Zbieżność. Wskaź- MES1 05 niki błędu 1 Przykłady błędów MES Czy MES jest nieomylny? Katastrofa platformy Sleipner A 23.08.1991. Skutki: kompletne zniszczenie konstrukcji o wadzę 97K ton, trzęsienie ziemi (3 stopnie w skali Richtera), straty finansowe ok. 1G USD (w cenach 1991 roku). Przyczyna: zaniżenie wartości naprężeń stycznych w jednym z elementów konstrukcji o 47% w wyniku błędu w modelu MES. A jak z tą dokładnością jest teraz? Wyniki testów NAFEMS O jaki błąd nam chodzi? 2 Proces V&V. Weryfikacja i walidacja Czym są weryfikacja i walidacja? Uproszczona definicja Weryfikacja to proces porównania rozwiązania MES do dokładnego lub umownie dokładnego rozwiązania matematycznego. Umownie dokładnym nazywamy albo rozwiązanie ze znaną wysoką dokładnością, albo rozwiązanie, które przyjmuje się za dokładne w wyniku umowy (np. normy). Walidacja to proces porównania rozwiązania MES z danymi doświadczalnymi. Dokładna definicja: jest to proces sprawdzenia w jakim stopniu nasz model reprezentuje realny świat z punktu widzenia przyszłego zastosowania w praktyce. Czy jedno nie oznacza drugiego? 1. Pyt: Czy matematyczna dokładność modelu nie oznacza automatycznie zgodności z eksperymentem? Odp: Nie zawsze 2. Pyt: Czy zgodność z eksperymentem nie oznacza, że teoria jest poprawna? Odp: Nie zawsze
Czy sam program MES jest sprawdzony? 1. Do sprawdzenia poprawności matematycznej (czyli weryfikacji) programów MES służą standardowe testy (ang. benchmark, dosłownie punkt odniesienia lub wzorzec ). Autorem większości testów jest NAFEMS (National Agency for Finite Element Methods and Standards brytyjska ale de facto międzynarodowa organizacja zajmująca się wprowadzeniem norm i zasad bezpiecznego używania MES w praktyce). 2. Ilość testów, którą jest w stanie zaliczyć program stanowi o jego wartości i wiarygodności. Kilka najbardziej sprawdzonych programów (nie SWS) na podstawie testów można używać w energetyce jądrowej. 3. Każda wersja SWS zawiera opis zaliczonych testów. Walidacja główne przyczyny rozbieżności pomiędzy wynikami numerycznymi a doświadczalnymi W odróżnieniu od dokładnych wyników matematycznych, dane doświadczalne zawsze zawierają mniejsze lub większe błędy (np. pomiarowe). Dlatego ich zgodność z wynikami obliczeń w 100% jest zwykle niemożliwa. Geometria Stopień niepewności lub zagrożenia: mały. Źródła: odchyłki, błędy produkcyjne. Sposoby eliminacji: sprawdzenie możliwie dużej ilości niekorzystnych konfiguracji konstrukcji Materiał Stopień niepewności: od małego do dużego. Źródła: ograniczenia modeli konstytutywnych, technologia produkcji, starzenie się materiału, rozrzut statystyczny wyników badań. Sposoby eliminacji: używanie zaawansowanych modeli konstytutywnych, bardzo duża ilość obliczeń dla różnych parametrów materiałowych. Obciążenie Stopień niepewności: duży. Źródła: brak informacji o wszystkich możliwych scenariuszach eksploatacji konstrukcji. Sposoby eliminacji: w prostych sytuacjach próba oszacowania maksymalnego możliwego obciążenia, w skomplikowanych duża ilość obliczeń dla różnych wariantów obciążenia. Umocowanie i złącza Stopień niepewności: największy. Źródła: skomplikowana natura warunków kontaktu detali konstrukcji, brak możliwości stworzenia powtarzalnych warunków w złączach przy montażu, zużycie materiału w złączach. Sposoby eliminacji: metoda superelementów (w SWS nazywana "Tworzeniem podkonstrukcji"), duża ilość obliczeń dla różnych