Dekompozycje prostej rzeczywistej

Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii i zbiorów miary zero. Okazuje się, że zbiór liczb rzeczywistych można rozbić na dwa komplementarne zbiory, po jednym z każdej z tych klas patrz punkt 4.. Fakt, że każdy z tych zbiorów należy do jednej i tylko jednej z omawianych klas świadczy o tym, że żadna z nich nie zawiera drugiej oraz o możliwości dekompozycji dużego zbioru na dwa zbiory, metrycznie lub topologicznie, małe. Praca bazuje na pojęciach i twierdzeniach wprowadzonych w [] dlatego przed lekturą polecamy zapoznać się z tym artykułem. Liczby wymierne i niewymierne Pierwszym krokiem będzie analiza dekompozycji prostej na liczby wymierne i niewymierne. Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym oraz gęstym. Jako zbiór liczb przeliczalnych jest zbiorem pierwszej kategorii i zbiorem miary zero. Zbiór liczb niewymiernych jest gęsty jako dopełnienie zbioru pierwszej kategorii twierdzenie Baire a. Z uwagi na fakt że prosta rzeczywista jest zbiorem nieprzeliczalnym, drugiej kategorii i nie jest miary zero, zbiór liczb niewymiernych również musi posiadać te cechy. Innymi słowy zbiory liczb wymiernych i niewymiernych dzielą prostą rzeczywistą zgodnie z danymi zawartymi w tabeli., czyli na dwa zbiory gęste. Nie istnieje zatem przedział złożony tylko z liczb wymiernych lub tylko z liczb niewymiernych; stąd funkcja Dirichleta { jeśli x Q Q x = 0 jeśli x / Q dla x R jest w każdym punkcie nieciągła. W rzeczy samej, załóżmy bowiem nie wprost, że funkcja Dirichleta jest ciągła w jakimś ustalonym punkcie a R. Ustalmy ε =. Istnieje zatem δ > 0 takie, że dla każdego x a δ, a + δ zachodzi Q x Q a < ε =. Jeśli a Q to

Moc Gęstość Kategoria Miara Zbiór liczb rzeczywistych c gęsty II Zbiór liczb wymiernych ℵ 0 gęsty I 0 Zbiór liczb niewymiernych c gęsty II Tabela : Dekompozycja prostej na liczby wymierne i niewymierne. Rozbiliśmy prostą rzeczywistą na dwa zbiory: jeden zbiór pierwszej kategorii i miary zero, drugi będący zbiorem drugiej kategorii i nie będący zbiorem miary zero. Dekompozycja prostej w taki sposób nie niesie za sobą niczego pozornie paradoksalnego dopóki jeden ze zbiorów jest w każdym badanym sensie miary i kategorii zbiorem mniejszym od drugiego. 2 Liczby algebraiczne i przestępne Liczbę rzeczywistą x nazywamy algebraiczną gdy spełnia równanie a 0 + a x + a 2 x 2 +... + a n x n = 0 5 ze współczynnikami całkowitymi takimi, że przynajmniej jeden z nich jest różny od zera. Stopniem liczby algebraicznej x nazywamy najmniejszą liczbę naturalną n dla której x spełnia równanie 5 stopnia n. Dowolna liczba wymierna p/q jest liczbą algebraiczną stopnia pierwszego jako pierwiastek wielomianu fx = qx p. Liczbami algebraicznymi są również Q a = oraz z gęstości zbioru liczb niewymiernych istnieje w przedziale a δ, a + δ liczba niewymierna x przy której Q x = 0. Stąd musiałaby zachodzić nierówność 0 < ε =, q.e.a. Dla a / Q dowód jest analogiczny wykorzystuje gęstość zbioru liczb wymiernych. Warto zauważyć ponadto, że funckję Dirichleta można zapisać w innej formie, mianowicie Q x = lim lim m n cos2n m!πx. 2 W rzeczy samej, ustalmy dowolnie n, m N. Ponieważ cos 2n πx [0, dla wszystkich x R\Z oraz cos 2n πx = dla wszystkich x Z, przeto dla ustalonego x R funkcja { Z x = lim cos 2n jeśli x Z πx = n 0 jeśli x / Z. 3 Wystarczy pokazać, że dla dowolnego x R lim Zm!x = Q x. 4 m Liczba m!x jest niewymierna stąd tym bardziej m!x / Z dla wszystkich niewymiernych liczb x jako iloczyn liczby wymiernej i niewymiernej. Ponadto dla dowolnie ustalonej liczby wymiernej x = p/q liczba m!x jest całkowita dla prawie wszystkich m tj. dla m > q z uwagi na wyrażenie 2... q... m p. Podsumowując, dla m N od pewnego miejsca począwszy, q jeśli x Q, to m!x Z zatem z uwagi na 3 Z m!x = oraz jeśli co dowodzi równości 2. x / Q, to m!x / Z zatem z uwagi na 3 Z m!x = 0 Michał Czapek 2 Wszelkie prawa zastrzeżone

pewne liczby niewymierne: 2 jako pierwiastek wielomianu fx = x 2 2, 2 + 5/2 jako pierwiastek wielomianu fx = x 2 x, 2 + 3 jako pierwiastek wielomianu fx = x 2 5 2 24 itp. Zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny. Istotnie, dla dowolnego wielomianu fx = n i=0 a ix i istnieje liczba n+ n i=0 a i nazywana wagą tego wielomianu. Każdy wielomian nie będący funkcją stałą ma wagę przynajmniej równą 2. Istnieje tylko skończona liczba wielomianów danej wagi. Uporządkujmy wszystkie wielomiany w następujący sposób: najpierw porządkujemy je ze względu na n, później ze względu na a 0 itd. Otrzymujemy ciąg f, f 2, f 3,... w którym każdy wielomian stopnia pierwszego, drugiego itd. występuje jeden i tylko jeden raz. Każdy z wielomianów ma co najwyżej skończoną liczbę pierwiastków. Ustawmy w ciąg wszystkie pierwiastki wielomianu f, następnie wszystkie pierwiastki wielomianu f 2 pomijając pierwiastki, które są już w ciągu itd. W ten sposób zbudowaliśmy przeliczalny ciąg zawierający wszystkie liczby algebraiczne, c.b.d.o. Zbiór liczb algebraicznych jako przeliczalny jest zbiorem pierwszej kategorii i zbiorem miary zero; jako nadzbiór zbioru liczb wymiernych jest gęsty. Liczbę rzeczywistą nazywamy przestępną gdy nie jest to liczba algebraiczna. Zbiór liczb przestępnych jest zbiorem gęstym jako dopełnienie zbioru pierwszej kategorii twierdzenie Baire a. Ponieważ prosta rzeczywista jest zbiorem nieprzeliczalnym, drugiej kategorii i nie jest miary zero, przeto zbiór liczb przestępnych również musi posiadać te cechy. Innymi słowy zbiory liczb algebraicznych i przestępnych dzielą prostą rzeczywistą zgodnie z danymi zawartymi w tabeli 2., czyli na dwa zbiory gęste. 3 Moc Gęstość Kategoria Miara Zbiór liczb rzeczywistych c gęsty II Zbiór liczb algebraicznych ℵ 0 gęsty I 0 Zbiór liczb przestępnych c gęsty II Tabela 2: Dekompozycja prostej na liczby algebraiczne i przestępne. Ponownie rozbiliśmy prostą rzeczywistą na dwa zbiory: jeden zbiór pierwszej kategorii i miary zero, drugi będący zbiorem drugiej kategorii i nie będący zbiorem miary zero. Dekompozycja prostej w taki sposób ponownie nie niesie za sobą niczego pozornie paradoksalnego dopóki jeden ze zbiorów jest w każdym badanym sensie miary i kategorii zbiorem mniejszym od drugiego. Rozszerzenie zbioru liczb wymiernych na liczby algebraiczne nie zmieniło cech naszej dekompozycji dopóki klasa bardziej ogólna jest klasą przeliczalną. 2 Dowolna liczba n m przy naturalnych n, m jako pierwiastek wielomianu fx = x n m jest liczbą algebraiczną. 3 Nie istnieje zatem przedział złożony tylko z liczb algebraicznych lub tylko z liczb przestępnych. Michał Czapek 3 Wszelkie prawa zastrzeżone

