Przedstawiona praca jest ontynuacją próby wprowadzenia metody logii rozmytej do rutynowych modelowań geologicznych. Wyorzystując dane laboratoryjne i otworowe uzupełniano z jej pomocą braujące fragmenty profilowań petrofizycznych i geofizycznych. Metoda ta pozwoliła taże prognozować całe braujące profile na podstawie zestawu innych danych, ponieważ nie wymaga ona nauczyciela, czyli zbioru uczącego, opiera się natomiast na poprawnie sformułowanych regułach wniosowania, co w modelowaniach geologicznych daje jej przewagę nad sieciami neuronowymi. An application of fuzzy logic in evaluation of geological models This paper presents a possibilities of fuzzy logic application in geological model evaluation. Two potential fields of activity was showed. The first is to complete petrophysical and well log database. The second, more ambitious is estimation of petrophysical parameters in no data wells. It is possible because of depending of fuzzy logic on inference rules not on teaching files. It is the main advantage of fuzzy logic over ANN extrapolation method. Wstęp Przedstawiona praca jest ontynuacją prac nad zastosowaniem logii rozmytej przy tworzeniu modeli geologicznych. Logia rozmyta (fuzzy logic) [12] stosowana jest w wielu dziedzinach naui, a ostatnio coraz częściej w zagadnieniach geologicznych. W poprzedniej pracy [2] została omówiona teoria logii rozmytej i próba wyorzystania jej do interpretacji parametrów petrofizycznych. Kolejny ro został wyonany w ierunu zastosowania tej metody w szerszym onteście. Obo danych labora- toryjnych wyorzystano dane geofizyczne i zastosowano analizę supień rozmytych [3, 4, 5]. W efecie olejnych etapów rozmytego procesu uzysano ompletne zbiory podstawowych parametrów zbiorniowych sał (porowatości i przepuszczalności). Należy zaznaczyć, że metoda logii rozmytej nie wymaga nauczyciela, czyli zbioru uczącego. Opiera się natomiast na poprawnie sformułowanych regułach wniosowania, co w pewnym zaresie może dać jej przewagę nad sieciami neuronowymi. Przygotowanie materiału doświadczalnego do badań W badaniach wyorzystano wynii analiz wyonanych na jurajsich sałach węglanowych i piasowcach ciężowicich. Istotnym było przetestowanie poprawności metody na ta różnym materiale salnym. Wyorzystano wynii analizy porozymetrycznej oraz parametrów geofizycznych. Sporządzono podstawową bazę danych, tórą zweryfiowano i uzupełniono za pomocą sieci neuronowej, co w efecie pozwoliło ustalić podstawowy zbiór obliczeniowy, do tórego ostatecznie weszły taie parametry petrofizyczne ja: średnica progowa, powierzchnia właściwa, gęstość objętościowa i szieletowa, średnia apilara, porowatość oraz impedancja. Na ta przygotowanej bazie danych wyonano obliczenia metodą logii rozmytej. Zastosowanie logii rozmytej do obliczeń Teoria supień rozmytych W metodzie fuzzy logic istotną rolę odgrywa analiza supień rozmytych, tóra znacznie różni się od lasycznej analizy supień. W teorii lasycznej ze zbioru głównego zostają wydzielone podzbiory, na zasadzie blisiego porewieństwa taich cech, że ażdy element danego podzbioru nie występuje w innych podzbiorach, innymi słowy 454
