WSTĘP DO AALIZY I REDUKCJI DAYCH DOŚWIADCZALYCH dl tudentów w I Prcown Fzcznej IF UJ Józef K. Moścck z ChWrter n MS Word przenół Wojcech Brzezck 0 Werj 0 Zetwene njwżnejzch termnów wzorów. ZAMIAST WSTĘPU.. AALIZA BŁĘDÓW PRZYPADKOWYCH... Pomr Bezpośredne.... Populcj perwotn.... Prmetr chrkterzujące zerokość rozkłdu...3. Interpretcj prmetrów rozkłdu...4. Etmcj rozkłdu perwotnego n podtwe prób...5. Rozkłd prwdopodobeńtw Gu rozkłd normln błędów...6. Etmcje wrtośc średnej błędu jej wznczen... Pomr pośredne.... Propgcj błędów.... Bdne zwązków funkcjnch mędz welkoścm merzonm bezpośredno. epewnośc pomrów bezpośrednch. b Metod jmnejzch Kwdrtów,MHK. c Klbrcj ukłdu pomrowego. Dodtek: KILKA UWAG A TEMAT WYKOYWAIA POMIAROW I OPRACOWYWAIA WYIKÓW.
Populcj perwotn Medn µ / - P µ / P µ / / Wrtość modln µ m - P µ m P µ m Wrtość średn µ- µ lm Średne odchlene α- µ lm µ Wrncj σ - σ lm µ lm µ Odchlene tndrdowe σ- σ σ Prób Wrtość średn prób < > - Wrncj prób - / > < / / / Odchlene tndrdowe prób - średn błąd kwdrtow Wrncj wrtośc średnej - / Odchlene tndrdowe wrtośc średnej - Rozkłd Gu rozkłd normln- średn błąd kwdrtow średnej µ P G ; µ, σ ep σ π σ 7 zerokość połówkow Γ.354 σ błąd prwdopodobn σ 3 σ 3. 6745 Rozkłd Student υ + / Γ{ υ + / } P S ; υ { / } + Γ υ µυ υ σ
3 Metod njmnejzch kwdrtów MK Funkcj lnow- funkcj wążąc dowolne zmenne relcją β α + wrtośc prmetrów α β ą chrktertczne dl zwązku mędz welkoścm. Sum wżon kwdrtów odchleń χ - b χ Metod njmnejzch kwdrtów- mnmlzowne um χ ze względu n prmetr b równocześne. Wpółcznnk dopown MK do protej + b: w w 0 w w b 0 0 w w Etmt wrncj w MK dl : b epewność wznczen wpółcznnków dopown MK: w w 0 w w b 0 epewność klbrcj lnowej MK: > < + w
. ZAMIAST WSTĘPU. Wękzość użtkownków nnejzego prcown m zpewne dośwdczene w wkonwnu elementrnch pomrów lub bdń zjwk fzcznch, wneone ze zkoł średnej. Zdje wec obe prwę z tego, że wnk pomrów wkonwnch po rz perwz brdzo częto znczne różną ę od rzeczwtch wrtośc bdnch welkośc. Mjąc jednk możlwość powtrzn dośwdczen, możn topnowo tk udokonlć technkę metodę pomru b otrzmwne wnk zczęł zblżć ę mptotczne do wrtośc, którą możn z dobrm zufnem przjąć jko tą, której pozukujem. Jet to ntęptwem tego, że wnk, wzelkch bdń emprcznch ą zwze obrczone nepewnoścą - mówm, że wnk ą obrczone błędm. Udokonlne technk metodk bdń może w zncznm topnu zredukowć nepewność końcowego wnku, jednk ne może doprowdzć do jej cłkowtego uunęc. W zwązku z tm, ekpermenttor zwze tje przed problemem ozcown etmcj nepewnośc wojego wnku kżdorzowo podjąc wnk pomru pownen określć równeż jego wrgodność. Przez błąd rozumem odchłkę wnku bdń od prwdzwej wrtośc bdnej welkośc. W wękzośc przpdków wrtość prwdzw jet neznn. Czm, zczególne w przpdku pomrów w prcownch tudenckch, możn z mnejzm lub wękzm przblżenem zorentowć ę le pozukwn wrtość pownn wnoć, n przkłd z wcześnejzch bdń dne tblcowe lub rozwżń teoretcznch. W tkej tucj możn porównć otrzmne wnk z tą wrtoścą w ten poób z grubz ozcowć poprwność przeprowdzonch pomrów. Jednkże, w trkce wkonwn zupełne nowch, dotchcz ne przeprowdzonch bdń nukowch tkch możlwośc ne podm. Powtje wec koneczność wprcown w mrę obektwnej metodk ozcowwn zrówno njbrdzej wrgodnej wrtośc bdnej welkośc, lub njbrdzej wrgodnego opu bdnego zjwk, jk pozomu zufn jke możem meć co do wrgodnośc nzch oberwcj. Podtwą źródłem przeprowdznch etmcj może bć jedne zbór uzknch wnków ewentulne nformcje o Jkośc ztoownej prtur pomrowej. epewność wnku bdń jet konekwencją błędów, które pojwją ę w procee wkonwn tch bdń. Znm przejdzem do rozwżen rodzjów błędów, które mogą pojwć ę w prktce ekpermentlnej zuwżm, że bed możn zdnczo podzelć n dwe odrębne kl. Perwze to tke, które decdują o ścłośc metod pomrowej. Druge to tke, które decdują o preczj pomru. Ze względu n to, że w potocznm jęzku termn "ścłość" "preczj" ą tożme, mum zdefnowć co będzem rozumeć pod tm dwom pojęcm. Przez ścłość dośwdczen metod pomrowej rozumem mrę tego jk blko prwdzwej wrtośc zblżją ę wnk bdń dośwdczlnch. Innm łow ścłość jet mr prwdłowośc dośwdczen jego wnku. Preczj pomru jet ntomt mr z jk dokłdnoścą wnk jet określon, bez względu n to co ten wnk ozncz. Możem mówć o preczj bezwzględnej względnej; perwz wkzuje n welkość nepewnośc wnku w tch mch co wnk jednotkch, drug podje nepewność w forme ułmk wrtośc wnku. --- ooo 000 ooo --- Przkłd. Wkonując pomr długośc w wrunkch domowch, brdzo częto poługujem ę "krweckm" przmrem płócennm. Przmr tk chrkterzuje ę nk preczj bezwzględną cm - njmnejz dzłk pondto, ze względu n mterł z 4
którego jet wkonn, prz czętm użwnu rozcąg ę zmnejzjąc tm mm ścłość pomru. Przkłd. Preczj przrządów pomrowch np. woltomerz, mperomerz nnch podn jet jko tzw. kl dokłdność przrządu k: mkmln odchłk mkmum zkreu pomrowego k/00. Zuwżm, że odchłk t odno ę do powtrzlnośc wnku lecz nc ne mów o jego prwdłowośc; o prwdłowośc decduje zś klbrcj cechowne przrządu. --- ooo 000 ooo --- Pommo zdnczej różnc medz ścłoścą preczją, w kżdm dośwdczenu jedno druge mum rozwżć nerozłączne. e m enu wkonwne pomru z wok preczją jeśl z gór wem, że rezultt mu wrźne odbegć od prwd. Odwrotne, ne możem wnku trktowć jko wjątkowo ścłego, jeżel wem, że preczj pomru bł nenjlepz. O ścłośc dośwdczen decdują dwe grup błędów: błęd grube temtczne. Błęd grube możem welmnowć tounkowo łtwo bezpośredno; ą to bowem błęd będące ntęptwem rżącch pomłek ekpermenttor w trkce pomru lbo oblczeń. Pomnąwz krjn przpdek od początku błędne zplnownego dośwdczen lub błędne wkonnego zetwu pomrowego, njczętzm źródłem błędów grubch ą przeoczen: zł kl przrządu, błędn ukłd jednotek cz też np. wr przrządu pomrowego. zczęśce obecność tkch błędów jet zzwczj łtw do dentfkcj ptrz prgrf pośwecon odrzucnu nepewnch pomrów uuwm je poprzez powtórzene dośwdczen, po welmnownu źródeł błędów grubch. Drug grup błędów już ne tk łtwch do zuwżen tm mm do uunęc to tzw. błęd temtczne. Błęd tke to przede wztkm ntęptwo nedokonłośc ukłdów pomrowch, np. błędnej klbrcj - włączjąc w to równeż ekpermenttor; nze zmł mj ogrnczone czułośc, które dodtkowo kżd człowek m nne, np. zdolnośc rozdzelcze ok cz uch. Błęd temtczne możem czm próbowć ozcowć poprzez nlzę technk pomrowej wrunków dośwdczen, njczęścej Jednk nepewnośc wnkjące z tkch błędów muz bć zcowne powązne z nepewnoścm wnkjącm z fluktucj tttcznch. Innm conjmnej równe totnm źródłem błędów temtcznch, czm grubch, jet model mtemtczn, którm poługujem ę do opu bdnego zjwk. Zzwczj model tk ne jet ścł, tzn. dentczne zgodn z prwdzwm chrkterem przebegem zjwk, lecz tnow jedne mnej lub brdzej udne jego przblżene. --- ooo 000 ooo --- Przkłd 3. Student wkonł pomr długośc drewnnej belk prz pomoc tlowego przmru twerdzł, że średn wrtość jego pomrów wno.98m zp tk ozncz preczje bezwzględn l mm lub, jk kto wol, względn rzędu /000 5
