Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem, je±li s speªnione nast puj ce wªasno±ci: (C1) (F, +) jest grup abelow (element neutralny dla dziaªania + oznaczamy przez 0, i nazywamy zerem, za± element odwrotny do a wzgl dem dziaªania + oznaczamy przez a, i nazywamy elementem przeciwnym do a); (C2) (F \ {0}, ) jest grup abelow (element neutralny dla dziaªania oznaczamy przez 1, i nazywamy jedynk, za± element odwrotny do a 0 wzgl dem dziaªania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotno±ci a); (C3) mno»enie jest rozdzielne wzgl dem dodawania, tzn. dla dowolnych a, b, c F zachodzi a (b + c) = (a b) + (a c). Zamiast a b piszemy zwykle ab. Zamiast ab 1 piszemy zwykle a/b lub a b. Dalej, mno»enie wi»e mocniej ni» dodawanie, tzn. ab + c oznacza (a b) + c. Dla n N i a F oznaczamy na := a +... + a, }{{} ( n)a := ( a) +... + ( a). }{{} n skªadników n skªadników Ponadto, 0 a := 0 dla dowolnego a F. Dla n N i a F oznaczamy a je±li ponadto a 0, to oznaczamy Zachodz nast puj ce równo±ci: a n := } a.{{.. a}, n czynników a n := } a 1.{{.. a 1 }. n czynników

2 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski ( k)a = (ka), dla dowolnych k Z i a F (zatem zwykle piszemy ka); (k + l)a = ka + la, dla dowolnych k, l Z i a F ; k(a + b) = ka + kb, dla dowolnych k Z i a, b F ; k(a b) = (ka) b, dla dowolnych k Z i a, b F ; a k+l = a k a l, dla dowolnych k, l Z i a F, a 0. We wszystkich ciaªach zachodz te» standardowe wzory skróconego mno»enia i wzór na dwumian Newtona. Jednak»e, w konkretnych ciaªach mog one mie uproszczon posta (patrz przykªad w rozdziale o ciaªach Z p poni»ej). Denicja. Charakterystyk ciaªa (F, +, ) nazywamy najmniejsz liczb naturaln p tak,»e pa = 0 dla dowolnego a F \ {0}. Je±li nie ma takiej liczby, mówimy,»e ciaªo jest charakterystyki zero. Do± ªatwo wykaza,»e (niezerowa) charakterystyka ciaªa musi by liczb pierwsz. Przykªad 1. (Q, +, ), gdzie Q jest zbiorem wszystkich liczb wymiernych, + jest dziaªaniem dodawania i jest dziaªaniem mno»enia, jest ciaªem. Jest to ciaªo charakterystyki zero. Przykªad 2. (R, +, ), gdzie R jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, + jest dziaªaniem dodawania i jest dziaªaniem mno»enia, jest ciaªem. Jest to ciaªo charakterystyki zero. Przykªad 3. (C, +, ), gdzie C jest zbiorem wszystkich liczb zespolonych, + jest dziaªaniem dodawania i jest dziaªaniem mno»enia, jest ciaªem. Jest to ciaªo charakterystyki zero. Przykªad 4. (R(x), +, ), gdzie R(x) jest zbiorem wszystkich funkcji wymiernych jednej zmiennej rzeczywistej x, + jest dziaªaniem dodawania i jest dziaªaniem mno»enia, jest ciaªem. Jest to ciaªo charakterystyki zero. 2 Ciaªo Z 2 Niech Z 2 oznacza zbiór {0, 1}. Zdeniujmy dodawanie na Z 2 wzorem 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0, i zdeniujmy mno»enie na Z 2 wzorem 0 0 = 0, 0 1 = 0, 1 0 = 0, 1 1 = 1.

Ciaªa i wielomiany 3 Powy»ej zdeniowane operacje nazywamy, odpowiednio, dodawaniem (mno-»eniem) modulo 2. (Z 2, +, ) jest ciaªem (nazywanym ciaªem reszt modulo 2). Zwykle ciaªo reszt modulo 2 zapisujemy po prostu Z 2. Zauwa»my,»e Z 2 jest ciaªem charakterystyki dwa. Wynika st d w szczególno±ci,»e w Z 2 zachodzi 1 = 1. 3 Ciaªo Z p Niech Z p, gdzie p jest liczb pierwsz, oznacza zbiór {0, 1, 2,..., p 1}. Dla a, b Z p zdeniujmy sum a + b jako reszt z dzielenia zwykªej sumy liczb a i b przez p, i iloczyn a b jako reszt z dzielenia zwykªego iloczynu liczb a i b przez p. Operacje te nazywamy, odpowiednio, dodawaniem modulo p i mno»eniem modulo p. Okazuje si,»e zbiór Z p wraz z dziaªaniami dodawania i mno»enia modulo p jest ciaªem. To,»e zachodzi ª czno± i przemienno± dodawania i mno»enia modulo p, jak i rozdzielno±, jest (niemal) oczywiste. Elementem neutralnym dodawania jest 0, elementem neutralnym mno»enia jest 1. Troch mniej oczywiste jest istnienie elementu przeciwnego dla a Z p. Zauwa»my,»e p a Z p i»e zwykªa suma a i p a to p. Zatem dodanie modulo p elementów a i p a da nam zero. Rzecz zupeªnie nieoczywist jest istnienie, dla ka»dego niezerowego a Z p, jego odwrotno±ci. Zastanówmy si, co to znaczy. Otó» a 1 ma to by taka liczba b ze zbioru {1, 2,..., p 1},»e zwykªy iloczyn a i b ma, po podzieleniu przez p, dawa reszt 1. Innymi sªowy, trzeba znale¹ takie liczby b {1, 2,..., p 1} i n N,»e ab = np + 1 (tutaj wszystkie dziaªania s zwykªe). A»e co± takiego mo»na zrobi, wynika z pewnego twierdzenia z teorii liczb, które podaj bez dowodu: Twierdzenie 1. Dla liczb naturalnych a i b istniej takie liczby caªkowite m, n,»e ma + nb jest równe najwi kszemu wspólnemu dzielnikowi liczb a i b. (Z p, +, ) nazywamy ciaªem reszt modulo p. Zwykle ciaªo reszt modulo p zapisujemy po prostu Z p. Z p jest ciaªem charakterystyki p. Przykªad. Zastanówmy si, jak wygl da wzór skróconego mno»enia (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

4 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski w ciele Z 3. Jako»e jest to ciaªo charakterystyki 3, drugi i trzeci skªadnik po prawej stronie powy»szego wzoru redukuj si do zera, czyli mamy: 4 Wielomiany (a + b) 3 = a 3 + b 3. Denicja. Wielomianem zmiennej x nad ciaªem F nazywamy wyra»enie P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n, gdzie a 0,..., a n F i n N {0}. Element a i nazywamy wspóªczynnikiem przy x i w P (x). Zamiast 1 x k piszemy po prostu x k. Gdy n jest najwi ksz liczb tak,»e a n 0, mówimy,»e wielomian P (x) ma stopie«n (i zapisujemy st P (x) = n). Gdy wszystkie wspóªczynniki w P (x) s zerami, wielomian P (x) nazywamy wielomianem zerowym. Umawiamy si,»e stopie«wielomianu zerowego to. Wielomian zerowy i wielomiany stopnia zero nazywamy wielomianami staªymi. Zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x nad ciaªem F oznaczamy przez F [x]. Denicja. Wielomiany P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n i R(x) = b 0 +b 1 x+b 2 x 2 + +b n x n s równe wtedy i tylko wtedy, gdy a 0 = b 0, a 1 = b 1, a 2 = b 2,..., a n = b n. Bardzo wa»n jest rzecz, by nie uto»samia wielomianu z funkcj wielomianow : wielomianowi P (x) mo»emy przypisa funkcj wielomianow P : F F, przyporz dkowuj c ka»demu elementowi x ciaªa F element a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n ciaªa F. Gdy F = Q, lub F = R, lub F = C, ró»nym wielomianom odpowiadaj ró»ne funkcje wielomianowe (dlatego na kursie z Analizy Matematycznej zwykle nie rozró»nia sie poj cia wielomianu i funkcji wielomianowej). Jednak»e sytuacja jest inna w przypadku ciaª sko«czonych. Istotnie, rozwa»my dwa wielomiany, P (x) = x 2 + x i wielomian zerowy, nad ciaªem Z 2. Šatwo wida,»e P (0) = 0 0 + 0 = 0 + 0 = 0 i P (0) = 1 1 + 1 = 1 + 1 = 0, czyli wielomianowi P (x) odpowiada ta sama funkcja wielomianowa, co wielomianowi zerowemu. Niech n P (x) = a i x i, m Q(x) = b i x i i=0 i=0

Ciaªa i wielomiany 5 b d wielomianami nad ciaªem F. Sum wielomianów P (x) i Q(x) deniujemy wzorem max(m,n) P (x) + Q(x) = (a i + b i )x i, a ich iloczyn wzorem i=0 P (x) Q(x) = m+n k=0 c k x k, gdzie c k = i+j=k a i b j. Dla dowolnych wielomianów z F [x] zachodz nast puj ce wªasno±ci: (P 1 (x) + P 2 (x)) + P 3 (x) = P 1 (x) + (P 2 (x) + P 3 (x)) (dodawanie wielomianów jest ª czne); P 1 (x) + P 2 (x) = P 2 (x) + P 1 (x) (dodawanie wielomianów jest przemienne); (P 1 (x) P 2 (x)) P 3 (x) = P 1 (x) (P 2 (x) P 3 (x)) (mno»enie wielomianów jest ª czne); P 1 (x) P 2 (x) = P 2 (x) P 1 (x) (mno»enie wielomianów jest przemienne); (P 1 (x) + P 2 (x)) P 3 (x) = (P 1 (x) P 3 (x)) + (P 2 (x) P 3 (x)) (mno»enie wielomianów jest rozdzielne wzgl dem dodawania); 0 + P (x) = P (x) + 0 = P (x) (wielomian zerowy jest elementem neutralnym dla dodawania); 1 P (x) = P (x) 1 = P (x) (wielomian staªy równy 1 jest elementem neutralnym dla mno»enia); iloczyn wielomianów niezerowych jest wielomianem niezerowym. Dalej, mamy st(p 1 (x) + P 2 (x)) max(st P 1 (x), st P 2 (x)), st(p 1 (x) P 2 (x)) = st P 1 (x) + st P 2 (x). Twierdzenie 2 (Dzielenie wielomianów z reszt ). Niech P (x), Q(x) F [x]. Je±li Q(x) nie jest wielomianem zerowym, to istniej jednoznacznie wyznaczone wielomiany M(x), R(x) F [x], st R(x) < st Q(x), takie,»e P (x) = M(x) Q(x) + R(x).

6 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski W powy»szym twierdzeniu, P (x) nazywamy dzieln, Q(x) nazywamy dzielnikiem, M(x) nazywamy ilorazem wielomianu P (x) przez wielomian Q(x), za± R(x) nazywamy reszt z dzielenia wielomianu P (x) przez wielomian Q(x) Je±li dla wielomianów P (x), Q(x), reszta R(x) z dzielenia P (x) przez Q(x) jest wielomianem zerowym, to mówimy,»e wielomian Q(x) dzieli wielomian P (x) (lub wielomian Q(x) jest czynnikiem wielomianu P (x), lub»e wielomian P (x) jest podzielny przez Q(x)), i zapisujemy to Q(x) P (x). Denicja. Element a ciaªa F nazywamy pierwiastkiem wielomianu P (x) F [x], gdy P (a) = 0. Twierdzenie 3 (Twierdzenie o reszcie). Reszta z dzielenia wielomianu P (x) F [x] przez jednomian (x a), gdzie a F, jest równa P (a). Twierdzenie 4 (Twierdzenie Bézout). a F jest pierwiastkiem wielomianu P (x) F [x] wtedy i tylko wtedy, gdy (x a) P (x). Twierdzenie 5. Wielomian P (x) F [x] stopnia n ma co najwy»ej n pierwiastków. Dowolny wielomian stopnia 1 ma dokªadnie jeden pierwiastek. Istotnie, pierwiastkiem wielomianu P (x) = a 0 + a 1 x, gdzie a 1 0, jest a 0 /a 1. Z powy»szego twierdzenia wynika,»e jest to jedyny pierwiastek. Przykªad. Wielomian P (x) Z 2 [x], P (x) = x 2 + x + 1, nie ma pierwiastków. Denicja. Mówimy,»e wielomian P (x) F [x] stopnia dodatniego jest rozkªadalny, gdy istniej takie wielomiany stopnia dodatniego P 1 (x), P 2 (x) F [x],»e P (x) = P 1 (x) P 2 (x). Wielomian stopnia dodatniego, który nie jest rozkªadalny, nazywamy nierozkªadalnym. Fakt 6. Wielomian P (x) F [x] stopnia 2 lub 3 jest nierozkªadalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma pierwiastków. Dowód. Je±li wielomian stopnia co najmniej 2 ma pierwiastek, to, na podstawie twierdzenia Bézout, jest rozkªadalny. Zaªó»my teraz,»e wielomian P (x) F [x] stopnia 2 lub 3 jest rozkªadalny. Zatem mo»na go zapisa w postaci P (x) = P 1 (x) P 2 (x), gdzie 1 st P 1 (x) < st P (x), 1 st P 2 (x) < st P (x). Poniewa» st P (x) = st P 1 (x) + st P 2 (x), co najmniej jeden z wielomianów P 1 (x), P 2 (x), musi by stopnia jeden. Znów z twierdzenia Bézout wnioskujemy,»e P (x) ma pierwiastek.

Ciaªa i wielomiany 7 Twierdzenie 7 (Jednoznaczno± rozkªadu na wielomiany nierozkªadalne). Ka»dy wielomian stopnia dodatniego P (x) F [x] jest iloczynem sko«czenie wielu wielomianów nierozkªadalnych. Wielomiany nierozkªadalne s wyznaczone jednoznacznie z dokªadno±ci do kolejno±ci czynników i mno»enia przez niezerowe elementy ciaªa F. Ostanie zdanie powy»szego twierdzenia mo»e by zilustrowane przez nast puj cy przykªad: w rozkªadzie wielomianu P (x) = x 2 + x R[x] jako P (x) = P 1 (x) P 2 (x), mo»na wzi P 1 (x) = x, P 2 (x) = x + 1, ale mo»na te» wzi P 1 (x) = 1 2 x 1 2, P 2(x) = 2x (formalnie s to ró»ne rozkªady). Przykªad. Zbadajmy rozkªadalno± wszystkich wielomianów stopnia 2 z Z 2 [x]. Wielomian x 2 jest, oczywi±cie, rozkªadalny. Wielomian x 2 + 1 jest te» rozkªadalny, poniewa» x 2 + 1 = (x + 1) 2. Wielomian x 2 + x + 1 jest nierozkªadalny, gdy» nie ma pierwiastków (patrz Fakt 6). Wielomian x 2 +x = x(x+1) jest rozkªadalny. Przykªad. Zbadajmy (nie)rozkªadalno± wielomianu x 4 + x 2 + 1 Z 2 [x]. Poniewa» nie ma on pierwiastków, w jego (ewentualnym) rozkªadzie mog wyst pi tylko nierozkªadalne czynniki P 1 (x), P 2 (x) stopnia drugiego. Z poprzedniego przykªadu wynika,»e jedynym nierozkªadalnym wielomianem stopnia drugiego jest x 2 +x+1. Sprawdzamy teraz,»e x 4 +x 2 +1 = (x 2 +x+1) 2. Przykªad. Rozwa»my teraz wielomian x 4 +x+1 Z 2 [x]. Poniewa» nie ma on pierwiastków, powtarzaj c rozumowanie z powy»szego przykªadu dochodzimy do wniosku,»e jedyny mo»liwy jego rozkªad to x 4 +x+1 = (x 2 +x+1) 2, co jest faªszem. Jest to zatem wielomian nierozkªadalny.