Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka"

Transkrypt

1 Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12

2 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów planarnych

3 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów planarnych

4 Na poczatek łamigłówka, 1917

5 Jak rysować grafy? Definicja Krzywa na płaszczyźnie nazywamy obraz ciagłego odwzorowaniaφ: [0, 1] R 2. Punkty φ(0) i φ(1) nazywamy końcami krzywej. Krzywa nazywamy zwykła (ang. simple), gdy φ (0,1] oraz φ [0,1) sa odwzorowaniami różnowartościowymi. Krzywa nazywamy zamknięta, gdy φ(0) = φ(1). Twierdzenie (o krzywej Jordana, 1887) Zwykła krzywa zamknięta dzieli płaszczyznę na dwa odrębne obszary i jest brzegiem każdego z nich.

6 Jak rysować grafy? Definicja Krzywa na płaszczyźnie nazywamy obraz ciagłego odwzorowaniaφ: [0, 1] R 2. Punkty φ(0) i φ(1) nazywamy końcami krzywej. Krzywa nazywamy zwykła (ang. simple), gdy φ (0,1] oraz φ [0,1) sa odwzorowaniami różnowartościowymi. Krzywa nazywamy zamknięta, gdy φ(0) = φ(1). Twierdzenie (o krzywej Jordana, 1887) Zwykła krzywa zamknięta dzieli płaszczyznę na dwa odrębne obszary i jest brzegiem każdego z nich.

7 Jak rysować grafy? II Definicja Rysunkiem (ang. drawing) grafu G = (V, E,γ) na płaszczyźnie nazywamy funkcję f określona na V E, która przyporzadkowuje wierzchołkom grafu różne punkty w R 2, zaś każdej krawędzi e E pewna krzywa zwykła o końcach w f γ(e). Dla e, e E, e e punkt z f(e) f(e ) który nie jest wspólnym końcem obu krzywych jest przecięciem krawędzi. Uwaga Aby uniknać trudności od strony topologii zamiast krzywych używa się łamanych. W tym wykładzie będziemy się odwoływać tylko do intuicji topologicznej, więc pozostaniemy przy pojęciu krzywej.

8 Jak rysować grafy? II Definicja Rysunkiem (ang. drawing) grafu G = (V, E,γ) na płaszczyźnie nazywamy funkcję f określona na V E, która przyporzadkowuje wierzchołkom grafu różne punkty w R 2, zaś każdej krawędzi e E pewna krzywa zwykła o końcach w f γ(e). Dla e, e E, e e punkt z f(e) f(e ) który nie jest wspólnym końcem obu krzywych jest przecięciem krawędzi. Uwaga Aby uniknać trudności od strony topologii zamiast krzywych używa się łamanych. W tym wykładzie będziemy się odwoływać tylko do intuicji topologicznej, więc pozostaniemy przy pojęciu krzywej.

9 Jak rysować grafy? Intuicja Przesuwajac rysunek krawędzi odrobinkę możemy zapewnić, aby żadne trzy krawędzie nie miały wspólnego przecięcia, aby żadne dwie nie były styczne i aby krawędzie nie przechodziły przez wierzchołki których końcami nie sa. Jeśli dwie krawędzie przecinaja się więcej niż raz łatwo można je zmienić, by zmniejszyć ilość przecięć (rysunek), więc założymy, że każde dwie krawędzie przecinaja się co najwyżej raz. Rozważać będziemy wyłacznie rysunki grafów o takich własnościach.