.05%. Późnej dowedzł ę, że przmr bł cechown w temperturze 5 C, podcz gd on wkonwł woje pomr prz 0 C. Ponewż wpółcznnk rozzerzlnośc ceplnej przmru wnoł.005/k, muł pomnożć wój wnk przez -5".005.9975 b kompenowć błąd temtczn zwązn ze kurczenem ę przmru;.977m. Ab prwdzć poprwność odcztu długośc wkonł jezcze jeden dodtkow pomr zuwżł, że ze względu n złe ośwetlene kl przmru Jego poprzedne wnk bł znżone o około mm. Uuwjąc ten błąd temtczn, przjął otteczne z długość belk.979m. Zuwżm, że poprwk, które tudent uwzględnł w trkce oprcowwn wnków mł z zdne poprwene ścłośc metod pomrowej poprzez kompenowne znnch odchłek początkowego wnku od możlwe njlepzej etmt prwdzwej długośc belk. Poprwk te zupełne ne polepzją preczj pomru, mło tego - w rzeczwtośc j zmnejzją, bowem poprwk me w obe ą jedne ozcownm rzeczwtch prwdzwch poprwek. Przkłd 4. Przrząd pomrow może woją obecnoścą zkłócć pomr. Weźm pod uwgę pomr prądu I R płnącego przez opornk R orz pdek npęc U n tm opornku. Pomr tk możn wkonć n dw poob: --- ooo 000 ooo --- Ścłość dośwdczen zgodne z defncj zleżeć będze zdnczo od tego jk dobrze kontrolujem bądź kompenujem błęd temtczne grube. Preczj dośwdczen zleż ntomt od tego w jkm topnu jeteśm w tne znwelowć w njgorzm przpdku znlzowć błęd przpdkowe. Błęd tke powtją jko wnk fluktucj wrtośc zmerzonej od wrtośc prwdzwej tk w jedn jk w drug tronę wmgją welokrotnego powtrzn pomru w celu uzkn preczjnego wnku. Źródłem błędów przpdkowch jet wele nezleżnch przczn o porównwlnm znczenu. Określon ścłość mplkuje conjmnej równe dobrą preczje co z kole ozncz, że równeż ścłość pomru zleż w pewnm topnu od błędów przpdkowch. Zuwżm, że problem redukcj błędów przpdkowch jet zdnczo problemem zrówno ulepzn dośwdczen technk pomru jk protego powtrzn dośwdczen. Ilutrują to dw krjne przpdk: Wobrźm obe, że prz welokrotnm powtrznu pomru pewnej welkośc uzkujem cągle tk m wrtość. W tkm przpdku fluktucjo tttczne odgrwją 6
drugoplnow role, zś błęd przpdkowe wnkją bezpośredno z nepewnośc prturowch preczj przrządu pomrowego. W tej tucj ne m enu powtrzć pomrów wtrcz jeden bowem pomr welokrotn może zmnejzć nepewność wnkjąc z odchłek przpdkowch le ne może poprwć czułośc prtur. Mejm śwdomość, że brk fluktucj ne śwdcz o dokonłośc pomrów! Informcj uzkn w pojednczm pomrze będze bez wątpen ścł, lecz wrtość nformcjn wnku jet ogrnczon do twerdzen, że preczję pomru określją nepewnośc prturowe. Preczję zś możn zwękzć jedne toując brdzej dokonłą technkę preczjnejze przrząd pomrowe. Terz z kole wobrźm obe, że prz welokrotnm powtrznu pomru pewnej welkośc uzkujem wnk neznczne le jednk różnące ę medz obą. W tkm przpdku możn twerdzć, że fluktucje tttczne przewżzją nepewnośc prturowe welokrotne powtrzne pomru jet uzdnone. Zuwżm jednk, że w zwązku z tm co twerdzlśm w perwzm przpdku, nwet nekończone zwękzne lczb pomrów ne może zmnejzć nepewnośc końcowego wnku ponżej nepewnośc prturowej. M wec en wkonwne jedne tkej lośc pomrów, któr zpewn zmnejzene nepewnośc wnkjącej z błędów przpdkowch do pozomu nepewnośc prtur pomrowej. Skoro ze względu n neznjomość wrtośc prwdzwej bdnej welkośc ne możem wznczć dokłdnej wrtośc błędu pomru, wzelke ozcown nepewnośc wnku muz meć łą rzecz chrkter probbltczn. Jkejkolwek etmce błędu pomru mu równocześne towrzzć nformcj o prwdopodobeńtwe tego, że ktulne popełnon błąd jet mnejz nż ozcown wrtość błędu. przkłd, n określene ozcown błędu, któr popełnlśm w cze wkonwn bdń, trdcjne wprowdz ę pojece błędu prwdopodobnego. Błąd prwdopodobn jet tk wrtość ozcown błędu, że mm 50% zn n to, że ktuln błąd jet mnejz nż t wrtość. Jet to dużo mło z rzem; ozncz bowem równocześne 50% zn n to, że różnc medz nzm wnkem prwdzw wrtoścą jet ne mnejz nż błąd prwdopodobn! Wrtość błędu prwdopodobnego ne jet węc njbrdzej prwdopodobn wrtoścą błędu le jedne mr jk welk jet przpuzczlne błąd. Powtrzjąc dośwdczene w wrunkch jk njbrdzej zblżonch do perwotnch możem oczekwć, że ponown wnk, choć nekoneczne dentczn z perwzm, będze mł tk m nepewność, węc błąd prwdopodobn, co poprzedno. Ponewż oczekujem od obu wnków, że ą w 50% zgodne z wrtoścą prwdzw w grncch błędu prwdopodobnego, ozncz to równeż, że pownn bć one zgodne ze obą w grncch wznczonch przez pewen ułmek błędu prwdopodobnego. Błąd prwdopodobn wnku jet wec równeż mrą przpuzczlnej różnc medz dwom dowolnm wnkm uzknm w możlwe dentcznch wrunkch ekpermentlnch. Mjąc śwdomość probbltcznego znczen etmt błędu mum utlć jednoznczną pójną metodę wznczn tkej etmt z dnch dośwdczlnch. Co węcej, nz nlz błędów ne pownn ogrnczć ę jedne do określen preczj wnków. Będzem oczekwć, że njbrdzej wrgodne będą te wnk końcowe, wznczone z dnch dośwdczlnch, dl którch ozcowne błęd będą njmnejze. W konekwencj, nlz błędów pownn nm równeż pomóc określć optmlne etmt prmetrów opującch bdne zjwko. Obecne koncentrujem ę włączne n nlze błędów przpdkowch, zkłdjąc mlcząco, że zdołlśm pozbć ę grubch omłek błędów temtcznch, tm mm możem uwżć nz metodę pomrow z ścł. 7
. AALIZA BŁĘDÓW PRZYPADKOWYCH.. Pomr Bezpośredne. Zjmem ę n początek njprotzm przpdkem bdńekpermentlnch, ked nzm zdnem jet bezpośredn pomr oberwcj Jkejś welkośc. przkłd może to bć pomr długośc Jkegoś przedmotu, pomr m, objętośc tp., kżd z którch wkonujem prz pomoc jednego przrządu pomrowego wnk pomru tnow bezpośredno wrtość bdnej welkośc... Populcj perwotn. Wtępowne błędów przpdkowch powoduje, że wkonując pomr welkośc X możem jedne oczekwć, że jego wnk będze przblżenem wrtośc prwdzwej 0. Z tch mch powodów wtąpą z reguł różnce pomędz wnkm dwóch nezleżnch pomrów żden z wnków ne będze dentczn z 0. Powtrzjąc pomr welokrotne pownnśm ntomt zuwżć pojwene ę pewnego uporządkown w wnkch. Wnk pownn grupowć ę wokół 0, nektóre z nch będą zbt młe, nektóre zś zbt duże. Przeprowdzjąc nekończoną lczbę pomrów uzklbśm nekończon zbór wnków, któr nzwn jet populcją perwotną. Podjąc populcję perwotną lbo poprotu: populcję moglbśm dokłdne opć w jk poób wnk pomrów ą rozłożone wokół 0. Rozkłd ten moglbśm opć podjąc rozkłd prwdopodobeńtw, któr określ prwdopodobeńtwo uzkn dnej wrtośc wnku pojednczego pomru. ekończon zbór wnków będze oczwśce rozłożon zgodne z tm rozkłdem, któr przez nloge nzwm