c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie

Podobne dokumenty
c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.

Stereometria (geometria przestrzenna)

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach

Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009

Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d.

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,

Teoria grafów i sieci 1 / 58

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

10a: Wprowadzenie do grafów

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wektory w przestrzeni

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010

Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach.

Minimalne drzewa rozpinaj ce

Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw

Zbiory i odwzorowania

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska

Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2

WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje

Przekroje Dedekinda 1

Metody dowodzenia twierdze«

Podstawowepojęciateorii grafów

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

Grafy. 3. G = (V, E ) jest podgrafem G = (V, G), je±li V V i E E. 4. G = (V, G) jest sum grafów G = (V, E ), G = (V, E ), je±li V = V V, E = E E.

12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Co i czym mo»na skonstruowa

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

Metodydowodzenia twierdzeń

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego

c Marcin Sydow Podstawy Grafy i Zastosowania Kod Prüfera 3: Drzewa Drzewa ukorzenione * Drzewa binarne Zastosowania Podsumowanie

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Algorytmy i struktury danych

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Materiaªy do Repetytorium z matematyki

Matematyka wspóªczesnego Pana Jourdain

Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.

Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Trochoidalny selektor elektronów

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

r = x x2 2 + x2 3.

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze

x y x y x y x + y x y

Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej.

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Ekstremalnie maªe zbiory

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Grafy i Zastosowania. 6: Najkrótsze ±cie»ki. c Marcin Sydow. Najkrótsze cie»ki. Warianty. Relaksacja DAG. Algorytm Dijkstry.

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów

Ukªady równa«liniowych

Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Algorytmiczna teoria grafów

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)

Geometria Algebraiczna

Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera

c Marcin Sydow Grafy i Zastosowania BFS DFS 4: Przeszukiwanie Grafów (BFS, DFS i zastosowania) DFS nieskierowane DFS skierowane Podsumowanie

Wzorce projektowe kreacyjne

O pewnym zadaniu olimpijskim

istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

Uogólnione drzewa Humana

Mierzalne liczby kardynalne

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski. Typeset by AMS-TEX

Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska

Teoria grafów i sieci 1 / 188

Transkrypt:

7:

Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej

Graf Planarny Graf planarny to taki graf, który mo»na narysowa na pªaszczy¹nie bez przeci kraw dzi. Rysunek taki nazywamy rysunkiem pªaskim (lub grafem pªaskim) Uwaga: graf planarny mo»e by narysowany w sposób, który niekoniecznie jest grafem pªaskim Uwaga: dowolny graf planarny prosty mo»na narysowa tak,»e wszystkie kraw dzie s odcinkami prostymi.

Zastosowania poj cia planarno±ci Przykªadowe zastosowania poj cia planarno±ci: Projektowanie bezkolizyjnych dróg, linii kolejowych, skrzy»owa«, etc. przy najmniejszej mo»liwej liczbie mostów, wiaduktów, etc. Projektowanie ukªadów elektronicznych i sposobów ich wykonania Algorytmy automatycznej wizualizacji (rysowania) grafów

Grafy Kuratowskiego Twierdzenie: Grafy K 5 i K 3,3 nie s planarne (tzw. grafy Kuratowskiego) (dowód polega na bezpo±rednim sprawdzeniu wszystkich mo»liwosci narysowania) Proste obserwacje: ka»dy podgraf grafu planarnego jest planarny graf zawieraj cy jako podgraf graf nieplanarny sam jest nieplanarny Wniosek: Je±li graf zawiera graf Kuratowskiego jako podgraf to jest nieplanarny. (warunek wystarczaj cy nieplanarno±ci)

Homeomorzm Dwa grafy s homeomorczne oba mo»na uzyska z pewnego grafu poprzez wstawianie wierzchoªków stopnia 2 wewn trz ich kraw dzi. Uwaga: homeomorzm pomi dzy grafami jest relacj równowa»no±ci. Interpretacja grafów wzajemnie homeomorcznych jest taka,»e s podobne topologicznie Uwaga: homeomorzm pochodzi z topologii (dziedzina matematyki) i oznacza wzajemnie jednoznaczn funkcj pomi dzy dwoma rozmaito±ciami tak, która jest ci gªa i jej odwrotno± te» jest ci gªa (czyli nie rozrywa ani nie skleja)

Twierdzenie Kuratowskiego Twierdzenie Kuratowskiego (1930): (charakteryzacja grafów planarnych) Graf jest planarny nie zawiera podgrafu homeomorcznego z K 5 ani z K 3,3 (dowód nie jest ªatwy) Graf G jest ±ci galny do grafu H H mo»na otrzyma przez kolejne ±ci gni cia kraw dzi grafu G. Twierdzenie (druga charakteryzacja planarno±ci): Graf jest planarny nie zawiera podgrafu ±ci galnego do K 5 ani do K 3,3 : pokaza,»e graf Petersena nie jest planarny (najpierw spróbowa z tw. Kuratowskiego a potem z drugiego twierdzenia)

Liczba przeci Liczba przeci cr(g) grafu G, to najmniejsza mo»liwa liczba przeci kraw dzi w dowolnym rysunku grafu G na pªaszczy¹nie. : cr(k 5 ) =?, cr(k 3,3 ) =? Liczba przeci mo»e by interpretowana jako miara nieplanarno±ci grafu (np. dla grafu planarnego G, cr(g) = 0, etc.) : graf Petersena, i K 4,3 ma liczb przeci równ 2

Grafy zewn trznie planarne Graf nazywamy zewn trznie planarnym mo»na go tak narysowa na pªaszczy¹nie bez przeci kraw dzi,»e wszystkie wierzchoªki le» na zewn trznym obrze»u. Twierdzenie: Graf jest zewn trznie planarny nie zawiera grafu homeomorcznego z K 4 ani K 2,3 ani ±ci galnego do»adnego z nich.

ciany grafu pªaskiego cian grafu pªaskiego nazywamy dowolny maksymalny obszar spójny nie b d cy cz ±ci grafu (kraw dzi ani wierzchoªkiem) w tym rysunku pªaskim. Jedyn ±cian nieograniczon nazywamy ±cian niesko«czon dla tego rysunku pªaskiego. Uwaga: to, która ±ciana jest niesko«czona w danym grae zale»y tylko od sposobu narysowania

Rzut stereograczny kªadziemy sfer na pªaszczy¹nie rysujemy dowolny obiekt na sferze (Uwaga: nie mo»na tylko rysowa po wierzchoªku sfery) rzut stereograczny stanowi cie«jaki rzucaªby rysunek gdyby umie±i punktowe ¹ródªo ±wiatªa w wierzchoªku sfery Zauwa»my,»e poprzez przesuni cie na sferze rysunku grafu tak, aby pewna ±ciana zawieraªa wierzchoªek sfery, czynimy j ±cian niesko«czon w rzucie na pªaszczy¹nie. istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiednio± mi dzy punktami sfery (poza wierzchoªkiem) a punktami pªaszczyzny okr gi przechodz c przez wierzchoªek odpowiadaj prostym na pªaszcy¹nie (nieprzecinaj ce si - prostym równolegªym), a inne okr gi - okr gom czemu na pªaszczy¹nie odpowiada wierzchoªek sfery?

Twierdzenie Eulera Twierdzenie (Euler, 1750): Je±li G jest dowolnym rysunkiem pªaskim spójnego grafu planarnego, to zachodzi nast puj cy wzór: n m + f = 2 gdzie: f to liczba ±cian w tym rysunku, m jest liczb kraw dzi, a n liczb wierzchoªków (dowód: ªatwy przez indukcj po liczbie kraw dzi, trywialnie dla drzew) Uwaga: twierdzenie powy»sze dziaªa tak»e dla grafów, które nie s proste

Twierdzenie Eulera, c.d. Twierdzenie powy»sze nazywane jest tak»e twierdzeniem o wielo±cianach (przez rzut stereograczny dziaªa tak»e dla grafów b d cych szkieletami wielo±cianów, gdzie ka»da ±ciana ograniczona jest wielok tem, które s 3-spójne) Wnioski: liczba ±cian nie zale»y od rysunku ka»da z liczb n, m, f jest jednoznacznie wyznaczona przez 2 pozostaªe (dla rysunków pªaskich grafów planarnych)

Ograniczenia liczby kraw dzi Z twierdzenia Eulera mo»na wyprowadzi u»yteczne wnioski o maksymalnej liczbie kraw dzi w spójnych grafach planarnych (oczywi±cie dotycz tylko grafów prostych) Wniosek (z tw. Eulera): je±li G jest spójnym, prostym grafem planarnym maj cym n 3 wierzchoªków, to: jego liczba kraw dzi m speªnia: m 3n 6 je±li ponadto G nie zawiera trójk tów C 3, to zachodzi: m 2n 4 dowód: dla ka»dej ±ciany zachodzi 2m 3f (a je±li nie ma trójk tów, to nawet 2m 4f ), gdy» ka»da ±ciana ograniczona jest przez co najmniej 3 kraw dzie (odpowiednio: 4 kraw dzie), a ka»da kraw d¹ rozdziela conajwy»ej 2 ±ciany. Teza wynika teraz z podstawienia do wzoru w twierdzeniu Eulera.

Dalsze wnioski Wniosek: Grafy K 5 i K 3,3 s nieplanarne. (wynika z poprzedniego wniosku) Twierdzenie: Ka»dy graf planarny prosty zawiera co najmniej jeden wierzchoªek stopnia niewi kszego ni» 5. (dowód: mo»na ograniczy do skªadowych spójnych o conajmniej 3 wierzchoªkach. Gdyby wszystkie stopnie byªy co najmniej 6, to dawaªoby 6n 2m, czyli 3n m, ale przecie» m 3n 6, co dawaªoby sprzeczno± )

Grubo± grafu Grubo± t(g) grafu G to najmniejsza liczba przezroczystych warstw zawieraj cych rysunki pªaskie podgrafów G, które zªo»one daªyby graf G. Jest to inna miara nieplanarno±ci grafu. (K 5, K 3,3, K 6 maj grubo± 2) Zagadnienie to ma zastosowania np. w elektronice. Grubo± oznacza na ilu co najmniej pªytkach trzeba drukowa dany ukªad scalony, aby przewody nie przecinaªy si (nie posiadaj one izolacji) Twierdzenie (G - prosty, n 3): t(g) m/(3n 6) t(g) (m + 3n 7)/(3n 6)

Mo»na rozpatrywa inne (rozmaito±ci topologiczne) ni» pªaszczyzna 2-wymiarowa, takie jak np. torus Okazuje si,»e liczba przeci cr(g) grafu mo»e zale»e od powierzchni na jakiej rysujemy graf. Fakt: grafy K 5 i K 3,3 daj si narysowa bez przeci na torusie

Genus powierzchni Powierzchnia ma genus wynosz cy g je±li jest homeomorczna ze sfer z doklejonymi g uchwytami Genus grafu to najni»szy mo»liwy genus powierzchni, na której mo»na dany graf narysowa bez przeci kraw dzi. (grafy Kuratowskiego maj genus 1) Twierdzenie: Genus grafu G jest niewi kszy od jego liczby przeci cr(g) (dowód: ka»dego potencjalnego przeci cia kraw dzi, mo»na unikn rysuj c jedn kraw d¹ na uchwycie a drug pod uchwytem, analogicznie do bezkolizyjnych skrzy»owa«)

Uogólnienie twierdzenia Eulera Twierdzenie: Je±li G jest spójnym grafem o genusie g to zachodzi: n m + f = 2 2g (idea dowodu wcale nie jest trudna - przez usuwanie uchwytów)- Uwaga: Istnieje te» ciekawe uogólnienie twierdzenia wynikaj cego z tw. Kuratowskiego mówi ce,»e dla ka»dego genusu g istnieje sko«czona liczba zabronionych podgrafów (tak jakich jak grafy Kuratowskiego dla genusu 0)

Graf geometrycznie dualny Graf (geometrycznie) dualny G do grafu pªaskiego G : zast pujemy ka»d ±cian G wierzchoªkiem w G ka»de 2 wierzchoªki w G ª czymy kraw dzi w G istnieje odpowiadaj ca im kraw d¹ w G, która rozgranicza odpowiednie ±ciany w G. Uwaga: je±li 2 ±ciany maj kilka kraw dzi rozgraniczaj cych to graf dualny nie jest prosty. Twierdzenie: Je±li G jest spójnym grafem pªaskim, to G (dualny do dualnego do G ), jest izomorczny z G.

cykli i rozci (obserwacja: graf dualny G ma dokªadnie tyle samo kraw dzi co G, a ±ciany zamieniaj role z wierzchoªkami) Twierdzenie: Je±li G jest planarny a G jest geometrycznie dualny do G, to dowolny zbiór kraw dzi w G tworzy cykl w G odpowiadaj cy mu zbiór kraw dzi w G stanowi rozci cie w G Wniosek: Ka»de rozci cie w G odpowiada cyklowi w G. Uwaga: powy»sze twierdzenie ma zwi zek z niezwykªymi wªasno±ciami dualno±ci cykli i rozci obserwowanymi w kontek±cie cykli i rozci fundamentalnych.

a graf abstrakcyjne dualny Graf G jest abstrakcyjne dualny do grafu G istnieje taka wzajemnie jednoznaczna relacja mi dzy zbiorami kraw dzi G i G,»e cykle w G odpowiadaj kraw dziom w G. Uwaga: jest to denicja niezale»na od rysunku grafu. Twierdzenie: G jest abstrakcyjne dualny do G G jest abstrakcyjne dualny do G Twierdzenie: Graf G jest planarny istnieje graf abstrakcyjnie dualny do G (Jest to alternatywna do twierdzenia Kuratowskiego charakteryzacja grafów planarnych)

Twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej

Przykªadowe wiczenia sprawdzi, czy dany (niewielki) graf jest planarny sprawdzi, czy dane grafy s homeomorczne lub jeden ±ci galny do drugiego oszacowa t(g), cr(g) dla danego grafu obliczyc liczb ±cian danego grafu planarnego wykona rzut stereograczny danego grafu znale¹ graf dualny do danego grafu

Dzi kuj za uwag