1 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo

1 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo kombinatoryczne I Zadania z wykładu. Zadania obowiązkowe. Przypomnienie. k-elementową kombinacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy podzbiór k-elementowy tego zbioru; liczba kombinacji wynosi ( ) n Cn k = k k-wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnowartościowy, którego wyrazami są elementy tego zbioru; liczba wariacji bez powtórzeń wynosi V k n = n! (n k)! k-wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg, którego wyrazami są elementy tego zbioru; liczba wariacji z powtórzeniami wynosi W k n = n k permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg, którego wyrazami są wszystkie elementy tego zbioru; liczba permutacji wynosi P n = n! Klasyczna definicja prawdopodobieństwa: Jeżeli Ω jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych ω jednakowo prawdopodobnych i A Ω, to P (A) = #A #Ω. Zadanie 1.1. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia trójki, czwórki, piątki i szóstki w dużym lotku (skreślamy 6 spośród 49 liczb). Zadanie 1.2. Dany jest zbiór funkcji f : {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana funkcja jest różnowartościowa. Rozwiazanie. 12 25 Zadanie 1.3. W pierwszej urnie znajdują się kule ponumerowane liczbami 1, 2,..., 10, zaś w drugiej urnie - kule ponumerowane liczbami 6, 7,..., 25. Wyciągamy losowo po jednej kuli z każdej urny. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie kule mają ten sam numer. Zadanie 1.4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w dobrze potasowanej talii (52 karty) wszystkie 4 asy sąsiadują ze sobą (nie są rozdzielone innymi kartami)? 1

Zadanie 1.5. Rzucamy trzema kości do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: (a) otrzymamy dwie różne liczby oczek (jedna wystąpi na jednej kości, a druga na dwóch pozostałych) (b) najmniejsza wyrzucona wartość wynosi 4 Zadanie 1.6. Wykonujemy cztery rzuty kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby oczek otrzymane w kolejnych rzutach tworzą ciąg ściśle rosnący. Zadanie 1.7. Na okręgu wybrano losowo 4 punkty P 1.P 2, P 3, P 4. Oblicz prawdopodobieństwo, że cięciwy P 1 P 2 i P 3 P 4 przecinają się. Zadanie 1.8. Udowodnić nierówność Zadania dodatkowe. P (A) + P (B) 1 P (A B) min{p (A), P (B)}. Zadanie 1.9. Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie co najmniej jednej jedynki przy rzucie czterema kostkami, czy co najmniej raz dwóch jedynek na obu kostkach przy 24 rzutach dwiema kostkami? uzyskanie co najmniej jednej szóstki w 6 rzutach, co najmniej dwóch szóstek w 12 rzutach, czy co najmniej trzech szóstek w 18 rzutach? Zadanie 1.10. Na prostej danych jest pięć różnych punktów. Wybieramy losowo dwa punkty. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że nie są to punkty sąsiednie. Rozwiazanie. 3 5 2

2 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo kombinatoryczne II Zadania z wykładu 1. Zadanie 2.1. Niech Ω będzie dowolnym zbiorem oraz Udowodnić, że: (a) F jest σ-ciałem F = {A Ω : A przeliczalny lub Ω \ A przeliczalny} (b) jeżeli Ω jest nieprzeliczalny to F jest istotnie mniejszy niż 2 Ω Zadanie 2.2. Dla dowolnego zbioru indeksów T rozważmy rodzinę σ-ciał {F} t T. Udowodnić, że t T F. Czy t T F będzie σ-ciałem? Zadanie 2.3. Udowodnić następujące własności miary probabilistycznej: (a) A F P (A ) = 1 P (A) (b) A,B F P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Zadanie 2.4. Pokazać, że nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne. Zadanie 2.5. Dane są Zadania obowiązkowe. P (A ) = 1 3, P (A B) = 1 4, P (A B) = 2 3. Obliczyć P (B ), P (A B ), P (B \ A). Zadanie 2.6. Windą jedzie 7 osób, a pięter w budynku jest 10. Jaka jest szansa, że wszyscy wysiądą na różnych piętrach? Zadanie 2.7. Z 52 kart wybrano 6. Jaka jest szansa, że wśród wylosowanych kart będą karty czerwone i czarne? Zadanie 2.8. Do pociągu składającego się z n wagonów wsiada r pasażerów na chybił trafił. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że do każdego wagonu wsiądzie przynajmniej jeden pasażer. Zadanie 2.9. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wielokrotnym rzucaniu parą symetrycznych kostek suma oczek 8 wypadnie przed sumą oczek 7. 3