3 Liczby Liouville a Liczbę niewymierną z nazywamy liczbą Liouville a gdy dla każdej liczby naturalnej n istnieją całkowite p, q q > takie, że z p < q q n. Przykładem liczby Liouville a jest każda liczba z = i= c i/0 i! gdzie c i są dowolnymi liczbami ze zbioru {, 2,..., 9}. Istotnie, ponieważ dla każdego n suma częściowa s n = n i= c i/0 i! jest liczbą wymierną postaci p/q gdzie q = 0 n!, przeto z p = q = i=n+ c i 0 i! i=n+ 9 0 i! < 9 + 0 n+! 0 0 = 0 n+! 0 n!n 0n! 0 n!n = q n. i= 0 i = W szczególności liczba i=0 /0i! = 0, 000000000000000000000... której rozwinięcie dziesiętne ma liczbę na każdym n! miejscu po przecinku przy n =, 2, 3,... oraz 0 poza tym, jest liczbą Liouville a. Lemat. Dla każdej liczby algebraicznej z stopnia n > istnieje liczba naturalna M taka, że z p > q Mq n dla wszystkich liczb całkowitych p, q q > 0. Dowód. Niech f będzie takim wielomianem stopnia n dla którego liczba z jest pierwiastkiem. Niech M będzie taką liczbą naturalną że f x M jeżeli tylko z x. Wówczas z twierdzenia Lagrange a o wartości średniej istnieje pomiędzy liczbami z i x taka liczba y, że fx = fz fx = f y z x M z x, 6 jeżeli tylko z x. Weźmy dwie dowolne liczby całkowite p, q q > 0. Jeżeli z p/q >, to teza jest oczywiście spełniona, bo liczby M oraz q n są liczbami naturalnymi. Niech z p/q. Z 6 wynika że fp/q M z p/q. Stąd q n fp/q Mq n z p/q. 7 Równanie fx = 0 nie ma rozwiązań wymiernych w przeciwnym razie z byłaby liczbą algebraiczną niższego stopnia niż n. Ponadto q n fp/q jest liczbą całkowitą. Stąd lewa strona 7 jest przynajmniej równa, zatem z p/q /Mq n. Równość nie zachodzi ponieważ z jest liczbą niewymierną. Twierdzenie 2. Każda liczba Liouville a jest liczbą przestępną. Michał Czapek 4 Wszelkie prawa zastrzeżone

Dowód. Załóżmy że istnieje liczba Liouville a z będąca liczbą algebraiczną stopnia n n > gdyż z jest niewymierne. Na mocy lematu. istnieje takie M, że z p > q Mq n 8 dla wszystkich liczb całkowitych p, q q > 0. Weźmy liczbę naturalną k taką, że 2 k 2 n M. z jest liczbą Liouville a, przeto istnieją liczby całkowite p, q q > dla których z p < q q k. 9 Nierówności 8 i 9 pociągają nierówność /q k > /Mq n. Stąd M > q k n 2 k n M. Otrzymana sprzeczność dowodzi prawdziwości twierdzenia. Niech L będzie zbiorem liczb Liouville a. Definicja liczby Liouville a pociąga za sobą równość L = Q C G n 0 gdzie dla każdego n naturalnego G n = p= n= p q q n, p q + q n. L jest zbiorem gęstym. Istotnie, ustalmy dowolnie liczbę naturalną n. G n zawiera każdą z liczb postaci p/q gdzie q 2, stąd G n Q. G n jest ponadto zbiorem otwartym bo jest sumą zbiorów otwartych. Jako zbiór otwarty i gęsty posiada nigdzie gęste dopełnienie G n C. Na mocy 0 L C = Q G n C, czyli L C jest zbiorem pierwszej kategorii. Z uwagi na twierdzenie Baire a zbiór L jest zbiorem gęstym. 4 Zbiór liczb Liouville a jest drugiej kategorii gdyż L = R\L C, gdzie przestrzeń R, jako zupełna, jest drugiej kategorii. Stąd L jest również nieprzeliczalny; gdyby był przeliczalny to jako przeliczalna suma zbiorów jednopunktowych liczb, a więc zbiorów nigdzie gęstych byłby zbiorem pierwszej kategorii. L jest miary zero. W samej rzeczy, na mocy 0 L G n dla każdego n. Stąd dla dowolnych liczb naturalnych m, n L m, m Gn m, m n= mq p= mq 4 W każdym przedziale znajduje się liczba Liouville a. p q q n, p q + q n, Michał Czapek 5 Wszelkie prawa zastrzeżone

przy czym ostatnia inkluzja wynika z faktu że G n m, m nie zawiera liczb z przedziałów m /2, m] oraz [m, m + /2. Stąd L m, m możemy pokryć ciągiem przedziałów których sumaryczna długość dla n > 2 podlega oszacowaniu mq p= mq 2 q n = 4m + 22qm + q n dx 4m + = xn n 2, 4qm + q q n = 4m + q n co dla odpowiednio dużych n jest mniejsze od dowolnie z góry zadanej dodatniej liczby ε. Wykresy przedstawione na rysunku na stronie 6. prezentują ideę ostatniego oszacowania przy n = 3 sumaryczne pole prostokątów stanowi sumę szeregu po lewej stronie nierówności, pole pod krzywą jest równe całce po prawej stronie nierówności, pole zakolorowanego obszaru jest równe różnicy między stronami nierówności. Wykazaliśmy że zbiór L m, m jest miary zero dla dowolnego m, stąd zbiór liczb Liouville a jako przeliczalna suma zbiorów miary zero jest miary zero. Stąd zbiór L C nie może być zbiorem miary zero jako dopełnienie L do prostej rzeczywistej. Zbiory L i L C dzielą zbiór liczb rzeczywistych zgodnie z danymi zawartymi w tabeli 3. Moc Gęstość Kategoria Miara Zbiór liczb rzeczywistych c gęsty II Zbiór liczb Liouville a c gęsty II 0 Dopełnienie zbióru liczb Liouville a I Tabela 3: Dekompozycja prostej rzeczywistej na zbory L i L C. Zbiory L i L C dzielą prostą rzeczywistą na dwa zbiory w pewnym sensie, metrycznym lub topologicznym, małe. Michał Czapek 6 Wszelkie prawa zastrzeżone

Niech s > 0 będzie dowolną ustaloną liczbą rzeczywistą. Zbiór A jest s- -wymiarowej miary Hausdorffa zero gdy dla dowolnego ε > 0 istnieje takie pokrycie I n zbioru A, że I n s < ε oraz I n < ε dla wszystkich n. Niech L oznacza klasę zbiorów miary zero i H s klasę zbiorów s-wymiarowej miary Hausdorffa zero. Zbiór -wymiarowej miary Hausdorffa zero jest zbiorem miary zero i odwrotnie, zatem L = H. Jeżeli zbiór jest s-wymiarowej miary Hausdorffa zero to jest t-wymiarowej miary Hausdorffa zero dla wszystkich t > s. Istotnie, dla dowolnie ustalonych 0 < s < t oraz ε 0,, jeśli A H s, i.e. istnieją przedziały I n takie, że A I n, In s < ε oraz I n < ε dla wszystkich n, to z nierówności I n t < I n s wynika że I n t < ε, więc A H t, c.b.d.o. Innymi słowy H s H t dla wszystkich 0 < s < t. W szczególności jeżeli s 0, to H s L, zatem L H s dla wszystkich s. L H s dla wszystkich 0 < s <. W samej rzeczy, obierzmy taką liczbę naturalną n że spełnione są nierówności 2 n < ε, ns > 2, oraz 2m + 2 s < ε, ns 2 dla dowolnie ustalonych ε > 0, 0 < s < oraz m m jest liczbą naturalną. Zważywszy na inkluzję gdzie każdy z przedziałów p/q /q n, p/q + /q n ma długość 2/q n 2/2 n < ε, mq p= mq s 2 q n = 2qm + 2 s q ns 2m + 2 s q 2m + 2 s zatem L H s dla wszystkich s > 0. 4 Twierdzenie o dekompozycji dx 2m + 2s = xns ns 2 ns < ε, W punkcie 3. rozłożyliśmy prostą rzeczywistą na dwa metrycznie lub topologicznie małe zbiory: jeden zbiór miary zero zbiór liczb Liouville a L i jeden zbiór pierwszej kategorii zbiór L C. Ten sam efekt można osiągnąć w sposób jaki zaprezentujemy w twierdzeniu 3. Twierdzenie 3. Istnieją zbiór A pierwszej kategorii i zbiór B miary zero takie, że A B = R i A B =. Michał Czapek 7 Wszelkie prawa zastrzeżone

Dowód. Niech {a, a 2, a 3,...} będzie zbiorem liczb wymiernych oraz niech I ij, gdzie i, j N niezależnie od siebie, będzie otwartym przedziałem o środku w punkcie a i i długości /2 i+j. Niech ponadto G j = i= I ij i niech B = j= G j. Dla każdego ε > 0 możemy wybrać takie j że /2 j < ε. B i= I ij oraz I ij = 2 i+j = 2 j < ε, i= i= zatem B jest zbiorem miary zero. Z drugiej strony G j są gęste i otwarte ponieważ są sumami przedziałów otwartych które zawierają wszystkie liczby wymierne, zatem ich dopełnienia G j C są nigdzie gęste. Ponieważ A = C C Gj = G j = B C, j= przeto A jest zbiorem pierwszej kategorii. Rozkład z twierdzenia 3. jest takim samym rozkładem dowolnego podzbioru prostej rzeczywistej. Istotnie, ustalmy dowolnie zbiór X R. A\R\X jako podzbiór zbioru A jest zbiorem pierwszej kategorii. B\R\X jako podzbiór zbioru B jest zbiorem miary zero. Ponadto A\R\X B\R\X = A B\R\X = R\R\X = X, j= c.b.d.u. Ponieważ klasy zbiorów miary zero i zbiorów pierwszej kategorii są domknięte na operację co najwyżej przeliczalnej sumy a prosta rzeczywista jest zbiorem drugiej kategorii i zbiorem nie będącym zbiorem miary zero, każdy ze zbiorów A i B należy do jednej z klas i nie należy do drugiej; klasy te więc nie pokrywają się. Literatura [] M. Czapek, Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych, http://www.czapek.pl [2] J. Oxtoby, Measure and Category, GTM 2, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 980. Michał Czapek 8 Wszelkie prawa zastrzeżone