Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna ( ) cos 7cos = cos 7cos = Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą, np t = cos, gdzie t, Otrzymujemy równanie kwadratowe t 7t = Rozwiązujemy równanie kwadratowe Δ= 9 = Δ= 7 7 t = = t = = Odrzucamy rozwiązanie t =, ponieważ, Rozwiązujemy równanie cos = Zapisujemy rozwiązania równania w podanym przedziale = π lub = π Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej, np: cos 7cos = lub cos 7cos = Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np t = cos, zapisanie równania w postaci t 7 t = lub t 7 t = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Rozwiązanie równania kwadratowego ( t = lub t = ) i odrzucenie rozwiązania t = Uwaga: Zdający może od razu rozwiązywać równanie kwadratowe (w którym niewiadomą jest cos ) i zapisać rozwiązanie w postaci cos = lub cos = oraz zapisać, że równanie cos =jest sprzeczne
Rozwiązanie pełne pkt Rozwiązanie równania w podanym przedziale: = π lub = π = lub = Uwagi Jeżeli zdający podstawia cos = sin bez żadnych założeń, to otrzymuje punktów Jeżeli zdający podniesie obie strony równania cos = 7cos do kwadratu i potem nie sprawdza rozwiązań, to otrzymuje punktów Nie wymagamy, aby zdający zapisał warunek np t,, o ile z dalszego ciągu rozwiązania wynika, że zdający uwzględnia go Jeżeli zdający rozwiąże poprawnie równanie kwadratowe i na tym zakończy, nie odrzucając rozwiązania t =, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania kwadratowego i otrzyma dwa rozwiązania, z których co najmniej jedno należy do przedziału, i konsekwentnie rozwiąże oba równania w podanym przedziale, to otrzymuje punkty 6 Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązanie równania trygonometrycznego: = π kπ, = π kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą, to otrzymuje punkty Zadanie ( pkt) Rozwiąż nierówność > I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),, ),, ) Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności (, ), ), ) > > > > > > > Wyznaczamy część wspólną otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami, (, ), ) i bierzemy sumę tych przedziałów:, (, )
II sposób rozwiązania: zapisanie czterech przypadków Zapisujemy cztery przypadki: Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przypadkach: > > > ), > > ( ), niemożliwe > >, Podajemy odpowiedź: ( ),, Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały ( ) ) ),,,,, zapisze cztery przypadki: Uwaga: Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, ale nie są one konsekwencją błędu rachunkowego popełnionego przy przekształcaniu nierówności, to przyznajemy punktów Podobnie punktów otrzymuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach np: I ( ), > II ), > III ), >
Uwagi: Jeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach, stwierdzi, że czwarty przypadek jest niemożliwy i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje punkty Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, stwierdzi, że czwarty jest niemożliwy, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca Rozwiązanie bezbłędne pkt Zdający zapisze odpowiedź, (, ) Uwaga: We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre (przedziały obustronnie domknięte) Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre (przedziały otwarte) to przyznajemy za całe zadanie o pkt mniej, niż gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie Jeżeli zdający przy przekształcaniu nierówności podanej w treści zadania popełni błąd (np ( ) > ), to otrzymuje punkt mniej niż przewidziany w schemacie w danej kategorii rozwiązania III sposób rozwiązania: graficznie > Rysujemy wykres funkcji f ( ) = i prostą o równaniu y = Wyróżniamy przedziały: (, ),, ),, ) Zapisujemy wzór funkcji w poszczególnych przedziałach, np, f = I ( ) ( ) II ) ( ) III ) ( ), f =, f = Przekształcamy wzór funkcji w poszczególnych przedziałach do postaci, np, f = I ( ) ( ) II ) ( ) III ) ( ), f =, f =
Zapisujemy wzór funkcji, np dla (, ) f ( ) = dla,) dla, ) Rysujemy wykres funkcji f i prostą o równaniu y = f ( ) 9 8 7 6 y = 7-6 - - - - - 6 Odczytujemy odcięte punktów przecięcia wykresu funkcji z prostą o równaniu y = : =, = Zapisujemy argumenty, dla których f ( ) > :, (, ) Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały (, ),, ),, ) Uwaga: Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to przyznajemy punktów za całe zadanie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze wzór funkcji w poszczególnych przedziałach, np
I ( ) ( ), f =, f = II ) ( ) III ) ( ), f = lub ( ) ( ) dla, f = dla,) dla, ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu y = Rozwiązanie bezbłędne pkt Zdający poda odpowiedź:, (, ) Uwaga: We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać przedziały obustronnie domknięte Jeżeli natomiast rozważy wszystkie przedziały otwarte, to przyznajemy za całe zadanie o punkt mniej, niż gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie IV sposób rozwiązania: graficznie Zapisujemy nierówność > w postaci, np > Rysujemy wykresy funkcji: y =, y = Odczytujemy odcięte punktów przecięcia się wykresów funkcji: 6 =, = y = y = - - - - 6 7 8 - Zapisujemy odpowiedź:, (, ) 6
V sposób rozwiązania: graficznie Zapisujemy nierówność > w postaci, np > Rysujemy wykresy funkcji: y =, y = Odczytujemy odcięte punktów przecięcia się wykresów funkcji: 6 =, = y = y = - - - - - 6 - Zapisujemy odpowiedź:, (, ) Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze nierówność w postaci > lub > i narysuje wykres funkcji, np y = lub y = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający narysuje wykresy funkcji: y = i y = lub y = i y = Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Zdający narysuje poprawnie wykresy funkcji i błędnie wyznaczy odcięte jednego z punktów przecięcia się wykresów funkcji (np = lub = ) i konsekwentnie poda odpowiedź Rozwiązanie pełne pkt Zapisanie odpowiedzi:, (, ) 7
Zadanie ( pkt) Dane są punkty A= (, ), B= ( 9, ) i prosta k o równaniu y = Oblicz współrzędne punktu C leżącego na prostej k, dla którego suma Rozwiązanie AC BC jest najmniejsza 9 y 8 7 y = 6 A = (, ) C = (, ) B = ( 9, ) - 6 7 8 9 Punkt C leży na prostej k, więc ma współrzędne: = (, ) C Wyznaczamy kwadraty odległości punktu C od punktów A i B: = ( ) ( ), BC = ( 9) ( ) AC Określamy wzór funkcji jednej zmiennej będącej sumą kwadratów odległości punktu C od punktów A i B: f ( ) = ( ) ( ) ( 9) ( ), po uporządkowaniu otrzymujemy: f ( ) = Wyznaczamy argument, dla którego wartość tej funkcji jest najmniejsza: = Obliczamy rzędną punktu C: y = Odpowiedź: Współrzędne punktu C = (,) Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt C =, Zapisanie współrzędnych punktu C leżącego na prostej k : ( ) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie zależności z jedną niewiadomą określającej kwadraty odległości punktu A od C lub odległości punktu B od C (lub odległości) : 8
= ( ) ( ) lub BC = ( 9) ( ) AC ( AC = ( ) ( ) lub = ( 9) ( ) BC ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Określenie wzoru funkcji jednej zmiennej będącej sumą kwadratów odległości punktu C od punktów A i B: f ( ) = ( ) ( ) ( 9) ( ) lub f ( ) = Uwagi: Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu jednej z odległości AC lub BC i na tym poprzestanie, to otrzymuje punkty Rozwiązanie pełne pkt Wyznaczenie współrzędnych punktu C: C = (,) Uwaga: Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu jednej z odległości AC lub BC i rozwiązanie doprowadzi do końca, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający obliczy odciętą wierzchołka paraboli o równaniu y = tj pierwszą współrzędną punktu C i na tym zakończy lub błędnie obliczy jego drugą współrzędną, to otrzymuje punkty Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ( m ) m m= ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od m Rozwiązanie Zapisujemy układ warunków: Δ> m Obliczamy wyróżnik: Δ = m 8m 6 i rozwiązujemy nierówność Δ > m, Zapisujemy warunek m w postaci nierówności z jedną niewiadomą: m m m m > Doprowadzamy nierówność do postaci m m m > ( )( ) Otrzymujemy m (, ) Zatem m (, ) 9
Schemat oceniania Rozwiązanie zadania składa się z trzech części a) Pierwsza polega na rozwiązaniu nierówności Δ > : m, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt Uwaga: Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność Δ, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga polega na rozwiązaniu nierówności rozwiązania zdający otrzymuje punkty m, m (, ) Za tę część c) Trzecia polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z a) i b) Za poprawne rozwiązanie trzeciej części zdający otrzymuje punkt W ramach drugiej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisanie nierówności m w postaci równoważnej m m wykorzystanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego i zapisanie nierówności m m 8m 6 m m 8m 6 m Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania pkt Doprowadzenie nierówności do postaci ( m )( m m ) > lub wyznaczenie pierwiastków wielomianu zapisanego po lewej stronie nierówności Rozwiązanie bezbłędne części b) pkt m, Rozwiązanie nierówności: ( ) Rozwiązanie pełne pkt m, Wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności i zapisanie odpowiedzi ( ) Uwaga Jeżeli zdający popełni jeden błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań obu nierówności, to otrzymuje punkty
Zadanie ( pkt) Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem f ( ) = i na jego podstawie wyznacz liczbę rozwiązań równania f ( ) = m w zależności od wartości parametru m Rozwiązanie Zapisujemy wzór funkcji f w postaci dla, ) f ( ) = dla (,) Szkicujemy wykres otrzymanej funkcji f : y 8 6-9 -8-7 -6 - - - - - 6 7 8 9 - - -6 Z wykresu funkcji f odczytujemy liczbę rozwiązań równania f ( ) = m: dla m (, ) dla m { } (, ) dla m = dla m, ( ) Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt dla zapisanie funkcji f na przykład w postaci: f( ) = dla stwierdzenie, że wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Oy lub stwierdzenie równoważne
Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Narysowanie wykresu funkcji f y 8 6-9 -8-7 -6 - - - - - 6 7 8 9 - - -6 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania pkt zdający popełni jeden błąd w ustalaniu liczby rozwiązań równania f ( ) = m zdający błędnie wyznaczy miejsca zerowe lub współrzędne wierzchołka paraboli, ale wykres funkcji ma trzy punkty wspólne z osią O i jest symetryczny względem osi Oy i konsekwentnie do popełnionego błędu poda liczbę rozwiązań równania Rozwiązanie bezbłędne pkt Podanie liczby rozwiązań na przykład w postaci: dla m (, ) dla m { } (, ) dla m = dla m (,) Zadanie 6 Wykaż, że nierówność rzeczywiste a i b ( pkt) a b a b jest spełniona przez wszystkie liczby Rozwiązanie Obie strony nierówności a b a b podnosimy do czwartej potęgi, uzyskując ( ) równoważną nierówność postaci: a b a a b b a b, czyli Stąd wnioskujemy, że dana w zadaniu nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych a i b
Schemat oceniania: Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt a b a a b b Doprowadzenie nierówności do postaci Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a b a a b b Doprowadzenie nierówności do postaci, z której łatwo wywnioskować, że jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste a i b, np ( a b ) Rozwiązanie bezbłędne pkt Uwaga: Mogą być rozwiązania, w których zdający od razu napisze, że średnia potęgowa stopnia jest niemniejsza od średniej kwadratowej (średniej potęgowej stopnia ), bo im wyższy stopień, tym większa średnia Należy wtedy przyznać pkt Zadanie 7 ( pkt) Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 6 Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną Rozwiązanie: Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku Objętość graniastosłupa jest równa A E a V = H, B a pole powierzchni bocznej H Pb = a H Stąd i z treści zadania otrzymujemy układ równań a H = α C ah = 6 A a Jego rozwiązaniem jest a = D B H = Obliczamy sinus kąta α nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej : sinα = EC BC Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BCC mamy BC = a H = =, a ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego a EC = = =, więc sinα = C
Schemat oceniania: Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zapisanie układu równań umożliwiającego obliczenie długości krawędzi graniastosłupa (a- krawędź podstawy, H- krawędź boczna): a H = ah = 6 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt a = Rozwiązanie układu równań: H = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt EC h Zapisanie sinα = (lub zapisanie sin α w innej równoważnej postaci np sin α =, BC d h wysokość trójkąta, d przekątna ściany bocznej) Rozwiązanie bezbłędne pkt Obliczenie sin α = Uwagi: Jeżeli zdający narysuje graniastosłup i zaznaczy na nim kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej i na tym poprzestanie, to przyznajemy punkt Jeżeli zdający nie zapisze układu równań lub zapisze go błędnie, ale określi a h sinα = (lub zapisze sin α w innej równoważnej postaci np sin α =, a H d h wysokość trójkąta, d przekątna ściany bocznej) i na tym poprzestanie, to przyznajemy punkty Jeżeli zdający rozwiąże układ równań bezbłędnie i narysuje graniastosłup z zaznaczonym na nim kątem nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej i na tym poprzestanie, to przyznajemy punkty Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w rozwiązaniu układu równań i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to przyznajemy punkty
Zadanie 8 ( pkt) Odcinek CD jest zawarty w dwusiecznej kąta ACB trójkąta ABC Kąty trójkąta ABC mają miary: CAB =, ABC = 78 Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie C przecina prostą AB w punkcie E (zobacz rysunek) Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta CDE C 78 A D B E Rozwiązanie C O 78 A D B E ( 8 78 DCB = ACB = ) = CDE = 8 ( 78 ) = 7 Kąt COB jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku, co kąt CAB, więc COB = 8 Trójkąt COB jest równoramienny stąd OCB = 8 BCE = 9 OCB = Do obliczenia miary tego kąta możemy też wykorzystać twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą DCE = DCB BCE = = 7 ( ) CED = 8 CDE DCE = 8 = 6 Odpowiedź: Miary kątów trójkąta CDE to CDE = 7, DCE = 7, CED = 6
Schemat oceniania: Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Obliczenie miary kąta CDE: CDE = 7 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie miar kątów COB i OCB, gdzie O jest środkiem okręgu COB = 8, OCB = 8 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie miary kąta BCE: BCE = Rozwiązanie bezbłędne pkt Obliczenie miar kątów trójkąta CDE: CDE = 7, DCE = 7, CED = 6 Zadanie 9 ( pkt) Liczby,,,,, 6, 7, 8 ustawiamy losowo w szeregu Oblicz prawdopodobieństwo, że w tym ustawieniu suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego I sposób rozwiązania Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie permutacje zbioru {,,,,,6,7,8} Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne, mamy model klasyczny, Ω= 8! Zauważmy, że zdarzenie A - suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, zachodzi, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste A Stąd A =!! A = 8 i P( A ) = = Ω Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt zdający obliczy Ω= 8! zdający zauważy, że suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający obliczy Ω = 8! i zauważy, że suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający obliczy Ω = 8! i A =!! A = 8 i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie 6
Rozwiązanie bezbłędne pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo i poda wynik w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego: P ( A) = Uwagi: Jeżeli zdający zapisze A =!! i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo P ( A) = 7, to przyznajemy punkty Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy nie poda wyniku w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego, to przyznajemy punkty II sposób rozwiązania Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie podzbiory czteroelementowe zbioru {,,,,,6,7,8} (numery miejsc, na których stoją liczby parzyste (nieparzyste)) Zdarzenia 8 jednoelementowe są równoprawdopodobne, mamy model klasyczny, Ω= Zauważmy, że zdarzenie A - suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, zachodzi, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste A Stąd A = i P( A ) = = Ω Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt zdający zauważy, że aby rozwiązać zadanie, wystarczy znać numery miejsc, na których 8 stoją liczby parzyste (nieparzyste) i obliczy Ω= zdający zauważy, że suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt 8 Zdający obliczy Ω= i zauważy, że suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt 8 Zdający obliczy Ω= i A = i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie 7
Rozwiązanie pełne pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo i poda wynik w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego: P ( A) = Uwagi: Jeżeli zdający zapisze A = i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo P ( A) = 7, to przyznajemy punkty Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy lub nie poda wyniku w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego, to przyznajemy punkty Zadanie (6 pkt) Punkt A = (, ) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu równym Punkt S = (, ) jest środkiem symetrii tego rombu Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu I sposób rozwiązania (środek symetrii rombu) D = ( 8,7) Y C = (,) S = (, ) y = 7 7 - - - B = (,) X - A = (, ) Przekątne rombu są względem siebie prostopadłe i dzielą się na połowy Znając współrzędne punktu A oraz środka symetrii rombu S obliczamy współrzędne punktu C A C y A yc S = ys = = y = = C = C Punkt C ma współrzędne (,) ( ) Obliczamy długość przekątnej AC: AC = Z wzoru na pole rombu obliczamy długość przekątnej BD = BD BD = BD Niech B = ( y, ), BS = = oraz BS = ( ) ( y ) Punkt B leży na prostej o równaniu 7y = Wyznaczam współrzędne punktów B i D: 8
( ) ( y ) ( ) = 7y = ( y ) ( y ) = 7 = 7y ( y) ( y ) 8 7 = ( y) ( y ) 7 = ( y ) ( y ) 9 = ( y ) = ( y ) = 9 y = lub y = y = 7 y = lub = 8 = lub ( ) ( y) ( ) = y = 7 7 7 7 ( ) = 6 8 9 6 = = 8 lub = y = 7 y = lub = 8 = ( 9 6) = Współrzędne pozostałych wierzchołków rombu: B = (,), = ( 8,7) D Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Obliczenie współrzędnych wierzchołka C oraz długości przekątnej AC (lub jej połowy): (,) C =, = AC ( = ) AS Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć współrzędne punktów B i D: ( ) ( y ) ( ) = 7y = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Przekształcenie układu do równania kwadratowego z jedną niewiadomą, np ( y) ( y ) 8 7 = Rozwiązanie pełne 6 pkt =, =, D = 8,7 Współrzędne pozostałych wierzchołków rombu: B ( ), C ( ), ( ) Odpowiedź: Współrzędne pozostałych wierzchołków rombu: B = (,), = (,) D = ( 8,7) C, 9
II sposób rozwiązania (iloczyn skalarny) Przekątne rombu są względem siebie prostopadłe i dzielą się na połowy Znając współrzędne punktu A oraz środka symetrii rombu S obliczamy współrzędne punktu C A C y A yc S = ys = = y = = C = C Punkt C ma współrzędne (,) ( ) Obliczamy długość przekątnej AC: AC = Z wzoru na pole rombu obliczamy długość przekątnej BD = BD BD = Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku AD: AD = AS SD AS = AC, SD = BD ( ) ( ) = AD = Wyznaczamy współrzędne punktów B i D rozwiązując układ równań AD = AS DS = ( ) ( y ) = [, 7] [, y] = ( ) ( y ) = 7y = y y = y = 7 y = = 8 = y = 7 y = Odpowiedź: Pozostałe wierzchołki rombu mają współrzędne: B = (,), C = (,) i D = ( 8,7) Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Obliczenie współrzędnych wierzchołka C oraz długości przekątnej AC (lub jej połowy): C =, = AS = ( ) AC ( ) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie długości drugiej przekątnej BD = oraz długości boku rombu, np AD =
Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć współrzędne punktu B (D) i przekształcenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą: AD = SA SD = y 8y 7 = lub 6 = Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Rozwiązanie bezbłędne 6 pkt =, =, D = 8,7 Pozostałe wierzchołki rombu mają współrzędne: B ( ), C ( ) i ( ) Zadanie ( pkt) Ciąg ( abc,, ) jest geometryczny i a b c= 6, zaś ciąg ( a, b, c ) jest arytmetyczny Oblicz a, b, c I sposób rozwiązania Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie: b = a c, a z własności ciągu arytmetycznego zapisujemy równanie: ( b ) = ( a ) ( c ) ( b ) = ( a ) ( c) Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań: b = a c a b c = 6 Przekształcamy układ równań do równania z jedną niewiadomą: a a 6 = lub c c 6 = Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy: a = lub a = 8 oraz c = lub c = 8 Odp Warunki zadania spełniają liczby: a=, b= 6, c= 8 lub a= 8, b= 6, c= II sposób rozwiązania Oznaczamy: przez a pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, a przez q iloraz tego ciągu Wówczas b= a q, c= a q Z własności ciągu arytmetycznego i z warunków zadania zapisujemy układ równań: a aq aq = 6 a( q q ) = 6 lub ( aq ) = ( a ) ( aq ) aq aq a 8= 6 Z pierwszego równania mamy: a = q q, zatem 6 6 6 q q 8= q q q q q q Po uproszczeniu otrzymujemy równanie: q q = Rozwiązaniem tego równania są liczby: q=, q=
Dla każdej z tych liczb obliczamy abc,, Warunki zadania spełniają liczby: a=, b= 6, c= 8 lub a= 8, b= 6, c= Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego (arytmetycznego) i zapisanie odpowiedniego równania, np b = a c ( b ) = ( a ) ( c ) ( aq ) = ( a ) ( aq ) a aq aq = 6 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności obu ciągów (arytmetycznego i geometrycznego) i zapisanie układu równań umożliwiającego obliczenie liczb a, b, c, np b = a c a a q a q = 6 ( b ) = ( a ) ( c) lub ( a q ) = ( a ) a b c = ( a q ) 6 Uwaga: Jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje punktów Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Przekształcenie układu równań do równania z jedną niewiadomą, np a a 6 = lub c c 6 = lub q q = Uwaga: Jeżeli w trakcie doprowadzania układu równań do równania kwadratowego zdający popełni błąd, w wyniku którego otrzyma równanie mające mniej niż dwa rozwiązania, to otrzymuje punkty za całe zadanie Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt poprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań (na przykład dla q ) i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym (np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie bezbłędne pkt a=, b= 6, c= 8 lub a= 8, b= 6, c=
Uwaga: Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże układ równań i popełni błąd w zredagowaniu odpowiedzi, na przykład: a = lub a = 8, b = 6, c = 8 lub c =, to otrzymuje punkty