Wskazówka. posłużyć sie drzewem Zadanie 2.10. n nierozróżnialnych kul umieszczamy w n urnach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że (a) dokładnie jedna urna będzie pusta (b) dokładnie dwie urny będą puste Zadanie 2.11. Dane są Zadania dodatkowe. P (A B ) = 1 2, P (A ) = 2 3, P (A B) = 1 4. Obliczyć P (B), P (A B). Zadanie 2.12. Klasa liczy 15 uczniów, na każdej lekcji do odpowiedzi losowany jest jeden uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciagu 16 lekcji każdy uczeń zostanie przepytany. Zadanie 2.13. Ustawiamy w ciąg 6 elementów typu a i 9 elementów typu b. Wszystkie ciągi są jednakowo prawdopodobne. Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za którym występuje element drugiego typu, na przykład w ciagu aaabbbbaabbbbba jest 5 serii (3 serie elementów typu a i 2 serie elementów typu b). Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu będzie 6 serii. 4

3 Niezależność zdarzeń, prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite Zadania z wykładu 2. Zadanie 3.1. Udowodnić wzór włączeń i wyłączeń. Zadanie 3.2. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnić nierówność ( n ) n P A i P (A i ) P (A i A j ). i=1 i=1 1 i<j n Zadania obowiązkowe. Zadanie 3.3. Wiadomo, że A, B, C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2 5, P (B A) = 1 4, P (C A B) = 1 2, P (A B) = 6 10, P (C B) = 1 3. Oblicz P (A B C). Zadanie 3.4. Wsród n monet k jest asymetrycznych, orzeł wypada na nich z prawdopodobieństwem 1/3. W wyniku rzutu wybraną losowo monetą wypadł orzeł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta moneta jest asymetryczna? Zadanie 3.5. W mieście działaja dwa przedsiebiorstwa taksówkowe: Zielone Taxi (85% samochodów) i Niebieskie Taxi (15%). Swiadek nocnego wypadku zakończonego ucieczką kierowcy taksówki twierdzi, ze samochód był niebieski. Eksperymenty wykazały, ze świadek rozpoznaje kolor poprawnie w 80% przypadków, a myli sie w 20% przypadków. Jaka jest szansa, że w wypadku uczestniczyła niebieska taksówka? Zadanie 3.6. Z badan genealogicznych wynika, że kobieta jest nośnikiem hemofilii z prawdopodobieństwem p. Jeżeli kobieta jest nośnikiem hemofilii, to każdy jej syn dziedziczy tę chorobę z prawdopodobieństwem 0.5. Kobieta, która nie jest nośnikiem hemofilii rodzi zdrowych synów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: (a) pierwszy syn będzie zdrowy, (b) drugi syn będzie zdrowy, jeśli pierwszy będzie zdrowy, (c) kobieta nie jest nośnikiem hemofilii, jeśli dwaj pierwsi synowie są zdrowi. Zadanie 3.7. Informację przekazuje się za pomocą telegrafu nadając sygnał lub -. Średnio 1/3 sygnałów - i 2/5 sygnałów zostaje zniekształconych. Wiadomo, że wśród przekazywanych sygnałów, i - występują w stosunku 5 : 3. Oblicz prawdopodobieństwa, że odebrane sygnały i - były w rzeczywistości nadane jako i -. 5

