SYMULACJE DLA MODELU GOSPODARKI KONKURENCYJNEJ Z ZAPASAMI

STUDIA OECONOMICA POSNANIENSIA 23, vol., no. 2 (26) Monka Naskęcka Unwesytet Ekonomczny w Poznanu, Wydzał Infomatyk Gospodak Elektoncznej, Kateda Ekonom Matematycznej monka.naskecka@ue.poznan.pl SYMULACJE DLA MODELU GOSPODARKI KONKURENCYJNEJ Z ZAPASAMI Steszczene: Celem atykułu jest zbadane za pomocą symulacj, jak wpływ w modelu ównowag ogólnej typu Aowa Debeu McKenzego na stnene cen ównowag oaz stablność modelu ma występowane zapasów. Gdy w gospodace wytwozony zostaje nadma towaów, mogą one zostać pzenesone pzez poducentów na kolejny okes wpłynąć na dynamkę cen. W pacy pzedstawono posty model gospodak konkuencyjnej z zapasam, dla któego pzepowadzono oblczena symulacyjne umożlwające wyznaczene tajekto cen towaów oaz zapasów. Pzedstawony w pacy model ównowag ogólnej jest stablny pzy pewnych szczególnych założenach podanych we wcześnejszej pacy M. Naskęckej [22]. W atykule pzebadano zachowane cen oaz zapasów w pzypadku, gdy pozbawmy model tego założena. Zbadano też, jak wpływ będze to mało pzede wszystkm na stablność modelu. Pzedstawono symulacje dla funkcj użytecznośc oaz podukcj typu Cobba Douglasa na ch podstawe zapoponowano wnosk dotyczące cen ównowag, zapasów oaz stablnośc ch tajekto. Słowa kluczowe: Model gospodak konkuencyjnej, ównowaga ogólna, zapasy, stablność, symulacje, twedzene Lapunowa. Klasyfkacja JEL: C6, C62, C63, D5. SIMULATIONS FOR A MODEL OF A COMPETITIVE ECONOMY INCLUDING STOCK LEVELS Abstact: Models of geneal equlbum make t possble to detemne equlbum pces n a compettve economy. These models ae not able to popely descbe all the pocesses takng place n an economy. They do not take nto consdeaton the necessty of stoage that ases when thee s an excess of poducts. Thus, the queston ases about the nfluence of stock levels on maket equlbum (o dsequlbum) and stablty. Ths

62 Monka Naskęcka pape wll pesent a smple model of a compettve economy ncludng stock levels and a smulaton of the tajectoes of pces and stock levels. Keywods: compettve economy model, geneal equlbum, stock levels, stablty, smulatons, Lyapunov theoy. Wstęp Badana nad ównowagą ogólną oaz stablnoścą gospodak konkuencyjnej z wykozystanem model matematycznych dynamk ekonomcznej sęgają dugej połowy XIX weku, kedy to powstało dzeło L. Walasa [874]. Jednak najbadzej ntensywny ozwój teo ównowag ogólnej pzypada na lata 95 98 datuje sę od opublkowana pacy K.J. Aowa G. Debeu [954]. W okese tym zbudowano, zbadano pześledzono wele wesj model gospodak konkuencyjnej, badając główne waunk stnena ównowag, jej jednoznaczność oaz stablność (globalną, lokalną). Gospodaka konkuencyjna osąga stan ównowag, gdy ustalą sę w nej take ceny, pzy któych dochodz do zównana popytu z podażą dla każdego towau. Gospodaka stablna chaakteyzuje sę tym, że wytącona ze stanu ównowag potaf samoczynne do nego po pewnym czase powócć, czego wyazem jest powót z upływem czasu tajekto cen do cen ównowag. W modelu takej gospodak zakłada sę zazwyczaj, że dynamka cen w gospodace opsana jest za pomocą układu ównań óżnczkowych postac pt ( ) = σ F( pt ( )), () gdze: t czas; czas jest tu zmenną cągłą, t, n lczba towaów dostępnych w gospodace, pt () = ( p() t, p2() t,, pn () t ) wekto cen towaów w momence t, f( p( t)) = ( f ( pt ( )), f2( pt ( )),, fn( p( t)) ) całkowty popyt na toway w momence t, g ( pt ( )) = ( g( pt ()), g 2( pt ()),, gn (( p() t )) całkowta podaż towaów utożsamana z ch podukcją w gospodace w momence t, F( pt ()) = ( F( pt (), ) F2( pt (), ), Fn ( pt ())) funkcja popytu nadwyżkowego, F p() t f pt () g p(), t ( )= ( ) ( )

