Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy zapisane formie transmitancyjnej wykorzystywanych w dyskretyzacji funkcji ciągłych. Innymi słowy będzie nas interesowało całkowanie rekurencyjne - co jak się przekonamy ma związek z typowym liczeniem całki w myśl definicji - jako pola pod krzywą. Zanim jednak przejdę do omówienia powyższych zagadnień przypomnę podstawowe metody całkowania ( Rozwiązywania równań różniczkowych ) w oparciu o rozwinięcie w szereg Taylora. Aproksymowanie różniczki rozwinięciem w szereg Taylora : (1) Jeżeli przybliżymy rozwinięcie do pierwszej pochodnej otrzymamy zależność typowa dla metody Eulera:! Różniczkę 2 rzędu możemy przybliżyć : (2) (3) 1 2 1 2 ą żść 3 gdzie jest dowolnie małym przedziałem ( krokiem) zmiennej. Ł. Szydłowski Modelowanie i symulacja 1
Prosta metoda Eulera całkowanie prostokątami - wyznaczenie zależności rekurencyjnej Chcemy policzyć całkę funkcji g(t). W myśl definicji mamy: (4) Powyższą zależność możemy przedstawić jako: t t Gdzie t oraz możemy zapisać jako : t Otrzymujemy: t t t (5) Czyli pole pod krzywą aproksymujemy prostokątami. Im przedział t ( często zapisuje się t jako h ) jest mniejszy tym aproksymacja jest dokładniejsza. Zapiszmy zależność (5) w następujący sposób t t t t t 1 t t (6) `Zauważmy,że t t 1 t zatem otrzymujemy: t 1 t 1 t t (7) Dla uroszczenia zapisu możemy zależność (7) zapisać w następującej formie dla dowolnej chwili czasowej ( t ; k 1 k 1 t : 1 1 t (8) Ponieważ zależność jest prawdziwa dla dowolnej chwili czasowej - możemy również zapisać: 1 t (9) Porównajmy teraz otrzymaną zależność z zależnością (1).Dla rozwinięcia w szereg Taylora do pierwszej pochodnej otrzymujemy właśnie zależność (9) czyli całkowanie metodą prostokątów. Ponieważ To podstawiając do (9)i porządkując otrzymujemy: (10) Porównując z (2) widzimy ze otrzymaliśmy taką samą zależność. Ł. Szydłowski Modelowanie i symulacja 2
Postępując analogicznie możemy wyznaczyć wzory rekurencyjne dla metody prostokątów w przód jak i trapezów. Zamiast je wyprowadzać w ten sposób wyprowadzimy je wykorzystując metody wyznaczania postaci różnicowej i dyskretyzacji równań i przedstawimy je w dziedzinie operatorowej. Metoda prostokątów w przód - Pochodną ciągłą możemy jak już wcześniej udowodniliśmy przybliżyć ilorazem różnicowym (11) Przeprowadzają przekształcenie Laplace a lewej strony o przekształcenie Z prawej strony otrzymujemy opis w dziedzinie operatorowej Stąd: (12) Tp okres próbkowania z -operator opóźnienia kwantu czasu (odpowiada to róŝniczkowaniu ) Metoda prostokątów w tył - Pochodną ciągłą możemy również przybliżyć następującym ilorazem różnicowym: Postępując jak wyżej: (13) 1 (14) Metoda trapezów ( Tustina) Wiadomo,że : zatem : ln Funkcję logarytmiczną można rozwinąć w szereg potęgowy : ln (15) Jeżeli uwzględnimy tylko pierwszy wyraz szeregu otrzymamy: (16) Ł. Szydłowski Modelowanie i symulacja 3
Przykład 1 Rozpatrzmy układ ładowania kondensatora ze źródła E w szeregowym obwodzie RC bez warunków początkowych (kondensator jest rozładowany) Z prawa Kirchhoffa mamy: Gdzie : czyli możemy zapisać Podstawiając do równania: Aproksymując metodą Eulera (prostokątów w przód) zgodnie z (2) 1 Czyli postać różnicowa wynosi: 1 Wyznaczamy 1 : Korzystając z metody prostokątów w przód wykorzystując przekształcenie Laplace a otrzymamy taki sam wynik. Dla metody prostokątów do tyłu otrzymamy: Postać różnicowa - dyskretyzacja / Dla metody Tustina ( trapezami) otrzymamy: / Ł. Szydłowski Modelowanie i symulacja 4
Jak widać dla różnych metod interpolacyjnych otrzymaliśmy różne algorytmy. Zaletą całkowania metodą prostokątów (interpolacji) jest prostota zaś wadą jest mała dokładność prostokąty niezbyt dobrze przybliżają wielomian. Jednak stosując mały podział wartości zmiennej (okres próbkowania ) oraz stosując do równań różniczkowych małych rzędów ( gdzie występują różniczki pierwszego lub drugiego rzędu) metoda jest wystarczająca. Stosowanie metody trapezów pozwala na aproksymację funkcjami liniowymi co w porównaniu z metodą prostokątów lepiej przybliża wielomian i wprowadza o wiele mniejsze błędy. Ł. Szydłowski Modelowanie i symulacja 5