Definicja 13 (funkcji rosnącej). Funkcja f jest rosnaca na zbiorze A D f, jeśli dla każdych x 1, x 2 A [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) < f(x 2 ))] Definicja 14 (funkcji malejącej). Funkcja f jest malejaca na zbiorze A D f, jeśli dla każdych x 1, x 2 A Przykłady [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) > f(x 2 ))] Funkcja f(x) = x 2 jest rosnąca na [0, ); funkcja g(x) = 1 1+2x 2 jest malejąca na [1, 2]. Definicja 15 (funkcji niemalejącej). Funkcja f jest niemalejaca na zbiorze A D f, jeśli dla każdych x 1, x 2 A [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) f(x 2 ))] Definicja 16 (funkcji nierosnącej). Funkcja f jest nierosnaca na zbiorze A D f, jeśli dla każdych x 1, x 2 A [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) f(x 2 ))]. Definicja 17 (funkcji monotonicznej). Funkcja f jest monotoniczna na zbiorze A D f, jeśli jest nierosnaca lub niemalejaca na tym zbiorze; funkcję f nazywamy ściśle monotoniczna, jeśli jest malejaca lub rosnaca na tym zbiorze. Złożenie funkcji Definicja 18. Niech X, Y, Y 1, Z będa podzbiorami R, Y 1 Y oraz niech f : X Y, g : Y 1 Z. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję (g f): X Z określona wzorem: (g f)(x) = g(f(x)) dla x R. Przykłady. (i) Dla f(x) = 2x+1 i g(x) = 2x (dziedziny D f i D g są równe R) złożenie g f będzie równe funkcji h(x) = 4x + 2, D h = R. (ii) funkcja h(x) = sin(x 2 ) może być wyrażona jako złożenie funkcji f(x) = x 2 i g(x) = sin(x) : h(x) = (g f)(x), D h = R; Pojęcie funkcji odwrotnej Złożenie h(x) = g f(x) funkcji g(x) = log 2 x, gdzie dziedzina D g jest równa zbiorowi liczb dodatnich i f(x) = 2 x, D f = R, jest równa funkcji identycznościowej: h(x) = (g f)(x) = x, D h = R. Uwaga Funkcja g(x) = log 2 x jest funkcją odwrotną do funkcji f(x) = 2 x. 7
Definicja 19 (Funkcja odwrotna do funkcji ściśle monotonicznej). Niech zbiór I będzie odcinkiem, półprosta lub prosta. Niech f będzie funkcja ściśle monotoniczna na swojej dziedzinie D f = I. Oznaczmy zbiór wartości funkcji f przez Y. Funkcja odwrotna do f nazywamy funkcję h spełniajac a warunki: dziedzina funkcji h jest równa Y ; zbiór wartości h jest równy I; dla każdego y Y jest spełniony warunek: y = f(x) x = h(y). Funkcje elementarne Definicja 20. Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: (a) stała, potęgowa,wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna, trygonometryczne,...; (b) wszystkie funkcje które można otrzymać z funkcji wymienionych w punkcie (a) za pomoca skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia. Przykłady. Funkcjami elementarnymi są: funcja f(x) = x cos x + 1+x 1 x ; funkcja zdefiniowana przez x = { x, x 0, x, x < 0; zauważmy, że funkcja może być przedstawiona jako złożenie h = g f funkcji f(x) = x 2 oraz g(x) = x. Polecana literatura Literatura [Bed04] [Bod10] [KM01] [Kur08] [Wrz10] [ZZ00] [ZZŻ05] Bednarski, T., Elementy matematyki w naukach ekonomicznych. Oficyna Ekonomiczna. Kraków 2004. Bodnar, D., Zbiór zadań z matematyki dla biologów. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. Warszawa 2010. Koronacki, J., Mielniczuk, J., Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. WNT 2001. Kuratowski, K., Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. PWN, Warszawa 2008. Wrzosek, D., Matematyka dla biologów. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. Warszawa 2010. Zakrzewscy, D. i M., Repetytorium z matematyki. Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2000. Zakrzewscy, D. i M., Żak, T., Matematyka. Matura na 100%. Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2005. 8