Teoria preferencji i jej alternatywy

Transkrypt

1 Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ 10 maj 2012

2 Racjonalność Racjonalny decydent: rzetelnie pozyskuje informacje i właściwie je interpretuje - decydent zna możliwe konsekwencje swoich decyzji, na podstawie dostępnych informacji porządkuje projekty, działania i inwestycje w celu maksymalizacji własnych korzyści. jest wolny od obciążeń emocjonalnych i norm etycznych.

3 Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru

4 Oznaczenia (Ω, F, P) - przestrzeń probablistyczna, X - zbiór zmiennych losowych przyjmujących wartości w odcinku [0, 1] (zmienne opisujące wyniki różnych loterii lub zyski z inwestycji), S X (z) := P(X > z) - funkcja przeżycia, - relacja preferencji określona na zbiorze X porządkująca losowe korzyści z różnych inwestycji.

5 Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944)

6 Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944) EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X.

7 Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944) EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X. EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.

8 Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944) EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X. EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i. EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L 1 : dla dowolnych X, Y X, X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli X V L 1 < ε Y Z L 1 < ε, to V Z.

9 Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944) EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X. EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i. EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L 1 : dla dowolnych X, Y X, X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli X V L 1 < ε Y Z L 1 < ε, to V Z. EU4 Monotoniczność: jeśli S X S Y, to X Y.

10 Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944) EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X. EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i. EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L 1 : dla dowolnych X, Y X, X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli X V L 1 < ε Y Z L 1 < ε, to V Z. EU4 Monotoniczność: jeśli S X S Y, to X Y. EU5 Niezależność: jeśli α [0, 1] i Z X, to X Y = αs X + (1 α)s Z αs Y + (1 α)s Z.

11 Twierdzenie o reprezentacji Twierdzenie Aksjomaty EU1 - EU5 są spełnione wtedy i tylko wtedy gdy istnieje funkcja u ciągła i niemalejąca na [0,1] taka, że X Y Eu(X ) Eu(Y ).

12 Funkcja u powinna być funkcją wklęsłą (malejące przyrosty posiadają interpretację ekonomiczną).

13 Dla decydenta z wklęsłą funkcją użyteczności Eu(X ) u(ex ).

14 Dla decydenta z wklęsłą funkcją użyteczności Eu(X ) u(ex ). Powiemy, że takiego decydenta cechuje awersja do ryzyka.

15 Funkcja użyteczności przykłady Funkcja HARA funkcja CARA u(x) = funkcja kwadratowa { x γ γ, dla γ 0, γ < 1, ln x, dla γ = 0. u(x) = 1 e γx, γ > 0. u(x) = ax 1 2 bx 2, a, b > 0.

16 Wybór najlepszej strategii finansowej r s - stopa zwrotu z pewnej akcji (zmienna losowa), w - procentowa wartość kapitału zainwestowanego w akcje, r - stopa procentowa na lokacie, r w := wr s + (1 w)r stopa zwtotu z całego portfela (zmienna losowa),

17 Wybór najlepszej strategii finansowej r s - stopa zwrotu z pewnej akcji (zmienna losowa), w - procentowa wartość kapitału zainwestowanego w akcje, r - stopa procentowa na lokacie, r w := wr s + (1 w)r stopa zwtotu z całego portfela (zmienna losowa), Ile powinno wynosić w?

18 Optymalna strategia c. d. Odpowiedź: w arg max Eu(r w ).

19 Optymalna strategia c. d. Odpowiedź: w arg max Eu(r w ). Warunek konieczny istnienia maksimum: E[(r s r)u (r w )] = 0.

20 Model Markowitza H. Markowitz [1952](Nagroda Nobla w 1990 ) zaproponował optymalizację portfela za pomocą maksymalizacji funkcji L(w) := Er w θ 2 Var(r w ), θ > 0 - parametr awersji do ryzyka.

21 Równoważnik pewności Definicja Równoważnikiem pewności nazywamy taką wielkość zysku, jaką można uzyskać bez ryzyka, a której użyteczność jest równa oczekiwanej użyteczności X. Innymi słowy równoważnik pewności C X zmiennej losowej X spełnia warunek u(c X ) = Eu(X ). Korzystając z rozwinięcia Taylora Eu(X ) u(ex ) u (EX )Var(X ), Eu(X ) u(c X ) u(ex ) + u (EX )(C X EX ).

22 Stąd C x EX u (EX ) u Var(X ). (EX )

23 Stąd C x EX u (EX ) u Var(X ). (EX ) Definicja Niech u będzie dwukrotnie różniczkowalną funkcją użyteczności. Wtedy α(x) := u (x) u (x) nazywana jest współczynnikiem bezwzględnej awersji do ryzyka Arrowa-Pratta.

