bezkontekstowa generujac X 010 0X0.

Podobne dokumenty
ZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE

Matematyczne Podstawy Informatyki

4.2. Automat skończony

JĘZYKI FORMALNE I AUTOMATY SKOŃCZONE

Języki, automaty i obliczenia

4.3. Przekształcenia automatów skończonych

Gramatyki regularne. Teoria automatów i języków formalnych. Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki

Przekształcenia automatów skończonych

4.6. Gramatyki regularne

Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

1 Wprowadzenie do automatów

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Zbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe

4.5 Deterministyczne i zupełne automaty Moore a i Mealy ego

4. RACHUNEK WEKTOROWY

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Programy współbieżne

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Konkurs dla gimnazjalistów Etap szkolny 9 grudnia 2016 roku

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Hipoteza Černego, czyli jak zaciekawić ucznia teorią grafów

nazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P.

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

KONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania

Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

G i m n a z j a l i s t ó w

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

ezyki Automaty i Obliczenia (nieformalne notatki)

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

R O Z D Z I A Ł I I I

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

Przechadzka Bajtusia - omówienie zadania

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Analiza matematyczna i algebra liniowa

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa

Zadania do rozdziału 7.

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

ezyki Automaty i Obliczenia (nieformalne notatki)

Częściowo przemienne grafy bezkontekstowe

Planimetria czworokąty

SZTUCZNA INTELIGENCJA

Podstawy układów logicznych

Zadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Analiza Matematyczna (część II)

Topologia i podzbiory,

Translacja jako operacja symetrii. Wybór komórki elementarnej wg A. Bravais, połowa XIX wieku wybieramy komórkę. Symetria sieci translacyjnej

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Droga Pani/Drogi Panie! Wakacje minęły szybko i znowu możemy się spotkać. oraz za zabawami z koleżankami i kolegami.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

W. Guzicki Zadanie 19 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale

Transkrypt:

1. Npisz grmtyke ezkontekstow generujc jezyk : L 1 = { 0 i 10 j 10 p : i, j, p > 0, i + j = p } Odpowiedź. Grmtyk wygląd tk: Nieterminlem strtowym jest S. S 01X0 0S0 X 010 0X0. Nieterminl X generuje słow postci 0 j 10 j, gdzie j > 0. Nieterminl S generuje słow postci 0 i 1w0 i, gdzie i > 0 i w jest słowem wygenerownym przez nieterminl X. A więc nieterminl S generuje słow postci 0 i 10 j 10 j 0 i = 0 i 10 j 10 j+i gdzie i, j > 0, czyli język z treści zdni. 1

2. Czy j ezyk L 1 jest regulrny (odpowiedź uzsdnić). Odpowiedź. Język ten nie jest regulrny. Złóżmy owiem, że jest regulrny. Korzystjąc z lemtu o pompowniu dojdziemy do sprzeczności. Skoro język jest regulrny, to n mocy lemtu o pompowniu, istnieje stł M, tk, że dl kżedgo słow w z język, jeśli w m długość przynjmniej M, to istnieje podził n trzy słow w = xyz gdzie y niepuste tki, że dl kżdego i słowo xy i z nleży do język. Rozwżmy słowo w = 0 M 10 M 10 2M, które nleży do język i m długość przynjmniej M. Rozwżmy jego podził w = xyz jk wyżej. N mocy lemtu, dl i = 2, słowo xy 2 z powinno nleżeć do język, pokżemy, że nie nleży. Otrzymn sprzeczność dowodzi, że język nie mógł yć regulrny. Jeśli słowo y zwier jedynkę, to słowo xy 2 z zwier trzy lu więcej jedynki, więc nie może nleżeć do język. Jeśli słowo y nie zwier jedynki, to skłd się smych zer, więc jest w cłości zwrte w jednym z trzech loków zer (loki te mją długości odpowiednio M, M i 2M). Wówczs w słowie xy 2 z jeden z loków zer zmieni długość (w porównniu ze słowem xyz), pozostłe nie zmieniją długości. Ozncz to, że sum długości pierwszych dwóch loków zer nie może już yć równ długości trzeciego loku zer. 2

3. Niech φ(l) = { w : w L & w R L }. Czy zchodz implikcje (uzsdnić): () L jest ezkontekstowy to φ(l) też jest ezkontekstowy () L jest regulrny to φ(l) też jest regulrny. Odpowiedź. Implikcj () nie zchodzi, lecz implikcj () zchodzi. Powód jest z grusz rzecz iorąc tki, że języki ezkontekstowe nie są zmknięte n przecięci, regulrne są. Implikcj () nie zchodzi. Rozwżmy język L = { i j k : i = j}. Język ten jest ezkontekstowy, generuje go grmtyk Lustrzne odicie tego język to S X S X X. L R = { i j k : j = k}. A więc słowo nleży do L i L R wtedy i tylko wtedy, gdy jest postci i j k gdzie i = j = k. Ziór słów tkiej postci nie jest ezkontekstowy z tego smego powodu, dl którego ezkontekstowy nie jest język { n n c n : n N}. Implikcj () zchodzi. Język φ(l) to przecięcie języków L i L R. Języki regulrne są zmknięte n przecięci (wystrczy rozwżyć produkt dwóch utomtów). A więc wystrczy pokzć, że języki regulrne są zmknięte n opercję lustrznego odici L L R. Automt (niedeterministyczny) dl L R otrzymujemy z utomtu dl L poprzez: zminę stnów kceptujących z początkowymi i odwrócenie kierunku strzłek w trnzycjch. 3

4. Nrysowć minimlny deterministyczny utomt skończony kceptujcy słow nd lfetem {, }, w których podsłowo występuje nieprzystą liczę rzy. Nie nleży w tym zdniu pisć uzsdnieni minimlności. Odpowiedź. oś symetrii Dl słów przynjmniej dwuliterowych, utomt pmięt dwie rzeczy: czy wystąpiło przystą czy nieprzystą ilość rzy. osttnie dwie litery, przy czym końcówki i są utożsmione. Kżd komincj jest możliw, stąd 2 3 = 6 stnów. Nie potrzeujemy stnów dl słów o długości zero lu jeden, poniewż: słow ɛ i są równowżne słowu ; słowo jest równowżne słowu. 4

5. Dl utomtu skończonego A przez L u (A) oznczmy ziór wszystkich długości słów kceptownych przez A. Czy prolem sprwdzni równości L u (A) = L u (B) jest rozstrzyglny dl utomtów skończonych (uzsdnić). Odpowiedź. Prolem ten jest rozstrzyglny. Poniżej przedstwimy lgorytm rozstrzygjący prolem, który dził w czsie wykłdniczym ze względu n rozmir utomtów A i B. Ziór L u (A) możn widzieć jko ziór słów nd lfetem jednoliterowym {}, minowicie jko ziór słów postci n, gdzie n jest długością pewnego słow kceptownego przez A. Automt rozpoznjący ten ziór słów, oznczmy go A, otrzymujemy z utomtu A poprzez zstąpienie kżdej litery w przejścich przez literę. (Automt A może yć niedeterministyczny, nwet jeśli A ył deterministyczny.) Oznczmy wreszcie przez A utomt otrzymny z A przez determinizcję. Automt A możn oliczyć n podstwie A w czsie wykłdniczym. Przy tej notcji, prolem z zdni rzmi: mjąc dne dw utomty A i B, sprwdzić czy języki rozpoznwne przez A i B są tkie sme. Dl utomtów deterministycznych, sprwdznie równości języków możn zroić w czsie wielominowym, opis tego lgorytmu jest poniżej. Ay sprwdzić równość dwóch języków, konstruujemy produkt krtezjński A B i sprwdzmy, czy w tym utomcie osiągln jest pr stnów, gdzie n jednej współrzędnej stn jest kceptujący, n drugiej współrzędnej stn nie jest kceptujący. Słowo prowdzące do tej pry stnów jest świdkiem n różność języków rozpoznwnych przez A i B. Wżny jest tutj determinizm utomtów, w przeciwnym przypdku dl słow prowdzącego do złej pry (jeden utomt kceptuje, drugi utomt odrzuc), mogłyy istnieć inne iegi pokzujące, że o utomty kceptują słowo. 5

6. Mszyn Turing jest typu write-once jeśli w kżdym oliczeniu co njwyżej rz zmieni zwrtość kżd ej komórki tśmy. Czy prolem L(M) = jest rozstrzyglny dl deterministycznych jednotśmowych mszyn Turing M typu write-once? Odpowiedź uzsdnić. Odpowiedź. Prolem nie jest (cłkowicie) rozstrzyglny. Pokżemy rozwiąznie dl definicji write-once, w której zmin litery lnk n inną też liczy się jko zpis. (Trochę łtwiej zdnie jest rozwiązć dl większej klsy mszyn, gdzie zmin litery lnk n inną się nie liczy.) Do prolemu z zdni zredukujemy prolem Post, który nie jest cłkowicie rozstrzyglny. Przypomnijmy, że prolem Post rzmi tk: Dne: ziór pr słow P. Pytnie: czy istnieje skończony ciąg pr (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) P, yć może z powtórzenimi, tki że x 1 x n = y 1 y n Równowżne sformułownie pytni rzmi, czy niepusty jest język, oznczmy go przez L P, który zwier słow postci #x 1 $y 1 #x 2 $y 2 # #x n $y n, (zkłdmy, że specjlne sertory # i $ nie występują w słowch ze zioru P ) tkie, że spełnione są nstępujące wrunki () i (): () dl kżdego i {1,..., n}, pr (x i, y i ) nleży do P. () x 1 x n = y 1 y n. Pokżemy, że n podstwie zioru P możn w skończonym czsie oliczyć mszynę Turing, nzwijmy ją M P, któr rozpoznje język L P i jest writeonce. A więc gdyyśmy umieli rozstrzygć niepustość język dl mszyn write-once, to yśmy tkże umieli rozstrzygć prolem Post. Mszyn M P njpierw sprwdz wrunek () nie pisząc nic tśmie, potem sprwdz wrunek () pisząc n tśmie w sposó write-once. Wrunek () jest językiem regulrnym, opisnym wyrżeniem regulrnym ( #x$y). (x,y) P Możn więc wrunek ten rozpoznwć deterministycznym utomtem skończonym, który jest szczególnym przypdkiem mszyny Turing nie piszącej n tśmie. Po sprwdzeniu wrunku (), mszyn M P wrc n początek tśmy i sprwdz wrunek () w sposó opisny poniżej. 6

Ay sprwdzić wrunek (), mszyn M P postępuje w sposó nstępujący. Ide jest tk, że litery nie ędące seprtormi są stopniowo zstępowne zncznikiem @. Mszyn, ędąc n początku tśmy, szuk głowicą (od lewej do prwej) pierwszej litery pochodzącej ze słow typu x ( więc litery któr nie jest seprtorem, le jej njliższy z lewej seprtor to # nie $), któr jeszcze nie zostł zstąpion zncznikiem @. Znlzłwszy tką literę, mszyn zpmiętuje ją w stnie i zstępuje ją zncznikiem @ (tutj występuje jednokrotny zpis). Nstępnie głowic mszyny wrc n początek tśmy i szuk (znowu od lewej do prwej) pierwszej litery pochodzącej ze słow typu y ( więc litery któr nie jest seprtorem, le jej njliższy z lewej seprtor to $ nie #) i zstępuje ją @ o ile jest tk sm jk liter zpmiętn w stnie (w przeciwnym przypdku mszyn ntychmist odrzuc). Nstępnie mszyn powtrz proces, ż nie doprowdzi do sytucji, w której n tśmie są wyłącznie symole @, # i $, wówczs kceptuje. 7