10 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów planarnych

11 Grafy planarne i grafy płaskie Definicja Graf G jest planarny (ang. planar) gdy istnieje jego rysunek na płaszczyźnie bez przecięć krawędzi. Grafem płaskim nazywamy taki rysunek grafu planarnego (dlaczego jest to graf?). Definicja Niech G będzie grafem płaskim. Ścianami/regionami (ang. face) nazywamy maksymalne zbiory otwarte i spójne, które nie zawieraja punktów należacych do V(G) e E. Skończony graf płaski ma jeden nieograniczony region (nazywany zewnętrznym)

12 Grafy planarne i grafy płaskie Definicja Graf G jest planarny (ang. planar) gdy istnieje jego rysunek na płaszczyźnie bez przecięć krawędzi. Grafem płaskim nazywamy taki rysunek grafu planarnego (dlaczego jest to graf?). Definicja Niech G będzie grafem płaskim. Ścianami/regionami (ang. face) nazywamy maksymalne zbiory otwarte i spójne, które nie zawieraja punktów należacych do V(G) e E. Skończony graf płaski ma jeden nieograniczony region (nazywany zewnętrznym)

13 Grafy dualne Definicja Grafem dualnym do grafu płaskiego G nazywamy taki graf G, którego zbiór wierzchołków tworza punkty po jednym z każdej ściany G. Krawędzie w G odpowiadają krawędziom w G jak następuje: jeśli krawędź e E(G) należy do brzegu obszarów X i Y, wówczas krawędź dualna e E(G ) łaczy wierzchołki x X i y Y, jeśli zaś krawędź e należy do brzegu jednego obszaru krawędź e jest pętla.

14 Grafy dualne Definicja Grafem dualnym do grafu płaskiego G nazywamy taki graf G, którego zbiór wierzchołków tworza punkty po jednym z każdej ściany G. Krawędzie w G odpowiadają krawędziom w G jak następuje: jeśli krawędź e E(G) należy do brzegu obszarów X i Y, wówczas krawędź dualna e E(G ) łaczy wierzchołki x X i y Y, jeśli zaś krawędź e należy do brzegu jednego obszaru krawędź e jest pętla.

15 Grafy dualne Obserwacja Graf dualny do grafu płaskiego jest planarny. Uwaga Przy bardziej formalnym podejściu w definicji grafu dualnego do sposobu rysowania jego krawędzi można uzyskać, że graf dualny do grafu płaskiego jest płaski. Można wówczas udowodnić, że dla każdego grafu płaskiego G zachodzi (G ) = G wtedy i tylko wtedy gdy G jest spójny. Uwaga Dwa grafy płaskie odpowiadające grafowi planarnemu G moga mieć nieizomorficzne grafy dualne.

16 Grafy dualne Obserwacja Graf dualny do grafu płaskiego jest planarny. Uwaga Przy bardziej formalnym podejściu w definicji grafu dualnego do sposobu rysowania jego krawędzi można uzyskać, że graf dualny do grafu płaskiego jest płaski. Można wówczas udowodnić, że dla każdego grafu płaskiego G zachodzi (G ) = G wtedy i tylko wtedy gdy G jest spójny. Uwaga Dwa grafy płaskie odpowiadające grafowi planarnemu G moga mieć nieizomorficzne grafy dualne.

17 Grafy dualne Definicja Niech G będzie grafem płaskim. Obwodem ściany (ang. face length) f nazywamy sumę długości najkrótszych zamkniętych spacerów w G po brzegach ściany f. Obserwacja Jeśli przez l(f) oznaczymy obwód ściany f w grafie płaskim G to 2 E(G) = i l(f i). Twierdzenie Niech G będzie grafem płaskim. Wówczas G jest dwudzielny wtedy i tylko wtedy, gdy G jest eulerowski.

18 Wzór Eulera Twierdzenie (Euler, 1758) Jeśli G jest spójnym grafem płaskim i G ma n wierzchołków m krawędzi i f ścian, to: Wniosek n m+f = 2. Jeśli G jest grafem płaskim i G ma n wierzchołków m krawędzi i f ścian i k spójnych składowych to n m+f = k + 1.

19 Wzór Eulera Twierdzenie (Euler, 1758) Jeśli G jest spójnym grafem płaskim i G ma n wierzchołków m krawędzi i f ścian, to: Wniosek n m+f = 2. Jeśli G jest grafem płaskim i G ma n wierzchołków m krawędzi i f ścian i k spójnych składowych to n m+f = k + 1.