granice podzbiorów są ostro zdefiniowane co oznacza, że przynależność do podzbioru wynosi 0 lub 1. W logice rozmytej przynależność do zbioru oreślają reguły rozmyte; w analizie supień rozmytych podzbiory częściowo się przeniają, granice między nimi są niewyraźne, a dana sładowa podzbioru może występować taże w innych podzbiorach. Teoria, tórą w srócie przedstawiono poniżej, została opracowana przez Bezdea [1]. Gdy mamy zbiór Y = (y 1, y 2, y n ) fuzzy-supienia przypisują ażdą daną y 1 do podzbioru ze stopniem przynależności µ (y i ) dla wszystich i l. Gdy µ (y i ) = 1, dana y 1 całowicie należy do podzbioru. Kiedy zachodzi zależność 0 < µ (y i ) < 1 to y 1 częściowo należy do podzbioru, ale równie dobrze należy do innych podzbiorów, a gdy (y i ) = 0 to y 1 definitywnie nie należy do podzbioru. Powyższe można przedstawić w zapisie: (1) Zagadnienie tego typu rozwiązuje się na drodze procedur iteracyjnych, w celu otrzymania przybliżonych rozwiązań. Algorytm dla supień rozmytych ma za zadanie znaleźć wszystie stopnie przynależności µ (y i ), tóre minimalizują sumę odchyleń danej y 1 od centrum supienia V, będącego średnią ze wszystich danych w podzbiorze. Funcja minimalizacji wygląda następująco: Ja wynia z powyższego, liczba podzbiorów jest optymalna iedy różnice wewnątrz podzbioru są małe, a różnice między podzbiorami są duże. Innymi słowy optymalne wynii otrzymuje się, gdy można dobrać taie funcje, tóre masymalizują podobieństwo wewnątrz supień, a minimalizują podobieństwo pomiędzy supieniami. Wyonanie obliczeń W zadaniu do symulacji użyto zbiory zawierające parametry przestrzeni porowej: średnicę progową, powierzchnię właściwą i gęstość objętościową oraz impedancję, czyli wielości, od tórych współzależy porowatość i przepuszczalność, i na tej podstawie próbowano odtworzyć podstawowe parametry złożowe. Obliczenia wyonano dla dwóch typów sał: węglanowej i piasowca. Na zbiorach wyonano operację grupowania rozmytego, czego wyniiem są podzbiory rozmyte. Zgodnie z założeniami metody logii rozmytej, olejnym przedziałom przypisano atrybuty lingwistyczne, co przedstawiono graficznie w uładzie współrzędnych, gdzie na osi rzędnych znajduje się stopień przynależności µ (rysuni 1-7). Znajdujemy tam przyporządowanie do poszczególnych podzbiorów, opisanych oreśleniami lingwistycznymi. (2) gdzie d i = ll y i V ll 2 jest odpowiednio dobraną fuzzy-normą [11]. Wyładni m ma wpływ na przypisanie danych poszczególnym supieniom i przeważnie m = 2. Rys. 1. Zgrupowanie lingwistyczne dla średnicy progowej Optymalna ilość podzbiorów, oznaczona T(c), definiowana jest wzorem: (3) gdzie d jest wybraną fuzzy-normą obrazującą odległość centrum -tego podzbioru do centrum zbioru głównego (4) Rys. 2. Zgrupowanie lingwistyczne dla powierzchni właściwej 455
Rys. 3. Zgrupowanie lingwistyczne dla gęstości objętościowej Rys. 4. Zgrupowanie lingwistyczne dla impedancji Rys. 5. Zgrupowanie lingwistyczne dla porowatości (5 podzbiorów) Rys. 6. Zgrupowanie lingwistyczne dla porowatości (3 podzbiory) Rozmyty system wniosujący Rys. 7. Zgrupowanie lingwistyczne dla przepuszczalności Dla porowatości zastosowano dwa wydzielenia: 5 podzbiorów rozmytych: bardzo mała, mała, średnia, duża i bardzo duża, 3 podzbiory rozmyte: mała, średnia, duża. Poniżej przedstawiono granice podzbiorów rozmytych, wytypowanych metodą fuzzy-supień do dalszych obliczeń: porowatość (5): 0-1,5; 1-6; 5-11; 10-16; powyżej 14, porowatość (3): 0-3; 2-12; powyżej 9, przepuszczalność: 1-3; 2-12; 10-26; powyżej 22, impedancja: 0-13 x 10 3 ; 12-16 x 10 3 ; > od 15 x 10 3, średnica progowa: 0-2; 1-9; > od 7, powierzchnia właściwa: 0-0,25; 0,1-0,7; > od 0,5, gęstość objętościowa: 0-2,5; 2,4-2,7; > od 2,6. Rozmyty system wniosujący przebiega według oreślonego porządu: BLOK ROZMyWANIA BLOK WNIO- SKOWANIA (Z BAZą ReGuł) BLOK WyOSTRZANIA. Blo rozmywania to działanie, tóre za pomocą stosownych norm rozmytych powoduje przeształcanie zbiorów tradycyjnych w zbiory rozmyte, w postaci zbioru stopni przynależności. W blou wniosowania pod działaniem wybranych norm rozmytych, posługując się regułą JeżeLI... TO, uzysuje się logiczne powiązania pomiędzy elementami zbiorów. Ostatni blo defuzyfiacji (czyli wyostrzania) to tai, w tórym zbiory rozmyte przechodzą oreślone procesy odwzorowania, pozwalające na wyjściu uzysać ostre wartości. Rozmywanie Na zbiorze danych wyonano stosowne przeształcenia w celu uzysania podzbiorów rozmytych i wyznaczono ich granice. Dla ażdego parametru obliczono wielość zwaną stopniem (funcją) przynależności [7, 10]. Należy przypomnieć, że zbiorem rozmytym A w pewnej przestrzeni X (A X) nazywamy zbiór par 456
A = x, µ A (x); w tórym µ A : X [0,1] x X jest funcją przynależności zbioru rozmytego A. Funcja ta ażdemu elementowi x X przypisuje jego stopień przynależności do zbioru rozmytego A, przy czym należy wyróżnić trzy przypadi: 1) µ A (x) = 1 oznacza pełną przynależność elementu x do zbioru rozmytego A, 2) µ A (x) = 0 oznacza bra przynależności elementu x do zbioru rozmytego A, 3) 0 < µ A (x) < 1 oznacza częściową przynależność do zbioru rozmytego A. Jeżeli X jest przestrzenią o sończonej liczbie elementów, X = {x 1,..., x n }, to zbiór rozmyty zapisuje się w postaci (5) Gdy zbiór jest o niesończonej liczbie elementów, zna sumy zastępuje cała (6) Ja wspomniano wyżej, w warunach zbiorów rozmytych elementy mogą zostać przypisane różnym podzbiorom równocześnie. Każda onretna wartość sygnału wejściowego x = [x 1, x 2,..., x n ] T należąca do X zostaje w blou rozmywania poddana operacji rozmywania, sutiem czego zostaje odwzorowana w zbiór rozmyty. W pratyce wyonuje się rozmywanie zbiorów poprzez znalezienie stopnia przynależności µ A (x), gdzie: µ A (x) = δ(x x ) jest 1 jeżeli x = x, jest 0 jeżeli x x Wniosowanie W literaturze można znaleźć wiele reguł wniosowania dla modelu logicznego z wyorzystaniem impliacji rozmytej. Poniżej zasygnalizowano najczęściej stosowane. Są nimi reguły wniosowania modus ponens i modus tollens; równie często stosowana jest reguła typu minimum i reguła typu iloczynu dla modelu Mandaniego [8, 9]. Lingwistyczne reguły wniosowania logii rozmytej dla omawianych przypadów dobierane są stosownie do zagadnienia. W wyonywanej pracy zbiory wejściowe zawierają w sobie podzbiory, tórych parametry są wzajemnie zależne. Podzbiory wejściowe to: średnica progowa X 1, powierzchnia właściwa X 2, gęstość objętościowa X 3, i impedancja X 4. Na wyjściu uzysujemy porowatość Y 1 i przepuszczalność Y 2. Z dotychczasowych badań i stosownej teorii wiadomo, w jaim stopniu parametry tych podzbiorów wzajemnie od siebie zależą [6]. Zastosowanie odpowiednich norm rozmytych dało zależności w postaci reguł: JEŻELI TO. Ogólnie można to zapisać: JEŻELI: x 1 jest A 1 I x 2 jest A 2 I x n jest A n TO: x 1 jest B 1 I x 2 jest B 2 I x n jest B n dla = 1, 2,... N, gdzie N jest liczbą reguł, A i to zbiory rozmyte. W szczególnej sytuacji zilustruje to następujący przyład: Rzeczywisty zbór parametrów petrofizycznych (średnica progowa, powierzchnia właściwa, gęstość objętościowa) wprowadzono do blou rozmywania. W efecie uzysano zbiory rozmyte odpowiednich wielości fizycznych, zgodnie z regułami przyporządowania według walifiacji lingwistycznej: wielość mała, średnia i duża. Zbiory te w blou wniosowania zostały przyporządowane odpowiednim zbiorom rozmytym oczeiwanym na wyjściu, a mianowicie porowatości, poprzez funcję przynależności. 1. JEŻELI x 1 jest duże, x 2 jest małe, x 3 jest małe TO y 1 jest duża. 2. JEŻELI x 1 jest duże, x 2 jest średnie, x 3 jest średnie TO y 1 jest duża. 3. JEŻELI x 1 jest średnie, x 2 jest małe, x 3 jest średnie TO y 1 jest średnia. 4. JEŻELI x 1 jest średnie, x 2 jest średnie, x 3 jest średnie TO y 1 jest średnia. 5. JEŻELI x 1 jest średnie, x 2 jest duże, x 3 jest małe TO y 1 jest średnia. 6. JEŻELI x 1 jest średnie, jest duże x 2, x 3 jest duże TO y 1 jest mała. 7. JEŻELI x 1 jest małe x 2 jest średnie, x 3 jest średnie TO y 1 jest mała. gdzie: x 1 średnica progowa, x 2 gęstość, x 3 powierzchnia właściwa, y 1 porowatość jest elementem zbiorów rozmytych X 1 X 2, X 3 i Y 1. 457
Na wyjściu uzysujemy zbiór rozmyty, w tórym ażdej wartości rozmytej przypisany jest stopień przynależności. Wyostrzanie W ten sposób zostały oreślone podzbiory i przypisane im funcje przynależności. Kolejnym etapem jest wyostrzanie (defuzzification). Zbiór rozmyty, jeden lub wiele, podany z blou wniosowania przechodzi pewien proces odwzorowania, polegający na wyostrzaniu, aby na wyjściu otrzymać jedną wartość. Jeżeli mamy N zbiorów rozmytych (pojedynczy zbiór oznaczymy B ), wychodzących z blou wniosowania z funcjami przynależności gdy = 1, 2,..., N i wprowadzamy je do blou wyostrzania, to na wyjściu otrzymujemy wartość ostrą tórą możemy obliczyć za pomocą odpowiedniego wzoru. Najczęściej stosowane metody wyostrzania to: 1. Metoda środa ciężości (COA Center of Area) [7]. Definiuje ona wyostrzaną wartość rozmytego zbioru B w przestrzeni Y R W przypadu, gdy przestrzeń Y jest sończona; Y = (y 1, y 2,...,y n ), równanie powyższe przyjmuje postać sum: 2. Metoda masimum funcji przynależności (MOM Mean of Maxima) [7]. Ta metoda wyznacza wyostrzaną wartość jao podstawową z całej dysutowanej przestrzeni Y, posiadającą masymalny stopień przynależności, i wyraża się równaniem: gdzie T reprezentuje podzbiór z przestrzeni Y, tóra osiąga masimum wartości, gdy µ B (y i ) = 1oraz gdy t należy do T. W przedstawionej pracy rozwiązaniem było uzysanie zbiorów rzeczywistych porowatości i przepuszczalności. Wynii i ich omówienie przedstawiono w dalszej części pracy. Wynii Powyżej przedstawiono metodę postępowania przy stosowaniu logii rozmytej. Obecnie zostaną zaprezentowane onretne przyłady wyonane w tym opracowaniu. Ja już wspomniano wcześniej, celem pracy było zastosowanie logii rozmytej, tóra obo sieci neuronowej mogłaby być suteczną metodą w weryfiacji i odtwarzaniu braujących danych. Główny nacis położono na parametry zbiorniowe: porowatość i przepuszczalność. Pierwszym zadaniem było ustalenie optymalnych warunów obliczeń. Za pomocą sieci neuronowej i podstawowych metod statystycznych wygenerowano zbiór rzeczywisty, w sład tórego wchodziły: średnica progowa, powierzchnia właściwa i gęstość objętościowa oraz porowatość (jao zbiór testowy). Zbiór ten poddano analizie supień rozmytych i na tej podstawie zdefiniowano rozmyte granice zgrupowań lingwistycznych wielości małej, średniej i dużej: impedancja: 0-13 x 10 3 ; 12-16 x 10 3 ; więsze od 15 x 10 3, średnica progowa: 0-2; 1-9; więsze od 7, powierzchnia właściwa: 0-0,25; 0,1-0,7; więsze od 0,5, gęstość objętościowa: 0-2,5; 2,4-2,7; więsze od 2,6. Ustalono taże lingwistyczny model dla porowatości, jao zbioru wyjściowego, w dwóch wariantach: 5 podzbiorów rozmytych: bardzo mała, mała, średnia, duża i bardzo duża, porowatość (5): 0-1,5; 1-6; 5-11; 10-16; powyżej 14, 3 podzbiory rozmyte: mała, średnia, duża, porowatość (3): 0-3; 2-12; powyżej 9. Na rysunach 1-7 przedstawiono wyonane wydzielenia. Ten etap obliczeń jest istotny, gdyż jego następstwem jest poprawne przypisanie stopni przynależności poszczególnym rozmytym elementom. Następnie wyonano obliczenia, w wyniu tórych otrzymano na wyjściu dwa zbiory porowatości, opisane: porowatość FUZZY 5 i 3. Wynii przedstawiono na rysunach 8 i 9, w zestawieniu z porowatością doświadczalną. Współczynni orelacji wyniósł odpowiednio 0,75 i 0,76. Wyni jest wystarczająco dobry, a zachowanie trendów na tyle poprawne, by uznać metodę za wiarygodną, choć ma niższą wydajność 458
Rys. 8. Zestawienie porowatości doświadczalnej z obliczoną metodą FUZZY dla 5-ciu zmiennych lingwistycznych dla sał węglanowych Rys. 9. Zestawienie porowatości doświadczalnej z obliczoną metodą FUZZY dla 3-ch zmiennych lingwistycznych dla sał węglanowych Rys. 10. Zestawienie porowatości obliczonej metodą FUZZY dla 3-ch i 5-ciu zmiennych lingwistycznych z porowatością ANN dla sał węglanowych Rys. 11. Porównanie porowatości obliczonej metodą FUZZY dla 3-ch zmiennych lingwistycznych z uwzględnieniem impedancji dla sał węglanowych niż sieć neuronowa (rysune 10). Zaletą metody FUZZY jest to, że nie wymaga ona nauczyciela. Ponieważ suteczność obu przetestowanych wydzieleń była prawie jednaowa, do dalszych symulacji stosowano model lingwistyczny z trzema podzbiorami. Kolejnym roiem było wprowadzenie dodatowego parametru, tj. impedancji, gdyż jest to wielość silnie związana z porowatością. Spodziewano się zwięszenia orelacji danych obliczonych z doświadczalnymi. Wyni przedstawiono na rysunu 11, gdzie można zauważyć, 459
Rys. 12. Zestawienie przepuszczalności doświadczalnej z obliczoną metodą FUZZY oraz ANN dla sał węglanowych że wpływ tego parametru na poprawienie wyniów był niewieli co można somentować, że w ujęciu logii rozmytej parametr ten wywiera równie cenny wpływ na porowatość, ja i na pozostałe parametry. Drugim istotnym parametrem zbiorniowym jest przepuszczalność efetywna. Jej oznaczenie jest często niewyonalne ze względu na trudności w obróbce rdzeni do pomiarów. Dlatego właśnie znalezienie metody jej oznaczenia jest ta ważnym zagadnieniem. W dotychczasowych pracach stosowano do tego sieci neuronowe. W tej pracy po raz pierwszy wyorzystano metodę logii rozmytej. Obliczenia wyonano dla dwóch typów sał: dla sał wapiennych i dla piasowca. Wynii obliczeń przedstawiono na rysunach 12 i 13. Zestawiono tam wynii uzysane metodą FUZZY i metodą ANN, z przepuszczalnością efetywną uzysaną doświadczalnie. W obu przypadach dane wyliczone odwzorowują trendy rzeczywiste. Można natomiast zauważyć, że dla piasowców odwzorowanie to jest znacznie lepsze: współczynni orelacji dla wapieni = 0,62, a dla piasowców 0,69. Odwrotnie jest w przypadu sieci neuronowych (dla wapieni aż 0,95 a dla piasowców już tylo 0,74). Porównanie metod przedstawiono w tablicy 1. Podsumowanie 1. Do wyznaczenia parametrów zbiorniowych porowatości i przepuszczalności zastosowano nową metodę symulacji, opartą na logice rozmytej. Otrzymane wynii poazują, że metoda ta jest suteczna. Reaguje na zmiany właściwości materii salnej i choć obraz tych zmian jest spłaszczony, na jej podstawie można wyznaczyć poziomy całowicie nieprzepuszczalne oraz te o podwyższonej przepuszczalności. Odwzorowuje ona również poprawnie trendy rozwoju przestrzeni porowych sał (współczynnii orelacji są istotne). 2. Analiza wyniów otrzymanych dla piasowców i wapieni potwierdza zasadność i wrażliwość metody dla tego typu problemów. Jaość dopasowania zależy w sposób jednoznaczny od przyjętych definicji granic (przyjęto taie same dla piasowców i wapieni). ANN reaguje na jaość zbiorów wejściowych, stąd lepsze dopasowanie tą metodą dla wapieni, natomiast jednaowy podział zbiorów rozmytych nie uwzględnia jedynie specyfii sał węglanowych. 3. Jaość dopasowania dla logii rozmytej zależy jednoznacznie od poprawnego przyjęcia podziału poszczególnych zbiorów (choćby na podstawnie analizy właściwości sał tego samego typu w badanym rejonie). 4. Wydaje się, że przy wejściu na nowy teren metoda ta będzie niezastąpiona, nie wymaga ona bowiem zbioru uczącego. Recenzent: prof. dr hab. inż. Andrzej Kosteci 460
Literatura [1] Bezde J.C.: Pattern recognition with fuzzy objective function algotithms. Plenum, New yor 1981. [2] Darła B., Włodarczy M.: Próba zastosowania logii rozmytej do interpretacji parametrów petrofizycznych sał zbiorniowych. Nafta-Gaz Nr 5, s. 305-413, 2007. [3] Finol J., et al.: A rule based fuzzy model for the prediction of petrophysical roc parameters. Journal of Petroleum Science and Engineering, vol. 29, Issue 2, p. 97-113, 2001. [4] Finol J., Xu-Dong Jing: Permeability prediction in shaly formations: the fuzzy modeling approach. Geophysics 67, Issue 3, p. 817-829, 2002. [5] Finol J., Xu-Dong Jing: Predicting Petrophysical parameters in a fuzzy environment. Soft computing for reservoir characterization and modeling. Physica-Verlag, 80, p. 183-218, 2002. [6] Jong-Se Lim: Reservoir properties determination using fuzzy logic and neural networs from well data in offshore Korea. Journal of Petroleum Science and Engineering, vol. 49, Issue 3-4, p. 182-192, 2005. [7] ęsi J.: Systemy neuronowo rozmyte. Wydawnictwo Nauowo-Techniczne, 2008. [8] Piegat A.: Modelowanie i sterowanie rozmyte. Aademica Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 1999. [9] Piegat A.: Fuzzy modeling and control. ISBN 3-7908, p. 1385-1390, 2001. [10] Rutowsa D., Pilińsi M., Rutowsi L.: Sieci neuronowe, algorytmy genetyczne i systemy rozmyte. PWN, 1997. [11] Rutowsi L.: Filtry adaptacyjne i adaptacyjne przetwarzanie sygnałów. Wydawnictwo Nauowo-Techniczne, Warszawa 1994. [12] Zadeh L.A.: Fuzzy sets. Information and Control, p. 338-353, 1965. Mgr Barbara DARAK absolwenta Wydziału Chemii na Uniwersytecie Jagiellońsim w Kraowie. Od 1979 rou jest pracowniiem Instytutu Nafty i Gazu w Kraowie, w Załadzie Geologii i Geochemii, Laboratorium Petrofizyi, na stanowisu starszy specjalista badawczo-techniczny. Zajmuje się wyorzystaniem sieci neuronowych w zagadnieniach geologicznych. Mgr inż. Małgorzata KOWALSKA-WłODAR- CZyK absolwenta Wydziału Energochemiczne Przetwórstwo Węgla i Fizyochemii Sorbentów AGH w Kraowie. Pracowni INiG w Kraowie, w Załadzie Geologii i Geochemii, Laboratorium Petrofizyi, na stanowisu starszy specjalista badawczo-techniczny. Zajmuje się wyorzystaniem sieci neuronowych w zagadnieniach geologicznych. 461