Szczególna teoria względności

Szczególna teoria względności Krzysztof Golec Biernat IFJ PAN i Uniwersytet Rzeszowski (27 maja 2017) Wersja robocza nie do dystrybucji Kraków/Rzeszów 2015

Spis treści 1 Szczególna teoria wzglȩdności 4 1.1 Metoda radarowa......................... 4 1.2 Transformacja Lorentza..................... 6 1.3 Czterowektory.......................... 9 1.4 Podział zdarzeń.......................... 10 1.5 Wzglȩdność równoczesności................... 11 1.6 Dylatacja czasu.......................... 13 1.7 Relatywistyczny efekt Dopplera................. 14 1.8 Skrócenie długości........................ 15 1.9 Transformacja prȩdkości..................... 15 1.10 Rapidity.............................. 17 1.11 Zapis wektorowy transformacji prędkości............ 18 1.12 Czterowektor prȩdkości..................... 19 1.13 Energia i pȩd........................... 20 1.14 Zasada zachowania energii-pędu................. 22 1.15 Ruch ze stałym przyśpieszeniem................ 23 1.16 Współrzędne Rindlera...................... 24 1.17 Zadania.............................. 26 3

Rozdział 1 Szczególna teoria wzglȩdności Szczególna teoria wzgle dności jest teoria relacji mie dzy czasem i przestrzenia, które w sposób naturalny wynikaja z dwóch fundamentalych założen: Zasada wzgle dności Galileusza jest słuszna także w odniesieniu do zjawisk elektromagnetycznych. Innymi słowy przy pomocy zjawisk elektromagnetycznych nie można wie c wyróżnić żadnego inercjalnego układu odniesienia. Pre dkość światła jest taka sama dla wszystkich obserwatorów inercjalnych. Opierając się na tych postulatach można wyprowadzić nowe w stosunku do transformacji Galileusza relacje pomiędzy pomiarami czasu i przestrzeni. 1.1 Metoda radarowa Zbadajmy jakie sa konsekwencje takich założeń. Dla uproszczenia przyjmijmy, że rozważane ruch sa jednowymiarowe, wzdłuż osi x. Niech obserwator inercjalny S wysyła sygnał świetlny w chwili t 1 w kierunku dodatnim osi x. Sygnał ten ulega odbiciu, powracaja c do obserwatora S w chwili t 2 - patrz rysunek 1.1 (po lewej). Obserwator S stwierdzi, iż odbicie sygnału nasta piło w chwili t takiej, że czas tam i czas z powrotem sa sobie równe t t 1 = t 2 t. (1.1) 4

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 5 t 2 t 2 t t t t 1 t 1 x Rys. 1.1: Metoda radarowa rekonstrukcji współrzȩdnych zdarzenia. Innymi słowy uzna, że odbicie jest równoczesne z chwila t = t 1 + t 2 2, (1.2) wskazywana przez jego zegar własny. Uzna on też, że odległość x w jakiej nasta piło odbicie jest równe połowie czasu tam i z powrotem pomnożonego przez pre dkość światła c, x = c t 2 t 1. (1.3) 2 Wyliczaja c t 1 oraz t 2 jako funkcje zmiennych (t,x) otrzymujemy t 1 = t x c, t 2 = t + x c. (1.4) Rozważmy drugiego obserwatora inercjalnego S, oddalaja cego sie od S ze stała pre dkościa wzdłuż osi x - patrz rysunek 1.1 (po prawej). Zakładamy, że obserwatorzy dysponuja identycznymi zegarami zsynchronizowanymi w taki sposób, że w chwili ich spotkania t = t = 0. (1.5) Wprowadziliśmy w ten sposób nowe oznaczenie czasu t dla obserwatora S, dopuszczaja c możliwość przypisania temu samemu zdarzeniu różnych wartości czasu przez obu obserwatorów. Jeżeli obserwator S wie, że sygnał odbił sie od poruszaja cego sie wzgle dem niego obserwatora S to przypisze temu obserwatorowi pre dkość V = x t. (1.6)