20 Wzór Eulera dalsze wnioski Twierdzenie Jeśli G jest prostym grafem planarnym o najmniej trzech wierzchołkach wówczas E(G) 3 V(G) 6. Co więcej, jeśli w G nie ma trójkatów to E(G) 2 V(G) 4. Wniosek Grafy K 5 i K 3,3 nie sa planarne. Wniosek Każdy prosty graf planarny ma wierzchołek o stopniu co najwyżej 5 (3, jeśli graf jest bez trójkatów).

21 Wzór Eulera dalsze wnioski Twierdzenie Jeśli G jest prostym grafem planarnym o najmniej trzech wierzchołkach wówczas E(G) 3 V(G) 6. Co więcej, jeśli w G nie ma trójkatów to E(G) 2 V(G) 4. Wniosek Grafy K 5 i K 3,3 nie sa planarne. Wniosek Każdy prosty graf planarny ma wierzchołek o stopniu co najwyżej 5 (3, jeśli graf jest bez trójkatów).

22 Wzór Eulera dalsze wnioski Twierdzenie Jeśli G jest prostym grafem planarnym o najmniej trzech wierzchołkach wówczas E(G) 3 V(G) 6. Co więcej, jeśli w G nie ma trójkatów to E(G) 2 V(G) 4. Wniosek Grafy K 5 i K 3,3 nie sa planarne. Wniosek Każdy prosty graf planarny ma wierzchołek o stopniu co najwyżej 5 (3, jeśli graf jest bez trójkatów).

23 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów planarnych

24 Minory topologiczne i minory Definicja Niech G = (V, E,γ) będzie grafem, zaś e E jego krawędzia o końcach u i v. Podziałem topologicznym (ang. subdivision) krawędzi e nazywamy graf Ge = (V {w}, E \{e} {e 1, e 2 },γ ) powstały przez zastapienie krawędzi e ścieżka (u, e 1, w, e 2, v). Podziałem topologicznym grafu G nazwiemy dowolny graf X powstały przez (być może wielokrotne) podziały topologiczne krawędzi. O grafie G powiemy wtedy, że jest minorem topologicznym dowolnego nadgrafu X. Definicja Niech G = (V, E,γ) będzie grafem, zaś e E jego krawędzia o końcach u i v. Ściagnięciem (ang. contraction) krawędzi e nazywamy graf G/e = (V \{u, v} {w}, E \{e},γ ), w którym krawędzie majace w grafie G końce w u lub v maja odpowiednie końce w w. Graf X jest minorem grafu G, gdy graf izomorficzny z X można uzyskać przez (być może powtarzane) operacje ściagania (ang. contraction) krawędzi pewnego podgrafu G.

25 Minory topologiczne i minory Obserwacja Każdy minor topologiczny grafu G jest także minorem. Obserwacja Dowolny podział topologiczny grafu nieplanarnego jest nieplanarny. Zatem minory topologiczne grafu planarnego sa planarne. Wniosek Dowolny podział topologiczny grafów K 5 i K 3,3 jest nieplanarny. Obserwacja Podobny fakt zachodzi dla (zwykłych) minorów. Zatem żaden graf planarny nie ma minora izomorficznego z K 5 ani K 3,3.

26 Minory topologiczne i minory Obserwacja Każdy minor topologiczny grafu G jest także minorem. Obserwacja Dowolny podział topologiczny grafu nieplanarnego jest nieplanarny. Zatem minory topologiczne grafu planarnego sa planarne. Wniosek Dowolny podział topologiczny grafów K 5 i K 3,3 jest nieplanarny. Obserwacja Podobny fakt zachodzi dla (zwykłych) minorów. Zatem żaden graf planarny nie ma minora izomorficznego z K 5 ani K 3,3.

27 Minory topologiczne i minory Obserwacja Każdy minor topologiczny grafu G jest także minorem. Obserwacja Dowolny podział topologiczny grafu nieplanarnego jest nieplanarny. Zatem minory topologiczne grafu planarnego sa planarne. Wniosek Dowolny podział topologiczny grafów K 5 i K 3,3 jest nieplanarny. Obserwacja Podobny fakt zachodzi dla (zwykłych) minorów. Zatem żaden graf planarny nie ma minora izomorficznego z K 5 ani K 3,3.