Symulacje dla modelu gospodak konkuencyjnej z zapasam 63 σ dodatn współczynnk sły eakcj cen na neównowagę [Aow Huwcz 958; Aow, Block, Huwcz 959]. Model () służy do wyznaczana cen ównowag ynkowej, ale ne nadaje sę do opsu zeczywstych zachowań podmotów na ynku konkuencyjnym. Decyzje kupna spzedaży zapadają bowem nezależne od tego, czy mamy na nm do czynena z cenam ównowag, czy ne. Konsumenc oaz poducenc ne odkładają swoch decyzj do momentu, aż ustalone zostaną ceny ównowag, choćby dlatego, że cen takch po postu ne znają. Zanm ceny faktyczne zblżą sę do ch pozomu w ównowadze, w gospodace może sę utzymywać pzez dłuższy okes neównowaga, czyl sytuacja, w któej popyt nadwyżkowy na ynku na pzynajmnej nektóe toway będze dodatn lub ujemny. Gdy watość ta jest dodatna, popyt częśc konsumentów ne zostaje zaspokojony, a gdy jest ujemna, w gospodace powstają zapasy (zakładamy, że wypodukowane toway są twałe). Ne są one jednak w układze () w żaden sposób uwzględnone [Panek 2]. W lteatuze ne ma zbyt welu model ównowag z zapasam wynkającym z nadwyżk podaży nad popytem. Póby wpowadzena zapasów do modelu ównowag ogólnej można znaleźć mędzy nnym w pacy E. Panka [2], jednak zapoponowany tam model ynku ne uwzględna wpływu, jak zapasy mają na dynamkę cen. Jest to założene nekoneczne zgodne z tym, co obsewujemy w zeczywstośc. Poducenc posadający zapasy będą bal je pod uwagę, podejmując decyzję o podukcj, a to pośedno wpłyne na ceny. Poblemem zapasów w modelu ównowag ogólnej zajmowal sę ponadto mędzy nnym F. Hahn T. Negsh [962], R.A. Damond [967] oaz F. Fshe [983]. W nnejszym atykule pzedstawono pokótce model ównowag ogólnej z zapasam pzedstawony szczegółowo w pacy M. Naskęckej [23], w któym wpowadzono pewne dodatkowe założena, pzy któych udowodnono stnene cen ównowag oaz stablność modelu. Celem pacy było zbadane, czy w modelu tym bez dodatkowych założeń ówneż stneją ceny ównowag, jak bak tego założena wpłyne na zapasy w stane ównowag oaz czy model ten nadal pozostane stablny. Za metodę badawczą w pacy pzyjęto symulacje komputeowe. Pzedstawony model cągły został pzyblżony modelem dysketnym dla pewnych początkowych waunków oaz funkcj użytecznośc podukcj pzepowadzono symulacje za pomocą pogamu Excel.