rozkłdem perwotnm. Kztłt rozkłdu perwotnego jet zdetermnown wrunkm dośwdczen, jkoścą czułoścą prtur pomrowej. Im czulz metod pomrow tm rozkłd perwotn będze wężz lecz lego zerokość zwze będze mł kończoną wrtość. Ozncz to, że nwet wkonne nekończonej lczb pomrów wklucz możlwość dokłdnego wznczen 0 bowem ne jeteśm w tne welmnowć cłkowce nepewnośc wnku końcowego, t.j. nekończene zwęzć rozkłd perwotn. Zwękzjąc lczbę pomrów zwękzm preczję pomru, jednkże jedne do grnc wznczonej przez populcje perwotną. Skoro tk jet, to ntchmt pojw ę ptne, jką wrtość nleż przjąć jko njbrdzej wrgodne przblżene 0. Cz tą, której prwdopodobeńtwo wtąpen jet njwękze mkmum rozkłdu perwotnego? Cz może tką, któr jet środkem cężkośc rozkłdu perwotnego prwdopodobeńtwo uzkn wnku mnejzego od tej wrtośc jet tke mo jk wnku wękzego, t.j. 50%? A może coś zupełne nnego? W rzeczwtośc tucj jet jezcze brdzej komplkown bowem wkonwne nekończonej lczb pomrów, tm mm wznczene rozkłdu perwotnego jet nerelne. W prktce, w kżdm dośwdczenu wkonujem kończoną lczbę powtórzeń pomru. Skończon zbór nzch wnków możem trktowć jedne jko próbę z populcj perwotnej zkłdć, że rozkłd wnków w tej próbe jet odzwercedlenem rozkłdu perwotnego. podtwe kończonej prób trudno jet jednk wrgodne wnokowć o dokłdnm kztłce rozkłdu, co njwżej możem przpuzczć o tm cz jet to rozkłd metrczn cz też ne. Zwróćm uwgę n to, że w zwązku z tm co npno powżej zdnczo totn jet ne tle znjomość dokłdnego kztłtu rozkłdu co jk njlepze ozcowne wrtośc 0 orz błędu. Zmt pozukwć równn opującego rozkłd perwotn, wzncz ę rczej zereg unwerlnch welkośc prmetrów chrktertcznch dl rozkłdu, o preczjnej nterpretcj probbltcznej. Podjąc do 8
dpozcj jedne próbę o ogrnczonej lcznośc będzem węc trć ę b ozcowć jk njlepej prmetr rozkłdu perwotnego tąd wdedukowć jk njbrdzej wrgodne etmt 0 orz błędu. Złóżm, że wkonlśm pomrów, ch wnk oznczm,,...,, cłą tę próbę w króce { }. Defnując prmetr rozkłdu oprzem ę n ntucjne uprwedlwonm złożenu, że w mrę wzrotu lczb pomrów do nekończonośc, etmt prmetrów pownn zblżć ę mptotczne do wrtośc prmetrów populcj perwotnej, co mbolczne zpujem: prmetr populcj lm prmetr prób Prmetr opujące rozkłd wnków możem podzelć n dwe grup, t. j. tke które określją położene centrum rozkłdu, orz tke które mj z zdne chrkterzowć rozrzut wnków wokół tego centrum, nnm łow, zerokość rozkłdu.... Prmetr określjące centrum rozkłdu. Wrtość średną defnujem jko µ lm lm Wkźnk umcjn orz jego górną grncę prz mbolu um będzem dl uprozczen zpu opuzczć, gd umowne przebeg po wztkch elementch prób od do. W celu unknęc nejnośc, prmetr rozkłdu perwotnego będzem oznczć lterm greckm, ntomt etmt tch prmetrów wznczone n podtwe prób - lterm rzmkm. Medn populcj perwotnej, µ /, lbo w króce medn, jet zdefnown jko tk wrtość, dl której w grnc nekończonej lczb pomrów, połow oberwcj jet wękz nż medn, drug połow - mnejz od nej. W ene rozkłdu perwotnego ozncz to, że prwdopodobeńtwo tego, że dowoln pomr Jet wękz lub mnejz od medn wno 50%: µ / / P P µ / 3 t.j. medn dzel powerzchne pod krzw rozkłdu perwotnego n dwe równe połow, ptrz R.. Wrtość njbrdzej prwdopodobn, lbo nczej, wrtość modln populcj, µ m, jet tą wrtoścą welkośc X, dl której rozkłd perwotn m njwękz wrtość. Dl dowolnego le konkretnego dośwdczen jet to wrtość, któr mm njwękz zne zoberwowć, w grnc dużej lczb pomrów, wrtość t pownn przpuzczlne wtąpć njczęścej: P µ P µ 4 m m Wzjemne relcje mędz wrtoścą średną, modln medną zlutrowno n wkree hpotetcznego rozkłdu perwotnego, R.. Zuwżm, że dl rozkłdu metrcznego, ze względu n metrę defncj, wztke prmetr będą obe równe. 9
R. Przkłd rozkłdu prwdopodobeńtw z zznczonm: wrtoścą średną µ medną µ / orz wrtoścą modlną µ m...3. Prmetr chrkterzujące zerokość rozkłdu. Odchlenem d dowolnego pomru od wrtośc średnej rozkłdu nzwm różncę mędz µ: d µ 5 Ze względów oblczenowch odchlen defnuje ę rczej względem wrtośc średnej nżel medn cz też wrtośc modlnej. Gdb µ bło prwdzwą wrtoścą welkośc X to d błob prwdzwą wrtoścą błędu pomru. Zuwżm, że zgodne z defncją wrtośc średnej, średn odchleń dl nekończonej lczb pomrów mu znkć: lm < d > lm µ lm µ 6 W zwązku z tm wrtość średnego odchlen populcj, α, defnujem jko średną bolutnch wrtośc odchleń d : α lm µ 7 Średne odchlene jet mrą rozrzutu dperj wnków wokół wrtośc średnej, jednk koneczność toown bolutnch wrtośc odchleń czn α prmetrem mło przdtnm do celów tttcznej nlz dnch. W zwązku z tm, w mejce α przjęto nną, lterntwną mrę dperj wnków, której toowne w rozwżnch nltcznch jet znczne łtwejze której toowne znjdze uzdnene w dlzm toku nzchr ozwżń ptrz równeż: Brndt S., Metod Stttczne Oblczenowe Dnch, PW, Wrzw 976. Prmetrem tm jet odchlene tndrdowe σ, zdefnowne jko perwtek kwdrtow z średnej rtmetcznej kwdrtów odchleń, któr zwczjowo nzw ę wrncją, σ : σ lm d lm µ 8 0
..4. Interpretcj prmetrów rozkłdu. Wrtość średn, medn wrtość modln, ze względu n to że opują położene "środk" rozkłdu w przedzle możlwch wrtośc populcj perwotnej, tnową pewne przblżene wrtośc prwdzwej 0. W ogólnm przpdku rozkłdu metrcznego jet prktczne brdzo trudno twerdzć, któr z prmetrów odpowd 0. przkłd, w dośwdczenu z Przkł., tudent próbowł zmerzć długość belk. Informcją jkej pozukwł bł prmetr opując odległość pomędz obdwom końcm belk. Zwróćm uwgę, że już podne defncj co będzem rozumel przez 'odległość mędz końcm belk' ne jet trwlne bowem krwędze belk ngd ne ą delne. Oczwśce możem obe wobrzć deln przpdek tnen tkej bolutne prwdzwej długośc belk. Jeśl rozkłd perwotn chrktertczn dl nzego ekpermentu błb metrczn, wted oczwśce średn rozkłdu błb równ medne wrtośc modlnej, wztke te wrtośc błb równe dentczne prwdzwej długośc belk. Jeśl jednk ten rozkłd ne jet metrczn względem wrtośc średnej porównj R., wted bezwzględne mum wedzeć węcej o źródłch przcznch odchłek b móc wnokowć o tm, któr z trzech welkośc: wrtość średn, medn cz też wrtość modln, chrkterzuje 'prwdzwą' długość belk choć równe dobrze może ę okzć, że wrunku tego ne pełn żdn z tch welkośc! W prktce, njczęścej poługujem ę wrtoścą średn. O wrtośc średnej zwze możem powedzeć, że jet to jeden z prmetrów chrkterzującch rozkłd perwotn, któr m dentczn wmr co wrtość 'prwdzw' dopók ne mm podtw twerdzć, że jet nczej, będzem zgodne z trdcją uwżć w wękzośc przpdków, że jet on njlepzą etmtą wrtośc prwdzwej jką możn uzkć. Wrncj σ orz odchlene tndrdowe σ chrkterzują nepewnośc zwązne z dośwdczlnm próbm wznczen 'prwdzwch' wrtośc. Wrtość odchlen tndrdowego możn nterpretowć