wariantów złącz. Prymitywna, ale skuteczna metoda ogólna Całą niepewność lub brak informacji na temat tych 4 parametrów ukrywamy we współczynnikach bezpieczeństwa Metody weryfikacji: badanie zbieżności Wynik Rozbieżność Zbieżność Zbieżność polega na uniezależnieniu wyniku od gęstości siatki. Siatka tylko narzędzie i nie może wpływać na wynik Rozbieżność naprężeń zwykle świadczy o istnieniu karbu Gęstość siatki (ilość węzłów) Często występuje zbieżność po jednemu parametru (np. przemieszczeniom) i rozbieżność po innemu (np. naprężeniom) 8.0.0 13-11-2016 I.Rokach, 2005 2016 2
Zbieżność nie zawsze oznacza osiągnięcie matematycznie dokładnego wyniku. Oznacza tylko to, że więcej z modelu niczego nie da się wycisnąć. Przykład: prędkość, którą osiąga Maluch po tuningu będzie niższą od maksymalnie możliwej dla samochodu w ogóle Pytania bez odpowiedzi Gdzie najlepiej zagęścić siatkę? Jaki jest poziom błędu dla obecnej siatki? Czy muszę dalej ją zagęszczać? 3 Wskaźniki błędu Łatwizna: błędy w miejscach przyłożenia siłowego obciążenia Wartości naprężeń na granicy badanego modelu zwykle są częściowo znane. y p x Na ścianach bocznychσ xx = 0,τ xy = 0 Na górnej krawędzi też τ xy = 0. Pośrodku σ yy = p, na końcach σ yy = 0 Na dolnej krawędzi brak przyłożonych naprężeń. Nic konkretnego o dokładności rozwiązania nie da się powiedzieć. Można tylko zsumować reakcje i porównać wynik z obciążeniem. Zasada maksimum W zagadnieniach statycznych, przy braku obciążenia wewnątrz konstrukcji, ekstremalne wartości naprężeń są osiągane zawsze na granicach ciała. Ekstremalne wartości błędu obliczeniowego też. Realnie porównanie obciążenia i wartości naprężeń na granicach jest łatwe tylko jeżeli granicy modelu są równolegle do osi układu współrzędnych. Nie da się stosować tego podejścia dla obciążeń w postaci sił skupionych lub przemieszczeń. Gdzie najlepiej liczyć naprężenia? Przybliżenie funkcji i jej pochodnej 1 Funkcja, sin(x) Aproksymacja Pochodna funkcji, cos(x) Pochodna łamanej Aproksymacja funkcji jest (czasami) dokładna tylko w węzłach. Czyli przemieszczenia policzone MES statystycznie są najbardziej dokładne w węzłach. Pochodna łamanej ma skoki. Przybliża pochodną funkcji bardzo niedokładnie i nie jednoznacznie (na granicach). Ale w jednym punkcie wewnątrz elementu (zwykle) mamy dokładną wartość pochodnej. Magiczne punkty znajdują się obok środku każdego z odcinków linii prostej (dla pochodnej liniowej czyli dla kwadratowej funkcji wejściowej dokładnie pośrodku) Przybliżenie funkcji i jej pochodnej 2 8.0.0 13-11-2016 I.Rokach, 2005 2016 3
Funkcja, sin(x) Krótka historia tematu: 1. Barlow (1976) zauważył zjawisko doświadczalnie Pochodna funkcji, cos(x) Pochodne 2 paraboli 2. Herrmann (1972) twierdzenie Programy MES obliczają pochodne rozwiązania (np. odkształcenia, naprężenia) tylko w punktach całkowania numerycznego. W pozostałych punktach uśrednianie, interpolacja, itp. Krótkie podsumowanie W programach MES mamy dwa zasadniczo różniące się rodzaje wyników: 1. Wyniki węzłowe (ang. nodal results), np. przemieszczenia. Są obliczane w węzłach na podstawie rozwiązania układu równań równowagi. Mają najwyższą dokładność właśnie w węzłach, wewnątrz elementów błąd generalnie jest wyższy. 2. Wyniki elementowe (ang. elemental results), np. odkształcenia i naprężenia. Są wyznaczane poprzez różniczkowanie danych węzłowych. Mają najwyższą dokładność w punktach Barlowa. Dla najprostszych liniowych elementów, takich jak pręt 2-węzłowy, lub czworokąt 4-węzłowy w środku ciężkości. Na granicach elementów błąd jest największy (jest widoczny jako skoki). 