64 Monka Naskęcka. Model ównowag ogólnej z zapasam Na ynku pzebywa m konsumentów oaz l poducentów. Każde pzedsębostwo będze chcało zmaksymalzować swój zysk. Każdy konsument będze chcał natomast zmaksymalzować użyteczność nabywanego pzez sebe koszyka. Ne może on jednak kupć węcej, nż zaob. Jego dochód składa sę z pzychodów, któe uzyska po spzedaży swojego koszyka początkowego, oaz z udzałów w zyskach pzedsębostw. W modelu pzyjęto, że zaówno konsument, jak poducent zakładają, że uda m sę zealzować swoje oczekwana. Stąd poducent zakłada, że uda mu sę spzedać całą swoją podukcję, łączne z zapasam. Poducent j-ty będze dysponował pewnym wektoem czynnków podukcj k = ( k, k2,, kn ) Y j j j j j n + ( Y j, j= 2,,,, l są zboam domknętym wypukłym w n + ) oaz będze go chaakteyzować pewna funkcja j podukcj qk ( ): Y +. Będze ona funkcją cągłą, osnącą, wklęsłą, dodatno jednoodną stopna zeo oaz dla agumentu zeo będze pzyjmowała watość zeo ( q () = ). Pzez wekto p= ( p, p2,, p n ) ozumemy wekto cen towaów oaz czynnków podukcj na ynku, a pzez wekto φ = ( φ, φ2,, φn ) wekto zapasów na ynku. Zadane optymalzacyjne j j j j j-tego poducenta będze mało postać: max, j j pq( k) + φ k, j j k Y, ( x, y oznacza loczyn skalany wektoów x y), a stąd j j j j k = g( p, φ) = ag max pq, ( k) + φ k. j j k Y Konsument -ty będze natomast szukał koszyka towaów x X n (zboy X, =, 2,, m, są domknęte w +, wypukłe oaz dla dowolnego dla każdego wektoa x X stneje wekto x X, dla któego u ( x ) > u ( x) ). Jego pefeencje opsane są za pomocą cągłej, osnącej wklęsłej na X funkcj użytecznośc u ( x): X +. Zachowane -tego konsumenta można opsać za pomocą zadana:

Symulacje dla modelu gospodak konkuencyjnej z zapasam 65 max u ( x ), px, pa, + απ j j( k), x X, l j= j j gdze pzez π j( k) = pq, ( k) + φ k ozumemy zysk j-tego poducenta, pzez a ( a a2 a n ) =,,, > ozumemy koszyk początkowy -tego konsumenta, a αj [, ] oznacza udzał -tego konsumenta w zyskach j-tego pzedsębostwa, pzy czym dla każdego pzedsębostwa mus zachodzć waunek m = α =. Rozwązanem tego zadana jest j x = f ( p, φ) = ag max l u ( x). p, x p, a + αjπ j ( k) j= x X Dokładnej zadana te zostały opsane w pacy E. Panka [23]. Nech: pt () = ( p() t, p2() t,, pn () t ), tak jak w układze ównań (), oznacza wekto cen w momence t, f( pt (), φ() t ) = ( f( pt (), φ(), t ) f2( pt (), φ(), t ), fn ( pt (), φ() t )) welkość całkowtego popytu na toway w gospodace w momence t, g( pt (), φ() t ) = ( g( pt (), φ(), t ) g2( pt (), φ(), t ), gn ( pt (), φ() t )) welkość całkowtej podukcj towaów w gospodace, w momence t. Pzez φ() t = ( φ() t, φ2() t,, φn () t ) oznaczmy wekto zapasów towaów w gospodace w momence t. Nech: oaz ( (), φ() ) ( (), φ() ) F pt t = f pt t g ( p(), t φ( t) ) φ( t) ( φ ) = ( φ ) ( φ ) G pt (), () t g pt (), () t f pt (), (). t

66 Monka Naskęcka Modelem ównowag ogólnej z zapasam nazywamy układ ównań ( ) p () t = σf pt (), φ() t, (2) ( (), φ() ) ( (), φ() ) βφ (), gdy φ () t (, A) ( ) lub () ( ( ) g pt t f pt t t φ () t = lubφ() t = G pt (), φ() t φ t = A G pt), φ() t βφ() t, w pozostałych pzypadkach, G pt (), φ() t = g pt (), φ() t f pt (), φ(), t =,2,, n, φ() = = φ, β (, )oznacza stopę depecjacj zapasów, σ > oznacza współczynnk sły eakcj cen na zmanę popytu podaży, a A, A<, ozna- n cza maksymalny dopuszczalny pozom zapasów w gospodace. gdze: ( ) ( ) ( ) Na ynku może zajść klka wykluczających sę sytuacj: f( pt (), φ() t ) > g( pt (), φ() t ) całkowty popyt na -ty towa pzekacza jego podukcję; aby zaspokoć powstałą nadwyżkę popytu, poducenc kozystają ze swoch zapasów; f( pt (), φ() t ) > g( pt (), φ() t ) + φ( t ) cała podukcja oaz całe dotychczas zgomadzone zapasy towau zostają pzeznaczone na zaspokojene popytu konsumentów, jednak część popytu pozostaje nadal nezaspokojona; g( pt (), φ() t ) < f( pt (), φ() t ) g( pt (), φ( t) ) + φ( t ) cała podukcja -tego towau oaz część lub całość zapasów zostaje skeowana na pełne zaspokojene popytu konsumentów; f( pt (), φ() t ) = g( pt (), φ() t ) całkowty popyt na -ty towa jest ówny jego całkowtej podukcj, poducenc ne muszą kozystać z zapasów, któe ulegają natualnemu zużycu; f( pt (), φ() t ) < g( pt (), φ() t ) podukcja -tego towau pzewyższa popyt zgłaszany na ten towa, powstają zapasy [Naskęcka 23]. W pacy zostały pzyjęte założena pzyjmowane standadowo w modelach ównowag ogólnej [Panek 23]: n n n n n n (I) f C + + g C ( + + ) ( \ {} ), \ {}, φ C ( ); n + + (3 )

Symulacje dla modelu gospodak konkuencyjnej z zapasam 67 φ = = = = n n n n + p P+ () p + p λ p 2 p, p 2 p p 2 p ; = T λj( p, φλ< ), F( p, φ) gdze J( p, φ) =, F( p, φ) = f( p, φ) g( p, φ) φ pj n n oaz x = x ; (III) ( 2 n ) p= p, p,, p (,,,) α > f( αp, φ) = f( p, φ) g( αp, φ) = = g( p, φ ) (dodatna jednoodność stopna zeo funkcj podaży oaz funkcj popytu ze względu na ceny); n (IV) φ p = F( p, φ) > (popyt na towa, któego cena wynos, + zawsze będze wyższy od jego podaży); (V) p> p, f( p, φ) g( p, φ) φ = (pawo Walasa); symbolem x, y ozna czamy loczyn skalany wektoów x y. Defncja. Pzez stan ównowag w modelu gospodak konkuencyjnej (2) (3) ozumemy punkt osoblwy (stan stacjonany) p >, φ tego układu, tj. ozwązane układu ównań: f( p, φ) g( p, φ) φ =, g( p, φ ) f( p, φ ) βφ =. W gospodace opsanej za pomocą modelu (2) (3) stneją ceny ównowag ogólnej p > okeślone jednoznaczne z dokładnoścą do stuktuy. Dowód tej własnośc pzebega analogczne do pzepowadzonego w pacy Panka [2]. W standadowych modelach gospodak konkuencyjnej, któe ne uwzględnają zapasów, stablność gospodak oznacza zbeżność dowolnej jej tajekto do pewnego wektoa cen ównowag. W pzedstawonym modelu, opócz tajekto cen, występuje ówneż tajektoa zapasów. Stablność pownna węc zostać zdefnowana zaówno dla tajekto cen, jak dla tajekto zapasów.