28 Twierdzenie Kuratowskiego Twierdzenie (Kuratowski, 1930) Graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podziału topologicznego grafów K 5 ani K 3,3. Ekwiwalentne twierdzenie można wyrazić w języku minorów. Twierdzenie (Wagner, 1937) Graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy ani K 5 ani K 3,3 nie sa minorami G.

29 Twierdzenie Kuratowskiego Twierdzenie (Kuratowski, 1930) Graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podziału topologicznego grafów K 5 ani K 3,3. Ekwiwalentne twierdzenie można wyrazić w języku minorów. Twierdzenie (Wagner, 1937) Graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy ani K 5 ani K 3,3 nie sa minorami G.

30 Hipoteza Wagnera Twierdzenie (Robertson, Seymour ) Każdy nieskończony ciag skończonych grafów G 0, G 1, G 2,... zawiera takie dwa grafy G i, G j (gdzie i < j), że G i jest minorem G j. Dowód w 20 artykułach łacznie 500 stron. Z twierdzenia wynika, że dowolna własność grafów zamknięta na relację bycia minorem może zostać scharakteryzowana przez skończony zbiór zabronionych minorów. Np. grafy planarne przez K 5 i K 3,3. Dla grafów zanurzalnych na torusie ponad 800 znanych.

31 Hipoteza Wagnera Twierdzenie (Robertson, Seymour ) Każdy nieskończony ciag skończonych grafów G 0, G 1, G 2,... zawiera takie dwa grafy G i, G j (gdzie i < j), że G i jest minorem G j. Dowód w 20 artykułach łacznie 500 stron. Z twierdzenia wynika, że dowolna własność grafów zamknięta na relację bycia minorem może zostać scharakteryzowana przez skończony zbiór zabronionych minorów. Np. grafy planarne przez K 5 i K 3,3. Dla grafów zanurzalnych na torusie ponad 800 znanych.

32 Hipoteza Wagnera Twierdzenie (Robertson, Seymour ) Każdy nieskończony ciag skończonych grafów G 0, G 1, G 2,... zawiera takie dwa grafy G i, G j (gdzie i < j), że G i jest minorem G j. Dowód w 20 artykułach łacznie 500 stron. Z twierdzenia wynika, że dowolna własność grafów zamknięta na relację bycia minorem może zostać scharakteryzowana przez skończony zbiór zabronionych minorów. Np. grafy planarne przez K 5 i K 3,3. Dla grafów zanurzalnych na torusie ponad 800 znanych.

33 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów planarnych

34 Kolorowanie mapy Ile kolorów wystarczy, żeby pokolorować każda (spójna) mapę?

35 Kolorowanie mapy Hipoteza (1852 ) Wystarcza 4 kolory. Ile kolorów wystarczy, żeby pokolorować każda (spójna) mapę?

36 Kolorowanie mapy Hipoteza (1852 ) Wystarcza 4 kolory. Twierdzenie (1977,1996 ) Każda spójna mapa jest 4-kolorowalna. Ile kolorów wystarczy, żeby pokolorować każda (spójna) mapę?

37 Kolorowanie mapy Hipoteza (1852 ) Wystarcza 4 kolory. Twierdzenie (1977,1996 ) Każda spójna mapa jest 4-kolorowalna. Ile kolorów wystarczy, żeby pokolorować każda (spójna) mapę?

38 Kolorowanie grafów planarnych Hipoteza (F. Guthrie, 1852) Każda spójna mapa jest 4-kolorowalna. Ślad w liście de Morgana do Hamiltona. Twierdzenie (Kempe, 1879) Każdy graf planarny jest 4-kolorowalny. Bład w dowodzie (1890). Twierdzenie (Heawood, 1890) Każdy graf planarny jest 5-kolorowalny.