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 6 Wtedy równania (1.4) przyjmą postać t 1 = t(1 β), t 2 = t(1 + β). (1.7) gdzie β = V c. (1.8) Jaka chwile t zarejestruje S w momencie odbicia sygnału świetlnego? Posłużymy sie naste puja cym rozumowaniem. Odste p czasu w układzie S pomie dzy minie ciem sie obserwatorów a odbiciem sygnału, t, jest proporcjonalny do odste pu czasu w układzie S pomie dzy minie ciem sie obserwatorów, a chwila wysłania sygnału t 1, t = α( V )t 1, (1.9) gdzie współczynnik proporcjonalności α zależy od pre dkości V. Podobnie, z perspektywy obserwatora S czas odebrania powracaja cego sygnału t 2 jest proporcjonalny do czasu jego wysłania t przez obserwatora S, t 2 = α( V )t. (1.10) Odbicie sygnału przez obserwatora S jest bowiem tożsame z jego wysłaniem w kierunku obserwatora S. Zasada wzgle dności prowadzi do wniosku, że współczynnik proporcjonalności α jest w obu relacjach taki sam i zależy tylko od modułu wzgle dnej pre dkości obserwatorów, α = α( V ). (1.11) W przeciwnym przypadku, któryś z obserwatorów inercjalnych byłby wyróżniony. Eliminuja c z obu relacji t, otrzymujemy t 2 = α 2 t 1. (1.12) Podstawienie relacji (1.7), pozwala wyliczyć 1 + β α = 1 β. (1.13) 1.2 Transformacja Lorentza Rozważmy raz jeszcze odbicie sygnału świetlnego, tym razem w dowolnym miejscu, z punktu widzenia dwóch obserwatorów inercjalnych S i S oddalaja cych sie od siebie z pre dkościa V.

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 7 t 2 t t t 2 t 1 t 1 Rys. 1.2: Ilustracja transformacji Lorentza. Obserwator S wysyła promień świetlny w chwili t 1 = t x/c, a naste pnie odbiera go w chwili t 2 = t + x/c po odbiciu, przypisuja c zdarzeniu odbicia współrze dne (t,x) - patrz rysunek 1.2. Analogicznie, obserwator S przypisze temu samemu zdarzeniu swoje współrze dne (t,x ), rejestruja c chwile t 1 = t x /c minie cia go przez przez promień świetlny wysłany przez S jako swoja chwile pocza tkowa oraz chwile t 2 = t + x /c powrotu sygnału. Naszym celem jest znalezienie zwia zku pomie dzy przypisanymi zdarzeniu współrze dnymi. Zauważmy, że z relacji (1.9) i (1.10) wynika czyli t 1 = αt 1, t 2 = αt 2 (1.14) t x (t c = α x ), t + x (t c c = α + x ). (1.15) c W ten sposób otrzymujemy układ równań t x /c = α(t x/c) t + x /c = 1 (t + x/c). (1.16) α Mnoża c stronami równania (1.16) znajdujemy niezmienniczy interwał c 2 t 2 x 2 = c 2 t 2 x 2. (1.17)

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 8 Jest to niedodatnio określona odległość w czasoprzestrzeni pomie dzy dwoma zdarzeniami, w tym przypadku minie ciem sie obserwatorów i odbiciem sygnału. W uje ciu geometrycznym transformacje Lorentza definiuje sie jako transformację, która zachowuje postulowany interwał (1.17). Dodaja c i odejmuja c stronami równania (1.16), otrzymujemy t = 1 2 ( α + 1 ) t 1 ( α 1 ) x α 2 α c x c = 1 2 ( α + 1 ) x α c 1 ( α 1 ) t. (1.18) 2 α Podstawiaja c relacje (1.13), znajdujemy 1 2 1 2 ( α + 1 ) α ( α 1 ) α = = 1 1 β 2 β 1 β 2, (1.19) co prowadzi to naste puja cych wzorów na transformacje Lorentza, t = t V x/c2 1 β 2 (1.20) x = x V t 1 β 2. (1.21) Zauważmy, że transformacje odwrotna otrzymujemy zamieniaja c V V, t = t + V x /c 2 1 β 2 (1.22) x = x + V t 1 β 2. (1.23) Transformacje Lorentza należy uzpełnić o prawo transformacyjne dla współrze dnych przestrzennych w kierunkach prostpadłych do kierunku ruchu. W omawianej konfiguracji, gdy pre dkość układu S jest skierowana wzdłuż osi x układu S i osie obu układów sa do siebie równoległe, mamy y = y z = z (1.24)

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 9 1.3 Czterowektory Transformację Lorentza dla ruchu wzdłuż osi x można zapisać w formie macierzowej ct γ βγ 0 0 ct x y = βγ γ 0 0 x (1.25) 0 0 1 0 y 0 0 0 1 z z gdzie β = V/c, natomiast γ = 1 1 β 2 (1.26) to czynnik Lorentza. Transformacja odwrotna to ct γ βγ 0 0 ct x y = βγ γ 0 0 x 0 0 1 0 y z 0 0 0 1 z (1.27) Każdy układ czterech wielkości transformuja cych sie tak jak powyżej nazywamy czterowektorem. W szczególności czterowektor położenia to x µ (x 0,x 1,x 2,x 3 ) = (ct,x,y,z). (1.28) Zapis transformacji Lorentza (1.27) w notacji tensorowej dla składowych czterowektora położenia to x µ = Λ µ ν x ν, µ,ν = 0,1,2,3, (1.29) gdzie sumujemy po górnym i dolnym wskaźniku po prawej stronie. Wprowadzając macierz tensora metrycznego 1 0 0 0 0 1 0 0 η µν = (1.30) 0 0 1 0 0 0 0 1 warunek (1.17), który spełnia transformacja Lorentza można zapisać w postaci tensorowej η µν x µ x ν = η αβ x α x β. (1.31) Podstawiając transformację (1.29) otrzymujemy warunek jaki musi spełniać każda transformacja Lorentza, η µν Λ µ αλ ν β = η αβ. (1.32)