24 Składka ubezpieczeniowa w - majątek ubezpieczyciela, X - strata spowodowana wypłatą ubezpieczenia, H - składka ubezpieczeniowa, Zakład ubezpieczeń powinien ustalić składkę H tak, aby u(w) Eu(w X + H). Minimalny poziom składki powinien spełniać równanie u(w) = Eu(w X + H). czyli i w E(w X + H) EX H.

25 Krytyka Nie można aksjomatyzować zachowań: ludzie pod wpływem stresu i strachu mogą podejmować decyzje inne od racjonalnych. H. Simon (Nagroda Nobla 1978) zwraca uwagę, że napotykając różnorodne ograniczenia czasowe i technologiczne ludzie nie są w stanie uzyskać i przetworzyć wszystkich informacji istotnych dla danego problemu. Krytyka aksjomatów (najmocniej aksjomatu niezależności): eksperymenty socjologiczne i psychologiczne nie potwierdziły zachowań zgodnych z teorią oczekiwanej użyteczności (paradoks Allaisa, paradoks Ellsberga)

26 Dual theory of choice Yaari [1987] zmienił aksjomat niezależności otrzymując reprezentację liczbową relacji preferencji postaci. X Y 1 0 g ( P(X > x) ) dx 1 0 g ( P(Y > x) ) dx.

27 Całka Choqueta Centralne miejsce w powyższej reprezentacji zajmuje całka + 0 g ( P(X > x) ) dx.

28 Całka Choqueta Centralne miejsce w powyższej reprezentacji zajmuje całka Jeśli g(x) = x, to g ( P(X > x) ) dx = 0 g ( P(X > x) ) dx. + 0 P(X > x)dx = EX.

29 Całka Choqueta dla zmiennych dyskretnych Zmienna X przyjmuje wartości w zbiorze dyskretnym {x 0, x 1,..., x n }. 0 = x 0 x 1 x 2... x n. P(X = x i ) = p i, s(x i ) := P(x > x i ) = n k=i+1 p k, s(x n ) = 0, s(x k 1 ) s(x k ) = p k, g(0) = 0, g(1) = n 1 g(p(x > x))dx = g ( s(x k ) ) (x k+1 x k ) = k=0 n [ ( x k g s(xk 1 ) ) g ( s(x k ) )]. k=1

30 Zdeformowane miary ryzyka-definicja X - zmienna losowa reprezentująca stratę, lub płatności, które powinny zostać dokonane. Definicja Zdeformowaną miarą ryzyka (distortion risk measure) wyznaczoną przez funkcję rosnącą g (g(0) = 0, g(1) = 1), nazywamy funkcjonał ρ g (X ) = 0 [g(p(x > x)) 1]dx g(p(x > x))dx.

31 Własności Monotoniczność Jeśli X Y, to ρ g (X ) ρ g (Y ).

32 Własności Monotoniczność Dodatnia jednorodność Jeśli X Y, to ρ g (X ) ρ g (Y ). ρ g (λx ) = λρ g (X ), dla λ > 0.

33 Własności Monotoniczność Jeśli X Y, to ρ g (X ) ρ g (Y ). Dodatnia jednorodność ρ g (λx ) = λρ g (X ), dla λ > 0. Niezmienniczość względem przesunięcia ρ g (X c) = ρ g (X ) c, dla c R.

34 Własności Monotoniczność Jeśli X Y, to ρ g (X ) ρ g (Y ). Dodatnia jednorodność ρ g (λx ) = λρ g (X ), dla λ > 0. Niezmienniczość względem przesunięcia ρ g (X c) = ρ g (X ) c, dla c R. Subaddytywność (dla wklęsłej funkcji g) ρ g (X + Y ) ρ g (X ) + ρ g (Y ).

35 Przykłady VaR (Value at Risk) (dla rozkładów ciągłych) VaR α (X ) = sup{x P(X > x) α} = ρ gα (X ), { 0, jeśli 0 x < α, g α (x) = 1, jeśli α x 1.

36 Przykłady VaR (Value at Risk) (dla rozkładów ciągłych) VaR α (X ) = sup{x P(X > x) α} = ρ gα (X ), { 0, jeśli 0 x < α, g α (x) = 1, jeśli α x 1. CVaR (Conditional Value at Risk) (dla rozkładów ciągłych) CVaR α (X ) = E(X X > VaR α (X )), ( ) x g α (x) = min α, 1.

37 Przykłady c. d.

38 Przykłady c. d. Potęgowa funkcja deformująca g α (x) = x α, 0 < α < 1.

39 Przykłady c. d. Potęgowa funkcja deformująca g α (x) = x α, 0 < α < 1. Deformująca funkcja Giniego g α (x) = (1 + α)x αx 2, 0 < α < 1.