39 Kolorowanie grafów planarnych Hipoteza (F. Guthrie, 1852) Każda spójna mapa jest 4-kolorowalna. Ślad w liście de Morgana do Hamiltona. Twierdzenie (Kempe, 1879) Każdy graf planarny jest 4-kolorowalny. Bład w dowodzie (1890). Twierdzenie (Heawood, 1890) Każdy graf planarny jest 5-kolorowalny.

40 Kolorowanie grafów planarnych Hipoteza (F. Guthrie, 1852) Każda spójna mapa jest 4-kolorowalna. Ślad w liście de Morgana do Hamiltona. Twierdzenie (Kempe, 1879) Każdy graf planarny jest 4-kolorowalny. Bład w dowodzie (1890). Twierdzenie (Heawood, 1890) Każdy graf planarny jest 5-kolorowalny.

41 Kolorowanie grafów planarnych Twierdzenie (Appel,Haken,Koch 1977) Każdy graf planarny jest 4-kolorowalny. Dowód opierał się na pomyśle Kempe a i późniejszych próbach poprawy jego dowodu. Wymagał użycia komputera. Nowy dowód Robertson, Sanders, Seymour, Thomas [1996]. Zmniejszenie ilości przypadków wymagajacych wsparcia komputera. Publikacja kodu w internecie.

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Wykłady z Matematyki Dyskretnej Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów, cz. 2

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów, cz. 2 Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów, cz. 2 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12

Bardziej szczegółowo

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki,

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 Twierdzenie Dla grafu prostego następujące warunki są równoważne: 1) jest drzewem, 2) nie zawiera cykli i ma krawędzi, 3)

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski. Typeset by AMS-TEX

TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski. Typeset by AMS-TEX TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski 20 Typeset by AMS-TEX 8. GRAFY PLANARNE. 8.1. Grafy p laskie i planarne. TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. 21 Mówimy, że graf jest uk ladalny

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz

Bardziej szczegółowo

Cała prawda o powierzchniach

Cała prawda o powierzchniach Topologia Właściwości geometryczne, niezmiennicze przy ciagłych deformacjach Można: rozciagać giać Nie można: rozcinać złamać Jednak można rozciać wzdłuż linii, a potem skleić wzdłuż tejże linii: rozwiazać

Bardziej szczegółowo

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych. SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy

Bardziej szczegółowo

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska. Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Opracowanie prof. J. Domsta 1 Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej

Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej 11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów 17 maja 2012 1 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność 2 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące

Bardziej szczegółowo

O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO...

O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... Bogusław Uniwersytet Warmińsko Mazurski Olsztyn, 23.05.2016 Problem Czy można przejść wszystkie mosty przechodzac przez

Bardziej szczegółowo

Wojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r.

Wojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r. 1 O KOLOROWANIU Wojciech Guzicki Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r. W. Guzicki: O kolorowaniu 2 KILKA ZADAŃ OLIMPIJSKICH NA DOBRY POCZĄTEK W. Guzicki: O kolorowaniu 3 Zadanie

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów. Magdalena Lemańska

Teoria grafów. Magdalena Lemańska Teoria grafów Magdalena Lemańska Literatura Aspekty kombinatoryki Victor Bryant Graph Theory V.K. Balakrishnan Fundamentals of domination in graphs T. Haynes, S. Hedetniemi, P. Slater Wstęp Graf Grafem

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Polowanie na Snarka. Męczarnia w trzech konwulsjach

Polowanie na Snarka. Męczarnia w trzech konwulsjach Polowanie na Snarka 2009. Męczarnia w trzech konwulsjach Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XLIII Szkole Matematyki Poglądowej, Wbrew intuicji, Grzegorzewice, sierpień Zofia MIECHOWICZ, Zielona Góra

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna

Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Q1.: Mamy dany zbiór artykułów, z których każdy ma co najmniej k z n możliwych tagów. Chcemy bardzo z grubsza pokategoryzować artykuły w jak najmniejszą