68 Monka Naskęcka Defncja 2. Okeślone na półos czasu = + + [, ) ozwązane układu ównań óżnczkowych (2) (3) z dodatną funkcją cen pt () spełnającą waunek początkowy p() = p > oaz neujemną funkcją zapasów φ( t ) spełnającą waunek początkowy φ() = φ, nazywać będzemy ( p, φ )- -dopuszczalną tajektoą cen zapasów w modelu gospodak konkuencyjnej z zapasam. Stablność w modelu gospodak konkuencyjnej bez zapasów jest ozumana jako zbeżność tajekto cen do wektoa cen ównowag. Dla modelu (2) (3) należy uwzględnć ówneż tajektoę zapasów. Defncja 3. Nech p oznacza wekto cen ównowag. Gospodakę, któą opsuje układ ównań (2) (3) z waunkem początkowym p() = p >, φ() = φ, nazywamy (globalne) asymptotyczne stablną, jeżel dowolna ( p, φ )-dopuszczalna tajektoa cen zapasów spełna waunek: ( φ ) > lm ( ) = lm ( ) =. p φ p P pt p t t t Gospodaka będze węc globalne stablna, jeżel każda tajektoa cen będze dążyła do pewnego wektoa cen ównowag, a zapasy będą malały do zea [Panek 2]. Pzy założenach (I) (V) oaz dodatkowym założenu: (VI) t > φ(), t φ() t lub p, pt () > φ (), t φ () t gospodaka konkuencyjna opsana pzez układ ównań (2) (3) jest globalne asymptotyczne stablna. Dowód stablnośc znajduje sę we wcześnejszej pacy autok [Naskęcka 22]. Pojawa sę jednak pytane, czy jeśl opuścmy założene (VI), gospodaka ta nadal będze stablna w sense defncj 3. Aby spawdzć jej własność pzy baku założena (VI), dla modelu (2) (3) zostaną pzepowadzone symulacje. Symulacje Nech na ynku będze dwóch konsumentów oaz dwa pzedsębostwa. Konsumenc zgłaszają popyt na dwa dostępne na ynku toway

( 2) Symulacje dla modelu gospodak konkuencyjnej z zapasam 69 x = x, x, =, 2 (ndeksem =, 2 oznaczamy odpowedno pewszego dugego konsumenta) oaz dostaczają pzedsębostwom czynnk podukcj a = ( a, a2), =, 2. Każdy z konsumentów uzyskuje dochód, spzedając czynnk podukcj oaz patycypując w zyskach poducentów. Konsumenc mają okeślone udzały αl w zyskach poducen- tów spełnające waunek: 2 = α =, l =, 2. y = y, y, j =, 2 zużywa- j j j Poducenc podukują po dwa toway ( 2) j j j ją do tego czynnk podukcj = (, 2), =, 2, l k k k j któe nabywają u konsumentów. Każdy poducent może posadać zapasy wypodukowanych j j j towaów φ = ( φ φ 2 ),. Dla uposzczena w modelu pzyjęto, że wszystke zapasy znajdujące sę na ynku w danym momence dzelone są ówno pomędzy poducentów. Ceny towaów są okeślone pzez wekto p= ( p, p2), a ceny czynnków podukcj pzez wekto p = ( v, v2). Pewszy konsument okeśla swoje pefeencje za pomocą funkcj użytecznośc postac 3 4 4 ( 2) = ( ) ( 2) u x, x 8 x x, a w każdym okese dysponuje 2 jednostkam pewszego czynnka podukcj oaz 3 jednostkam dugego czynnka podukcj, a = (2, 3). Konsument pewszy maksymalzuje swoją użytecz- ność pzy oganczenu budżetowym postac: ( ( φ ) ( φ ) ) px + px v 2 + v 3 +,4 p y + vk + p y + vk + 2 2 2 2 2 2 2 2 ( p ( φ ) ( φ ) ) 2 2 2 2 2 2 y vk p2 y2 2 v2k2 +,5 + + +, 2 3 3 gdze α =,4, α2 =,5 to udzał konsumenta w zyskach obu pzedsębostw. Dug z konsumentów pzypsaną ma odpowedno funkcję uży- 2 2 2 tecznośc (, 2) = 9( ) ( 2) a 2 u x x x x oaz wekto czynnków podukcj = (28, 2), a jego oganczene budżetowe pzyjmuje postać:

7 Monka Naskęcka ( ( φ ) ( φ ) ) px + px v 28 + v 2 +,6 p y + vk + p y + vk + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( p ( φ ) ( φ ) ) 2 2 2 2 2 2 y vk p2 y2 2 v2k2 +,5 + + +. Poducenc maksymalzują swoje zysk posługują sę pzy tym odpowedno funkcjam podukcj postac 2 4 2 4 q ( k, k2) = 4 ( k) ( k2), 2 ( k) ( k2), 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 q ( k, k2 )= 3( k ) ( k2 ), 6( k ) ( k2 ). W symulacj współczynnk sły eakcj cen na neównowagę został ustalony na pozome σ =,, a współczynnk depecjacj zapasów β =,6. Dla tak sfomułowanych zadań optymalzacyjnych konsumentów poducentów pzepowadzono następne symulację pzebegu tajekto cen oaz zapasów. W modelu ceny zbegają do cen ównowag p = (3,3; 9, 5) po. ysunk 2. Symulacje dla zapasów wskazują, że dla stablnych cen, zapasy nekoneczne będą zbegały do zea. Od pewnego momentu zaczynają zmenać sę snusodalne na domknętym obszaze [, 5]. Wynk ten sugeuje, że pzy baku założena (VI) pommo stablnośc cen zapasy ne będą zbegały do zea, lecz będą oscylowały w pewnym pzedzale blskm zea (po. ysunk 3 4). p (t) 2 8 6 4 2 8 6 4 2 2 3 4 5 6 7 8 t Rysunek. Tajektoa ceny towau pewszego Źódło: Oblczena własne

Symulacje dla modelu gospodak konkuencyjnej z zapasam 7 p 2(t) 3 25 2 5 5 2 3 4 5 6 7 8 Rysunek 2. Tajektoa ceny towau dugego Źódło: Oblczena własne t 25 2 5 5 5 2 3 4 5 6 7 8 Rysunek 3. Tajektoa zapasów towau pewszego Źódło: Oblczena własne 35 3 25 2 5 5 5 2 3 4 5 6 7 8 Rysunek 4. Tajektoa zapasów towau dugego Źódło: Oblczena własne

72 Monka Naskęcka Podsumowane W pzedstawonym modelu gospodak konkuencyjnej z zapasam (2) (3) stneją ceny ównowag. Dla założeń (I) (VI) ceny oaz zapasy są stablne w ozumenu defncj 3. Pzepowadzone symulacje pzy baku założena (VI) potwedzły stnene cen ównowag oaz zbeżność do nch tajekto cen towaów. Uważnejszego spawdzena wymaga stablność zapasów, któe oscylują po pewnym domknętym obszaze. Ne będą one zbegały do zea, a symulacje wyaźne wskazują na ch oscylację w pewnym stałym pzedzale. Wynk te sugeują, że pzy tak zdefnowanym modelu tylko ceny będą sę zachowywały w sposób stablny w sense defncj 3. Opuszczając w modelu założene (VI), należałoby węc sę zastanowć nad zmaną defncj zaówno stanu ównowag, jak stablnośc lub też nad nnym sfomułowanem modelu wymany towaów pomędzy konsumentem a poducentem. Bblogafa Aow, K.J., Debeu, G., 954, Exstence of an Equlbum fo a Compettve Economy, Econometca, vol. 22, no. 3, s. 265 29. Aow, K.J., Huwcz, L., 958, On the Stablty of the Compettve Equlbum I, Econometca, vol. 26, no. 4, s. 522 552. Aow, K.J., Block, H.D., Huwcz, L., 959, On the Stablty of the Compettve Equlbum II, Econometca, vol. 27, no., s. 82 9. Damond, P.A., 967, The Role of a Stock Maket n a Geneal Equlbum Model wth Technologcal Uncetanty, The Amecan Economc Revew, vol. 57, no. 4, s. 759. Fshe, F., 983, Dsequlbum Foundatons of Equlbum Economcs, Cambdge Unvesty Pess, Cambdge. Hahn, F., Negsh, T., 962, A Theoem of Non-Tâtonnement Stablty, Econometca, vol. 3, no. 3, s. 463 469. Naskęcka, M., 23, Poblem zapasów w modelu gospodak konkuencyjnej, w: Panek, E. (ed.), Matematyka w ekonom. Teoa zastosowana, Wydawnctwo Unwesytetu Ekonomcznego w Poznanu, Poznań. Panek, E., 23, Ekonoma matematyczna, Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej w Poznanu, Poznań. Panek, E., 2, System Walasa zapasy, Pzegląd Statystyczny, vol. 58, no. 3 4, s. 95 24, Waszawa. Walas, L., 874, Éléments d économe poltque pue, ou théoe de la chesse socale, L. Cobaz & ce, Lousanne.