40 Przykłady c. d. Potęgowa funkcja deformująca Deformująca funkcja Giniego Deformacja Wanga g α (x) = x α, 0 < α < 1. g α (x) = (1 + α)x αx 2, 0 < α < 1. g W α (x) = Φ[Φ 1 (x) + α], gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego.

41 Rank dependent expected utility theory Preferencje wyznaczone za pomocą funkcjonału X + 0 g [ P ( u(x ) > x )] dx.

42 Rank dependent expected utility theory Preferencje wyznaczone za pomocą funkcjonału X + 0 g [ P ( u(x ) > x )] dx. Dla zmiennych przyjmujących wartości dyskretne + 0 g [ P ( u(x ) > x )] dx = n u(x k ) [ g ( s(x k 1 ) ) g ( s(x k ) )]. k=1

43 Teoria perspektyw Eksperymenty wykonane przez Kahnemana (Nagroda Nobla w 2002 r) i Tversky ego [1979] wykazały, że

44 Teoria perspektyw Eksperymenty wykonane przez Kahnemana (Nagroda Nobla w 2002 r) i Tversky ego [1979] wykazały, że Ludzie oceniają dostępne im alternatywy ze względu na pewien punkt odniesienia, którego umiejscowienie zależy od ich aktualnego bogactwa, przeszłych doświadczeń, etc.

45 Teoria perspektyw Eksperymenty wykonane przez Kahnemana (Nagroda Nobla w 2002 r) i Tversky ego [1979] wykazały, że Ludzie oceniają dostępne im alternatywy ze względu na pewien punkt odniesienia, którego umiejscowienie zależy od ich aktualnego bogactwa, przeszłych doświadczeń, etc. Funkcja użyteczności (tu nazwana funkcją oceny) jest wklęsła dla prognoz pozytywnych i wypukła dla prognoz negatywnych.

46 Teoria perspektyw Eksperymenty wykonane przez Kahnemana (Nagroda Nobla w 2002 r) i Tversky ego [1979] wykazały, że Ludzie oceniają dostępne im alternatywy ze względu na pewien punkt odniesienia, którego umiejscowienie zależy od ich aktualnego bogactwa, przeszłych doświadczeń, etc. Funkcja użyteczności (tu nazwana funkcją oceny) jest wklęsła dla prognoz pozytywnych i wypukła dla prognoz negatywnych. Ludzie bardzo rzadkie zdarzenia traktują jako niemożliwe a niektóre zdarzenia uznane jako wysoce prawdopodobne traktują jak pewne.

47 Teoria perspektyw c. d. Kierując się przedstawionymi przesłankami ustalono, że preferencje powinny być oparte na funkcjonale X = V + [(X L) + ] V [(X L) ], gdzie V + (X ) = V (X ) = g + [ P ( u+ (X ) > x )] dx, g [ P ( u (X ) > x )] dx, u +, u są wklęsłymi i rosnącymi funkcjami na R +, g + wklęsła na [0, 1], g + (0) = 0, g + (1) = 1, g + (p) p, g wklęsła na [0, 1], g (0) = 0, g (1) = 1.

48 Maxmin choice Q - zbiór prawdopodobieństw wyznaczających zakres błędu popełnionego przy konstrukcji modelu. Gilboa i Schmeidler [1989] zaproponowali relację opartą o kryterium najgorszego możliwego scenariusza X Y inf Q Q EQ u(x ) inf Q Q EQ u(y ), gdzie u jest funkcją użyteczności.

49 Funkcja kary Macheroni et al. [2006] zaproponowali aksjomatykę dla relacji X Y inf Q Q EQ[ u(x ) α(q P) ] inf Q Q EQ[ u(y ) α(q P) ], gdzie α(q P) określa odległość dwóch prawdopodobieństw.

50 Literatura I Gilboa I, Schmeidler D. Maxmin expected utility with non-unique prior. J Math Econ 18 (1989), Kahneman, D. and Tversky, A., (1979): Prospect theory: an analysis of decision under risk, Econometrica, 47, Maccheroni,Fabio; Marinacci, Massimo; Rustchini, Aldo Ambiguity aversion, Robustness, and Variational Representation of Preferences Econometrica, Vol. 74, No. 6 ( 2006), Markowitz H. (1952) Portfolio selection. J Finance 7: 77 91

51 Literatura II von Neumann, John; Morgenstern, Oskar Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1944 Yaari, Menahem E. The dual theory of choice under risk. Econometrica 55 (1987), no. 1,

52 Dziękuję za uwagę.