0-06- Statystyk klasyczne kwantowe Fzyka II dla lektronk, lato 0 Problem welu cząstek Ze wzrostem lczby elementów układu fzycznego, przechodząc od atomów jednoelektronowych, poprzez weloelektronowe, aż do cząsteczek cał stałych, szczegółowy ops zachowana układu staje sę coraz bardzej złożony. Jeden mol zawera lczbę Aogadro N A = 6 0 3 cząsteczek. Jeżel dodatkowo cząsteczk oddzaływują ze sobą, to ops zachowana takego układu zarówno klasyczne poprzez korzystane z zasad mechank Newtona jak kwantowo rozwązując równane Schrödngera aby znaleźć funkcje falowe dla każdej cząsteczk ne jest możlwy. W takm przypadku stosuje sę podejśce statystyczne. Fzyka II dla lektronk, lato 0
0-06- lementy fzyk statystycznej Izolowany układ zawera welką lczbę klasycznych cząstek w stane równowag termodynamcznej w temperaturze T. Aby osągnąć utrzymać ten stan równowag cząstk muszą wymenać mędzy sobą energę. Podczas tych wyman energa będze fluktuować wokół średnej wartośc. Będzemy mogl oblczać średną prędkość cząsteczek, średną energę knetyczną jeżel znana jest określona funkcja rozkładu prawdopodobeństwa. Fzyczne merzalne welkośc, które charakteryzują układ welu cząstek mogą zostać oblczone jeśl znane jest prawdopodobeństwo, że w danej temperaturze T układ ma konkretną energę. Fzyka II dla lektronk, lato 0 3 lementy fzyk statystycznej W ujęcu statystycznym berzemy pod uwagę, że cząsteczk mają różne prędkośc energe rozkład prędkośc lub energ. n( f ( funkcja gęstośc prawdopodobeństwa f ( n( n lczba atomów lub cząsteczek (w jednostce objętośc o prędkoścach zawartych w przedzale od do d 3 całkowta lość n n( d 3 Znajomość funkcja gęstośc prawdopodobeństwa (funkcj rozkładu pozwala oblczać wartośc średne 3 f ( d Fzyka II dla lektronk, lato 0 4
0-06- lementy fzyk statystycznej Klasyczne rozkłady prawdopodobeństwa to: rozkład Maxwella dla prędkośc cząsteczek w gaze doskonałym rozkład Boltzmanna dla energ Kwantowe rozkłady prawdopodobeństwa to: rozkład Bosego-nstena dla cząstek o spne całkowtym rozkład Fermego-Draca dla cząstek o spne połówkowym fekty kwantowe domnują w układach welu cząstek, w tym cał stałych w temperaturze pokojowej. Klasyczna kwantowa fzyka statystyczna zblżają sę do sebe gdy temperatura układu rośne. Fzyka II dla lektronk, lato 0 5 Rozkład Maxwella W 860 James Clerk Maxwell wyprowadzł wzór na gęstość prawdopodobeństwa dla klasycznego gazu cząsteczek ne oddzaływujących ze sobą, traktowanych jako punktowe. Założene: funkcja rozkładu f zależy tylko od wartośc prędkośc : f ( x, y, z f ( Żaden kerunek ne jest uprzywlejowany, ruch w każdym z kerunków x,y z odbywa sę nezależne co oznacza, że prawdopodobeństwo znalezena cząsteczk o składowej prędkośc w kerunku x w przedzale od x do x +d x jest nezależne od prawdopodobeństwa znalezena składowej prędkośc w kerunku y w przedzale od y do y +d y, td. x y z f ( x, y, z h( x h( y h( z Fzyka II dla lektronk, lato 0 6 3
0-06- Rozkład Maxwella h( x h( y h( z f ( Funkcja rozkładu h jest taka sama dla każdego kerunku co wynka z symetr. x y z ln h x ln h( y ln h z ln f ( x y z stąd: h( x cons exp B x f ( C exp[ B( x y z C exp( B Stałe C B znajdujemy z warunku normalzacj Fzyka II dla lektronk, lato 0 7 Rozkład Maxwella Ostateczna forma rozkładu Maxwella: f ( m k B T 3 exp( m k T B Funkcja rozkładu zależy tylko od wartośc prędkośc, a ne od jej kerunku Dla ustalonej temperatury, funkcja rozkładu maleje eksponencjalne gdy energa knetyczna cząsteczk K=m / rośne, maleje e razy gdy K rośne k B T-razy Fzyka II dla lektronk, lato 0 8 4
0-06- Rozkład Maxwella rozkład Maxwella pozwala znaleźć wartośc średne: n n f ( d 3 Rozkład Maxwella wyprowadza sę dla prędkośc ale można równeż oblczyć rozkład szybkośc g( g( 4 m k B T 3 exp( m k T B g d ( opsuje prawdopodobeństwo, że cząsteczka będze mała prędkość zawartą pomędzy +d Fzyka II dla lektronk, lato 0 9 Rozkład Maxwella Wykres rozkładu szybkośc cząsteczek w gaze Prawdopodobeństwo znalezena cząsteczk o zerowej prędkośc jest małe; podobne dla bardzo dużych prędkośc Maksmum rozkładu występuje dla szybkośc zblżonej do średnej Fzyka II dla lektronk, lato 0 0 5
0-06- Rozkład Boltzmanna Rozkład Maxwella jest szczególnym przypadkem bardzej ogólnej zasady: Prawdopodobeństwo, że pojedyncza cząsteczka ze zboru cząsteczek w równowadze w temperaturze T ma energę jest proporcjonalna do: exp( k T B czynnk Boltzmanna nerga może być funkcją prędkośc cząsteczk (energa knetyczna dla punktów materalnych, ale może zawerać energę rotacyjną (=Iω / lub oscylacyjną (=kx / dla cząsteczek o określonym kształce. Fzyka II dla lektronk, lato 0 Rozkład Boltzmanna Dla gazu w równowadze, możemy rozważać lczbę cząsteczek (lub gęstość o energach w przedzale od do +d. Cząsteczk wymenają energę w zderzenach. n( n(0 exp( k T B n(0 jest stałą Całkowta lość (lub gęstość molekuł wynos: n n( sumowane występuje po wszystkch możlwych energach Fzyka II dla lektronk, lato 0 6
0-06- Statystyk kwantowe Fermego-Draca dla fermonów Bosego-nstena dla bozonów Najbardzej zadzwającą własnośc mkrośwata jest nerozróżnalność cząstek. W skal atomowej ne można rozróżnć składnków tego samego rodzaju np. dwóch elektronów. Każdy elektron ma taką samą masę, ładunek, spn. Spektroskopa dostarcza dowodów, że nawet jeżel stneje neskończona lczba stanów wzbudzonych dla atomu wodoru, to wszystke atomy wodoru mają tak sam zestaw stanów wzbudzonych take samo wdmo emsyjne. Fzyka II dla lektronk, lato 0 3 Nerozróżnalność cząstek Identyczne cząstk znajdują sę w polu o tym samym potencjale (w przecwnym przypadku można by jej rozróżnć. Przy braku oddzaływana pomędzy cząstkam: V( x, x,..., xn V( x V( x V( x Z tych samych powodów stneją dwe klasy funkcj nezależnych od czasu: symetryczne u S antysymetryczne u A Dla układu dwóch cząstek: u u S A... N ( x, x um( x un( x um( x un( x NS ( x, x um( x un( x um( x un( x N S Fzyka II dla lektronk, lato 0 4 7
0-06- Nerozróżnalność cząstek Symetryczne funkcje falowe są nezmenncze względem zamany cząstek opsują bozony: u S ( x, x um( x un( x um( x un( x N u S S ( x, x us ( x, x Bozonam są cząstk, których całkowty moment pędu z uwzględnenem spnu jest lczbą całkowtą. Bozonam są: foton, cząstka α, atom wodoru. Fzyka II dla lektronk, lato 0 5 Nerozróżnalność cząstek Antysymetryczna funkcje falowa zmena znak przy zamane cząstek ma zastosowane do fermonów: u A ( x, x um( x un( x um( x un( x N u S S ( x, x us ( x, x Fermonam są cząstk, których całkowty moment pędu z uwzględnenem spnu wynos /, 3/, 5/ Fermonam są: elektron, proton, neutron. Fzyka II dla lektronk, lato 0 6 8
0-06- Zakaz Paulego Wolfgang Paul (900-958, sformułował tę zasadę w 95 r. W atome weloelektronowym w tym samym stane kwantowym może znajdować sę co najwyżej jeden elektron. Późnej stwerdzł, że zakaz ten reprezentuje ogólną własność elektronów, a ne tylko elektronów w atomach. Uogólnony zakaz Paulego (symetra wymany: Funkcja falowa układu welu cząstek jest antysymetryczna ze względu na zamanę dwóch dentycznych fermonów symetryczna ze względu na zamanę dwóch dentycznych bozonów. Dwa dentyczne fermony ne mogą być w tym samym stane kwantowo-mechancznym (ne mogą meć jednakowych wszystkch lczb kwantowych z uwzględnenem spnu. Fzyka II dla lektronk, lato 0 7 Konsekwencje zakazu Paulego lektrony w neskończonej studn potencjału n= n= Pozom energetyczny n= odpowada najnższej energ jest stanem podstawowym pojedynczego elektronu. Uwzględnając spn, można umeścć dwa elektrony w każdym stane o danym n (n=, jeden elektron o spne do góry, jeden o spne w dół. Trzec elektron mus znaleźć sę na pozome o n= na podstawe zakazu Paulego. Zakaz ten odgrywa stotną rolę w budowe atomów, cząsteczek jąder oraz w technolog urządzeń półprzewodnkowych laserów. Metale zawerają wele swobodnych elektronów. Występowane welu dentycznych cząstek nazywamy materą zdegenerowaną. Fzyka II dla lektronk, lato 0 8 9
0-06- Konsekwencje zakazu Paulego Przykłady degeneracj W fzyce spotykamy sę z tym zjawskem dla metalach. lektrony walencyjne w metalu zachowują sę jak zdegenerowany system fermonów w nskch temperaturach. To zachowane tłumaczy wele dośwadczalne obserwowanych własnośc metal: przewodnctwa ceplnego, przewodnctwa elektrycznego ch zależnośc temperaturowych. Przecwdzałane ścskanu (cśnene kompresj, będące konsekwencją zakazu Paulego odgrywa stotną rolę w astrofzyce tłumacząc ewolucje gwazd (mechanzm powstawana bałych karłów, gwazd neutronowych czarnych dzur Fzyka II dla lektronk, lato 0 9 nerga Fermego nerga Fermego ma zastosowane do fermonów jest konsekwencją zakazu Paulego. Przypadek D dla neskończonej studn potencjału N bozonów ne stosuje sę zakaz Paulego. Stan podstawowy Stan wzbudzony N bozonów zajmuje pozom n= Całkowta energa stanu podstawowego: g N średna energa na cząsteczkę: g N W perwszym stane wzbudzonym N- bozonów zajmuje pozom n= jeden bozon jest w stane n=. nerga stanu wzbudzonego Fzyka II dla lektronk, lato 0 0 * ( N 0
0-06- nerga Fermego nerga Fermego F jest ważnym parametrem struktury elektronowej półprzewodnków metal. Jest zdefnowana jako energa najwyższego pozomu energetycznego wypełnonego elektronam w stane podstawowym. Przypadek D dla neskończonej studn potencjału Z powodu zakazu Paulego ne można umeścć wszystkch N-fermonów (elektronów w jednym stane. Wszystke pozomy do n=n/ są obsadzone w stane podstawowym. Borąc pod uwagę fakt, że energe pojedynczych elektronów n =n, energa N-cząstek w stane podstawowym wynos: g N... N / j j Fzyka II dla lektronk, lato 0 nerga Fermego n Suma może zostać oblczona jako j n( n (n j 6 dla dużych n przyblżamy jako n 3 /3 Gdy n jest duże równe N/: g 3 N Średna energa na cząstkę w stane podstawowym: 4 g N Fzyka II dla lektronk, lato 0 N W przypadku bozonów średna energa przypadająca na cząsteczkę była stała, dla fermonów rośne ona z lczbą cząstek jak N Przy konstrukcj stanu podstawowego o N fermonach, najwyższy zapełnony pozom energetyczny, czyl energa Fermego F odpowada n=n/ w przypadku jednowymarowym wynos: N F 8mL
0-06- nerga Fermego Przypadek trójwymarowy Wylczamy wszystke możlwe stany energetyczne pojedynczej cząstk w trójwymarowej neskończonej studn, którą tworzy sześcan o długośc boku L. nerga pojedynczej cząstk w 3D jest sumą energ dozwolonych w każdym kerunku: ( n, n, n3 ( n n n3 ( n n n ml Dozwolone stany energetyczne odpowadają każdej trójce lczb całkowtych (n,n,n 3 Możlwość wystąpena degeneracj energetycznej jest podstawową różncą pomędzy przypadkem trójwymarowym a jednowymarowym. Fzyka II dla lektronk, lato 0 3 3 nerga Fermego Przypadek trójwymarowy Mając N fermonów (N jest duże wypełnamy pozomy energetyczne w sześcane ( fermony w danym stane zaczynając od najnższej energ. nerga ostatnego fermonu, który umeścmy w strukturze energetycznej będze energą Fermego F Jaka jest lczba stanów o energ mnejszej od pewnej ustalonej wartośc? Ile jest takch trójek lczb całkowtych n, n, n 3, które spełnają warunek: n n n3 Jak będzemy to wedzeć, to przyjmemy, że lczba stanów jest równa N/ co odpowadać będze = F Fzyka II dla lektronk, lato 0 4