dwojko. Z nzego punktu wdzen njtotnejz jet zwązek medz σ ozcownem µ z dnch dośwdczlnch. Dl kończonej lczb oberwcj nepewność wznczen średnej rozkłdu perwotnego jet proporcjonln do odchlen tndrdowego tego rozkłdu. Możem węc uwżć σ z włścwą mrę nepewnośc zwąznej z obecnoścą fluktucj w pomrch. e zpomnjm jednocześne, że wrtość średn 'prwdzw' ne muz bć obe równe, różnc medz nm pownn bć mnejz nż nepewność wnkjąc z rozkłdu prwdopodobeńtw. Tk wec trktujm σ równeż jko mrę nezgodnośc pomędz prmetrem µ rozkłdu wrtoścą prwdzw bdnej welkośc...5. Etmcj rozkłdu perwotnego n podtwe prób. Wróćm do dośwdczen, w którm wkonlśm pomrów,...,, welkośc X, której prwdzw wrtość wno 0. Zkłdm, że dl wrunków dośwdczen tneje populcj perwotn potencjlnch pomrów rozkłd perwotn określjąc prwdopodobeńtwo wnku. Zbór { } tnow próbę z populcj nzm zdnem jet n podtwe tej prób dokonć ozcowń wztkch ntereującch n prmetrów rozkłdu perwotnego populcj perwotnej. podtwe zboru wnków możn określć rozkłd czętośc pojwn ę określonego wnku w próbe. Rozkłd tk określ nm poób, w jk uzkne wnk ą rozłożone w cłm dotępnm zkree wrtośc. Możem wznczć wrtość średn <>,
orz wrncje prób,. Pmętjm jednk, że od prób do prób, zczególn kztłt welkość rozkłdu czętośc ne ą dokłdne powtrzlne. podtwe kztłtu welkośc rozkłdu czętośc możem etmowć, tlko etmowć, kztłt rozkłdu perwotnego: n podtwe wrtośc prmetrów rozkłdu czętośc prób ozcowujem wrtośc prmetrów rozkłdu perwotnego. Wrtość średn prób, <>. Dl er pomrów, njbrdzej wrgodn etmt wrtośc średnej populcj µ jet wrtość średn prób: µ < > 9 Zuwżm, że zgodne z tą defncją um odchleń d -<> jet równ 0. Średne odchlene wrtość bezwzględnch wrtośc odchleń nekoneczne mu meć wrtość mnmlną, łtwo ntomt pokzć że um kwdrtów odchleń d jet zmnmlzown jeżel lczm te odchlen względem wrtośc średnej prób koncepcj t tnow podtwę tzw. metod njmnejzch kwdrtów do której wrócm neco późnej. Ab to pokzć, zukm tkej wrtośc prmetru <> dl której um d < m wrtość mnmlną. Jet to równoznczne z żądnem b > d d > < > + < > < 0 kąd bezpośredno wnk, że < > Tk wec wrunek mnmum um kwdrtów odchleń względem średnej jet równoznczn z defncj wrtośc średnej z prób, co uzdn powżze twerdzene. Odchlene tndrdowe prób,. Przez nloge, możn ę podzewć, że njlepze ozcowne odchlen tndrdowego σ uzkm z odpowedno zmodfkownej defncj wrncj wz.8: µ Połużene ę powżzm równnem wmgłob znjomość dokłdnej wrtośc średnej populcj. M zś do dpozcj podm Jedne jej etmt, t.j. wrtość średną prób <>. Ponewż wrtość <> uzklśm przez mnmlzcję um kwdrtów odchleń, wz. 0, możem oczekwć, że ozcowne wrncj przez mechnczne ztąpene µ przez <> znż wrtość ozcown w porównnu do tego co uzklbśm z wz.. Tę tendencję do znżn wrtośc etmt wrncj możn zrekompenowć. Cznnk w mnownku r. przedtw obą lczbę nezleżnch oberwcj użtch do określen etmt σ, jet to tzw. lczb topn wobod ν, któr defnuje lczbę oberwcj przewżzjącą mnmln lczbę oberwcj, nezbędnch do wznczen wztkch prmetrów wtępującch w równnu. Ponewż µ jet znne dokłdne węc ne jet prmetrem wzncznm ν. Ztępując znną wrtość µ przez neznn prmetr <>, jeden pomr jet mnmln lczb pomrów nezbędnch do wznczen tego ottnego lczb topn wobod redukuje ę do ν-. Konekwentne, z njlepzą dośwdczlną etmtę wrncj populcj przjmuje ę:
< > którą przez nlogę nzwm wrncj prób. Co z tm dze, njbrdzej wrgodną dośwdczln etmtą perwotnego odchlen tndrdowego jet odchlene tndrdowe prób. Podną defncję etmt wrncj populcj możn uzdnć ntucjne, jeśl złożm że wkonlśm tlko jeden pomr. Znjąc µ możem etmtę σ wlczć z r.. Jeśl jednk do wz. podtwm <> zmt µ, to otrzmm nonenown wnk ugerując 'deln' pomr. Poługując ę ntomt wz. uzkujem nformcje, że wrncj prób jet neokreślon, tk jk bć pownno. Zuwżm, że podn defncj etmt wrncj populcj perwotnej jet równeż zgodn z potultem r., t.j. w grnc nekończonej lczb pomrów, r. dąż do σ. Z ozcownch wrtośc prmetrów rozkłdu perwotnego etmujem pozukwne wnk. W ogólnośc będzem zkłdć, że wrtośc pewnch prmetrów rozkłdu perwotnego możn dentfkowć z 'prwdzwm' wrtoścm bdnch welkośc. e zpomnjm jednk, że rozkłd perwotn jet ne tlko funkcj 'prwdzwch' wrtośc le równeż wrunków dośwdczlnch nekoneczne te perwze te druge muzą bć eprowlne. Wdć to dobrze n protm przkłdze dwóch ścłch ukłdów pomrowch oprtch n tej mej zdze le różnącch ę preczją, dl którch ob rozkłd perwotne będą mł tk m kztłt tk mą wrtość średną le wrtośc prmetrów określjącch ch zerokośc będą różne. Przkłd, któr przedtwono ponżej jet przkłdem wmgnownm, wgenerownm prz pomoc komputer. Pozwl jednk lepej zrozumeć problem z jkm potkm ę nlzując dne dośwdczlne. --- ooo 000 ooo --- Przkłd 6. Student wkonł 00 pomrów długośc drewnnego klock z dokłdnoścą.lcm. Jego wnk, po uwzględnenu wzelkch możlwch poprwek kompenującch błęd temtczne, zwerją ę w przedzle od 8.9cm do.cm wele z nch ę powtrz. Wnk te zetwono w ponżzej tbel w forme rozkłdu czętośc powtórzeń dentcznch wnków długość/cm X krotność f X f X f 8.9 9.7 8 0.5 3 9.0 0 9.8 0.6 9. 9.9 9 0.7 9. 0.0 5 0.8 9.3 0. 7 0.9 9.4 4 0. 8.0 4 9.5 3 0.3 9. 0 9.6 9 0.4 6. Średn wrtość z pomrów wno <>0.03cm etmown wrtość odchlen tndrdowego.48cm Wnk pomrów przedtwono równeż grfczne n R. w forme tzw. htogrmu ukzującego rozkłd czętośc oberwcj pozczególnch długośc 3
klock. Htogrm jet brdzo dogodnm poobem prezentown dnch, ukzując z jednej tron fluktucjn chrkter kończonego zboru punktów pomrowch, z drugej tron R. Htogrm wnków pomru długośc klock z Przkł.6. Zznczono równeż rozkłd Gu: perwotn ln cągł, µ0.cm, σ.50cm orz rozkłd prób ln przerwn, <>0.03cm,.48cm. Powerzchn pod kżdą krzwą rozkłdu jet znormlzown do powerzchn htogrmu 00punktów. umożlwjąc etmcję kztłtu rozkłdu perwotnego. Wkonując htogrm uwzględnono fkt, że dokłdność pomrów wnoł lmm w zwązku z czm przedzł jednotkow htogrmu przjęto równ tej dokłdnośc pozczególne przedzł jednotkowe centrowne ą n pełnch wrtoścch długośc, co.lcm. Wobrźm obe terz, że choć tudent o tm ne we, w ltch poprzednch zebrno dotteczną lczbę dnch dośwdczlnch b możn bło określć rozkłd perwotn, któr okzł ę bć rozkłdem Gu rozkłd ten zotne omówon z chwlę o prmetrch: µ0.cm orz σ.50cm. Rozkłd perwotn możn wkreślć w ukłdze wpółrzędnch htogrmu w nzm przpdku odpowd mu cągł ln n R.. Dl porównn rozkłd prwdopodobeńtw etmown n podtwe prób, o którm tudent złożł, że jet rozkłdem Gu, zznczono lną przerwną. Ob rozkłd znormlzowno tk b odpowdł 00 punktom dośwdczlnm. Co możn zuwżć z tkego porównn? Po perwze, wrźne wdoczn jet różnc pomędz 'prwdzwą' wrtoścą średnej µ jej etmtą <>. Po druge, wcle ne jet oczwte, że µ reprezentuje obą prwdzw długość klock; ponewż krwędze klock ne ą delne głdke, oprócz wztkego nnego mum obe zdefnowć co będzem rozumel pod pojęcem "długość klock". Anlzując dne dośwdczlne mum meć pełną śwdomość, że nze możlwośc poznwcze ą ogrnczone tlko do ozcown wrtośc prmetrów rozkłdu perwotnego. --- ooo 000 ooo --- Rozwżjąc wnk jko próbę z populcj, t.j. zbór wnków rozrzuconch w przedzle dotępnch wrtośc zgodne z rozkłdem perwotnm, możem wkonć ozcown kztłtu dperj populcj co w ntęptwe dotrcz brdzo totnej nformcj o preczj wrgodnośc wnków. Etmujem µ b etmowć 'prwdzwą' wrtość 0, σ b ozcowć nepewność nzego wnku <>. Ale przede wztkm mum etmowć kztłt rozkłdu perwotnego b meć pewność, że rzeczwśce µ możn utożmć z 0...6. Rozkłd prwdopodobeńtw Gu rozkłd normln błędów. 4