3. Punkty Barlowa dla elementów w kształcie trójkąta (2D) lub czworościanu (3D), czyli używanych w SWS, nie są magiczne Każdy program MES oblicza wyniki węzłowe tylko w węzłach, a wyniki elementowe tylko w punktach całkowania numerycznego (czasami są zbieżne z punktami Barlowa). Wyniki pokazywane na wykresach lub wyprowadzane do pliku np. wartości naprężeń w węzłach powstają po dodatkowym uśrednianiu, wygładzaniu, itp. Gdzie są te cudowne punkty w 2D? Udowodniono istnienie punktów Barlowa dla elementów liniowych (1D), czworokątnych (2D) i bryłowych (3D). Dla trójkątów (2D) i czworoboków (3D) udowodniono brak tych punktów. Ale wyniki otrzymane w punktach całkowania numerycznego dla tych elementów uważane są za dokładniejsze od wyników uzyskanych w innych punktach. 8.0.0 13-11-2016 I.Rokach, 2005 2016 4
3.1 Wskaźniki błędu Pojęcie wskaźniku błędu (w programach innych niż SWS Max? Max? MES oblicza naprężenia tylko w punktach całkowania numerycznego. Wszytko reszta interpolacja. Błąd Skoki naprężeń na granicach elementów (wskutek interpolacji) pozwalają oszacować błąd obliczeń na tych granicach. W wielu programach wskaźnik błędu = skok naprężeń / maksymalna ich wartość. Po mnożeniu przez 100% można uważać, ze jest to błąd względny na tej granicy Podstawa wszystkich wskaźników musimy mieć dwa rozwiązania w jednym punkcie Pojęcie wskaźniku błędu w SWS, przykład 1D 1 Uśrednianie węzłowe Jako wskaźnik błędu w elemencie nri wybieramy wartość. σ <i> max i σ <i> 100% max 2 gdzieσ <i> max maksymalna wartość dla wybranej składowej tensora naprężeń w elemencie Uśrednianie elementowe Jeżeli ta wartość jest mniejsza od 10%, to zwykle dokładność dla danej składowej naprężeń w danym elemencie jest rzędu 1-2%. Uwagi praktyczne 1. Realnie wskaźnik błędu wyznacza się tylko dla wybranej komponenty naprężeń (np. σ xx lub naprężeń efektywnych). Praktyka pokazuje, że dla różnych komponent dokładność obliczeń jest różna. Najgorsze wyniki zwykle mamy dla naprężeń stycznych. Który z tych błędów musimy zminimalizować? Ten, który dotyczy naprężeń, na których nam zależy najbardziej: dla materiałów kruchych maksymalnych rozciągających, dla materiałów plastycznych naprężeń efektywnych. 2. SOLIDWORKS Simulation postanowił obejść problem zależności wielkości wskaźniku błędu od wybranej komponenty naprężeń lub odkształceń przez porównanie energii odkształceń w elemencie. Energia ta obliczana jest osobno dla naprężeń uśrednionych elementowo i węzłowo. Później różnicę tych wartości porównujemy do energii odkształceń zakumulowanej w elemencie. Jeżeli ta wartość jest mniejsza od 5%, to zwykle dokładność rozwiązania ok. 1%. Zaletą tego podejścia uniwersalność (pozwala na jego podstawie zlecić automatyczne zagęszczanie siatki programowi), wadą dostajemy średnią dla całego elementu ocenę błędu obliczeń dla wszystkich składowych naprężeń. SOLIDWORKS Simulation, szczegóły metody uśredniania Uśrednianie elementowe, 2D 8.0.0 13-11-2016 I.Rokach, 2005 2016 5
100 110 100 100 110 100 Uśrednianie węzłowe 80 110 120 105 100 95 80 100 110 100 110 100 120 Krok 1 Policz zagadnienie i wyświetl rozkład wybranych naprężeń (głównych lub efektywnych) elementowo i węzłowo. Pierwsza metoda zwykle daje wartości lekko zawyżone, druga wyraźnie zaniżone. Krok 2 Porównaj maksymalne wartości naprężeń w obydwu przypadkach. Jeżeli różnica jest większa 10%, zagęść siatkę i idź do kroku 1. Równolegle warto sprawdzić wartość błędu energii w interesującym nas obszarze. Czy to działa? 1 1 1 0.8 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 0 0 0-0.2-0.2-0.2-0.4-0.4-0.4-0.6 1/(x 2 +1) pochodna aproksymacja -0.6 1/(x 2 +1) pochodna aproksymacja -0.6 1/(x 2 +1) pochodna aproksymacja -3-2 -1 0 1 2 3-3 -2-1 0 1 2 3-3 -2-1 0 1 2 3 Wnioski 1. Bezmyślne zagęszczanie siatki w całej konstrukcji obniża błąd obliczeń w najbardziej obciążonych częściach bardzo powolnie. 2. Bardziej opłaca się zagęszczać siatkę lokalnie w okolicach stref z dużymi błędami. 3. Zagęszczenie siatki N razy powoduje N-krotny spadek błędu dla elementów liniowych i N 2 -krotny spadek błędu dla elementów kwadratowych (domyślne w SWS). 4. Niestety zagęszczenie siatki N razy w każdym kierunku zwiększa ilość węzłów (czyli równań równowagi) N 2 razy w przypadku modelu 2D oraz N 3 razy w przypadku modelu 3D. 5. Jest to droga zabawa M-krotne zwiększenie ilości węzłów siatki (ilości równań równowagi) skutkuje wydłużeniem czasu obliczeń od M do M 3 razy (w zależności od typu solwera). Oznacza to, że dwukrotne zagęszczenie siatki w modelu 3D spowoduje wzrost czasu obliczeń od 2 3 = 8 do(2 3 ) 3 = 512 razy. 6. Wskaźnik błędu pozwala nie tyle oszacować prawdziwą wartość błędu obliczeniowego, ile określić w jakich miejscach konstrukcji on jest stosunkowo większy. Dobrze zaprojektowana siatka (ostatni rys.) ma wszędzie mniej-więcej ten sam poziom wskaźnika błędu (np. poniżej 5%). 8.0.0 13-11-2016 I.Rokach, 2005 2016 6
Siatki z samoadaptacją przykład 1 Siatki z samoadaptacją przykład 2 W tym przykładzie (element turbiny) program działa wyjątkowo inteligentnie: zagęszcza siatkę w strefach wysokich naprężeń i robi ją rzadką w strefach naprężeń niskich lub stałych. Wskaźnik błędu oparty na skokach naprężeń nie pracuje w przypadku symetrii zagadnienia B B Rozkład wskaźnika błędu dla belki zamodelowanej za pomocą 4 elementów liniowych. Komentarz W tym zagadnieniu siatka jest wyraźnie zbyt rzadka, naprężenia niefizyczne. Niestety program MES (ADINA) wskazuje na spory błąd w naprężeniach tylko na granicach elementów oddalonych od osi symetrii. Dla elementów na osi symetrii wyniki również są złe, ale jednakowe, więc tu występuje brak skoku naprężeń, co oszukuje wskaźnik błędu. Podsumowanie praktyczne Wszystkie wyniki analizy MES są wynikami przybliżonymi 8.0.0 13-11-2016 I.Rokach, 2005 2016 7
Najdokładniejsze wartości przemieszczeń są w węzłach, naprężeń w tzw. punktach Barlowa. Dla elementów dobrych (czworokąt, sześcian) pokrywają się oni z punktami całkowania numerycznego. Do uzyskania dobrego wyniku w SWS zaleca się rozwiązać zagadnienie na kilku siatkach o różnej gęstości oraz używając albo dwie metody wygładzania, albo błąd normy energii porównać wyniki. Stabilizacja poziomu naprężeń i spadek różnicy pomiędzy nimi poniżej 5-10% (zwykle) świadczy o tym, że wynik jest w okolicach dokładnego rozwiązania. W niektórych prostych sytuacjach (tylko liniowa statyka, tylko model 3D) SWS sam zapewnia zbieżność i wystarczającą dokładność wyniku używając procedurę samoadaptacji Wykład został opracowany w LATEXe za pomocą klasy BEAMER, graficznego pakietu PGF/TikZ i pakietu do tworzenia wykresów PGFPLOTS. 8.0.0 13-11-2016 I.Rokach, 2005 2016 8