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 10 Jak łatwo sprawdzić, transformacja Lorentza dla dowolnie skierowanej prędkości v = (v 1,v 2,v 3 ), Λ 0 0 = γ, Λ 0 i = Λ i 0 = γ v i c, Λi j = δ ij + v iv j (γ 1), (1.33) v2 gdzie γ = (1 v 2 /c 2 ) 1/2, spełnia powyższy warunek. 1.4 Podział zdarzeń Przy zmianie układu inercjalnego S, współrze dne (ct,x,y,z) czterowektora położenia zdarzenia P w układzie S podlegaja transformacji Lorentza. Wielkością, która nie zmienia się przy transformacji Lorentza, czyli jest jej niezmiennikiem, to interwał s 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2. (1.34) Wielkość ta jest kwadratem odległości pomie dzy zdarzeniem 0 = (0,0,0,0) i P = (ct,x,y,z) w przestrzeni Minkowskiego. W zwia zku z tym, że interwał (1.34) nie jest dodatnio określony, zdarzenia O i P sa powia zane jedna z trzech relacji - patrz rysunek 1.3: zdarzenia leża na stożku światła, gdy s 2 = 0, zdarzenia sa rozdzielone czasowo, gdy s 2 > 0, zdarzenia sa rozdzielone przestrzennie, gdy s 2 < 0. Zdarzenia leża ce na stożku światła można poła czyć sygnałem świetlnym. Podstawiaja c do równania (1.34) równanie sygnału świetlnego, x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2, (1.35) otrzymujemy znikający interwał, s 2 = c 2 t 2 c 2 t 2 = 0. Zdarzenia rozdzielone czasowo można poła czyć sygnałem o pre dkości v < c, gdyż wtedy x 2 + y 2 + z 2 = v 2 t 2 (1.36) i s 2 = c 2 t 2 v 2 t 2 > 0. Zdarzenia rozdzielone przestrzennie, dla których zachodzi s 2 < 0, nie moga być powia zane przyczynowo, gdyż musiałby je ła czyć sygnal o pre dkości v > c, co jest sprzeczne zzałożeniem, że c jest maksymalna pre dkościa przesyłania sygnału. Przedstawione podział jest absolutny, tzn. nie zależy od wyboru inercjalnego układu odniesienia.

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 11 s 2 = 0 ct s 2 = 0 s 2 > 0 s 2 < 0 2 s < 0 x s 2 > 0 Rys. 1.3: Stożek światła punktu O będącego początkiem układu współrzędnych i podział zdarzeń względem tego punktu. Ogólnie, interwałem lub pseudo-odległością pomiędzy dowolnymi zdarzeniami P 1 i P 2 jest wyrażenie s 2 12 = c 2 (t 2 t 1 ) 2 (x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 (z 2 z 1 ) 2, (1.37) gdzie (ct i,x i,y i,z i ) to współrzędne tych zdarzeń w danym inercjalnym układzie współrzędnych S. Jest ono niezmiennikiem transformacji Lorentza. 1.5 Wzglȩdność równoczesności Rozważmy dwa zdarzenia A i B, które w układzie S zachodza w tym samym czasie t, ale w różnych położeniach przestrzennych x 1 x 2. Sa wie c one równoczesne w tym układzie, a ich współrze dne czasoprzestrzenne to A = (t,x 1 ), B = (t,x 2 ). (1.38) Zgodnie ze wzorem (1.20), w układzie S zdarzenia zachodza chwilach czasu w różnych A = (t 1,x 1), B = (t 2,x 2). (1.39)

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 12 t t A 01 01 B 01 01 x Rys. 1.4: Płaszczyzny równoczesności zdarzenia A (linie przerywane) w układzie S oraz S. x Odste p czasu miedzy nimi to t = t 1 t 2 = V (x 1 x 2 )/c 2 1 β 2 0. (1.40) Dwa zdarzenia rozdzielone przestrzennie, które były równoczesne w układzie S przestaja być równoczesne w układzie S, patrz rysunek 1.4. Stąd wniosek Równoczesność zdarzeń jest poje ciem wzgle dnym, gdyż zależy od inercjalnego układu odniesienia. Analogicznie jak w układzie S, powierzchnie zdarzeń równoczesnych w układzie S sa zdefiniowane przez warunek t = const. W szczególności, kłada c t = 0 w równaniu (1.20) znajdujemy równanie osi x na wykresie Minkowskiego, ct = V x. (1.41) c Jest ona nachylona pod kątem φ do osi x na wykresie Minkowskiego, gdzie tgφ = V c. (1.42) Podobnie znajdujemy równanie osi t, kłada c x = 0 w równaniu (1.21), x = V ct. (1.43) c

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 13 Tym razem oś jest nachylona pod tym samym kątem φ do osi t, patrz rysunek 1.4. Zauważmy, że dla V c obie osie da ża do stożka światła x = ct. 1.6 Dylatacja czasu Rozważmy dwa zdarzenia zachodzące w układzie S w tym samym punkcie x, ale w różnych chwilach czasu t 1 and t 2. Odstęp czasu między nimi wynosi wynosi τ = t 2 t 1 (1.44) i nazywany jest czasem własnym. Zwróćmy uwagę, że czas własny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza, gdyż niezmienniczy kwadrat pseudoodległości pomiędzy dwoma zdarzeniami wynosi w układzie S s 2 12 = c 2 ( τ) 2 (1.45) Obserwator inercjalnych S, względem którego S porusza się się z prędkością v w dodatnim kierunku osi x stwierdzi, że zdarzenia te zachodzą w różnych punktach, x 1 i x 2, i w różnych chwilach czasu, t 1 i t 2. Odstęp czasu między tymi zdarzeniami mierzony w układzie S wynosi t = t 2 t 1 = (t 2 + βx /c) (t 1 + βx /)) 1 β 2 = t 2 t 1 1 β 2. (1.46) Stąd relacja między odstępami czasu między zdarzeniami z punktu widzenia obu obserwatorów t = τ. (1.47) 1 β 2 Obserwator S zmierzy dłuższy odstęp czasu pomiędzy dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym punkcie w układzie poruszającym się S o czynnik Lorentza γ = 1/ 1 β 2 > 1. Stąd Odstępy czasu pomiędzy zdarzeniami zachodzącymi w tym samym punkcie w układzie poruszającym ulegają wydłużeniu z punktu widzenia obserwatora spoczynkowego.

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 14 3T 2T 3T 0 T T 0 2T 0 Rys. 1.5: Ilustracja relatywistycznego efektu Dopplera. 1.7 Relatywistyczny efekt Dopplera Rozważmy w ukladzie S zjawisko okresowe polegaja ce na emisji promieni świetlnych z okresem T 0, przykładowo w chwilach - patrz rysunek 1.5, t = T 0, 2T 0, 3T 0,... (1.48) Obserwator S odbiera je w naste puja cych chwilach mierzonych przez jego zegar t = T, 2T, 3T,.... (1.49) Zgodnie ze wzorem (1.10), zwia zek mie dzy okresami tego zjawiska jest dany relacja 1 + β T = αt 0 = 1 β T 0. (1.50) Stąd, ze wzoru na długość fali, λ = ct, otrzymujemy wzór na przesunie cie Dopplera 1 + β λ = 1 β λ 0. (1.51) Długość fali elektromagnetycznej emitowanej przez źródło oddalaja ce sie od obserwatora S ulega zwiększeniu ( przesunie ciu ku czerwieni"), gdyż λ > λ 0. Rozważaja c zbliżaja ce sie źródło należy zamienić β β we wzorze (1.51). Otrzymujemy wtedy zmniejszenie długości fali mierzonej przez obserwatora S ("przesunie cie do nadfioletu"), gdyż λ < λ 0.

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 15 1.8 Skrócenie długości Rozważmy pre t o długości L 0 spoczywaja cy w układzie S. Ponieważ pre t spoczywa, jego długość możemy określić podaja c współrze dne początku i końca w dowolnych chwilach w układzie S L 0 = x 2 x 1. (1.52) Przy określeniu długości w układzie S, w którym pre t sie porusza, ważne jest by podać współrze dne pocza tku i końca pre ta, x 1 oraz x 2, w tej samej chwili czasu t. W przeciwnym przypadku długość pre ta nie ma sensu, gdyż uwzgle dnia jego ruch. Wykorzystuja c zatem wzór (1.21), otrzymujemy L 0 = x 2 x 1 = (x 2 V t) (x 1 V t) 1 β 2 = x 2 x 1 1 β 2. (1.53) Wprowadzając długość pręta w układzie S, L = x 2 x 1, znajdujemy i stąd L = L 0 1 β 2. (1.54) Długość przedmiotu mierzona wzdłuż kierunku jego ruchu przez obserwatora spoczynkowego ulega skróceniu w stosunku do długości przedmiotu mierzonego w spoczynku 1.9 Transformacja prȩdkości Rozważmy ruch ciała w układzie S z chwilową pre dkościa v x = dx dt (1.55) wzdłuż osi x. Korzystaja c z praw transformacji Lorentza (1.22)-(1.23) dla różniczek współrzędnych, dt = dt + V dx /c 2 1 β 2 (1.56) dx = dx + V dt 1 β 2, (1.57)

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 16 otrzymujemy wartość pre dkości ciała wzdłuż osi x w układzie S, v x = dx dt = dx + V dt dt + V dx /c 2. (1.58) Dzieląc licznik i mianownik przez dt znajdujemy nowe prawo składania pre dkości podłużnych, v x = v x + V 1 + v x V /c 2. (1.59) Zauważmy, że podstawiaja c v x = c otrzymujemy v x = c. Graniczna wartość pre dkości c jest wie c wbudowana w relatywistyczne prawo składania pre dkości. W granicy gdy obie pre dkości sa małe, v x,v c, wzór (1.58) przechodzi w prawo dodawania prędkości wynikaja ce z transformacji Galileusza, v x = v x + V. (1.60) Niech cza stka porusza sie tak, że zmienia sie również jej współrze dna poprzeczna y w układzie S. Wtedy prędkość cząstki w tym kierunku to v y = dy dt. (1.61) Wymiary poprzeczne do kierunku względnego ruchu układów inercjalnych nie ulegają zmianie, dy = dy. Stąd otrzymujemy v y = dy dt = dy dt + dx V/c 2 1 V 2 /c 2. (1.62) Dzieląc licznik i mianownik przez dt otrzymujemy prawo transfomacji prędkości poprzecznych przy zmianie inercjalnego układu odniesienia v y = Podobnie, dla składowej pre dkości wzdłuż osi z, v z = v y 1 + v x V/c 2 1 V 2 /c 2. (1.63) v z 1 + v x V/c 2 1 V 2 /c 2. (1.64) Jako przykład rozważmy ruch promienia świetlnego w układzie S wzdłuż osi y. Jego wektor prędkości w układzie S to v = (0,c,0), (1.65)

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 17 natomiast prawa transformacyjne (1.59) i (1.63)-(1.64) prowadzą do następującego wektora prędkości w układzie S, v = (V,c 1 V 2 /c 2,0). (1.66) Łatwo sprawdzić, że v =c, tzn. prędkość światła nie ulega zmianie. Zmienia się natomiast kąt wektora prędkości liczony względem kierunku ruchu układu S. Jeżeli w ukłdzie S kąt α = π/2 to kąt α w układzie S jest zadany przez warunek sinα = v y c = 1 γ, (1.67) gdzie γ jest czynnikiem Lorenzta. W ogólności ze wzoru (1.63) otrzymujemy sinα = sinα γ(1 + β cosα ), (1.68) gdzie sinα = v y/c oraz cosα = v x/c. Zauważmy, że dla V c, czynnik 1/γ 0 i kąt α 0 w układzie S. 1.10 Rapidity Prawo (1.59) szczególnie prosta postać dla wielkości (kłada c c = 1) α(v x ) = 1 + vx 1 v x. (1.69) Podstawiaja c bowiem do powyższego relacje (1.58), znajdujemy α(v x ) = (1 + v x )(1 + V ) (1 v x)(1 V ) = α(v x)α(v ). (1.70) Prawo składania pre dkości (1.59) jest addytywne dla rapidity gdyż z równania (1.70) otrzymujemy Y (v x ) lnα(v x ) = 1 2 ln 1 + v x 1 v x, (1.71) Y (v x ) = Y (v x) + Y (V ). (1.72)

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 18 Parametry (1.19) transformacji Lorentza można wyrazić przy pomocy rapidity korzystajac z odwróconej relacji (1.71): α(v ) = e Y (V ). Otrzymujemy coshy = 1 2 (ey + e Y ) = sinhy = 1 2 (ey e Y ) = 1 1 V 2 V 1 V 2, (1.73) a wzór (1.25) dla transformacji Lorentza przyjmuja postać ct coshy sinhy 0 0 ct x y = sinhy coshy 0 0 x 0 0 1 0 y 0 0 0 1 z z (1.74) Zauważmy, że tghy = sinhy = V = tgφ, (1.75) coshy gdzie φ jest ka tem odchylenia osi x i t od osi x i t na wykresie Minkowskiego - patrz rozdział 1.5. Łatwo sprawdzić, mnoża c dwie macierze transformacji Lorentza wzdłuż osi x z rapidity Y 1 = Y (V 1 ) oraz Y 2 = Y (V 2 ), że w wyniku otrzymamy macierz transformacji Lorentza z rapidity Y = Y 1 + Y 2. (1.76) Sta d wynika, że zbiór transformacji Lorentza wzdłuż tej samej osi tworzy grupe z elementem jednostkowym odpowiadaja cym rapidity Y = 0 oraz elementem odwrotnym Y dla transformacji z rapidity Y. 1.11 Zapis wektorowy transformacji prędkości Wzory transformacyjne dla składowych prędkości można zapisać w zwarty sposób wprowadzaja c w każdym z układów składowe pre dkości podłużne i poprzeczne do kierunku prędkości względnej układów, V, na przykład v = v + v v V = 0. (1.77) Prawa transformacji składowej poprzecznej, (1.63) i (1.64), przyjmują wtedy postać v v = 1 + v V/c 2 1 V 2 /c 2, (1.78)

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 19 natomiast wzór (1.59) dla prędkości podłużnej to v = v + V 1 + v V/c 2. (1.79) Zauważmy, że jeśli w układzie S pre dkość v jest prostopadła do V to mamy v = 0 i v V = 0. (1.80) W układzie S pojawia sie składowa równoległa pre dkości zwia zana z unoszeniem cza stki przez układ S w kierunku pre dkości V, natomiast prędkość poprzeczna to v = v v = V, (1.81) 1 V 2 /c 2. (1.82) Czynnik Lorentza w tym wzorze to efekt dylatacji czasu w układzie S przy niezmieniaja cej sie odległości poprzecznej. 1.12 Czterowektor prȩdkości W krótkiej chwili czasu dt w układzie S prędkość chwilowa v poruszającej się cząstki jest stała. Można wtedy wprowadzić układ inercjalny S, w którym cząstka chwilowo spoczywa. Odstęp czasu własnego dτ, powiązany z odstępem czasu dt wzorem (1.47), dτ = dt 1 v 2 /c 2, (1.83) jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Możemy więc zdefiniować czterowektor prędkości chwilowej cząstki v µ = dxµ dτ, (1.84) gdzie dx µ = (cdt,dx,dy,dz) to czterowektor różniczek współrzędnych cząstki w układzie S. Tak więc, składowe czteroprędkości to v µ = dxµ dt ( dt dτ = c 1 v 2 /c 2, v 1 v 2 /c 2 ). (1.85)

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 20 Kwadrat wektora czteroprędkości, liczony w metryce Minkowskiego wynosi v 2 (v 0 ) 2 (v 1 ) 2 (v 2 ) 2 (v 3 ) 2 = c 2. (1.86) Jest to więc czterowektor czasopodobny. Udowodnimy, że składowe v µ czteroprędkości transformują się tak jak współrzędne czterowektora położenia - tworzą więc czterowektor. Jeżeli współrzędne cząstki w układzie S transformują się zgodnie z transformacją Lorenza (1.29) przy zmianie inercjalnego układu odniesienia, (x µ ) = Λ µ ν x ν, (1.87) to takie samo prawo jest słuszne dla różniczek współrzędnych (dx µ ) = Λ µ ν dx ν. (1.88) Dzieląc obie strony powyższej równości przez niezmiennik dτ, otrzymujemy prawo transformacyjne składowych czteroprędkości (v µ ) = Λ µ ν v ν. (1.89) Czteroprędkość (1.84) jest więc czterowektorem w przestrzeni Minkowskiego. 1.13 Energia i pȩd Energia i pe d cząstki masowej w szczególnej teorii wzgle dności tworzą czterowektor o składowych ( ) E p µ = c, p, (1.90) proporcjonalnych do składowych czterowektora prędkości gdzie m 0 jest masą spoczynkową cząstki. p µ = m 0 v µ, (1.91) Korzystając ze wzoru (1.85) dla składowych czteroprędkości, znajdujemy wzory na energię i pęd cząstki w szczególnej teorii względności E = p = m 0 c 2 1 v 2 /c 2 (1.92) m 0 v 1 v 2 /c 2. (1.93)

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 21 Kwadrat długości czterowektora energii-pędu to p 2 E2 c 2 p2 = m 2 0c 2. (1.94) Masa spoczynkowa cząstki jest więc niezmiennikiem transformacji Lorentza. Wzór (1.94) można też zapisać w często używanej formie E 2 = c 2 p 2 + m 2 0c 4. (1.95) Wyciągając pierwiastek, otrzymujemy E = ± c 2 p 2 + m 2 0 c4. (1.96) Całkowita energia może więc być dodatnia i ujemna. W teorii klasycznej (niekwantowej) odrzucamy możliwość występowania ujemnej energii. Nie można tego zrobić w relatywistycznej teorii kwantowej, co prowadzi do konieczności wprowadzenia antycząstki dla każdej cząstki. Natychmiastowym wnioskiem z definicji energii i pędu jest zwia zek p = E v. (1.97) c2 Tak wie c, relatywistyczna energia odgrywa role rosna cej z pre dkościa masy bezwładnej. Inaczej mówia c, z każda forma energia zwia zana jest bezwładność określona przez mase m = E c 2. (1.98) Wzór (1.97) wykorzystuje sie jako relacje podstawowowa dla cza stek bezmasowych (m 0 = 0), takich jak foton, poruszaja cych sie z pre dościa światla. Kłada c v = c, otrzymujemy relację między energią i pędem dla cząstki bezmasowej E = c p. (1.99) Interesuja ca jest również granica małych pre dkości dla relatywistycznej energii i pe du. Zachowuja c co najwyżej człony kwadratowe w (v/c) we wzorach (1.92) i (1.93), znajdujemy E m 0 c 2 + 1 2 m 0v 2 (1.100) p m 0 v. (1.101) Nowym elementem w stosunku do teorii nierelatywistycznej jest energia spoczynkowa, m 0 c 2, zwia zana z masa spoczynowa ciała. Tak więc, energia ciała w spoczynku to nieusuwalna energia spoczynkowa E 0 = m 0 c 2. (1.102)

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 22 1.14 Zasada zachowania energii-pędu Relatywistyczne definicje energii pe du sa tak wybrane by E i p tworzyły czterowektor przy założeniu, że masa spoczynkowa m 0 jest niezmiennikiem transformacji Lorentza (przyjęliśmy układ jednostek, w którym c = 1). Jest to niezbe dne by spełniona była zasada wzgle dności w odniesieniu do zachowania energii i pe du. Równość składowych dwóch czterowektorów energii-pędu w inercjalnym układzie odniesienia S, (E in,p in ) = (E out,p out ), (1.103) wyrażaja ca zasade zachowania energii i pe du w tym układzie, jest bowiem niezmiennicza wzgle dem transformacja Lorentza tych współrze dnych. Tym samym w układzie inercjalnym S, poruszającym się względem S, zasada zachowania energii-pędu też jest spełniona (E in,p in) = (E out,p out), (1.104) W zderzeniach cząstek, energia E in jest sumą energii cząstek wchodzących do reakcji, a p in jest wektorową sumą ich pędów. Podobnie dla cząstek będących produktem reakcji. Wzór (1.103) wyraża zatem zachowanie całkowitej energii oraz całkowitego pędu cząstek w rozważanej reakcji N k k=1 N k k=1 E (k) in N l = l=1 p (k) N l in = m=1 E (l) out (1.105) p (l) out, (1.106) gdzie wskaźniki k, l identyfikują cząstki. Zauważmy, że kwadrat całkowitej masy układu cząstek, M 2, jest niezmiennikiem reakcji, M 2 N k = = 2 E (k) in k=1 2 N l E (l) out l=1 N k 2 p (k) in k=1 2 N l p (l) out l=1, (1.107) i dlatego M 2 nazywamy masą niezmienniczą układu zderzających się cząstek.

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 23 1.15 Ruch ze stałym przyśpieszeniem Rozważmy trajektorię t = a 1 sinhσ, x = a 1 coshσ, (1.108) gdzie σ (, ) oraz położyliśmy c = 1. Policzmy ds 2 dτ 2 = dt 2 dx 2 = a 1 dσ 2, (1.109) i stąd czas własny cząstki, τ = a 1 σ + τ 0. Przyjmując τ 0 = 0 dostajemy trajektorię t = a 1 sinh(aτ), x = a 1 cosh(aτ), (1.110) dla której w chwili τ = t = 0 położenie x = a 1. Na wykresie Minkowskiego trajektoria ta jest prawą gałęzią hiperboli Policzmy jeszcze czteroprędkość u µ = dx µ /dτ x 2 t 2 = a 2. (1.111) u 0 = dt dτ = cosh(aτ), oraz czteroprzyśpieszenie a µ = du µ /dτ, u1 = dx dτ = sinh(aτ) (1.112) a 0 = asinh(aτ), a 1 = acosh(aτ). (1.113) Transformacja Lorentza prowadząca do chwilowego układu inercjalnego, w którym cząstka spoczywa, u µ = (1,0), to ( ) Λ µ cosh(aτ) sinh(aτ) ν = sinh(aτ) cos(aτ) (1.114) gdyż ( cosh(aτ) sinh(aτ) sinh(aτ) cos(aτ) )( cosh(aτ) sinh(aτ) ) = ( 1 0 ) (1.115) Dla czteroprzyśpieszenia w tym układzie znajdujemy ( )( ) cosh(aτ) sinh(aτ) asinh(aτ) = sinh(aτ) cos(aτ) acosh(aτ) ( 0 a ) (1.116)

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 24 Zatem w chwilowym układzie, w którym cząstka spoczywa przyśpieszenie jest stałe, a µ = (0,a). Policzmy zależność prędkości i przyśpieszenia od czasu t w inercjalnym układzie odniesienia S. Dla prędkości znajdujemy v = dx dt = sinh(aτ) cosh(aτ) = at (1.117) 1 + a 2 t 2 gdzie wykorzystaliśmy zależność (1.110) oraz relację cosh 2 ψ sinh 2 ψ = 1. Widzimy, że dla t ± prędkość v ±c. Stożek świetlny x = ±t jest horyzontem zdarzeń dla takich ruchów, gdyż każda trajektoria (1.110) dąży do niego asymptotycznie. Dla przyśpieszenia w układzie inercjalnym S otrzymamy po zróżniczkowaniu (1.117) po czasie t, a = dv dt = a [1 + a 2 t 2 ] 3/2 (1.118) Zgodnie z oczekiwanie przyśpieszenie w układzie S maleje do zera, a 0, gdy t ±. 1.16 Współrzędne Rindlera Trajektorię ruchów ze stałym przyśpieszeniem mogą posłużyć do sparametryzowania przestrzennopodobnego obszaru na zewnątrz stożka świetlnego x = ±t. Wprowadźmy bowiem współrzędne Rindlera (η,ξ) dla prawego klina, t = ξ sinhη, x = ξ coshη, (1.119) gdzie η (, ) oraz ξ (0, ). Linie stałego ξ to hiperbole x 2 t 2 = ξ (1.120) będące trajektoriami ruchów jednostajnie przyśpieszonych z przyśpieszeniem 1/ξ, natomiast linie stałego η to półproste nachylone do osi x pod kątem φ ( π/4,π/4). t = tghη x, (1.121) Metryka w nowych zmiennych przyjmuje postać ( ) ds 2 = dt 2 dx 2 = ξ 2 dη 2 dξ2 ξ 2. (1.122)

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 25 Jest ona osobliwy dla ξ = 0 (tzn. dla x = y = 0), dla którego to punktu transformacja Rindlera jest osobliwa. Wprowadzając nową współrzędną gdzie ρ (, ), otrzymujemy metrykę w postaci ρ = lnξ, (1.123) ds 2 = e 2ρ ( dη 2 dρ 2), (1.124) która jest równoważna konforemnie metryce Minkowskiego. Definiując następnie nowe zmienne, gdzie u,v (, ), dostajemy u = η + ρ, v = η ρ, (1.125) ds 2 = e u v dudv. (1.126) Stąd linie u = const i v = const są liniami świata promieni świetlnych, dla których ds 2 = 0

ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 26 1.17 Zadania 1. W reakcjach ja drowych promieni kosmicznych z atomami atmosfery na wysokości 10 km wytwarzane sa miuony o pre dkości bliskiej pre dkości światła. Można je też wytworzyć w akceleratorach i zmierzć średni czas życia τ = 2.2 10 6 s (mierzony w układzie spoczynkowym cza stki). Zakładaja c, że pre dkość mionu v = 0.999 c obliczyć: - jaki czas z punktu widzenia obserwatora na Ziemi potrzebuje miuon na dotarcie do jej powierzchni (3.34 10 5 s), - ile wynosi ten czas z punktu widzenia miuonu (1.46 10 6 s), - jaka droge może przebyć miuon w średnim czasie życia gdyby nie istniał efekt dylatacji czasu (659 m), - jaka odległosć od Ziemi widzi szybki miuon na wysokości 10 km (436 m). 2. Ile wynosi energia spoczynkowa ciała o masie 1g? (9 10 13 J). Na jaką wysokość można by podnieść całą ludzkość (7 mld) przy użyciu takiej energii. 3. Ile musi wynieść energia kinetyczna dwóch zderzaja cych sie protonów by móc wyprodukować 3 protony i jeden antyproton. Rozważyć ten proces w układzie, w którym jeden z protonów spoczywa oraz w układzie środka masy zderzaja cych sie protonów.

Literatura [1] A. Trautman, W. Kopczyński, Czasoprzestrzeń i grawitacja, PWN, Warszawa, 1981. [2] Lew D. Landau, Jewgienij M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa, 2009. 27