0-06- nerga Fermego Przypadek trójwymarowy Trójk lczb całkowtych (n,n,n 3 przedstawamy grafczne jako punkty w sec regularnej (sześcan Dla dużej lczby N (oraz F zakładamy, że: n n n3 R F gdze R jest promenem kul Fermego R Fzyka II dla lektronk, lato 0 5 nerga Fermego Przypadek trójwymarowy Każdy punkt sec sześcennej jest oddalony od kolejnego punktu wzdłuż jednej os o odległość jednostkową. Seć jest utworzona z sześcanów o jednostkowej objętośc. Lczbę punktów sec można oblczyć porównując z objętoścą kul Fermego. N 4 R 8 3 6 3 F 3/ Ostateczne: F 3 N m 3 L /3 Defnując gęstość lub koncentrację elektronów: n f 3 N / L otrzymujemy: / 3 F 3 n f m tylko dodatne n węc /8 objętośc Fzyka II dla lektronk, lato 0 6 3
0-06- nerga Fermego Przypadek trójwymarowy Welkość momentu pędu elektronu dla energ Fermego (pęd Fermego p F /3 mf 3 n f Długość fal de Brogle odpowadająca pędow Fermego wynos: F h p F /3 n f 3 /3 średna odległość mędzy fermonam a Najmnejsza odległość na jaką mogą sę zblżyć dwa fermony jest w przyblżenu równa połowe długośc fal de Brogle a odpowadającej energ Fermego: F a Fzyka II dla lektronk, lato 0 7 Rozkład Fermego-Draca Założena: cząstk są nerozróżnalne cząstk ne oddzałują ze sobą spełnony jest zakaz Paulego w jednym stane energetycznym opsanym przez zespół lczb kwantowych może znajdować sę jedna cząstka (dwe ze względu na spnową lczbę kwantową m s Fzyka II dla lektronk, lato 0 8 4
0-06- Rozkład Fermego-Draca Średna lczba N( cząstek o spne ½ o danej energ jest dana wzorem: N( n( exp ( Aby wyjaśnć znaczene fzyczne stałych β μ trzeba rozważyć znane przypadk szczególne. W grancy dużych energ, rozkład mus przechodzć w rozkład klasyczny Boltzmanna. Dla bardzo dużych energ, średne obsadzene pozomów jest tak małe, że wpływ drugej cząstk a zatem zakaz Paulego ne odgrywają dużego znaczena. Zatem: k B T Fzyka II dla lektronk, lato 0 9 Rozkład Fermego-Draca dla różnych temperatur T N( exp ( k B T W nskch temperaturach czyl dla β, N( może przyjąć tylko dwe wartośc. Jeżel >μ to N(=0, jeżel <μ to N(=. Jest to zgodne z oczekwanam dla dużej lczby fermonów w stane podstawowym: dwa elektrony dla każdej energ do pozomu Fermego zero elektronów powyżej energ Fermego F. Dlatego utożsamamy μ z F : F Fzyka II dla lektronk, lato 0 30 5
0-06- Rozkład Fermego-Draca N( exp k T Przyjmując: lczba pozomów (przedzałów energ, n lczba cząstek na -tym pozome, g lczba dostępnych stanów, energa -tego stanu, N-całkowta lczba cząstek, -całkowta energa układu N cząstek w danej temperaturze T f ( B F exp( k funkcja rozkładu Fermego-Draca n g B T F Fzyka II dla lektronk, lato 0 3 Rozkład Fermego-Draca Interpretacja energ Fermego: W temperaturze T=0K pozom energ Fermego jest to pozom odcęca. Oznacza to, że wszystke pozomy o energ mnejszej od energ Fermego są na pewno obsadzone; natomast pozomy o energ wększej nż energa Fermego są puste. Fzyka II dla lektronk, lato 0 3 6
0-06- Rozkład Fermego-Draca f ( n g exp( k B T F a przypadek F T=0K: f ( exp( b przypadek > F T=0K: f ( exp( 0 Dla T 0 oraz dla = F funkcja rozkładu f( F = ½. Fzyka II dla lektronk, lato 0 33 Rozkład Fermego-Draca f ( n g exp( k B T F Funkcja rozkładu Fermego-Draca określa prawdopodobeństwo obsadzena pozomu w temperaturze T Celem opsu jest znalezene odpowedz na pytane jak jest rozkład cząstek mędzy różnym pozomam, tak aby energa całkowta była stała, czyl aby spełnone były warunk: N n const n const Fzyka II dla lektronk, lato 0 34 7
0-06- Określmy funkcje gęstośc stanów, określa ona lczbę stanów w jednostkowym przedzale energ: g n f g f ( N f ( ( d f ( ( d Fzyka II dla lektronk, lato 0 35 Rozkład Bosego-nstena Założena: - cząstk są nerozróżnalne - cząstk ne oddzałują ze sobą - ne jest spełnony zakaz Paulego Funkcja rozkładu Bosego- nstena ma postać: f ( exp( k T B Fzyka II dla lektronk, lato 0 36 8
0-06- Rozkład Bosego-nstena W przecweństwe do fermonów, dowolna lczba bozonów może znajdować sę w tym samym stane kwantowym. Występuje tendencja do gromadzena sę bozonów w danym stane kwantowym. nsten przewdzał to zjawsko w pracy o promenowanu cała doskonale czarnego (97, na wele lat przed sformułowanem równana Schrödngera zanm pojawła sę koncepcja symetrycznych funkcj falowych. nsten pokazał, że prawdopodobeństwo przejśca ze stanu zawerającego n fotonów do stanu zawerającego n+ fotonów jest proporcjonalne do n+. Fzyka II dla lektronk, lato 0 37 Rozkład Bosego-nstena N( exp s ( k B T N N( Jeżel lczba N bozonów ma być stała to: 0 Dla fotonów μ=0, bo ch lczba ne zawsze jest zachowana Fzyka II dla lektronk, lato 0 38 9
0-06- Zastosowana teor lektronowe cepło właścwe dla metal Prawo Dulonga Petta przewduje dla cał stałych, że molowe cepło właścwe w stałej objętośc jest stałe wynos c =3R=6cal/mol K gdze R jest unwersalną stałą gazową. Zależność od temperatury, dla nższych temperatur przewduje teora Debye a (przyczynek atomowy, drgana sec, fonony Fzyka II dla lektronk, lato 0 39 Zastosowana teor lektronowe cepło właścwe dla metal W metalach, elektrony wnoszą przyczynek do cepła właścwego tylko w nskch temperaturach a w normalnych temperaturach przyczynek elektronowy jest zbyt mały w porównanu z wkładem atomowym aby ten efekt zaobserwować. Dzeje sę tak dlatego, że tylko część elektronów (o energ blskej energ Fermego berze udzał w przewodnctwe. Jest to całkowce kwantowy efekt. C el R T T F T F -temperatura Fermego jest rzędu 60 000 K Fzyka II dla lektronk, lato 0 40 0
0-06- Zastosowana Kondensacja Bosego-nstena Gdy temperatura spada ponżej temperatury krytycznej T c coraz wększa lczba bozonów kondensuje do stanu podstawowego. W temperaturze zera bezwzględnego wszystke cząstk kondensują do stanu podstawowego. Ten efekt, który występuje nawet gdy ne występuje bezpośredne oddzaływane mędzy bozonam, nazywa sę kondensacją Bosego-nstena. Cornell, Ketterle, Weman Fzyka II dla lektronk, lato 0 4 Zastosowana Nadcekłość helu W 908, Heke Kamerlngh Onnes skroplł hel w temperaturze 4. K. W 98 Wllem Hendrk Keesom odkrył, że w T c =.7 K występuje przejśce do nowej fazy helu. Własnośc nowej fazy: Cekły hel wrze gdy jest ozębany powyżej T c. Gdy temperatura spada ponżej T c, wrzene ustaje. Powyżej T c cekły hel zachowuje sę jak każdy lepk płyn. Ponżej T c przepływ przez wąske kanały ne napotyka na przeszkody jakby lepkość cekłego helu była zerowa. Ponżej T c cekły hel wspna sę po ścanach naczyna; tworzy fontanny Fzyka II dla lektronk, lato 0 4
0-06- Zastosowana Nadcekłość helu W temperaturze T c atomy helu zaczynają tworzyć kondensat. Dokladne w temperaturze T c udzał atomów w kondensace jest mały. Gdy T maleje do zera, udzał ten wzrasta do jednośc. Kondensat wykazuje nadcekłość. Ponżej T c można potraktować hel jako meszannę dwóch ceczy: normalnej nadcekłej Względna gęstość zmena sę z temperaturą pomędzy T=0 T=T. c Fzyka II dla lektronk, lato 0 43