Zadanie 3.8. Wykonujemy 10 kolejnych niezależnych rzutów symetryczną monetą. Niech S n oznacza liczbę orłów otrzymaną w początkowych n rzutach. Oblicz P (S 5 = 3 S 10 = 7). (odp. 5 12 ) Zadania dodatkowe. Zadanie 3.9. Mamy dwóch strzelców. Prawdopodobieństwo trafienia w cel pojedynczym strzałem wynosi dla lepszego z nich 0.8, a dla gorszego 0.4. Nie wiemy, ktory z nich jest gorszy, a który lepszy. Testujemy strzelców poddając ich ciągowi prób, z których każda polega na oddaniu jednego strzału przez każdego z nich. Test przerywamy po pierwszej takiej próbie, w wyniku której jeden ze strzlców trafił, a drugi spudłował. Następnie ten strzelec, który w ostatniej próbie trafił, oddaje jeszcze jeden strzał. Jakie jest prawdopodobieństwo, iż tym razem także trafi w cel? (odp. 26 35 ) Zadanie 3.10. W teleturnieju gracz ma do wyboru trzy koperty, dwie puste, jedna z nagrodą pieniężną. Gdy dokona wyboru, prowadzący otwiera jedną z odrzuconych kopert i pokazuje, że jest pusta. Gracz może w tym momencie zatrzymać wybraną wcześniej kopertę lub zmienić wybór i wziąć pozostałą z odrzuconych wcześniej kopert. Która strategia jest lepsza? Zadanie 3.11. Test na rzadka chorobe, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na tysiac, daje fałszywą odpowiedź pozytywną w 5% przypadków (u osoby chorej zawsze daje odpowiedz pozytywną). Jaka jest szansa, ze osoba u której test dał wynik pozytywny, jest naprawdę chora? Zadanie 3.12. Do poszukiwania zaginionego rozbitka przydzielono 20 helikopterów. Każdy z nich można skierować do jednego z dwóch rejonów, w których może, odpowiednio z prawdopodobieństwem 1/3 i 1/6, znajdować się rozbitek (z prawdopodobieństwem 1/2 nie ma go w żadnym rejonie). Każdy helikopter wykrywa znajdującego się w danym rejonie rozbitka z tym samym prawdopodobieństwem p = 1 10 1/2 i niezależnie od innych helikopterów. Jak nalezy rozdzielić helikoptery, by prawdopodobieństwo odnalezienia rozbitka było maksymalne? Zadanie 3.13. W pierwszej skrzynce jest 15 jabłek zdrowych i 5 zepsutych. W drugiej skrzynce jest 14 jabłek zdrowych i 6 zepsutych. Wybieramy losowo jedną ze skrzynek i wyciągamy z niej 3 różne jabłka. Obliczyć (a) prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane jabłka są zdrowe (b) prawdopodobieństwo, że wybraliśmy drugą skrzynkę, skoro wszystkie jabłka okazały się zdrowe 6

4 Prawdopodobieństwo geometryczne Zadania z wykładu 3. Zadanie 4.1. Pokazać, że jeśli zdarzenia A, B są niezależne, to niezależne są zdarzenia A, B i A, B. Zadanie 4.2. Pokazać niezależność wyników kolejnych rzutów w modelu nieskończonego ciągu rzutów monetą. Zadania obowiązkowe. Zadanie 4.3. Dwie osoby umówiły się na spotkanie między godz. 17 a 18 i czekają na siebie co najwyżej 15 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo spotkania tych osób? Zadanie 4.4. Na odcinku [0,1] umieszczono losowo punkty L i M. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że środek odcinka LM należy do przedziału [0, 1 3 ]? (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że z L jest bliżej do M niż do zera? Zadanie 4.5. Z przedziału [0,1] wybrano losowo dwa punkty, które podzieliły go na trzy odcinki. Jaka jest szansa, że z tych odcinków można zbudować trójkąt? Zadanie 4.6. Na duży stół pomalowany szerokimi liniami o grubości c w kratę (odległość między środkami linii wynosi a) rzucamy monetę. Jaka jest szansa, że moneta o średnicy d nie przetnie linii? Zadanie 4.7. Na nieskończonej szachownicy o boku a (kratki) rzucamy monetę o średnicy 2r < a. Jaka jest szansa, że (a) moneta znajdzie się we wnętrzu jednego z pól? (b) moneta przetnie się z co najwyżej jednym bokiem szachownicy? Zadania dodatkowe. Zadanie 4.8. W chwili początkowej pewien człowiek ma dwa pełne pudełka zapałek po jednym w każdej kieszeni. Ilekroć chce zapalić papierosa, sięga do losowo wybranej kieszeni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gdy po raz pierwszy sięgnie po puste pudełko, w drugiej kieszeni będzie dokładnie k zapałek? 7