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW

ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Łukasz Janus 10B2 ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Elementarne deformacje węzła Równoważność węzłów Węzły trywialne Ruchy Reidemeistera Twierdzenie o równoważności węzłów Grafy Powtórzmy Diagram węzła Węzły reprezentuje

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia teorii grafów ćwiczenia 1

Wybrane zagadnienia teorii grafów ćwiczenia 1 Wybrane zagadnienia teorii grafów ćwiczenia 1 WQO, minory well quasi orderings Przypomnijmy: porządek częściowy (X, ) jest WQO, jeśli w każdym nieskończonym ciągu x 1, x 2,... istnieje para indeksów i

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 5.Grafy.

Matematyka dyskretna - 5.Grafy. Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

Matematyczne kolorowanki. Tomasz Szemberg. Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016

Matematyczne kolorowanki. Tomasz Szemberg. Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016 Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016 Gra wstępna Dany jest prostokąt podzielony na 8 pól. Gracze zamalowują pola na zmianę. Jeden na kolor czerwony, a drugi na kolor niebieski. Gra wstępna Dany

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/

Bardziej szczegółowo

Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne

Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne Ścieżka lub droga w grafie [digrafie] G nazywamy dowolny ciag d = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ), gdzie n N {0}, a i V G,

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową

Bardziej szczegółowo

6d. Grafy dwudzielne i kolorowania

6d. Grafy dwudzielne i kolorowania 6d. Grafy dwudzielne i kolorowania Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w6d. Krakowie) Grafy dwudzielne i kolorowania zima

Bardziej szczegółowo

Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp. autor: Łukasz Chlebda

Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp. autor: Łukasz Chlebda Segmentacja obrazów cyfrowych Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp autor: Łukasz Chlebda 1 Segmentacja obrazów cyfrowych - temat pracy Temat pracy: Aplikacja do segmentacji

Bardziej szczegółowo

Matematyka od zaraz zatrudnię

Matematyka od zaraz zatrudnię Uniwersytet Jagielloński Gdzie jest matematyka? Soczewka, 26-28 listopada 2010 Kolorowanie grafów Dobre kolorowanie wierzchołków grafu, to nadanie im kolorów w taki sposób, że każde dwa wierzchołki połaczone

Bardziej szczegółowo

Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne

Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne Piotr Suwara 9 czerwca 2013 Nie ma wyznaczonego progu na kwalifikację na zajęcia. Gorąco zachęcam do wysyłania rozwiązań dużo przed terminem wtedy będzie

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na

Bardziej szczegółowo

O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO...

O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... Bogusław Uniwersytet Warmińsko Mazurski Olsztyn, 30.09.2015 Problem Czy można przejść wszystkie mosty przechodzac przez

Bardziej szczegółowo

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie grafów planarnych, discharging

Kolorowanie grafów planarnych, discharging Wykład 6 (12.04.2013) Opracował: Krzysztof Węsek Kolorowanie grafów planarnych, discharging 1 Przykłady dischargingu Standardowo będziemy oznaczać dla grafu G i jego rysunku planarnego (graf i rysunek

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.

Bardziej szczegółowo

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34 Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Grinberga i jego zastosowania

Twierdzenie Grinberga i jego zastosowania UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU WYDZIAŁ MATEMATYKI I INFORMATYKI Maria Gabriela Dokurno Kierunek: matematyka Numer albumu: 407539 Twierdzenie Grinberga i jego zastosowania Grinberg s theorem

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Z twierdzenia Pitagorasa mamy więc: =1 3 4 =1 4, CE 2 =AC 2 AE 2 =1 2. skądwynika,żece= 1 2.ZatemCD=1.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy więc: =1 3 4 =1 4, CE 2 =AC 2 AE 2 =1 2. skądwynika,żece= 1 2.ZatemCD=1. O kolorowaniu Wojciech Guzicki. Kilka zadań na początek Kolorowanie jest częstym tematem zadań o charakterze olimpijskim. Na początku tego wykładu pokażę 0 takich zadań; większość(dokładniej: wszystkie

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo