WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK WYJŚCIOWYCH CZUJNIKA OPTYCZNEGO METODĄ APROKSYMACJI ŚREDNIOKWADRATOWEJ

Pior Jankowski, Andrzej Piła Akademia Morska w Gdyni Joanna Wołoszyn Poliechnika Gdańska WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK WYJŚCIOWYCH CZUJNIKA OPTYCZNEGO METODĄ APROKSYMACJI ŚREDNIOKWADRATOWEJ W arykule przedsawiono sposób wyznaczania charakerysyki wyjściowej opycznego czujnika przemieszczenia prosoliniowego z wykorzysaniem aproksymacji średniokwadraowej. Procedurę do aproksymacji zbioru punków zbudowano w środowisku Mahcad, opierając się na orogonalnych funkcjach Grama. Zaprezenowano wyniki badań symulacyjnych określających funkcje aproksymujące dla znanej funkcji analiycznej z zadanymi losowo zakłóceniami. Na ej podsawie przeprowadzono dyskusje na ema najkorzysniejszej liczby punków pomiarowych. WPROWADZENIE Bardzo częso w echnice isnieje konieczność zidenyfikowania wyznaczanej funkcji na podsawie danych pomiarowych. Aproksymacja, dzięki swoim filrującym właściwościom, jes jednym z ważniejszych procesów obróbki danych wykonywanych przez inżyniera. W prakyce inżynier nie zna prawdziwej szukanej funkcji eoreycznej i musi dokonać oceny, czy funkcja uzyskana w wyniku aproksymacji w sopniu dosaecznym przybliża funkcję eoreyczną, najczęściej na podsawie błędu średniokwadraowego określonego zależnością: n 1 n = i i n 1 i= ( ) 2 Δs : y gl x, + (1) gdzie: y i zbiór warości punków pomiarowych, gl(x i ) warości funkcji aproksymującej w wybranych węzłach. Wśród decyzji, jakie należy podjąć, przeprowadzając aproksymację zbioru punków pomiarowych, jako najisoniejsze wymienia się: wybór rodzaju aproksymacji w zależności od definicji miary odchylenia, rodzaj funkcji bazowych zasosowanych w wielomianie uogólnionym oraz sopień zasosowanego wielomianu. Innym isonym problemem, kóry musi rozwiązać inżynier, jes podjęcie

76 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 66, grudzień 21 decyzji o liczbie punków pomiarowych, jakie powinien uzyskać w celu orzymania najlepszej aproksymacji. Jes o ważne zwłaszcza przy wyznaczaniu charakerysyk saycznych w układach pomiarowych, przy kórym uzyskanie dużej liczby punków jes czasochłonne (w przeciwieńswie do pomiarów oscyloskopowych). Wydaje się, że en osani problem nie jes wysarczająco podkreślany w klasycznych podręcznikach meod numerycznych [2, 4, 7]. Dlaego auorzy niniejszej pracy podjęli próbę opracowania procedury z możliwością porównania wpływu liczby danych na odchylenie średniokwadraowe. Procedura określa również charakerysyki w funkcji czasu błędu bezwzględnego i względnego w sosunku do krzywej eoreycznej. Wnioski uzyskane z ych badań wykorzysano w echnicznym problemie wyznaczenia charakerysyk wyjściowych czujnika opycznego służącego do rejesracji dynamicznych przemieszczeń. 1. OPTYCZNY CZUJNIK PRZEMIESZCZEŃ LINIOWYCH Isonym fragmenem badań ulraszybkich napędów elekrodynamicznych [3] jes rejesracja przemieszczenia części ruchomej napędu (dysku) (rys. 1). Ze względu na znaczne warości przyśpieszenia chwilowego osiągające nawe 5 g czujniki przemieszczenia muszą charakeryzować się akimi cechami, jak: brak inercji, mała masa i bezsykowość elemenów ruchomych oraz odporność na drgania. Dodakowo, ze względu na generowane silne pole magneyczne przez cewkę napędu, czujnik musi być odporny na wpływ ego pola. Określenie funkcji przemieszczenia liniowego można wyznaczyć meodą pośrednią, rejesrując przyśpieszenie ulradynamicznym czujnikiem piezoelekrycznym [8], a nasępnie całkując dwukronie uzyskaną funkcję. Do meod bezpośrednich wykorzysuje się współcześnie bardzo drogie ulraszybkie kamery cyfrowe posiadające oprogramowanie, kóre pozwala na wyznaczenie rajekorii filmowanego ruchomego przedmiou, a dalej funkcję przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia w czasie. Obecnie kamera firmy Phanom V-12 jes w sanie wykonać milion klaek na sekundę [9]. Alernaywną meodą, znacznie ańszą, jes zasosowanie czujników opycznych. W kaedrze Elekroenergeyki Okręowej Akademii Morskiej zosał zbudowany opyczny czujnik przemieszczenia liniowego, kórego głównym elemenem jes układ sekwencyjnie połączonych fooelemenów (rys. 2) sanowiący zw. linijkę świałoczułą. Linijka świałoczuła znajduje się pod aluminiową przesłoną (rys. 1). Przesłona połączona jes za pomocą lekkiego aluminiowego rzpienia z dyskiem napędu. W czasie ruchu dysku przemieszczająca się przesłona odsłania elemen świałoczuły. Wzros oświelanej powierzchni fooelemenu powoduje zwiększenie się sygnału wyjściowego na jego zaciskach. Czujnik wyposażony jes w filr szklany wykonany ze szkła maowego, aby poprawić równomierność rozkładu promieniowania świelnego na całej powierzchni fooelemenu.

P. Jankowski, A. Piła, J. Wołoszyn, Wyznaczanie charakerysyk wyjściowych czujnika opycznego... 77 Hamulec Cewka Obudowa Oświelenie max. Filr kierunek ruchu min. Prę Dysk Przegub Przysłona Linijka świałoczuła Rys. 1. Schema układu pomiarowego przemieszczenia prosoliniowego [opracowanie własne] Obudowa czujnika wykonana z aluminium zosała pokrya od wewnąrz czarną maową farbą, aby zapobiec ewenualnym odbiciom i załamaniom świała oraz zminimalizować wpływ świała zewnęrznego przedosającego się przez szczelinę w obudowie. Anoda A1 Anoda A2 K1 Kaoda K2 Kaoda Rys. 2. Układ fooelemenów linijka świałoczuła [opracowanie własne] Widok czujnika opycznego, w kórym przysłona połączona jes ze śrubą mikromeryczną służącą do kalibracji, przedsawiono na rysunku 3.

78 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 66, grudzień 21 a) b) Rys. 3. Czujnik opyczny: a) widok linijki świałoczułej, b) widok czujnika opycznego [opracowanie własne] W celu konwersji rejesrowanego przez oscyloskop sygnału napięciowego na funkcję przemieszczenia należy bardzo precyzyjnie wyznaczyć charakerysykę wyjściową czujnika. Charakerysykę fooelemenu można określić w jednym z dwóch układów: ogniwa fooelekrycznego (rys. 4a) lub w układzie foodiody zasilanej z zewnęrznego źródła napięcia (rys. 4b). Badania prowadzące do orzymania najkorzysniejszej charakerysyki konynuowano w układzie foodiody, ponieważ charakerysyki w układzie fooogniwa charakeryzowały się małą czułością. a) b) Osc. D D R E R Osc.. Rys. 4. Schema połączeń złącza fooelemenu: a) w układzie fooogniwa, b) w układzie foodiody [opracowanie własne] W celu znalezienia najkorzysniejszej charakerysyki zewnęrznej prowadzone były badania z różnymi rodzajami źródeł świała (halogenowe, diodowe) oraz przy różnej warości rezysancji obciążenia R [6]. Na rysunku 5 przedsawiono rodziny charakerysyk zewnęrznych uzyskanych dla całej długości linijki świałoczułej w zależności od warości R dla świała diodowego. Przebiegi e charakeryzowały się srefą nieczułości w począkowym obszarze linijki oraz nasyceniem dla większych warości R.

P. Jankowski, A. Piła, J. Wołoszyn, Wyznaczanie charakerysyk wyjściowych czujnika opycznego... 79 11 U6(X) dla R = 4 k? U5(X) dla R = 2 k? U1 U2 U3 U4 U5 U6 [V] 8.25 5.5 2.75 U4(X) dla R = 1 k? U3(X) dla R =4 k? U2(X) dla R = 2 k? U1(X) dla R = 5? 5 1 15 2 25 X [mm] Rys. 5. Rodzina charakerysyk dla różnych R [opracowanie własne] Badania napędów elekrodynamicznych związane są z ich zasosowaniem w wyłącznikach hybrydowych, w kórych zasadnicze przemieszczenie isone dla pracy wyłącznika nie przekracza 5 mm [3]. Dlaego charakerysykę zewnęrzną osaecznie określono w zakresie pomiędzy srefą nieczułości i momenem nasycenia. Na rysunku 6 przedsawiono zbiór punków pomiarowych i wyznaczoną na ich podsawie charakerysykę zewnęrzną czujnika dla przedziału między 3 a 8 mm linijki świałoczułej. Przy zmniejszonym zakresie Δx, dla kórego wyznaczano charakerysykę, można zauważyć zakłócenia, kórymi obarczone są punky pomiarowe. 9.5 7.375 U6 Y 5.25 [V] 3.125 1 3 4 5 6 7 8 X [mm] Rys. 6. Zaproksymowana charakerysyka dla Δx = 5 mm [opracowanie własne]

8 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 66, grudzień 21 Obserwowane zakłócenia mogą być spowodowane zarówno przez układ pomiarowy, jak i sam fooelemen, kóry w układzie pracy foodiody wywarza szum śruowy oraz szum niskiej częsoliwości [1]. Ponieważ jako źródło świała zasosowano lampę diodową, nie można również wykluczyć wpływu zmian emperaury ooczenia na prąd foodiody podczas wyznaczania charakerysyki [1]. Ze względu na uwidaczniające się zakłócenia zarówno o charakerze deerminisycznym, jak i sochasycznym konieczne było dokonanie numerycznej filracji pozwalającej na uzyskanie powarzalnej precyzyjnej charakerysyki zewnęrznej czujnika. 2. FILTRACJA ZBIORU DANYCH METODĄ APROKSYMACJI ŚREDNIOKWADRATOWEJ Spośród licznych programów umożliwiających kompuerowe wspomaganie projekowania w osanim czasie środowisko Mahcad zyskuje sobie coraz większą popularność. Jes o wynikiem najbardziej zbliżonej synakyki maemaycznej do funkcji wbudowanych środowiska Mahcad w porównaniu z innymi ego ypu programami. W środowisku Mahcad isnieje wiele procedur aproksymujących charakerysyki dane w posaci dwóch wekorów przy zasosowaniu kryerium odchylenia średniokwadraowego. Auorzy posanowili jednak zbudować własną procedurę aproksymacji zbioru danych, opierając się na orogonalnych funkcjach Grama, zwłaszcza że w prakyce pomiarowej orzymane punky mogą być równoodległe. W Mahcadzie funkcje Grama bardzo ławo można sformułować nasępująco: s 1 k x i s k! ( k + s)! i Pol _Grama( x,k,n) : = ( 1) if s >,, 1. s! 1 ( k s)! s! k! s s= ( n i) i= (2) Powyższy wzór generuje auomaycznie kolejne orogonalne wielomiany Grama w zależności od argumenu k. Współczynniki wielomianu uogólnionego obliczono w Mahcadzie nasępująco: n n 2 ( c j ) s j : = ( Pol _Grama( i, j,n) ) c j : = ( yi Pol _ Grama( i, j,n) ) wsp j : =. s i= i= j (3) Osaecznie wielomian aproksymujący zbiór danych wykorzysujący obliczone współczynniki ma posać: m gl() : = ( wsp j wielomian _ Grama( geq(), j,n )). (4) j=

P. Jankowski, A. Piła, J. Wołoszyn, Wyznaczanie charakerysyk wyjściowych czujnika opycznego... 81 Aproksymując zbiór punków pomiarowych zakłada się a priori, że zosały wyznaczone z nieokreśloną dokładnością. Do celów dydakycznych przeprowadzono aproksymacje danych będące sumą funkcji eoreycznej, do kórej dodano zakłócenia. Z ego powodu w odrębnym pliku wygenerowano szum z użyciem generaora liczb losowych (rnd). runc( rnd ( max _ poega) ) 5 di : = ( 1) 1 rnd( 1) h1 : = + 2 2 2 ( + 3) Waro zwrócić uwagę, że również znak zakłócenia był dobrany losowo. Wygenerowany wekor błędów zosał nasępnie zapisany na dysku za pomocą funkcji WRITEPRN pod zdefiniowaną nazwą. Nazwę ę nasępnie zamieniono ze względu na o, że przy każdym owarciu ego pliku funkcja rnd wygeneruje inną ablicę błędów. Drugi plik zaczyna się od insrukcji READPRN, co pozwala na odczy niezmienniczego zbioru danych. W programie głównym sworzono procedurę, kóra z powyższego zbioru może wybierać punky w zależności od zadeklarowanej liczby. Ponieważ sworzono zbiór danych składający się z 25 punków, symulację przeprowadzono dla n będących podzielnikiem 25 (n = 1, 2, 25, 5, 1, 2, 5, 125, 25). Gwaranuje o wybór za każdym razem równooddalonych punków w całym zadanym przedziale. Symulacje przeprowadzono przy zasosowaniu wielomianu 6. sopnia spełniającego warunek m< 2 n określającego sopień wielomianu w sosunku do liczby równoodległych punków. Lising całej procedury przedsawiono w załączniku do niniejszego arykułu (s. 86 93). Wyniki badań symulacyjnych dla różnych podzbiorów w zależności od n przedsawiono za pomocą wykresów (rys. 7 12). Na rysunku 7 przedsawiono zasymulowany zbiór danych przez procedurę Generaor danych (parz: załącznik) dla liczby punków n = 25. Rysunek 8 ilusruje funkcję wielomianową uzyskaną w wyniku aproksymacji zbioru danych z rysunku 7. Obserwując na rysunku 9 funkcje aproksymujące wyznaczone dla mniejszej liczby punków pomiarowych (n = 1, 2), można swierdzić, że ich zgodność z funkcją (w porównaniu do gl 25 z rys. 8) jes niesaysfakcjonująca. 14 12 1 y 8 h1( x) 6 4 2 2 4 6 8 1 x Rys. 7. Zbiór danych pomiarowych (n = 25) i funkcja [opracowanie własne] (5)

82 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 66, grudzień 21 h1 gl25 1 5 2 4 6 8 1 Rys. 8. Aproksymacja dla n = 25 i funkcja [opracowanie własne] 1 h1 () gl1() gl2() 5 2 4 6 8 1 Rys. 9. Aproksymacje dla n = 1,2 i funkacja [opracowanie własne] Przebieg odchylenia średniokwadraowego wyznaczonego na podsawie wzoru (1) dla liczebności zbiorów punków pomiarowych n = 1, 2, 25, 5, 1, 2, 5, 125, 25 przedsawiono na rysunku 1. 6 5 4 Δs wr 3 2 1 25 5 75 11 3 1.25 1 3 1.5 1 3 1.75 1 3 21 3 2.25 1 3 2.5 1 3 k r Rys.1. Odchylenie średniokwadraowe w funkcji liczby punków pomiarowych [opracowanie własne]

P. Jankowski, A. Piła, J. Wołoszyn, Wyznaczanie charakerysyk wyjściowych czujnika opycznego... 83 Z przebiegu odchylenia średniokwadraowego w funkcji liczby punków pomiarowych wynika, że począwszy od n = 5 błąd en nie ulegał zmianie. Dla wszyskich badanych przypadków określono maksymalne błędy bezwzględne oraz względne na podsawie przebiegów warości bezwzględnej ych błędów w funkcji czasu (rys. 12). Przebieg supremów błędów bezwzględnych i względnych w zależności od n przedsawia rysunek 11. 1 12 8 1 Δmax r 6 4 8 δmax r 2 6 4 25 5 75 11 3 1.25 1 3 1.5 1 3 1.75 1 3 21 3 2.25 1 3 2.5 1 3 k r Rys. 11. Wykres maksymalnego błędu względnego i bezwzględnego [opracowanie własne] 1 8 Δ1 Δ5 Δ5 Δ25 () () () () 6 4 2.1.1 1 1 Rys. 12. Błąd bezwzględny w funkcji czasu [opracowanie własne]

84 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 66, grudzień 21 PODSUMOWANIE Obserwując przebieg z rysunku 1 można swierdzić, że najmniejszą warość miary odchylenia średniokwadraowego orzymano dla aproksymacji przy n =1 punków pomiarowych, mimo że zarówno błąd względny, jak i bezwzględny dla ego przebiegu okazał się największy (rys. 11 12). Z drugiej srony należy pamięać, że odchylenie średniokwadraowe punków nie jes wyznaczone w sosunku do punków krzywej eoreycznej. Oznacza o, że odchylenie nie powinno być jedynym wskaźnikiem wyboru najlepszej aproksymacji, mimo mniejszej warości odchylenia średniokwadraowego (podobne wyniki uzyskano z innymi funkcjami bazowymi). W pracy [7] można znaleźć swierdzenie, że ze wzrosem liczby punków zbliżamy się do warości oczekiwanej (przy założeniu braku błędów sysemaycznych). Jednak obserwując przebieg błędów oraz same aproksymacje, można było swierdzić, że najlepszą aproksymacją (przy zasosowaniu wielomianów Grama) jes przypadek dla n = 25 punków (rys. 8). Problem wydaje się być jednak owary, gdyż w prakyce inżynierskiej nieznana jes funkcja eoreyczna i nie można dokonać akich porównań. Odrębnym zagadnieniem nieporuszanym w ym arykule jes dobór funkcji bazowych oraz sopnia wielomianu uogólnionego. Jednakże wyniki przeprowadzonych symulacji dla danego zbioru danych (n = 25) pokazały, że w miarę wzrosu sopnia wybranego wielomianu błąd średniokwadraowy malał asympoycznie. Podsumowując uzyskane wyniki z badań filracji zbiorów danych meodą aproksymacji średniokwadraowej, można swierdzić, że: począwszy od pewnej liczby punków pomiarowych błąd średniokwadraowy nie zmienia swojej warości, przebieg błędu średniokwadraowego w funkcji liczby punków pomiarowych nie powinien być jedynym kryerium określającym wysarczającą ich liczbę do wyznaczenia funkcji aproksymującej, błąd średniokwadraowy nie może być również jedynym wskaźnikiem określającym sopień wielomianu aproksymującego. Do aproksymacji punków pomiarowych uzyskanych przy wyznaczaniu charakerysyki wyjściowej czujnika opycznego wykorzysano opracowaną w środowisku Mahcad procedurę oparą na orogonalnych funkcjach Grama. Jako wysarczającą liczbę punków pomiarowych na drodze 5 mm przy wyznaczaniu ej charakerysyki przyjęo n = 5. Uzyskanie większej liczby pomiarów byłoby urudnione ze względu na rozdzielczość sosowanej śruby mikromerycznej. Procedura a zosała również wykorzysana do aproksymacji oscyloskopowych wyników przemieszczenia dysku przed konwersją (rys. 14) z użyciem charakerysyki wyjściowej (rys. 15). Meodę wyznaczania przebiegu przemieszczenia przedsawia schema blokowy (rys. 13).

P. Jankowski, A. Piła, J. Wołoszyn, Wyznaczanie charakerysyk wyjściowych czujnika opycznego... 85 Zbiór danych pomiarowych charakerysyki wyjściowej U6(x) czujnika opycznego Charakerysyka wyjściowa U(x) czujnika opycznego po aproksymacji Sygnał napięciowy U1() z czujnika opycznego zarejesrowany przez oscyloskop Aproksymacja sygnału cyfrowego U1() U2() Konwersja sygnału U2() x() na podsawie charakerysyki wyjściowej U(x) Rys. 13. Schema blokowy procedury wyznaczania przebiegu przemieszczenia [opracowanie własne] 15 U1 U2 [V] 1 5 1 1 2 3 4 5 [ms] Rys. 14. Przebieg napięcia na zaciskach czujnika i jego aproksymacja [opracowanie własne] 11 9 X [mm] 7 5 3 1-1 1 2 3 4 5 [ms] Rys. 15. Przebieg przemieszczenia uzyskany po konwersji na podsawie charakerysyki wyjściowej czujnika [opracowanie własne]

86 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 66, grudzień 21 ZAŁĄCZNIK Lising programu do badania jakości aproksymacji Generaor danych n := 25 i :=.. n max_poega := 9 d i := runc ( 1 ) ( rnd max_poega )) 1 rnd ( 1 ) WRITEPRN ("SzumikX" ) := d h1 () := 5 ( + 3) + 2 2 d i x i := i 1 hszc i := h1 x i + WRITEPRN ("Punky_i_szum1" ) := hszc n Sar procedury aproksymującej h1 () 5 := ( + 3) 2 + 2 2 h1 ( ) = 4 funkcja real eoreyczna funcion Wczyywanie danych i :=.. n punkyiszum := READPRN ("Punky_i_szum1.prn" ) Generowanie podzbioru PIS_coun := lengh( punkyiszum) PIS_coun = 2.51 1 3 PIS_sep floor PIS_coun := PIS_sep = 1 x i := i 1 n n j( i) := i PIS_sep hsz i := punkyiszum j() i y i := hsz i Zbiór wygenerowanych danych pomiarowych na le funkcji eoreycznej xi =.4.8.12.16.2.24.28... yi = 41.933231989 34.7692565293 41.83859645 55.12335669 64.453442724 53.752584569 57.319448781 7.115926776... 14 12 1 y 8 x 6 4 2 2 4 6 8 1 x

P. Jankowski, A. Piła, J. Wołoszyn, Wyznaczanie charakerysyk wyjściowych czujnika opycznego... 87 Wielomiany Grama k Pol_Grama( x, k, n) := s = x argumen k sopień wielomianu n liczba punków s 1 x i ( 1) s k! ( k + s)! i = if s >,, 1 s! ( k s)! s! k! s 1 n i i = Wybór sopnia wielomianu uogólnionego m := 6 j :=.. m Sprawdzenie orogonalności n i = ( Pol_Grama ( i, 5, n) Pol_Grama ( i, 6, n) ) = 7.639174957 1 13 Wyznaczenie współczynników wielomianu uogólnionego n s j ( Pol_Grama ( i, j, n) ) 2 n c := c j ( y i Pol_Grama ( i, j, n) ) j := wsp j := s j i = i = s j = c j = wsp j = 251 2.754898193 14 19.7569115 84.336-154.8657295419-1.8362944596 51.414477184-1.234663619 1 3-24.128156758 37.6131255344-767.984599728-2.4179848 3.221723252-412.618551238-13.661883211 25.715375161-15.4157173273-5.8492523133 22.82491858-49.667284559-2.176114744 wsp j uzyskane współczynniki w zależności od n 12.77897386 15.72736231 17.551967955 18.562687644 8.371455614 4.3975831877 4.289823227 3.533696267 27.77183874 S1 := 17.9231181876 27.688347248 S2 := 18.61925257 26.5511259324 S25 := 2.618134559 25.99251157 S5 := 2.825356589 7.221143481 8.325642411 1.577561768 1.3149161491.187891463 2.425223187 1.8454622999 3.8488697477.19577391.933585799 1.237217317 1.2787447412

88 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 66, grudzień 21 18.9976816858 19.733144917 19.7569115 2.28616952 2.2664724851 1.8362944596 24.1348846198 22.7956312866 24.128156758 S1 := 2.543172796 S125 := 19.27937737 S25 := 2.4179848 11.6547256723 14.953542242 13.661883211 5.79429138 5.498499262 5.8492523133 2.4213358777 1.88435984 2.176114744 19.95775394 19.9316454978 11.119249791 1.46352746 1.7888192 1.679467312 24.7587786419 24.1468666854 24.521941334 S5 := 2.5688896798 S125 := 2.739418378 S25 := 2.67467215 12.1352246381 12.1844435 12.313474157 5.799644929 6.36944434 6.563958748 2.361724186 2.4357678561 2.782234539 Transformacja danych w zbiór liczb nauralnych val x_sep := x 1 x geq( val, lba) := 1 lba geq1 ( val ) val x := x_sep Wielomian uogólniony (aproksymujący zbiór danych) m faprox(, W, lba) := j = ( W j Pol_Grama( geq(, lba), j, lba) ) faprox_p() m := j = ( wsp j Pol_Grama( geq1 (), j, n) ) gl1 := faprox(, S1, 1) gl2 := faprox(, S2, 2) gl25 := faprox(, S25, 25) gl5 := faprox(, S5, 5) gl1 := faprox(, S1, 1) gl125 := faprox(, S125, 125) :=,.1.. 1 gl := faprox_p()

P. Jankowski, A. Piła, J. Wołoszyn, Wyznaczanie charakerysyk wyjściowych czujnika opycznego... 89 Błąd średniokwadraowy n 1 Δs n := ( y i gl( x i )) 2 Δs n+ 1 n = 5.44996515 n 25 r := 1.. 1 i = Wyniki błędu średniokwadraowego dla różnej liczby wybranych punków n (k r ): Δs wr :=.86726758 4.2946681 5.42223954 5.5648147 5.637547 5.39739345 5.44996515 5.72539794 5.7941872 5.73437547 k r := 1 2 25 5 1 125 25 5 125 25 6 5 4 Δs wr 3 2 1 25 5 75 11 3 1.25 1 3 1.5 1 3 1.75 1 3 21 3 2.25 1 3 2.5 1 3 k r Aproksymacje funkcji dla różnych n gl1() gl2() gl25() 1 gl5() gl1() gl125() gl25() gl5() 5 gl125 () gl25 () 2 4 6 8 1

9 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 66, grudzień 21 Aproksymacje funkcji dla n = 25 h1 () gl25 () 1 5 2 4 6 8 1 Błąd bezwzględny (warość bezwzględna) dla różnych n Δ1 := gl1 Δ2 := gl2 Δ25 := gl25 Δ5 := gl5 Δ1 := gl1 Δ125 := gl125 Δ25 := gl25 Δ5 := gl5 Δ125 := gl125 Δ25 := gl25 Błąd względny (warość bezwzględna) dla różnych n δ1() δ5() Δ1 () Δ2 () := 1 δ2() := 1 δ25() := Δ5 () Δ1 () := 1 δ1() := 1 δ125() := Δ25 () Δ125 () 1 1 δ25() Δ25 () := 1 δ5() := Δ5 () 1 δ125() Δ125 () := 1 δ25() := Δ25 () 1

P. Jankowski, A. Piła, J. Wołoszyn, Wyznaczanie charakerysyk wyjściowych czujnika opycznego... 91 Δ1 () Δ2 () Δ25 () Δ5 () Δ1 () Δ125 () Δ25 () Δ5 () Δ125 () Δ25 () 1 8 6 4 2 Błąd bezwzględny w funkcji czasu.1.1 1 1 15 Błąd względny w funkcji czasu δ1() δ2() δ25() δ5() δ1() δ125() δ25() δ5() δ125() δ25() 1 5.1.1 1 1 Maksymalna warość błędu bezwzględnego Δmax1 i := Δ1 x i Δmax2 i := Δ2 x i Δmax25 i := Δ25 x i Δmax5 i Δ5 ( x i ) := Δmax1 i := Δ1 x i Δmax125 i := Δ125 x i Δmax25 i := Δ25 x i Δmax5 i := Δ5 x i

92 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 66, grudzień 21 Δmax r := Δmax125 i := Δ125 x i Δmax25 i := Δ25 x i max( Δmax1 ) max( Δmax2 ) max( Δmax25 ) max( Δmax5 ) max( Δmax1 ) max( Δmax125 ) max( Δmax25 ) max( Δmax5 ) max( Δmax125 ) max( Δmax25 ) = k r Δmax r = 8.737685981 4.9267295466 3.2587652541 3.41335625 2.244532164 3.1312236265 1.826624766 2.8786452265 2.565952814 2.474843326 1 2 25 5 1 125 25 5 1.25 1 3 2.5 1 3 Maksymalna warość błędu względnego δ1( x i ) δmax1 i := δmax2 i := δ2 x i δmax25 i := δ25 x i δmax5 i := δ5 x i δmax1 i := δ1 x i δmax125 i := δ125 x i δ max r := δmax25 i := δ25 x i δmax5 i := δ5 x i δmax125 i := δ125 x i δmax25 i := δ25 x i max( δ max1) max( δ max2) max( δ max25) max( δ max5) max( δ max1) max( δ max125) max( δ max25) max( δ max5) max( δ max125 ) max( δ max25 ) = k r δ max r = 1.338955928 8.41878893 7.595345653 6.9214846495 5.6113341 7.82859663 4.566561915 7.196613662 6.41488235 6.187182565 1 2 25 5 1 125 25 5 1.25 1 3 2.5 1 3

P. Jankowski, A. Piła, J. Wołoszyn, Wyznaczanie charakerysyk wyjściowych czujnika opycznego... 93 Wykres maksymalnego błędu względnego i bezwzględnego 1 12 8 1 6 Δmax r 8 δmax r 4 2 6 4 5 1 1 3 1.5 1 3 2 1 3 2.5 1 3 k r Koniec programu LITERATURA 1. Boo K., Opoelekronika, WKiŁ, Warszawa 21. 2. Dahlquis G., Bjorck A., Numerical Mehods, PWN, Warszawa 1983. 3. Czucha J., Woloszyn J., Woloszyn M., The comparision of ulra fas A.C. hybrid circui breakers wih GTO and IGBT, 35h Universiies Power Engineering Conference UPEC 2, Belfas, 6 8 Sepember 2. 4. Foruna Z. i inni, Numerical Mehods, WNT, Warszawa 1982. 5. Jankowski P., Analysis of Measuremen Resuls in Elecroechnics in Mahcad Environmen, Akademia Morska w Gdyni, Gdynia 23. 6. Jankowski P., Dudojć B., Mindykowski J., Simple mehod of dynamic displacemen record of conacs driven by inducive dynamic drive, Merology and Measuremen Sysems, PAN, 29. 7. Ralson A., Inroducion o Numerical Analysis, PWN, Warszawa 1983. 8. www.pcp.cpm. 9. www.visionresearch.com.

94 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 66, grudzień 21 DETERMINING CHARACTERISTIC OF OPTIMETER BY MEAN SQUARE APPROXIMATION METHOD Summary For regisraion of he ulra-rapid displacemen we mus apply very dynamic sensor. The mos common ones are opimeers. The paper describes a mehod of deermining he saic characerisic of he opimeer of which he main par is a sysem of phoo-diodes. The ouer characerisic was supsmoohed by mean square approximaion. The auhors have buil heir own procedure of approximaion in he Mahcad environmen based on Gram orhogonal funcions for a se of measuremen daa. The measuremen daa se was buil adding a se of sochasic inerferences o a known heoreical funcion. Calculaion resuls are he basis for he choice of measuremen daa number.