5 Niezależność i zadania nieskończone Zadania z wykładu 4. Zadanie 5.1. Pokazać, że jeśli zdarzenia A, B są niezależne, to niezależne są zdarzenia A, B i A, B. Zadanie 5.2. Pokazać niezależność wyników kolejnych rzutów w modelu nieskończonego ciągu rzutów monetą (model oparty na rozwinięciu dwójkowym). Zadanie 5.3. Pokazać, że P (lim inf n A n) lim inf n P (A n) Zadania obowiązkowe. Zadanie 5.4. Pokazać, że wylosowanie z talii 52 kart asa i wylosowanie karty czerwonej są zdarzeniami niezależnymi. Zadanie 5.5. Zdarzenia A 1,..., A n są niezależne i mają jednakowe prawdopodobieństwo. Jaka jest szansa, że (a) zajdą wszystkie naraz (b) nie zajdzie żadne z nich (c) zajdzie dokładnie jedno Zadanie 5.6. Rzucamy monetą n-krotnie. Prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi p. Niech A oznacza zdarzenie w pierwszym rzucie wypadł orzeł, zaś A k - w n pierwszych rzutach wypadło dokładnie k orłów. Dla jakich k, p, n zdarzenia A i A k są niezależne? (0 p 1, 0 k n, k, n N) Zadanie 5.7. Niech ( 1 A n = 1, 1 + 1 ( 3 n+1 1, 2 ) 1 n+1 3 n+1 Obliczyć lim sup A n i lim inf A n. n+1 ) dla n = 1, 3, 5,... dla n = 2, 4, 6,... Zadanie 5.8. Rzucamy nieskończenie wiele razy monetą. Prawdopodobieństwo wyrzucenia ora w pojedynczej próbie wynosi p. Niech A n oznacza zdarzenie, że w pierwszych n rzutach było tyle samo orłów co reszek. Wykazać, że P (lim sup A n ) = 0 dla p 1 2. (nie można stosować wzoru Stirlinga) Zadanie 5.9. Zdarzenia A 1, A 2,... są niezależne i mają równe prawdopodobieństwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zajdzie skończenie wiele spośród zdarzeń A 1, A 2,...? 8

Zadanie 5.10. Urna zawiera n kul, które są białe lub czarne. Załóżmy, że każda możliwa liczba kul białych jest tak samo prawdopodobna. Po wrzuceniu do urny dodatkowej białej kuli losujemy z niej jedną kulę. Oblicz lim n p n, gdzie p n to prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. Zadanie 5.11. Oblicz prawdopodobieństwo q a ruiny gracza A, który zaczyna grę z kapitałem a zł, a kończy, gdy wszystko straci (ruina) lub gdy będzie miał c zł (a c). W każdej rundzie gracz A wygrywa 1 zł z prawdopodobieństwem p i przegrywa 1 zł z prawdopodobieństwem q = 1 p. Zadanie 5.12. Gracz A ma nieograniczony kapitał i gra aż do momentu, w którym wygra b zł. Znaleźć prawdopodobieństwo wygranej gracza A. Zadanie 5.13. Pijak znajduje się trzy kroki od przepaści. Szansa wykonania kroku w kierunku przepaści wynosi 1, a w przeciwnym 2. Poszczególne kroki są niezależne. Jakie 3 3 jest prawdopodobieństwo, że pijak nie spadnie? (nie znajdzie się na skraju przepaści) Zadanie 5.14. Dwaj gracze rzucają symetryczną monetą, aż (a) pojawi się ciąg OO (wygrywa A) albo RRR (wygrywa B), (b) pojawi się ciąg OOR (wygrywa A) albo ROR (wygrywa B). Uzasadnić, że gra się zakończy z prawdopodobieństwem 1 i obliczyć prawdopodobieństwo wygrania gracza A. Zadania dodatkowe. Zadanie 5.15. Łódź podwodna atakuje okręt wypuszczając niezależnie m torped, z których każda trafia w okręt z prawdopodobieństwem p. Okręt jest podzielony na n komór, a tonie po zatopieniu co najmniej dwóch z nich. Burta i-tej komory ma powierzchnię s. Oblicz prawdopodobieństwo zatonięcia okrętu. Zadanie 5.16. W nieskończonym ciągu prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p (0, 1) zdarzenie A n polega na pojawieniu się serii n sukcesów w próbach o numerach zawartych pomiędzy 2 n a 2 n+1 1. Zbadać w zależności od p szansę pojawienia się nieskończenie wielu zdarzeń A n. Wskazówka. Jakubowski, rozdział o lematach Borela-Cantelliego 9

6 Gęstość Radona-Nikodyma Zadanie 6.1. Udowodnić: Zadania z wykładu 5. (a) jeśli ν µ i µ m, to ν m (b) jeśli ν µ i µ m, to (c) (d) jeśli µ ν, to dν dm = dν dµ dµ dm dν dµ = dµ dµ = 1 ( ) 1 dµ dν Zadania obowiązkowe. Zadanie 6.2. Definiujemy dwa sigma ciała oraz miary µ, ν określone na F Niech µ G = µ G, ν G = ν G. G = σ{[0, 1), [1, 3]}, F = σ{[0, 1), [1, 2), [2, 3]} µ([0, 1)) = 1, µ([1, 2)) = 4, µ([2, 3]) = 5; ν([0, 1)) = 2, ν([1, 2)) = 1, ν([2, 3]) = 3. (a) wypisać wszystkie elementy sigma ciał F, G (b) uzasadnić, że ν µ oraz ν G µ G (c) znaleźć gęstości dν/dµ oraz dν G /dµ G Zadanie 6.3. Niech X = [0, 1] i λ oznacza miarę Lebesgue a. Dana jest funkcja f : X X taka, że f C 1 (X) oraz f (x) 0 dla x X. Definiujemy miarę probabilistyczną ν określoną na B(X) w następujący sposób Znaleźć dν/dµ. ν(a) = µ(f 1 (A)). 10

Zadanie 6.4. Niech λ oznacza miarę Lebesgue a na (0, 1]. Niech k N : A k = ( (1 2 k+1 ) 2, (1 2 k ) 2] oraz F = σ({a k : k N}). Na σ-ciele F definiujemy miarę µ w następujący sposób dµ = fdλ, przy czym f(x) = 1/(2 x). Pokazać, że µ λ oraz znaleźć pochodną Radona-Nikodyma dµ/dλ. Czy λ µ? Zadanie 6.5. Dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = { c sin(x) 0 x π 0 w p.p. była gęstością prawdopodobieństwa na prostej. Obliczyć prawdopodobieństwa: P (( π 2, π 2 )), P ({1}), P ([1, 5)). Zadania dodatkowe. Zadanie 6.6. Rozkład prawdopodobieństwa ν jest abs. ciągły względem miary Lebesgue a z gęstością A f(x) = e x + e. x Wyznaczyć A oraz znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia [1, 10]. Zadanie 6.7. Na zbiorze (0, 1) dana jest miara µ abs. ciągła wzgl. miary Lebesgue a λ (0,1) z gęstością dµ/dλ (0,1) (x) = 1 (0,1) (x). Dana jest mierzalna funkcja g : (0, 1) R. Definiujemy rozład: A B((0, 1)) ν(a) = µ(g(a)). Wyznaczyć dν/dλ (0,1), jeśli: a) g(x) = arc sin x, b) g(x) = 1/x, c) g(x) = x + 1. 11

7 Dystrybuanta Zadanie 7.1. Własności dystrybuanty: Jeżele F jest dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa na (R, B), to: (W1) F jest niemalejąca, (W2) F jest prawostronnie ciągła, (W3) lim F (x) = 0, lim F (x) = 1. x x Zadanie 7.2. Niech (Ω, F, µ) będzie przestrzenią z miarą i niech f : Ω R będzie funkcją nieujemną, F-mierzalną i taką, że Ω f dµ = 1. Udowodnić, że funkcja zbioru ν(a) = f dµ jest miarą probabilistyczną na F (wtedy funkcję f nazywamy gęstością miary ν względem µ). Zadanie 7.3. Czas T rozmowy telefonicznej ma rozkład wykładniczy z parametrem µ. Jaki rozkład ma część całkowita T, a jaki część ułamkowa? Zadanie 7.4. Pokazać, że dystrybuanta jest funkcją ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego a R P ({a}) = 0. Zadanie 7.5. Wyznacz stałą a taką, aby funkcja 0, x 1 F (x) = 2(1 1 ), x (1, a) x 1, x a była dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa. Dla jakiego a istnieje gęstość i ile wynosi? Obliczyć P (( 1, 1.5]), P ({ 3 2 }). Zadanie 7.6. Pokazać, że dystrybuanta ma co najwyżej przeliczalną liczbę punktów nieciągłości. Zadanie 7.7. Wyznaczyć dystrybuanty dla: a) rozkładu prawdopodobieństwa w rzucie kostką; b) prawdopodobieństwie geometrycznym na przedziale [0, 1]. Zadanie 7.8. Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa µ dana jest wzorem F µ (x) = Wyznaczyć µ({ 1}), µ([0, 1 )) oraz µ((0.55)). 2 2 A 0, dla x < 0; 0.1 + x, dla 0 x < 0.5; 0.4 + x, dla 0.5 x 0.55; 1, dla x 0.55. 12

Zadanie 7.9. Znaleźć dystrybuantę rozkładu ν abs. ciągł. wzgl. miary Lebesque a λ, jeśli: a) f(x) = 1 π 1 1+x 2, b) f(x) = 1 b a 1 (a,b)(x), c) f(x) = λe λx 1 [0, ) (x). ν(a) = A fdλ, 13