O kztłce rozkłdu perwotnego ne zkłdlśm do tej chwl nczego konkretnego, trktując problem brdzo ogólne. dzedł jednk moment b preczowć rozwżn przejść do chrktertk kztłtu funkcj opującej rozkłd wnków przpdkowch. jwżnejzm z punktu wdzen tttcznej nlz wnków rozkłdem prwdopodobeńtw jet rozkłd Gu zwn też rozkłdem normlnm. Szczególną cechą tego rozkłdu jet to, że rozkłd ten wdje ę w wękzośc przpdków dobrze opwć rozkłd wnków przpdkowch. Rozkłd Gu opwn jet cągł funkcją gętośc prwdopodobeńtw potc: µ P G ; µ, σ ep 3 σ π σ lbo, borąc pod uwgę defncję odchlen, d- µ, orz fkt, że wrtość średn odchleń z defncj równ ę 0: d P G d;0, σ ep 3b σ π σ Itneje wele wprowdzeń tego rozkłdu z perwzch zd, jednk żdne ne jet brdzej przekonwjące nż czto emprczn fkt, że rozkłd Gu tnow roządną etmtę rozkłdu perwotnego, o w mrę protej potc nltcznej. Rozkłd Gu pod dodtkowo tę cenną cechę, że njbrdzej prwdopodobną etmtą wrtośc średnej rozkłdu µ n podtwe przpdkowo wbrnej prób jet wrtość średn prób <> zobcz ntępn prgrf. Funkcje dne wz. 3 ą funkcjm gętośc prwdopodobeńtw, t.j. dl uzkn prwdopodobeńtw znlezen określonej wrtośc mum zdefnowć przedzł wrtośc w którm m ę zwerć; funkcję prwdopodobeńtw defnuje ę poprwne jko prwdopodobeńtwo znlezen przpdkowej wrtośc w nekończene młm przedzle d wokół. Dl rozkłdu Gu zpujem to jko: dp ; µ, σ P ; µ, σ d 4 G G Kztłt rozkłdu Gu przedtwono n R.3. Krzw jet metrczn względem wrtośc średnej µ. Szerokość krzwej jet chrkterzown przez tzw. pełną zerokość w połowe mkmlnej wokośc lbo, żrgonowo, zerokość połówkową Γ. Jet to nc nnego jk zerokość przedzłu wrtośc pomędz punktm dl którch prwdopodobeńtwo jet równe połowe wojej mkmlnej wrtośc: PG ± Γ / ; µ, σ PG ; µ, σ ; Γ. 354σ 5 Ektremlne grdent funkcj P G wtąpą dl µ ± σ: P G ± σ ; µ, σ e / P µ ; µ, σ 6 µ G 5
zś tczne w tch punktch przetną oś 0X w punktch µ ± σ, ptrz R. 3. Wrtość. średn odchlene tndrdowe rozkłdu Gu ą równe prmetrom µ σ, r. 3. Błąd prwdopodobn, lczon zgodne z podną wcześnej defncją, wno:. 6745σ.865Γ; σ 7 3 Jeżel wprowdzm pojece pozomu ufnośc jko prwdopodobeńtw znlezen przpdkowego wnku w określonm przedzle dotępnch wrtośc bdnej welkośc µ ± ε: µ + ε p dp; µ, σ 8 µ ε to łtwo twerdzć, że jeżel rozkłd Gu jet rozkłdem perwotnm, to dl przedzłu µ ±, p.50, co ozncz, że w tm przedzle pownn znjdowć ę połow populcj perwotnej. Pozom ufnośc wrz z odpowdjącm mu przedzłem, któr nzwm przedzłem ufnośc, tnową probbltczn mrę neokreślonośc wnków. R. 3 Rozkłd Gu rozkłd normln. µ wrtość średn, σ - odchlene tndrdowe, Γ zerokość połówkow, - błąd prwdopodobn. Anlogczne, dl nnch chrktertcznch przedzłów możn twerdzć, że: w przedzle µ ± σ pownno ę znleźć p.683, t.j. około /3 populcj perwotnej w przedzle µ ± σ, p.95 wztkch wnków, w przedzle µ ± 3σ, prwe cł populcj, bo p.997. Rozkłd Gu ne jet jednm rozkłdem prwdopodobeńtw, z którm potkm ę w prktce redukcj nlz dnch dośwdczlnch. Do częto potknch nlezą tke rozkłd jk Dwumnow, Poon, Lorentz, Student nne. Omówene tch 6
rozkłdów ne jet totne dl dlzego toku tego oprcown, zntereownego cztelnk odłm do podręcznków pecjltcznch. M ntomt od tego momentu będzem zkłdl, że fluktucje tttczne prowdzą do rozrzutu wnków, lbo nczej mówąc do ch dperj, zgodne z rozkłdem Gu...7. Etmcje wrtośc średnej błędu jej wznczen. W prgrfe..4. dkutowlśm wrtość średną prób wrtość odchlen tndrdowego prób orz ch powązne z prmetrm rozkłdu perwotnego. Stwerdzlśm, że prmetr prób możn uwżć z etmt prmetrów populcj perwotnej, neroztrzgnętą kwetą pozotł ntomt problem: cz te etmt ą rzeczwśce njbrdzej wrgodnm ze wztkch możlwch, orz Jk lczn mu bć prób? b możn bło twerdzć, że proponowne etmt µ orz σ ą wrgodne, t.j. jk mu bć njmnejz lczb pomrów bśm mogl twerdzć, że możn z tch dnch etmowć kztłt guowkego rozkłdu perwotnego, tkże co robć w przpdku mnejzej lczb pomrów. Metod jwękzej Wrgodnośc, MW. W nzm hpotetcznm dośwdczenu wkonlśm pomrów zkłdm, że uzkne wnk punkt pomrowe ą rozrzucone zgodne z rozkłdem perwotnm. Jeśl rozkłd perwotn jet rozkłdem guowkm z wrtoścą średną µ odchlenem tndrdowm σ, to wted prwdopodobeńtwo dp zoberwown wrtośc w przedzle wokół d wno zgodne ze wz. 4: dp µ ep d σ π σ 9 Oczwśce ne jeteśm w tne znć dokłdnch wrtośc n µ n σ od rzu n wtępe mum przjąć jkeś wrtośc jko ozcown tch prmetrów. Oznczm je µ σ. W jk poób, poługując ę dnm dośwdczlnm, możem znleźć njbrdzej wrgodne etmt prmetrów populcj perwotnej? Złóżm, że etmtą rozkłdu perwotnego jet rozkłd Gu z prmetrm µ σ. Wówcz prwdopodobeńtwo oberwown wrtośc jet: dp µ ' µ ', σ ' ep d 0 σ ' π σ ' Jke jet prwdopodobeńtwo uzkn tkej prób jk nz? Prwdopodobeńtwo zoberwown określonej - lcznej prób jet locznem prwdopodobeńtw pozczególnch oberwcj, t.j. P µ ', σ ' dp µ ', σ ' gdze mbol П ozncz loczn. Podtwjąc wz. 0 do otrzmujem 7
µ ' P µ ', σ ' ep d σ ' π σ ' Zgodne z metodą njwękzej wrgodnośc ptrz S. Brndt, njbrdzej wrgodn etmt wrtośc średnej populcj µ będze tk wrtość µ, dl której prwdopodobeńtwo zoberwown nzej -elementowej prób dne r. będze njwękze. Innm łow, żądm b d µ ', σ ' 0 dµ ' P 3 co jet równowżne żądnu b pochodn z wkłdnk funkcj ekponencjnej względem µ bł równ 0: d dµ ' ' µ σ ' 0 3b lub, opuzczjąc netotne tłe, d dµ ' µ ' 0 4 To ottne równne ozncz, że oczekujem od µ, że zmnmlzuje umę kwdrtów odchleń. Zdne to tnow o nzwe metod: metod njmnejzch kwdrtów MK, któr jk wdć, jet konekwencją ztoown metod njwękzej wrgodnośc. Wkonując różnczkowne otrzmujem d dµ ' µ ' µ 0 5 tąd ntchmt wnk, że µ ' 0 µ ' < > 6 czl rzeczwśce, prz złożenu guowkego chrkteru rozkłdu perwotnego, wrtość średn prób <> jet njbrdzej wrgodną etmtą wrtośc średnej populcj µ. Jk błąd możem popełnć, przjmując <> jko etmtę µ? Ab go ozcowć, podobne jk dl pojedńczego pomru, wlczm odchlene tndrdowe średnej. W tm celu złóżm, że ntąpł mł fluktucj kżdego z wnków, w ntęptwe czego równeż wrtość µ neznczne ę zmenł. Rozwjjąc r. 6 w zereg Tlor wokół <> otrzmm: 8
d < > µ ' j < > ' j +... 7 d Jeżel tkch fluktucj bło k, to możem wznczć wrncję wrtośc średnej, < > : k k < > µ ' j j d < > d / < > k j k ' j k j k ' j d < > d +... 8 bowem z złożen, wztke wnk mj dentczn wrncje. Odchlene tndrdowe wno węc: < > / 9 Zwczjowo przjęło ę nzwć < > średnm błędem kwdrtowm średnej. Formułując równne określjące prwdopodobeńtwo zoberwown otrzmnego przez n zboru dnch złożlśm, że wztke punkt pomrowe pochodzą z tej mej populcj perwotnej. e koneczne mu tk bć zwze. Możem bć zmuzen z jkchś powodów zmenć zkre przrządu, oobę ekpermenttor, co prowdz, prz cągle wżnm złożenu, że jeteśm w tne uunąć błęd temtczne, do tnen w zborze wnków punktów pomrowch pochodzącch z różnch populcj perwotnch. Werzm oczwśce, że cł cz nz metod jet ścł, wec, że wrtośc średne populcj we wztkch wpdkch ą obe dentczne równe jednm prmetrem je różnącm jet odchlene tndrdowe. W tkej tucj r. mum przepć w potc: j ' P µ µ ' ep σ ' j σ ' π 30 j Żądjąc ponowne njwękzego prwdopodobeńtw zoberwown nzej prób otrzmm nlogczn do r. 3b wrunek: d dµ ' ' µ ' σ 0 3 lub, wkonując różnczkowne wlczjąc µ': / σ µ ' / σ 3 9
co ozncz, że njbrdzej wrgodn etmtą µ jet, w tkm przpdku, średn rtmetczn punktów pomrowch "wżonch" przez odwrotnośc ch włnch wrncj. Oczwśce jeżel wg wztkch punktów pomrowch ą jednkowe, to jet pochodzą od tej mej populcj perwotnej, to r. 3 prowdz ę do r. 6. Anlogczne jk dl przpdku jednkowch wrncj wztkch punktów, możem oblczć wrncje średnej: / / < > / 33 Etmcj prmetrów populcj w przpdku młej lczb pomrów. Młolczn prób, tzn. mł lczb pomrów ne jet reprezenttwną próbą dl określen populcj perwotnej. Częto jednk ę zdrz, że dponujem tlko klkom punktm pomrowm. Co le możn powedzeć o populcj perwotnej w tkm przpdku? ewątplwe brdzo trudno lbo wręcz nemożlwe jet ądzć cokolwek o kztłce rozkłdu perwotnego. Dltego bezpeczne jet przjąć, że jet to rozkłd metrczn jko, w prktce ekpermentlnej, njbrdzej prwdopodobn. Wrtość średn prób będze w dlzm cągu njbrdzej wrgodną etmtą wrtośc średnej populcj tle, że jet to ozcowne "nebrdzo-znowu-tk-wrgodne", przez co rozumem fkt, że neokreśloność tego wnku jet duż. Do tej por poługwlśm ę odchlenem tndrdowm jko mrą neokreślonośc etmt wrtośc średnej, jednkże ze względu n młą lczbę wnków w obecnm przpdku przetje bć dobrą mr neoznczonośc. Możn oczwśce wlczć odchlene tndrdowe, jednk probbltczn nterpretcj tk wznczonej welkośc będze wątplw. Stucj ne jet jednk bezndzejn. Okzuje ę, że prz młej lczbe pomrów znczne brdzej wgodnm jet przjmowne złożen, że dperj punktów dośwdczlnch jet zgodn z rozkłdem Student, ne rozkłdem Gu. R.4 porównno przebeg rozkłdu Gu rozkłdu Student. Jk wdć z runku, "dzwon" rozkłdu Student jet zerz nżz, znczne łgodnej mlejąc n krzdłch nż rozkłd Gu. Z porównn obu krzwch możn łtwo zuwżć, że dl tego mego pozomu ufnośc p, przedzł ufnośc rozkłdu Gu Student ą różne: przedzł ufnośc dl rozkłdu Student mu bć wrźne zerz nż dl rozkłdu Gu. Wnk tąd mędz nnm, że pozom ufnośc dl przedzłu µ± błąd prwdopodobn ozcownego n podtwe młej lczb pomrów mu bć nżz nż 50%. Podobne m ę rzecz z nnm prmetrm chrkterzującm neoznczoność wnku. W zwązku z tm tneją dwe drog potępown: lbo kżdorzowo podwć pozom ufnośc zwązn z ozcownm prmetrem -pozom ufnośc będze funkcją lczb punktów pomrowch, lbo tk zwękzć wrtość ozcowń prmetrów b pozom ufnośc, t.j. ch nterpretcj probbltczn, pozotł tk m jk dl rozkłdu Gu. W prktce wgodnej jet wbrć drugą możlwość. W Tbel II w Dodtku podno wrtośc tzw. wpółcznnk Student,, dl różnch wrtośc pozomu ufnośc p lczb pomrów. Wpółcznnk Student określ przedzł ufnośc w jednotkch odchlen tndrdowego, µ± σ. Chcąc zchowć nterpretcję probbltczną prmetrów opującch nepewność wnku w przpdku młolcznej prób, mum ozcown prmetrów pomnożć przez odpowedne wpółcznnk Student. W ponżzm zetwenu podno njczęścej toowne w prktce pozom ufnośc przedzł ufnośc dl rozkłdów Gu Student. t p, t p, 0
p r. Gu r. Student uwg 0.5 µ± µ± t 0.5, σ błąd prwdopodobn 0.683 µ±σ µ± t 0.683, σ błąd śr. kwdrtow 0.95 µ±σ µ± σ t 0.95, t 0.997, 0.997 µ±3σ µ± σ Zletą rozkłdu Student jet to, że w mrę wzrotu lczb punktów pomrowch do nekończonośc kztłt tego rozkłdu zblż ę do kztłtu rozkłdu Gu; porównując wrtośc w Tbelch I II Dodtek możn zuwżć, że ze wzrotem, t 0.683, dąż do, t 0.95, do, t 0.997, do 3. Z porównn tego wnk równeż prktczn wnoek, że z dobrm przblżenem możn toowć złożene rozkłdu guowkego do etmcj odchlen tndrdowego jeżel >6, orz do etmcj wztkch prmetrów populcj perwotnej dl >5. R. 4 Porównne rozkłdu Student P S o dwóch topnch wobod trz punkt pomrowe, 3 ze znormlzownm rozkłdem Gu, P G.. Pomr pośredne. Do tego momentu rozwżlśm tucje, w której ukłd pomrow pozwlł bdć ntereującą n welkość X bezpośredno. Tk jet np. w przpdku wznczn długośc belk, jej wg, npęc ntężen prądu tp. W wękzośc bdń nukowch pomr bezpośredne łużą jednk, w drodze dlzej obróbk mtemtcznej, do wznczn nnch welkośc, którch z rcj ch ntur, ne możn bdć bezpośredno. Protm przkłdm ą np. pomr objętośc wpomnnej belk, jej powerzchn gętośc, pomr oporu przewodnk. W wękzośc tucj będzem węc wznczć njbrdzej wrgodne etmt welkośc bdnch pośredno, n podtwe nformcj zwrtch w pomrch bezpośrednch orz równń mtemtcznch wążącch welkość bdn pośredno z welkoścm merzonm bezpośredno... Propgcj błędów. Przpuśćm, że chcem wznczć welkość X, któr jet funkcją conjmnej dwóch nnch welkośc U, V,..., które mogą bć bdne merzone bezpośredno: X f U, V,... 34 Choć nekoneczne mu bć to prwdzwe, zkłdm że njbrdzej wrgodną etmtą wrtośc średnej <> jet
< > f < u >, < v >,... 35 eokreśloność wnku wznczen wrtośc może bć ozcown n podtwe zboru wztkch wrtośc wznczonch z pozczególnch pomrów u, v,...: f u, v,... 36 W grnc nekończonej lczb pomrów, wrtość średn populcj perwotnej welkośc X tje ę dokłdne równ wrtośc średnej <> wznczonej zgodne z r. 35. Stoując defncję wrncj, r. możem wznczć σ X : σ X lm < > 37 Odchlen -<> możem wrzć poprzez odchlen u -<u>, v -<v>,... rozwjjąc r.34 w zereg Tlor wokół punktu <u>,<v>,... Jeżel odchlen ą młe to z dobrm przblżenem możem npć: 38 X X < > u < u > + v < v > +... U V gdze pochodne czątkowe lczone ą w punkce u<u>, v<v>,... Podtwjąc r. 38 do r. 37 możem wrzć wrncję σ X poprzez wrncjeσ U, σ V,...: σ X lm lm X X u < u > + v < v > +... U V X u < u > U + v < v > X X + u < u > v < v > +... U V X V 39 Perwze dw człon r. 39, zgodne z defncją wrncj, redukują ę do X U U σ X V V loczn mezn odchleń możem zpć przez nlogę jko X X UV σ,,... bowem pochodne czątkowe ne zlezą od. Człon trzec, zwerjąc σ gdze U V now prmetr, σ, kowrncj zmennch U V, zdefnown jet nlogczne do r. 8: UV σ UV lm u < u > v < v > 40 Otteczne mm:
X X X X σ X σu + σv + σuv +... 39b U V U V Jeżel poz U V welkość X zleż jezcze od nnch zmennch, r. 39 będą zwerł oczwśce nlogczne przcznk od pozotłch zmennch merzonch bezpośredno. Wprowdzon powżej kowrncj σ jet mrą wpółzmennośc prmetrów u UV v w ogólnośc - dwóch dowolne wbrnch prmetrów to zncz mrą równoczench odchleń wrtośc u v. Jeżel możem zrobć złożene, że fluktucje wrtośc u v ą nekorelowne, to wted średno możem oczekwć znlezen w przblżenu równej lczb ujemnch dodtnch wrtośc locznu u -<u>v -<v> w grnc nekończonej lczb pomrów, znkn kowrncj σ. UV Jeśl fluktucje wnków u, v,... ą nekorelowne, to r. 39b uprzcz ę dodtkowo do potc: X X σ X σu + σv +... 39c U V --- ooo 000 ooo --- Przkłd 7. Równne 39c wkorztlśm wznczjąc etmcję wrncj wrtośc średnej ptrz r. 8 33. Wrtość średną wznczm pośredno z pomrów bezpośrednch. Zkłdm, że te pomr ą nezleżne fkt ten prowdz do wnoku, że wrncj wrtośc średnej jet umą wżon wrncj pozczególnch pomrów. --- ooo 000 ooo --- Przkłd 8. Ponżej podno klk protch przkłdów zwązków funkcjnch mędz welkoścą bdną X merzonm welkoścm U V, częto potknch w prktce. X U ±bv Pochodne czątkowe wnozą X / U X V b σ X σu + b σv ± b X ± UV. bσuv /. Z r. 39 mm: Pochodne czątkowe wnozą X / U ± V X V ± U σ +, lub X V σu + b U σv UVσUV X / X σu / U + σv / V σ UV / σ + c X ± U ± b UV Pochodn wno X / U ± bx / U X b X / U σu X / X b σu / U σ, lub σ /. Mm węc: 3
d X e ± bu Pochodn wno X U ± bx σ X b X σu, lub σ X b σ X / U e X ln ± bu / Pochodn wno X / U / U σ σ /U X U --- ooo 000 ooo --- Powżze rozwżn dotczł zwązków pomędz wrncjm perwotnm welkośc bdnej X welkośc merzonch bezpośredno U, V,... Będzem zkłdć, że zwązk, w zczególnośc r. 39b 39c ą łuzne równeż dl zwązków pomędz wrncjm prób welkośc X wrncjm prób welkośc U, V,... t.j. njbrdzej wrgodną etmtą wrncj prób welkośc bdnej pośredno X jet: X X X X X U + V + UV +... 4 U V U V lub, jeśl pomr u, v,... ą nekorelowne, 0, UV X X X U + V +... 4b U V Zwróćm uwgę, że zbor wnków u, v,... ne koneczne muzą bć jednkowo lczne, w zwązku z czm kżd z wrncj lczon jet nezleżne, uwzględnjąc lczność prób złożon kztłt rozkłdu Gu lub Student. Jeżel którkolwek z prób jet nelczn <6, nleż uwzględnć wpółcznnk Student tk b doprowdzć ozcowną wrtość wrncj do tego mego pozomu ufnośc p.683 przed wznczenem ze wzorów r. 4 etmt wrncj bdnej welkośc. Przedtwon przpdek bdń pośrednch bł njprotzm z możlwch. Wkonlśm welokrotn pomr welkośc U, V,..., znleźlśm wrtośc średne <u>, <v>,... etmt wrncj, U V,... ntępne oblczlśm wrtość średną <>f<u>, <v>,... etmtę wrncj X. Przkłdem tkego dośwdczen jet prób wznczen cężru włścwego dowolnej brł. Ab ją wznczć welokrotne merzm objętość brł V jej wgę P. Oblczm wrtośc średne <V> <P> orz wrncje σ P σ. Znjdujem wrtość średną cężru włścwego zgodne z dobrze znnm wzorem <ρ><p>/<v> odchlene tndrdowe z r. 4. Wobrźm obe terz brdzo podobne dośwdczene polegjące n wznczenu cężru włścwego kł, ρ, której różne próbk dotrczono do bdn. Dl kżdej próbk mum powtórzć procedurę opn powżej, t.j. wznczć wrtość średną cężru włścwego wrncję tej próbk. tępne, po zbdnu wztkch próbek, wznczć trzeb średną wrtość <ρ> kł zgodne ze wzorem 3, t.j. wżąc <ρ > kżdej próbk V 4
przez /. Możn jednk <ρ> wznczć w poób brdzej elegnck, korztjąc z wrtośc średnch <V> <P> orz wrncj V P kżdej z próbek. W tm celu zuwżm, że zgodne z defncją PρV, cężr próbk jet proporcjonln do jej objętośc cężr włścw jet wpółcznnkem proporcjonlnośc. W zwązku z czm, Jeśl porządzm wkre zleżnośc mędz P V to w przpdku delnch, bezbłędnch pomrów wztke wnk, t.j. pr wrtośc <v>, <p> pownn ułożć ę wzdłuż protej przechodzącej przez początek ukłdu wpółrzędnch nchlonej pod kątem, tgαρ, do o odcętch. Ze względu n fluktucje wnków pomrów, punkt dośwdczlne będą jednk rozrzucone wokół tej protej problem, przed którm tjem, poleg n jk njbrdzej wrgodnej etmcj prwdzwego przebegu tej protej. Szukm poobu n tke poprowdzene przez rozrzucone punkt pomrowe protej b bł on njbrdzej wrgodnm przblżenem prwdzwego zwązku PρV.... Bdne zwązków funkcjnch mędz welkoścm merzonm bezpośredno. Przedtwon powżej problem jet protm przkłdem tucj ked chcem ne tle wznczć wrtość welkośc bdnej pośredno co określć zwązek funkcjn mędz welkoścm bdnm bezpośredno w dośwdczenu. ech tm welkoścm będą dwe welkośc X Y. Chcem znleźć tką funkcje f b YfX. Zmt wkonwn zeregu pomrów welkośc V dl określonej wrtośc welkośc X, wkonujem pomrów, kżd dl nnej wrtośc l,..., nnm łow otrzmujem zbór pr wrtośc,. zm zdnem jet: -utlene, lbo co njmnej ozcowne, chrkteru funkcj f n podtwe wcześnejzch bdń lub rozwżń teoretcznch; -znlezene tkch wrtośc tłch prmetrów równn YfX b funkcj f bł njbrdzej wrgodną etmtą prwdzwego zwązku mędz X Y. Krótko mówąc, będzem ę trl jk njlepej dopowć funkcję f do punktów dośwdczlnch. W ogólnośc, funkcj może bć zdefnown przez wele różnch wpółcznnków prmetrów, Jk n przkłd w przpdku welomnu, problem jet równoznczn z optmlnm wznczenem wrtośc welkośc bdnch pośredno prmetrów równn YfX n podtwe zboru punktów pomrowch {, }. W wękzośc przpdków potknch w trkce wkonwn dośwdczeń w Prcown Fzcznej I zwązk funkcjne lbo ą, lbo dją ę łtwo prowdzć do zwązków lnowch, t.j. ą potc: Y α + βx 4 Zjmem ę terz omówenem metod wznczn njbrdzej wrgodnch etmt prmetrów α β orz ozcown nepewnośc ch wznczen. Jk wpomnno powżej, jet nemożlwe poprowdzć lnę protą dokłdne przez wztke punktów pomrowch. Mum złożć, że oberwowne fluktucje położeń punktów pomrowch powżej ponżej protej ą ntęptwem jedne nepewnośc wnków pomrów ne odbcem jkegoś zczególnego zjwk fzcznego. Słuzność tego złożen pownn bć prwdzn w kżdm zczególnm przpdku, zrówno n grunce rozwżń teoretcznch jk w drodze prwdzen powtrzlnośc ndwdulnch pomrów; nleż bć zczególne uczulonm n możlwość wtępown błędów grubch temtcznch. Wobrźm obe n chwlę, że utlm wrtość welkośc X,, ntępne wkonujem erę pomrów welkośc Y,,, 3,... Ze względu n ten częto toown poób potępown przjęło ę nzwć welkość utlną - welkoścą 5
nezleżn, welkość merzon welkoścą zleżną. W wnku przeprowdzonch pomrów pownnśm podzewć ę dperj wnków k wokół wrtośc średnej < >, dokłdne tk mo jk to bło w przpdku pomrów bezpośrednch. Pondto, zgodne z probbltczną nterpretcją odchlen tndrdowego możem oczekwć, że dowoln pomr k będze ę różnł od < > o mnej węcej σ. Mjąc możlwość zwękzen lczb pomrów moglbśm określć < > z dokłdnoścą ogrnczoną jedne rozkłdem perwotnm. wtępe obecnch rozwżń złożlśm jednk, że wkonujem tlko jeden pomr dl kżdego utlonego.w konekwencj, dl kżdej utlonej wrtośc wznczm z neoznczonoścą chrkterzowną przez odchlene tndrdowe populcj perwotnej dotępnch wrtośc. Oczwśce może ę zdrzć, że dperj wrtośc wokół wrtośc średnej populcj, tm mm σ ne zleżą od wrtośc, jednk zleżeć to będze od konkretnch wrunków dośwdczen jk bdnego problemu. W ogólnośc pownnśm zwze brć pod uwgę możlwość tego, że ne tlko le równeż odchlene tndrdowe σ jet funkcją wrunków ekpermentu węc wrtośc. epewnośc pomrów bezpośrednch. Dl przejrztośc dlzch rozwżń zkłdm, że nepewność wnku możem przpć tlko włączne zmennej zleżnej. Jet to równoznczne z złożenem, że preczj określen jet znczne wękz nżel, t.j. będzem uwżć welkość nezleżną jko wznczoną dokłdne, cłą 'wną' z błęd obrczjąc zmenną zleżną. Oczwśce tke złożene ne zwze mu bć uprwedlwone. Czm nepewnośc wznczen ą porównwlne. Okzuje ę jednk, że procedur njbrdzej wrgodnego dopowwn, którą przedtwm z chwlę, pozotne w mrę łuzn jeżel połączm nepewnośc obu welkośc przpzem łączn nepewność - welkośc zleżnej. Będzem węc mogl wkonwć dlze oblczen trktując zmenną nezleżną jko 'bezbłędną', fluktucje przpując cłkowce zmennej zleżnej z pełną śwdomoścą, że ch źródłem mogą bć obe zmenne. konec zuwżm, że w przpdku ked fluktucje welkośc X przewżzją fluktucje Y, prwe zwze możem przedefnowć zmenne dopowwć funkcję odwrotną Xf - Y do punktów dośwdczlnch. b Metod jmnejzch Kwdrtów, MK. Dne kłdją ę z punktów pomrowch, t.j. pr, wnków pomrów zmennej nezleżnej X zmennej zleżnej Y. zm zdnem jet dopowć do tch dnch protą o równnu: + b, 43 tzn. znleźć tke wrtośc prmetrów b dl którch różnc mędz wrtoścm pomrów odpowdjącm m wrtoścm f + b jet njmnejz. Ze kończonej lczb punktów pomrowch ne możem znleźć prwdzwch wrtośc prmetrów, t.j α β ptrz r. 4, le chcem b wznczone wrtośc b bł njbrdzej wrgodnm etmtm wrtośc prwdzwch. Problem poleg n znlezenu metod, któr pozwol n zmnmlzowne różnc jednocześne n zoptmlzowne etmt prmetrów. Dl kżdch dowolne wbrnch wrtośc b możem polczć odchlen pomędz kżdą zmerzoną wrtoścą odpowdjącą jej wrtoścą teoretczną: 6
- -b 44 Jeżel wpółcznnk b ą dobrze dobrne, odchłk te pownn bć względne młe. Użwjąc dokłdne tej mej rgumentcj jk dl pomrów bezpośrednch w pr...7, możem oczekwć, że um kwdrtów odchłek dl wztkch punktów pomrowch będze dobrą mrą dobroc ozcown wrtośc prmetrów. etet, ne m jednoznczne poprwnej, unwerlnej zwze łuznej metod optmlzcj prmetrów. Itneje jednkże metod, której toowlność możn w mrę proto uzdnć, metod któr jet prot łtw w użcu, któr w welu prktcznch ztoownch dośwdczlnch prwdzł ę jet powzechne przjęt w prktce. Jet to metod njmnejzch kwdrtów, którą już poznlśm którą obecne rozzerzm n przpdek węcej nż jednej zmennej prmetru. ech prwdzw zwązek medz m potć α + β Anlogczne jk w przpdku pomrów bezpośrednch, dl kżdej określonej wrtośc wlczm prwdopodobeńtwo dp zmerzen zoberwownej wrtośc. Zkłdm, że populcj perwotn dotępnch wrtośc jet guowk z centrum w z odchlenem tndrdowm σ : dp ep σ π σ d 45 Ponewż zbór wnków kłd ę z punktów,, prwdopodobeńtwo jego trzmn, t.j. prwdopodobeńtwo uzkn tkej włśne prób wno: P α, β 46 d j j dp ep σ π j σ j Jeżel prwdzw zwązek medz ztąpm jego etmtą, r. 43, to nlogczne możem npć: P, b d j ep π j j 47 które jet prwdopodobeńtwem uzkn nzej prób w wrunkch ked centrum populcj leż n protej + b odchlene tndrdowe jet dentczne z odchlenem tndrdowm prób. Intucjne możem oczekwć, że m etmt protej jet blżz jej prwdzwemu przebegow, tm P,b będze wękze odwrotne, m brdzej będze odbegć, tm P,b będze mnejze. Mum ztem znleźć tke b, które mkmlzują P,b. 7
Zuwżm, że perwz człon r. 47 jet tł względem b, orz że wkłdnk funkcj wkłdnczej jet ujemn. Zdne mkmlnej wrtośc P,b jet węc równowżne z żądnem mnmlnej wrtośc bezwzględnej wrtośc wkłdnk: χ χ mnmum 48 jet wżon umą kwdrtów odchłek wrtośc od odpowdjącch m wrtośc teoretcznch. Żądne mnmum χ jet węc żądnem uzkn njmnejzej um kwdrtów odchłek tnow podtwę metod njmnejzch kwdrtów. W ogólnm przpdku funkcj może bć dowoln pozukwne mnmum χ ne jet prwą trwlną, wmgjącą częto toown wrfnownch technk mnmlzcjnch. Jeśl jednk jet welomnem ze względu n zmenną nezleżną, n k Σk 0k, lub d ę do tkej potc prowdzć, wówcz znlezene wrtośc prmetrów k mnmlzującch χ jet prwą protą, bowem wrunk mnmum funkcj χ, t.j. χ / k 0 prowdzą do ukłdu n równń lnowch ze względu n n - prmetrów, którego rozwązne ne przedtw trudnośc. Tkm przpdkem jet obecn problem pozukwn njlepzej etmt lnowego zwązku mędz. Wrunek mnmum χ jet równowżn równoczenemu pełnenu wrunków: χ / 0 orz / b 0 χ 49 Rozptrzm njperw protz przpdek ked odchlen tndrdowe ą dl wztkch punktów jednkowe, t.j.,,...,. Przpdek tk częto potkm w prktce. przkłd, wkonując pomr tempertur termometrem ceczowm poługujem ę klą lnową fluktucje wnków będą dokłdne tke me w obrębę cłej kl termometru. Podobne jet z wękzoścą mernków prądu elektrcznego w obrębe kżdego zkreu pomrowego. Kl przrządu defnuje tł dl cłego zkreu błąd pomru. Sum kwdrtów odchleń przjmuje potć: χ b 50 Różnczkując, njperw względem, potem względem b, otrzmujem ukłd dwóch równń: b 0 b 0 5 lbo, po uwzględnenu fktu, że Σ przekztłcench, 8
9 + + b b 5 Rozwąznem tego ukłdu ą wrtośc: / / W W b W 53 Tk wznczone wrtośc b ą njbrdzej wrgodnm etmtm wpółcznnków protej. Pozotje jezcze dokonć etmcj wrncj b. W tm celu korztm z fktu, że b ą welkoścm wznczonm bdnm pośredno wrncje obu prmetrów możem oblczć zgodne z r. 39c: b b / / / / 59 Wlczene pochodnch ne przedtw trudnośc. Odchlene tndrdowe wznczm korztjąc z defncj njlepzej etmt odchlen tndrdowego populcj, n podtwe prób. Zgodne z tą defncją, etmt jet równ lorzow um kwdrtów odchleń przez lczbę topn wobod. Ponewż lczb prmetrów, które wznczm b jet lczność prób węc lczb topn wobod wno - : 55 Po wlczenu pochodnch przekztłcench otrzmujem njbrdzej wrgodne etmt wrncj prmetrów: W orz W b, 56 W zdefnowne jk wżej. Rozwżm terz ogóln przpdek, ked odchlen tndrdowe ą różne dl różnch punktów pomrowch. Tk tucj wtąp wted gd, n przkłd, w trkce pomrów zmenm klę przrządu lub gd kl przrządu jet nelnow nepewnośc wnku ne ą jednkowe w cłm zkree pomrowm. W tkej tucj χ nleż lczć bezpośredno z r. 48. Wrunek r. 49 prowdz do ukłdu równń: