Geometria powłoki, wg publikacji dr inż. Wiesław Baran Gładką i regularną powierzchnię środkową S powłoki można opisać za pomocą funkcji wektorowej (rys. 2.1) dwóch współrzędnych krzywoliniowych u 1 i u 2 w postaci : r r( u 1, u 2 ). (2.1) Opis geometryczny dowolnej warstwy równoległej do powierzchni środkowej powłoki, będącej powierzchnią, będzie związany z opisem powierzchni środkowej [19]. W dalszych rozważaniach dla uproszczenia opisu wprowadza się nową, niekartezjańską bazę, opartą na pięciu wektorach r1, r2, m1, m2, m. Wektory r i i m i leżą w płaszczyźnie stycznej do powierzchni, natomiast wektor m jest do niej prostopadły. Wprowadzona baza jest przestrzenią pięciowymiarową, w której może być zrealizowany pełny opis powierzchni. Rys. 2.1. Opis geometrii powierzchni. Wektory r i i m i tworzące bazę płaszczyzny stycznej do powierzchni S, są obliczane przez różniczkowanie cząstkowe funkcji wektorowej r i m, względem parametrów u i. Różniczkując wyrażenie (2.1) otrzymamy wektory bazy kowariantnej styczne do powierzchni środkowej: r r1 ri i, u r2 (2.2) oraz m mi i. u (2.3) Wektor jednostkowy m, wyznaczamy z iloczynu wektorowego: g m r 1 r2, (2.4) w którym g jest wyróżnikiem zbudowanym ze współczynników pierwszej formy różniczkowej. Określimy także wektory bazy kontrawariantnej, wg zależności: i ki r r g. (2.2a) k
Przykład parametryzacji - Parametryzacja prostokreślna Powierzchnie środkowe powłok prostokreślnych są utworzone przez proste, zwane tworzącymi prostoliniowymi. To znaczy, że przez każdy punkt powierzchni prostokreślnej przechodzi prosta leżąca na niej całkowicie. Ze względów konstrukcyjnych możemy podzielić powłoki prostokreślne na dwie grupy: powierzchnie rozwijalne; powierzchnie pozostałe. Będziemy rozpatrywać pewną grupę powłok opisanych równaniem wektorowym: 2 2 1 2 2 1 cos( u ) i sin( u ) j u cos( u ) i sin( u ) jcos u sink r a. gdzie: u 1, u 2 (rys. 2.3); u 1 u 2 1 - współrzędne krzywoliniowe określające położenie punktu na powierzchni (2.24) - współrzędna mierzona w jednostkach długości, określa położenie punktu na tworzącej, 1 0 u L/sin, - współrzędna mierzona w radianach po okręgu, wskazuje tworzącą na której 2 leży punkt, 0 u 2[ rad], - parametr kątowy, kąt zawarty pomiędzy rzutem tworzącej na płaszczyzne podstawy X0Y a promieniem podstawy; - parametr kątowy, kąt określający nachylenie tworzącej do płaszczyzny X0Y; a 1 - promień podstawy; L - wysokość powłoki mierzona w jednostkach długości zgodnie ze współrzędną Z; L/sin - długość tworzącej.
Rys. 2.3. Powierzchnia w parametryzacji prostokreślnej Wprowadzając w równaniu (2.24) odpowiednie wartości parametrów kątowych i, możemy kształtować jedną z trzech typów powierzchni środkowej (tablica 2.1), a mianowicie: walec, stożek lub hiperboloidę jednopowłokową. Tablica 2.1. Opis parametrów kątowych w parametryzacji prostokreślnej. Typ powłoki Wartość parametrów i [rad] Walec = 0 = /2 Stożek = 0 /2 Hiperboloida jednopowłokowa 0 /2 WALEC STOŻEK HIPERBOLOIDA JENOPOWŁOKOWA
PRZYKŁAD ĆWICZENIA PROJEKTOWEGO ROZWIĄZANIE POWŁOKI W KSZTAŁCIE WALCA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA KATEDRA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH I INŻYNIERSKICH Rok studiów I, Semestr 2, Grupa... Studia stacjonarne, drugiego stopnia Rok akademicki 20../. ĆWICZENIE PROJEKTOWE Z PRZEDMIOTU KONSTRUKCJE POWIERZCHNIOWE dla studenta... TEMAT: ELEMENTY ROZWIĄZANIA POWŁOK TREŚĆ ĆWICZENIA: Dla powłoki walcowej projektowanej z przeznaczeniem na zbiornik na ciecz wyznaczyć siły przekrojowe i przemieszczenia od następujących oddziaływań: - ciężar własny (z dachem), - parcie cieczy, - /wpływy środowiskowe/*, - /temperatura/*. * zagadnienie dodatkowe należy wykonać obliczenia w programie ROBOT Wykonać projekt wstępny powłoki trzonu zbiornika wg PN-EN 1993-1-6 Dane do obliczeń: - pojemność; V = 10 000,0 [m 3 ] - średnica wewnętrzna płaszcza; d w_pł = 29 000,0 [mm] - wysokość płaszcza; h pł = 15 140,0 [mm] - liczba pierścieni płaszcza; n = 7 [szt.] - grubości pierścieni płaszcza; t pł = 14, 12, 10, 10, 8, 8, 8 [mm] - grubości pierścieni dna; t dna = 8 / 14 [mm] - materiał: stal... - lokalizacja; (jak w indeksie);...
1. Opis geometryczny powłoki Równanie wektorowe powierzchni środkowej: [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] dla walca [ ( ) ( ) ] Kowariantne wektory bazy: ( ( ) ( ) ) Współczynniki pierwszej formy różniczkowej: W dalszych obliczeniach korzystano z zależności: ( ) ( ) ( ) ( ) przemnażanie skalarne wektorów iloczyn skalarny - iloczyn wektorowy Korzystając iloczynu skalarnego ( ) otrzymano:
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) Kowariantny tensor metryczny: Gdzie: jest dopełnieniem algebraicznym elementu Wektor jednostkowy : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) Współczynniki drugiej (II) formy różniczkowej (kowariantnej): ( ) Wyznacznik drugiej formy różniczkowej: Kowariantny tensor II formy różniczkowej Mieszany tensor II formy różniczkowej:
Współczynniki III formy różniczkowej: ( ) Krzywizna Gaussa: Krzywizna średnia: ( ) ( ) ( ) Symbole Christoffela II rodzaju [ ]
Ze względu na fakt, iż wszystkie współczynniki I formy różniczkowej są stałe, ich pochodne są równe 0. Stad symbole Christofela II rodzaju są również równe zeru. Dane do obliczeń: Podstawianie danych liczbowych Współczynniki pierwszej formy różniczkowej: Wyznacznik I formy różniczkowej Kowariantny tensor metryczny: Współczynniki drugiej (II) formy różniczkowej (kowariantnej):
Wyznacznik drugiej formy różniczkowej: Wyznacznik drugiej formy różniczkowej: Kowariantny tensor II formy różniczkowej Mieszany tensor II formy różniczkowej: Współczynniki III formy różniczkowej:
Krzywizna Gaussa: Krzywizna średnia: Symbole Christoffela II rodzaju