Jak wyznaczyć premię za ryzyko? kilka słów o modelu Arrowa - Pratta Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej Poznań, 13.05.2017 r.
Pojęcia wstępne u - funkcja użyteczności u : R R, u - ciągła, ściśle rosnąca w 0 - majątek inwestora (Ω, F, P ) - przestrzeń probabilistyczna X : Ω R - zmienna losowa opisująca ryzyko X > 0 - strata, X < 0 - zysk E X <
Definicja Mówimy, że inwestor ma awersję do ryzyka, jeśli X L 1 (Ω,F,P ) w 0 u(w EX) Eu(w X). (1)
Definicja Mówimy, że inwestor ma awersję do ryzyka, jeśli X L 1 (Ω,F,P ) w 0 u(w EX) Eu(w X). (1) Twierdzenie Inwestor ma awersję do ryzyka wtedy i tylko wtedy, gdy jego funkcja użyteczności jest wklęsła.
Definicja Premią za ryzyko X (ang. risk premium) nazywamy wielkość π(w, X), która jest rozwiązaniem równania u(w π(w, X)) = Eu(w X). (2)
Definicja Premią za ryzyko X (ang. risk premium) nazywamy wielkość π(w, X), która jest rozwiązaniem równania u(w π(w, X)) = Eu(w X). (2) Bez straty ogólności rozważań zakładamy, że EX = 0.
Wniosek Niech u : R R będzie ściśle rosnącą funkcją użyteczności. Jeśli u jest funkcją wklęsłą, to π(w, X) EX, (3) przy czym wielkość π(w, X) jest wyznaczona z równania (2).
Definicja Powiemy, że inwestor jest neutralny względem ryzyka, gdy użyteczność jego majątku jest równa wartości tego majątku, tzn. jeśli jego funkcja użyteczności jest postaci u 0(x) = x dla dowolnego x R.
Definicja Powiemy, że inwestor jest neutralny względem ryzyka, gdy użyteczność jego majątku jest równa wartości tego majątku, tzn. jeśli jego funkcja użyteczności jest postaci u 0(x) = x dla dowolnego x R. Wniosek X wyznaczona dla inwestora neutralnego względem ryzyka wynosi π 0(w, X) = EX.
Definicja Powiemy, że inwestor jest neutralny względem ryzyka, gdy użyteczność jego majątku jest równa wartości tego majątku, tzn. jeśli jego funkcja użyteczności jest postaci u 0(x) = x dla dowolnego x R. Wniosek X wyznaczona dla inwestora neutralnego względem ryzyka wynosi π 0(w, X) = EX. Obserwacja Inwestor ma awersję do ryzyka, gdy π(w, X) π 0(w, X).
Miara awersji do ryzyka Lokalna awersja do ryzyka Globalna awersja do ryzyka Definicja Niech u : R R będzie dwukrotnie różniczkowalną i ściśle rosnącą funkcją użyteczności. Miarą lokalnej awersji do ryzyka Arrowa - Pratta nazywamy wielkość r(w) = u (w) u (w) dla dowolnego w 0. Wielkość r(w) nazywamy również współczynnikiem bezwzględnej awersji do ryzyka Arrowa - Pratta.
Twierdzenie Pratta Lokalna awersja do ryzyka Globalna awersja do ryzyka Twierdzenie (Pratt, 1964) Niech u 1, u 2 : R R będą ściśle rosnącymi i wklęsłymi funkcjami użyteczności oraz niech u 1, u 2 będą dwukrotnie różniczkowalne. Załóżmy, że r 1, r 2 są miarami awersji do ryzyka odpowiadającymi tym funkcjom użyteczności oraz π 1, π 2 są premiami za ryzyko wyznaczonymi z równania (2) przy funkcjach u 1, u 2 odpowiednio. Następujące warunki są równoważne: 1 r 1(w) r 2(w) dla każdego w R; 2 u 1 = G u 2 dla pewnej ściśle rosnącej i wklęsłej funkcji G; 3 π 1(w, X) π 2(w, X) dla każdego w R i dowolnej zmiennej losowej X takiej, że EX = 0.
Nierówność Jensena Lokalna awersja do ryzyka Globalna awersja do ryzyka Lemat Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną i X : Ω R będzie dowolną zmienną losową. Załóżmy, że E X <. Jeśli funkcja φ : R R jest wklęsła, to Eφ(X) φ(ex). Zauważmy, że implikacja odwrotna jest również prawdziwa.
Teoria Skumulowanej Perspektywy Lokalna awersja do ryzyka Globalna awersja do ryzyka Daniel Kahneman Źródło: http://grawemeyer.org/2003-daniel-kahneman-andamos-tversky/ Amos Tverski Źródło: http://grawemeyer.org/2003-daniel-kahneman-andamos-tversky/
Pojęcia wstępne Nierówność Jensena Oznaczenia (Ω, F) - przestrzeń mierzalna µ : F [0, 1] - capacity (pseudomiara), tzn. funkcja zbioru taka, że µ( ) = 0, µ(ω) = 1 oraz µ(a) µ(b) dla A B µ(a) = 1 µ(a c ), gdzie A c = Ω\A
Pojęcia wstępne Nierówność Jensena Oznaczenia (Ω, F) - przestrzeń mierzalna µ : F [0, 1] - capacity (pseudomiara), tzn. funkcja zbioru taka, że µ( ) = 0, µ(ω) = 1 oraz µ(a) µ(b) dla A B µ(a) = 1 µ(a c ), gdzie A c = Ω\A Uogólniona całka Choqueta dla pseudomiar µ i ν jest dana wzorem C µν(x) = 0 µ(x > t)dt 0 ν(x t)dt, (4) o ile przynajmniej jedna z powyższych całek Riemanna jest skończona.
Własności całki Choqueta Nierówność Jensena Lemat (C1) Jeśli > lub w definicji całki Choqueta zastąpimy przez lub < odpowiednio, to wartość całki Choqueta się nie zmieni. (C2) ω Ω X(ω) Y (ω) C µν(x) C µν(y ), (C3) X Lµν b 0 oraz X Lµν b 0 C µν(bx) = bc νµ(x) C µν(bx) = bc µν(x), (C4) a R C µν(a + X) = a + C µν(x) + (C5) jeśli µ = ν = P, to C µν(x) = EX. 0 a ( µ(x > s) ν(x s) ) ds,
Problem Pojęcia wstępne Nierówność Jensena Pytanie Czy istnieje odpowiednik nierówności Jensena dla uogólnionej całki Choqueta?
Nierówność Jensena Nierówność Jensena dla uogólnionej całki Choqueta I - dowolny otwarty przedział zawierający 0, ograniczony lub nieograniczony L I µν - zbiór funkcji mierzalnych X : Ω I takich, że C µν(x) I.
Nierówność Jensena Nierówność Jensena dla uogólnionej całki Choqueta I - dowolny otwarty przedział zawierający 0, ograniczony lub nieograniczony L I µν - zbiór funkcji mierzalnych X : Ω I takich, że C µν(x) I. Twierdzenie (Kałuszka & Szeligowska, 2016) Niech funkcja f : I R będzie ściśle rosnąca i wklęsła oraz f(0) 0. Wówczas zachodzi nierówność Jensena postaci X L I µν C µν(f(x)) f(c µν(x)) (5) wtedy i tylko wtedy, gdy µ ν, tzn. µ(a) ν(a) dla dowolnego zbioru A F.
Pojęcia wstępne Lokalna awersja do ryzyka Globalna awersja do ryzyka u - funkcja użyteczności u : I R, u - ściśle rosnąca, ciągła oraz u(0) = 0 w 0 - majątek inwestora (Ω, F) - przestrzeń mierzalna µ, ν : F [0, 1] - capacity X : Ω I - zmienna losowa opisująca ryzyko X > 0 - strata, X < 0 - zysk X L I µν
Lokalna awersja do ryzyka Globalna awersja do ryzyka Definicja Premią za ryzyko X (ang. risk premium) nazywamy wielkość π u(w, X), która jest rozwiązaniem równania u (w π u(x, w)) = C µν (u(w X)). (6)
Lokalna awersja do ryzyka Globalna awersja do ryzyka Niech X u oznacza zbiór funkcji mierzalnych X : Ω I takich, że C µν(x) I i C µν(u(x)) u(i).
Lokalna awersja do ryzyka Globalna awersja do ryzyka Niech X u oznacza zbiór funkcji mierzalnych X : Ω I takich, że C µν(x) I i C µν(u(x)) u(i). Definicja Powiemy, że inwestor z funkcją użyteczności u: I R ma awersję do ryzyka, jeśli dla dowolnego majątku w 0 i ryzyka X takiego, że w X X u π u(x, w) π 0 := C µν(x) + w 0 ( ν(x < s) µ(x < s) ) ds, (7) gdzie π 0 jest premią za ryzyko inwestora neutralnego względem ryzyka.
Lokalna awersja do ryzyka Globalna awersja do ryzyka Twierdzenie Inwestor z wklęsłą funkcją użyteczności u : R R ma awersję do ryzyka wtedy i tylko wtedy, gdy µ ν. Ponadto, jeśli inwestor ma awersję do ryzyka, µ ν i µ(b), ν(b c ) > 0 dla pewnego B F, to u jest funkcją wklęsłą.
Miara awersji do ryzyka Lokalna awersja do ryzyka Globalna awersja do ryzyka Definicja Niech u : I R będzie dwukrotnie różniczkowalną i ściśle rosnącą funkcją użyteczności. Miarą lokalnej awersji do ryzyka Arrowa - Pratta nazywamy wielkość r u(w) = u (w) u (w) dla dowolnego w 0.
Twierdzenie Pratta Lokalna awersja do ryzyka Globalna awersja do ryzyka Twierdzenie Załóżmy, że µ ν oraz µ(b), ν(b c ) > 0 dla pewnego B F. Niech r 1 i r 2 będą miarami lokalnej awersji do ryzyka Arrowa - Pratta wyznaczonymi przez ściśle rosnące, wklęsłe i dwukrotnie różniczkowalne funkcje użyteczności u 1, u 2 : I R. Następujące warunki są równoważne: 1 r 1(w) r 2(w) dla dowolnego w I; 2 u 1 = g u 2 dla pewnej ściśle rosnącej i wklęsłej funkcji g; 3 π u1 (w, X) π u2 (w, X) dla każdego w R i dowolnej zmiennej losowej X L I µν.
Literatura Pojęcia wstępne K. J. Arrow, Essays in the Theory of Risk-Bearing, Markham Publishing Co., Chicago (1971). G. Choquet, Theory of capacities, Annales de ĺıinstitut Fourier 5 (1954), 31-295. J. W. Pratt, Risk Aversion in the Small and in the Large, Econometrica 32 (1964), 122 136. A. Rubinstein, Lecture Notes in Microeconomic Theory, Princeton University Press (2011). W. Szeligowska, M. Kałuszka, On Jensen s inequality for generalized Choquet integral with an application to risk aversion, arxiv: 1609.00554 (2016). A. Tversky, D. Kahneman, Advances in prospect theory: Cumulative representation of uncertainty, Journal of Risk and Uncertainty 5 (1992), 297 323. A. Tversky, D. Kahneman, Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk, Econometrica 46 (1979), 263-291.