(U.6) Oscylator harmoniczny

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 47 Rozdział 7 U.6 Oscylator harmoniczny 7. Rozwiązanie przez rozwinięcie w szereg W głównej części wykładu rozwiązanie zagadnienia własnego dla hamiltonianu kwantowo-mechanicznego oscylatora harmonicznego sprowadziliśmy do równania 6.8, tj. do f ξ ξf ξ + E fξ 0, gdzie ξ x. 7. Poszukiwana funkcja fξ jest związana z funkcjami własnymi ψx hamiltonianu wzorem ψx ψ x ψξ exp ξ fξ. 7. Funkcja fξ musi być " przyzwoita", taka aby funkcja falowa ψξ była funkcją normowalną, a więc musi być spełniony warunek dξ exp ξ fξ <. 7.3 Przedstawimy teraz zupełnie inną, choć nie mniej ogólną metodę rozwiązywania równania 7.. Podobne metody matematyczne można stosować również w innych zagadnieniach związanych z poszukiwaniem rozwiązań stacjonarnego równania Schrödingera dla innych układów fizycznych. 7.. Ogólna postać rozwiązań Szukamy rozwiązań równania 7.. Postulujemy jego rozwiązanie w postaci szeregu fξ n0 a n ξ n. 7.4 Wykonując niezbędne różniczkowania, podstawiamy otrzymane szeregi do równania 7. i dostajemy n0 a n nn ξ n + n0 a n [E n] ξ n 0. 7.5 Zauważmy, że dwa pierwsze n 0 i n wyrazy pierwszego szeregu zerują się. Przenumerowujemy składniki pierwszej sumy. Wprowadzamy nowy indeks sumowania n n, n 0,,,.... Wówczas, zamiast 7.5 mamy n 0 a n +n + n + ξ n + n0 a n [E n] ξ n 0. 7.6 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 47

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 48 W obu sumach występują te same potęgi zmiennej ξ. Wobec tego, z 7.6 wynika po opuszczeniu znaku prim [ ] an+ n + n + a n n E ξ n 0. 7.7 n0 Warunkiem znikania szeregu jest zerowanie się współczynników. To zaś jest równoważne warunkowi a n+ n + n + a n n E, 7.8 który zapiszemy w znacznie wygodniejszej postaci, jako a n+ a n n E n + n +. 7.9 Z tego rezultatu mamy następujące wnioski. Relacja 7.9 ma charakter związku rekurencyjnego, z którego możemy po kolei wyznaczać współczynniki rozwiązania 7.4. Zadając a 0, obliczamy a, a 4, itd. A więc za pomocą zadanego a 0, tworzymy szereg o potęgach parzystych. Analogicznie, z a mamy a 3, a 5, itd. W tym wypadku generujemy szereg o potęgach nieparzystych. Równanie różniczkowe 7., które tu rozwiązujemy, jest drugiego rzędu. Jego rozwiązanie musi więc zależeć od dwóch stałych dowolnych. Tymi stałymi mogą być współczynniki a 0 oraz a. Każdy z nich generuje w rekurencyjny sposób rozwiązanie o określonej parzystości. Można zresztą tego oczekiwać, bowiem potencjał oscylatora jest funkcją parzystą, więc powinniśmy mieć właśnie takie dwie klasy rozwiązań. A zatem, mamy dwa liniowo niezależne rozwiązania o określonej parzystości ψ p ξ exp ξ a 0 ψ n ξ exp ξ a k0 k0 a k a 0 ξ k, 7.0a a k+ a ξ k+, 7.0b gdzie współczynniki a 0 i a pełnią rolę stałych dowolnych. Wyrazy a k i a k+ obliczamy z relacji rekurencyjnej 7.9. Ogólne rozwiązanie naszego równania jest kombinacją liniową rozwiązań parzystego ψ p i nieparzystego ψ n. 7.. Dyskusja rozwinięć. Kwantowanie energii Rozważmy uzyskane szeregi zarówno dla przypadku parzystego, jak i dla nieparzystego. Dla parzystego n k, k 0,,,..., mamy szereg fξ k0 a k ξ k. 7. Relacja rekurencyjna ma zaś postać a k+ a k 4k + E k + k + k k. 7. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 48

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 49 Dla nieparzystego n k +, k 0,,,... mamy sytuacja jest podobna. W tym wypadku fξ k0 a k+ ξ k+. 7.3 Natomiast relacja rekurencyjna jest postaci a k+3 a k+ 4k + 3 E k + k + 3 k k. 7.4 Widzimy więc, że w obu przypadkach po wyłączeniu pewnej ilości wstępnych wyrazów, oba szeregi zachowują się tak, że spełniona jest relacja a n+ a n k, gdzie k n, 7.5 która jest tym lepszym przybliżeniem, im większa jest liczba k. Aby lepiej zrozumieć sens powyższego zachowania się asymptotycznego otrzymanych szeregów, rozważmy teraz funkcję expξ. expξ n0 ξ n n! k0 b k ξ k gdzie b k k!. 7.6 Wobec tego dla dyskutowanej funkcji expξ mamy b k+ b k b k+ b k k + k k. 7.7 Na podstawie analizy funkcji expξ wnioskujemy, że nasze szeregi 7. oraz 7.3 dla dużych wartości k, dają szeregi funkcji fξ asymptotycznie zbieżne do funkcji expξ. Sytuacja jest niezadowalająca, bowiem zgodnie z 7. dostaliśmy rozwiązania w postaci iloczynu, który asymptotycznie zachowuje się jak ψξ exp ξ expξ exp + ξ, 7.8 a więc jak funkcja nienormowalna. A zatem otrzymane rozwiązanie jest niefizyczne. Jedynym sposobem uniknięcia tej trudności jest żądanie, aby uzyskany szereg urywał się, to znaczy aby funkcja fξ redukowała się do wielomianu. Istotnie szereg się urywa, jeżeli w relacji rekurencyjnej 7.9 otrzymujemy a n+ 0, począwszy od pewnego n. Tak właśnie dzieje się, gdy zażądamy, aby dla pewnego n znikał licznik wyrażenia po prawej stronie ogólnego wzoru 7.9. Wobec tego warunek n E 0 dla pewnego n 0,,, 3,...... 7.9 sprawia, że współczynniki o numerach mniejszych lub równych n są różne od zera, zaś te o indeksie większym od n stają się zerami. Funkcja fξ redukuje się do wielomianu stopnia n. Tym samym potwierdza się nasz domysł, wynikający z jakościowej dyskusji rozwiązań. Warunek 7.9 możemy zapisać także w postaci E n + gdzie n 0,,, 3,...... 7.0 Powyższe równanie mówi nam, że dozwolone energie tzn. takie, które prowadzą do fizycznie sensownych normowalnych funkcji falowych kwantowo mechanicznego oscylatora harmonicznego przyjmują tylko ściśle określone, a więc skwantowane, wartości. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 49

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 50 Wracając, do wyjściowych oznaczeń E E/ω, zapisujemy warunek kwantowania energii oscylatora, w postaci E E n ω n + gdzie n 0,,, 3,...... 7. Warunek kwantowania energii zapewnia, że szeregi się urywają redukują do wielomianów dając rozwiązania naszego problemu ψξ ψ n ξ exp ξ W n ξ, 7. gdzie W n. są wielomianami n-tego stopnia. Tym samym kwantowanie energii prowadzi do funkcji falowych, które są już normowalne, tak jak to być powinno. Na zakończenie dyskusji, zwróćmy uwagę, że warunek kwantyzacji energii 7.9 możemy wykorzystać w relacji rekurencyjnej 7.9, otrzymując a k+ a k k n k + k +. 7.3 Jasno więc widać, że współczynniki o numerach k n są niezerowe, zaś dla k > n mamy już same zera. Rzeczywiście więc rozwinięcie 7.4 dla funkcji fξ urywa się i staje się ona wielomianem. Współczynniki a 0 oraz a pełnią rolę stałych dowolnych i wyznaczają rozwiązania odpowiednio parzyste i nieparzyste. Oczywiście z warunku kwantowania 7.9 wynika E n, co po wstawieniu do równania 7. daje f ξ ξf ξ + nfξ 0. 7.4 przy czym już wiemy, że rozwiązaniami muszą być wielomiany. Tym samym otrzymujemy ten sam rezultat co w głównej części wykładu. Wielomiany Hermite a spełniają powyższe równanie. Wobec tego z 7. wynikają funkcje falowe ψ n ξ N n exp ξ H n ξ. 7.5 Stałą normalizacyjną otrzymamy tak samo jak poprzednio w głównej części wykładu. Kwantowanie energii 7. jest też takie samo. Wszystkie dalsze rozważania przebiegają więc identycznie jak w głównej części wykładu. Stwierdzamy więc, że metoda szukania rozwiązań stacjonarnego równania Schrödingera za pomocą rozwinięcia w szereg prowadzi do tych samych wyników co rozwiązania konfluentnego równania hipergeometrycznego. 7. Alternatywna postać funkcji falowych Lemat 7. Wielomiany Hermite a spełniają wzór H n y exp y y d n exp dy y który jest analogiczny do formuły Rodriguesa 7.6 dn H n x n e x dx n e x. 7.7 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 50

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 5 Dowód. Można go przeprowadzić na wiele różnych sposobów. Podamy najprostszy przez indukcję matematyczną. Dla n 0 formuła 7.6 oczywiście daje H 0 x, co jest poprawne. Czyli pierwszy punkt dowodu przez indukcję jest gotowy. Zakładamy słuszność wzoru 7.6 dla pewnego n > 0 i badamy je dla n +. H n+ y e y y d dy e y y d dy e y e y y d dy n e y e y H n y. 7.8 gdzie skorzystaliśmy z założenia indukcyjnego. Dalej więc mamy [ ] H n+ y e y y e y H n y e y H n y d dy y H n y e y ye y H n y + e y d H ny dy y H n y d H ny. 7.9 dy Przekształcając dalej otrzymujemy [ H n+ y e y y e y H n y + e d ] y dy H ny [ d e y dy e y H n y + e d ] y dy H ny e d y e y H n y. 7.30 dy Wielomian H n y w ostatnim wyrażeniu wyrazimy wzorem Rodriguesa 7.7, dostając H n+ y e d [ ] y e y n y dn e dy dy n e y n+ y dn+ e dy n+ e y H n+ y, 7.3 co ponownie wynika ze wzoru Rodriguesa. Na mocy zasady indukcji lemat jest udowodniony. Jeżeli teraz w udowodnionej relacji 7.6 dokonamy zamiany zmiennych według przepisu y x /, to wówczas otrzymamy H n x exp x x n/ exp x [ x Stosując to wyrażenie w znanych już funkcjach falowych ψ n x exp π x /4 n n! d dx H n x n exp ] d n exp dx łatwo widzimy, że można je zapisać w dwóch równoważnych postaciach /4 x ψ n x exp H π n n x n! x x 7.3, 7.33 /4 π n n! n/ x d n exp dx x. 7.34 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 5

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 5 Otrzymane alternatywne wyrażenie dla funkcji falowych kwantowo-mechanicznego oscylatora harmonicznego jest przydatne w niektórych innych zastosowaniach. 7.3 Szacowanie energii stanu podstawowego z zasady nieoznaczoności Z warunku kwantowania energii E n ωn + oczywiście wynika, że energia stanu podstawowego stanu o najniższej energii wynosi ω/. Pokażemy, że wartość ta jest zgodna z przewidywaniami wynikającymi z zasady nieoznaczoności. Najniższa energia oscylatora klasycznego wynosi E klas 0, co odpowiada oscylatorowi znajdującemu się w spoczynku. Sytuacja taka jest jednak niemożliwa w ramach mechaniki kwantowej. Będziemy starać się oszacować energię kwantowo-mechanicznego oscylatora harmonicznego za pomocą zasady nieoznaczoności. Założymy dla prostoty, że oscylator znajduje się w jednym ze swoich stanów własnych ψ n x danym w 7.33. Na wstępie przypomnijmy, że zasada nieoznaczoności dla położenia i pędu mówi iż σ x σ p 4, gdzie dyspersje są określone wzorami 7.35 σ x x x x x, 7.36a σ p p p p p. 7.36b A zatem aby obliczyć dyspersje trzeba znaleźć najpierw wartości oczekiwane położenia i pędu. Z założenia oscylator jest w stanie własnym energii ψ n. Na mocy rozważań z części głównej wykładu, wiemy że wartości oczekiwane położenia i pędu znikają x p 0. 7.37 Wobec tego dyspersje dane są wzorami σ x x σ p p dx ψ n x x ψ n x, dx ψ nx d dx ψ nx. 7.38a 7.38b Funkcje podcałkowe w obu powyższych wyrażeniach są zawsze funkcjami parzystymi. Nie ma więc żadnych powodów oczekiwać, że całki te dadzą zera. Z zasady nieoznaczoności 7.35 płynie wręcz odwrotny wniosek, obie dyspersje muszą być dodatnie. Sytuacja jest więc inna niż w przypadku klasycznym. Dyspersje niepewności, rozmycia położenia i pędu oscylatora, nawet w stanie o najniższej możliwej energii, nie znikają. Mówimy, że kwantowo-mechaniczny oscylator harmoniczny w stanie podstawowym gdy n 0 wykonuje drgania zerowe, przy czym jego energia jest większa niż zero i wynosi ω/. Sprawdzimy, że zasada nieoznaczoności, i to całkiem niezależnie od naszych wcześniejszych obliczeń, pozwala przewidzieć dokładnie taką minimalną energię oscylatora. Rozważmy teraz wartość oczekiwaną energii oscylatora, czyli wartość oczekiwaną hamiltonianu. A zatem mamy E ˆp m + x p m + x σ p m + σ x, 7.39 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 5

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 53 gdzie wykorzystaliśmy relacje 7.38. Na mocy zasady nieoznaczoności 7.35 mamy np. σ p σ x. 7.40 Wobec tego w 7.39 szacujemy E od góry, zastępując σ p w/g 7.40 przez coś większego. A więc łącząc te wzory otrzymujemy E 8my + y, 7.4 gdzie dla wygody oznaczyliśmy y σ x. Znajdźmy minimalną wartość prawej strony powyższego oszacowania. Innymi słowy, będziemy manipulować parametrem y σ x > 0, tak aby zminimalizować prawą stronę 7.4. A więc badamy funkcję gy Jej pochodna 8my + y. 7.4 g y 8my +. 7.43 Łatwo obliczamy, że pochodna znika dla y ±. 7.44 Ponieważ y jako dyspersja położenia musi być dodatnie, rozwiązanie z minusem odrzucamy. Łatwo widać, że dla y /, druga pochodna funkcji gy jest dodatnia. Zatem gy istotnie ma minimum. Najlepsze oszacowanie energii oscylatora w 7.4 dostaniemy podstawiając za y obliczoną wartość minimalizującą funkcję gy. Elementarne obliczenia prowadzą do wniosku E ω, 7.45 co oczywiście jest zgodne z minimum energii wynikającym z warunku kwantowania. Na zakończenie zauważmy, że równie dobrze moglibyśmy z zasady nieoznaczoności wyliczyć σ x, i następnie wyeliminować tę dyspersję z wyrażenia 7.39. Postępując dalej w zupełnie analogiczny sposób dostaniemy to samo oszacowanie dla wartości oczekiwanej E, przy czym uzyskane minimum będzie mieć miejsce dla σ p ỹ. 7.46 Zwróćmy także uwagę, że sytuacja opisana przez dyspersje 7.44 i 7.46 odpowiada σ x σ p a więc minimalizacji zasady nieoznaczoności. 4, 7.47 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 53

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 54 7.4 Operatory anihilacji i kreacji. Oscylator harmoniczny 7.4. Operatory anihilacji i kreacji ogólna teoria Postulujemy istnienie pewnej przestrzeni Hilberta być może nieskończenie wielewymiarowej w której działać będzie operator â i jego sprzężenie â. Operatory â i â są niehermitowskie. Dla tych dwóch operatorów postulujemy fundamentalną relację komutacyjną [ â, â ] ââ â â. 7.48 Na podstawie przedstawionych postulatów skonstruujemy przestrzeń Hilberta i zbadamy szereg bardzo ważnych własności operatorów â oraz â. Zrobimy to udowadniając serię lematów i twierdzeń. Lemat 7. Operator N â â ma pewien wektor własny z odpowiadający rzeczywistej wartości własnej z, tzn. N z â â z z z, przy czym z R. 7.49 Dowód. Wynika natychmiast z faktu, że operator N â â jest hermitowski. Uwaga: Wektor z jest wektorem własnym operatora hermitowskiego. Wektor ten można więc zawsze unormować. W dalszych rozważaniach przyjmiemy, że wektor z jest unormowany z, lub z z. 7.50 Lemat 7.3 Wartość własna operatora ˆN jest rzeczywista nieujemna. z R +. Dowód. Ponieważ z oznacza unormowany wektor własny operatora ˆN, zatem z z z z z z z z â â z z â â z â z â z â z. 7.5 Widzimy więc, że z jest równe normie pewnego wektora, wobec tego jest to liczba rzeczywista i nieujemna. Lemat 7.4 Obowiązują następujące relacje komutacyjne [ ] â â, â â, 7.5a [ â â, â â. 7.5b Dowód. Proste rachunki, w których korzystamy z kanonicznej relacji komutacyjnej 7.48, prowadzą do : [ ] [ ] â â, â â [ â, â ] + â, â â â 0 + â. [ [ â â, â â â, â + â, â â â + 0 â, 7.53 co kończy dowód. Lemat 7.5 Ket â z jest stanem własnym operatora z, to jest ˆN â â, odpowiada wartości własnej ˆN â z z â z. 7.54 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 54

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 55 Dowód. Jeżeli â z 0, to wówczas mamy ˆN â z â â â z. 7.55 Ze względu na relację komutacyjną 7.5a możemy napisać â â â â â â â, a zatem ˆN â z â â â z â z z â z z â z. 7.56 Wektor â z jest więc stanem własnym operatora ˆN z wartością własną z. Lemat 7.6 Ket â z jest stanem własnym operatora ˆN â â i odpowiada wartości własnej z +, to jest ˆN â z z + â z. 7.57 Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu poprzedniego lematu, w tym przypadku jednak korzystamy z relacji komutacyjnej 7.5b zamiast 7.5a. Lemat 7.7 Normy wektorów â z oraz â z są dane jako â z z, â z z +. 7.58 Dowód. Pierwsza norma wynika automatycznie z dowodu lematu 7.3, patrz relacja 7.5. Drugą relacją dowodzimy analogicznie â z â z â z z â â z. 7.59 Z kanonicznej relacji komutacyjnej mamy â â â â +, wobec tego â z z â â + z z â â z + z z â z + z +, 7.60 co wynika stąd, że wektor z jest unormowany i â z z, a więc mamy drugą relację 7.58, co kończy dowód. Lemat 7.8 Jeśli wektor â n z 0, to jest on wektorem własnym operatora ˆN odpowiadającym wartości własnej z n: ˆN â n z z n â n z 7.6 Dowód. Dowód przeprowadzamy przez indukcję. Przypadek n wykazaliśmy w 7.54. Zasadniczą rolę w dowodzie odgrywa relacja ˆNâ â ˆN â, która wynika z 7.5a. Otrzymujemy wtedy [ ] ˆN â n+ z ˆNâ [â n z ] â ˆN â [â n z ] â ˆN [â n z ] â n+ z 7.6 Na mocy założenia indukcyjnego dalej uzyskujemy [ ] ˆN â n+ z âz nâ n z â n+ z z n â n+ z. 7.63 skąd wynika treść lematu. Lemat 7.9 Istnieje taka liczba całkowita, że â n z 0, lecz â n+ z 0, 7.64 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 55

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 56 Dowód. Z poprzedniego lematu wynika, że â n z jest wektorem własnym operatora ˆN odpowiadającym wartości własnej z n. Lemat 7.3 mówi, że wartości własne ˆN są nieujemne. dla dostatecznie dużego n będziemy mieli z n < 0. Jest to sprzeczne z lematem 7.3. Wobec tego, musi istnieć taka liczba całkowita dodatnia, że warunki 7.64 będą spełnione, co kończy dowód. Twierdzenie 7. Wartości własne z operatora ˆN zdefiniowane w 7.49 są nieujemnymi liczbami całkowitymi. Co więcej, istnieje unormowany wektor własny 0 operatora ˆN, taki że â 0 0, 7.65 który nazwiemy stanem próżni. Dowód. Wektor â n z jest wektorem własnym operatora ˆN odpowiadającym wartości własnej z n, możemy więc go unormować i zapisać w postaci z n ân z â n z. 7.66 Niech n będzie liczbą całkowitą taką, że spełniony jest warunek 7.64. Oznacza to, że â z n 0, 7.67 więc norma uzyskanego wektora wynosi â z n 0. 7.68 A zatem, z pierwszej z relacji 7.58 wynika, że â z n z n 0. 7.69 Implikuje to, że z n. Wartości własne z operatora ˆN â â są więc nieujemnymi liczbami całkowitymi. Ponadto, wnioskujemy, że istnieje unormowany wektor 0, dla którego relacja 7.64 jest spełniona i to dla n 0. Twierdzenie 7. Zgodnie twierdzeniem 7., przez n oznaczamy unormowany stan własny operatora ˆN, który odpowiada wartości własnej n nieujemnej liczbie całkowitej. Wówczas, wektory n â n n, oraz n + â n n +, 7.70 są stanami własnymi operatora ˆN. Relacje te pozwalają na skonstruowanie wszystkich stanów własnych operatora ˆN, przy założeniu, że przynajmniej jeden ze stanów n jest dany znany. Formuły 7.70 można zapisać równoważnie jako â n n n 7.7a â n n + n + 7.7b Dowód. W lemacie 7.5 wykazaliśmy, że wektor â n jest stanem własnym ˆN należącym do wartości własnej n. Oznacza to, że zgodnie z wprowadzoną notacją â n jest wektorem S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 56

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 57 proporcjonalnym do wektora n. Pozostaje ustalić współczynnik proporcjonalności. Z lematu 7.7 wynika, że norma â n n. Wobec tego wektor â n â n â n n, 7.7 jest unormowanym wektorem własnym ˆN z wartością własną n. A zatem jest on równy wektorowi n. Pierwsza część twierdzenia jest więc dowiedziona. Drugą część dowodzimy w ten sam sposób. Lemat 7.0 Stan własny n operatora ˆN â â można skonstruować jako n n! â n 0, 7.73 jeśli tylko stan próżni 0 zdefiniowany w 7.65 jest znany lub dany. Dowód. Dowód przeprowadzamy przez indukcję z relacji 7.7b. Dla n mamy! â 0!, 7.74 tak jak to być powinno. Dalej dla n + dostajemy n + n +! â n+ 0 n + n! â â n 0 â n + n n + n + n + n +. 7.75 gdzie wykorzystaliśmy założenie indukcyjne przy przejściu od pierwszej do drugiej linii. Lemat ten jasno określa sposób konstrukcji stanów własnych operatora ˆN â â. Musimy najpierw zbudować znaleźć stan podstawowy stan próżni 0, który powinien być wyznaczony jednoznacznie. Jeśli tak nie jest, to musimy dodatkowo dysponować zupełnym zbiorem komutujących obserwabli, które będą klasyfikować stany próżni za pomocą dodatkowych liczb kwantowych. Znajdując w ten sposób odpowiedni unormowany stan próżni, możemy następnie zbudować stany n stosując operator kreacji zgodnie z przepisem 7.73. Lemat 7. Stany własne n określone w 7.73 są ortonormalne, to jest n m δ nm. 7.76 Dowód. Ortogonalność wynika z faktu, że stany n są stanami własnymi hermitowskiego operatora ˆN, a więc tylko potrzeba wykazać ich unormowanie. Bez straty ogólności możemy przyjąć n m. Wówczas, z 7.73 dostajemy n m n! m! 0 â n â m 0. 7.77 Z drugiej strony mamy relacje operatorowe [ ] [ ] â â m â m â â, â m â â, â m + [ ] â, â â m â [ â, â m ] + â m. 7.78 Wielokrotnie stosując takie rozumowanie, w końcu otrzymamy â â m â m â m â m, 7.79 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 57

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 58 co można też wykazać stosując indukcję matematycznej. Idąc dalej stwierdzamy, że n m [ ] 0 â n mâ m + â m â 0 n! m! n! m! m 0 â n â m 0, 7.80 bowiem â 0 0. Powtarzając taką procedurę m-krotnie, uzyskamy w rezultacie relację m! n m 0 â n m 0. 7.8 n! Dla n > m mamy więc â n m 0 0, co wynika z definicji stanu próżni. Gdy n m, to dostaniemy n m 0 0. A zatem stany n są ortogonalne co nie jest nieoczekiwane i unormowane, tak jak to być powinno, porównaj 7.50. 7.4. Operatory anihilacji i kreacji podsumowanie Operatory anihilacji i kreacji niehermitowskie są określone przez relację komutacyjną [ â, â ]. 7.8 Stany n są stanami własnymi operatora ˆN â â, to jest ˆN n â â n n n, przy czym n 0,,,...... 7.83 Stan 0 nazywamy stanem próżni. Stan ten spełnia warunek â 0 0. Stany n są ortonormalne stany własne operatora hermitowskiego ˆN m n δ mn. Działanie operatorów anihilacji i kreacji na stany n określone jest wzorami 7.84 7.85 â n n n, 7.86a â n n + n +. 7.86b Zauważmy, że relacje te są w pełni konsystentne z poprzednimi. Wzór 7.86a zgadza się z definicją 7.84 stanu próżni. Co więcej, mamy â â n â n n n â n n n + n n n, 7.87 jak to być powinno, zgodnie z definicją 7.83. Elementy macierzowe operatorów anihilacji i kreacji łatwo wynikają z równania 7.86 i warunków ortonormalności. Bez trudu otrzymujemy formuły m â n n m n n δ m,n, 7.88a m â n n + m n + n + δ m,n+. 7.88b Praktyczna konstrukcja przebiega w następujących zasadniczych krokach: budujemy operatory anihilacji i kreacji â oraz â, a potem sprawdzamy relację komutacyjną odtwarzającą relację kanoniczną 7.8; znajdujemy konstruujemy stan próżni 0. konstruujemy stany n za pomocą relacji n â n n! 0. 7.89 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 58

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 59 7.4.3 Zastosowanie do oscylatora harmonicznego Zastosujemy tutaj przedstawioną powyżej teorię do konkretnego przypadku. Operatory anihilacji i kreacji dla oscylatora harmonicznego Hamiltonian kwantowo-mechanicznego oscylatora to Ĥ ˆp m + ˆx. 7.90 Operatory położenia i pędu spełniają kanoniczną relację komutacyjną [ ˆx, ˆp ] i. 7.9 Budujemy teraz dwa operatory pomocnicze ˆx oraz ˆp, 7.9 i bez kłopotu sprawdzamy, że są one bezwymiarowe. Twierdzenie 7.3 Dwa bezwymiarowe, niehermitowskie operatory ˆb oraz ˆb zdefiniowane wzorami ˆb ˆx + iˆp ˆb ˆx iˆp spełniają relację komutacyjną [ ˆb, ˆb ]. ˆx + iˆp, ˆx iˆp, Zatem ˆb możemy uznać za operator anihilacji, zaś ˆb za operator kreacji. 7.93a 7.93b 7.94 Dowód. Niehermitowskość i bezwymiarowość zdefiniowanych operatorów jest ewidentna. Trzeba jedynie wykazać relację komutacyjną 7.94. A zatem z definicji 7.93 [ ˆb, ˆb ] [ ] ˆx + iˆp, ˆx iˆp { m ω [ˆx, ˆx ] i [ˆx, ˆp ] + i [ˆp, ˆx ] + [ˆp, ˆp ] } i { [ˆx, ˆp ] + [ˆp, ˆx ] } i { i + i }. 7.95 Ponieważ operatory ˆb i ˆb spełniają relację komutacyjną typową dla operatorów anihilacji i kreacji, więc posiadają one wszystkie niezbędne własności. Identyfikacja nazewnictwo wprowadzone w treści twierdzenia jest więc poprawne i uzasadnione. Relacje 7.93 można łatwo odwrócić i wyrazić operatory położenia i pędu przez operatory anihilacji i kreacji ˆx ˆb + ˆb, 7.96a ˆp i ˆb ˆb, 7.96b S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 59

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 60 Za pomocą tych związków możemy teraz wyrazić hamiltonian oscylatora przez operatory anihilacji i kreacji. Otrzymujemy Ĥ i ˆb ˆb + m ˆb + ˆb ω ˆb ˆb + ω ˆb + ˆb 4 4 ω ˆbˆb 4 ˆbˆb ˆb ˆb + ˆb ˆb + ω ˆbˆb + 4 ˆbˆb + ˆb ˆb + ˆb ˆb ω ˆb ˆb + ˆb ˆb Z relacji komutacyjnej 7.94 wynika ˆb ˆb + ˆb ˆb, a zatem w końcu mamy Ĥ ω ˆb ˆb + ω ˆb ˆb + ω ˆN + 7.97 7.98 gdzie, jak poprzednio, wprowadziliśmy operator ˆN ˆb ˆb. Twierdzenie 7.4 Stany własne energii kwantowego oscylatora harmonicznego są stanami n stanami własnymi operatora ˆN ˆb ˆb. Wartości własne energii wynoszą E n ω n +. 7.99 Dowód. Dowód wynika natychmiast z relacji 7.98 i z własności operatora ˆN omówionych powyżej. Konstrukcja stanu próżni Powyższe rozważania miały dość formalny charakter. Aby nadać im bardziej przejrzystą postać, będziemy teraz budować stany własne energii oscylatora w reprezentacji położeniowej, to jest będziemy szukać funkcji ϕ n x x n. Pierwszy krokiem, według nakreślonej uprzednio procedury, musi być konstrukcja stanu próżni, szukamy więc funkcji ϕ 0 x x 0. Stan próżni jest zdefiniowany równaniem 7.65 lub 7.84. Posługując się więc operatorem anihilacji ˆb danym w 7.93a, dostajemy 0 ˆb 0 ˆx + iˆp 0. 7.00 W reprezentacji położeniowej równanie to przyjmuje postać 0 x ˆx + iˆp 0 [ x + i i d ] ϕ 0 x. 7.0 dx Ostatni wzór stanowi elementarne równanie różniczkowe pierwszego rzędu 0 λx + d ϕ 0 x, gdzie λ dx. 7.0 Rozwiązanie tego równania jest bardzo proste i ma postać ϕ 0 x A 0 exp λx, 7.03 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 60

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 6 gdzie A 0 jest stałą normalizacyjną. Jej obliczenie daje A 0 dx exp λx π A 0 λ. 7.04 Wybierając dowolną fazę stałej A 0 jako równą zeru otrzymujemy funkcję falową stanu podstawowego oscylatora. Innymi słowy mamy stan próżni w reprezentacji położeniowej λ /4 ϕ 0 x exp λx, 7.05 π który jest właściwie unormowany. Konstrukcja stanów n Mając już stan próżni w reprezentacji położeniowej, możemy iść dalej i konstruować dalsze stany. Posłużymy się w tym celu relacją 7.89, którą zapisujemy w reprezentacji położeniowej ϕ n x x n n! x ˆb n 0. 7.06 Rozważmy teraz bra formę dualną x ˆb. Na mocy 7.93b otrzymujemy x ˆb x ˆx iˆp x ˆx i ˆp [ λ ˆx + i ] [ ˆp λ x x + ] d x. dx Ponieważ operator różniczkowy d/dx jest antyhermitowski, więc x ˆb λ x d x. 7.07 λ dx Stosując n-krotnie ten fakt w 7.06 n-krotnie, otrzymujemy λ n/ ϕ n x x d n x 0. 7.08 n! λ dx Wstawiając funkcję falową 7.05 stanu próżni 7.05, konstruujemy równanie różniczkowe określające n-ty stan własny energii oscylatora harmonicznego λ /4 ϕ n x π n λ n/ x d n exp λx. 7.09 n! λ dx Jest to równanie funkcjonalne podobne do wzoru Rodriguesa 7.6 dla wielomianów Hermite a, zaś parametr λ jest określony w 7.0. Stosując relację 7.3 otrzymaliśmy alternatywną postać funkcji falowych oscylatora.powtarzając analogiczne rozważania odnośnie formuły 7.09 dostaniemy ψ n x /4 π n n! /4 π n n! n/ x exp x H n x d n exp dx x. 7.0 Możemy więc stwierdzić, że metoda wykorzystująca operatory anihilacji i kreacji prowadzi do tych samych funkcji falowych funkcji własnych energii co standardowe rozwiązanie zagadnienia własnego dla hamiltonianu stacjonarnego równania Schrödingera. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 6

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 6 Inne zastosowania W głównej części wykładu w pracochłonny sposób całkując obliczaliśmy elementy macierzowe k x n, k x n, k p n oraz k p n. Obliczenia te wymagały dość skomplikowanych całek. Pokażemy teraz, że za pomocą operatorów anihilacji i kreacji można przeprowadzić odpowiednie rachunki nieomal błyskawicznie. I tak na przykład z 7.96a mamy k x n Dalej, na mocy 7.86 dostajemy k x n k ˆb + ˆb n. 7. Skąd, z ortonormalności stanów n wynika k x n n k n + n + k n +. 7. n δk,n + n + δ k,n+. 7.3 Wynik ten jest oczywiście identyczny z odpowiednim elementem macierzowym liczonym w zasadniczej części wykładu przez skomplikowane całki. Analogicznie możemy obliczyć element macierzowy k x n. Musimy jednak przy tym pamiętać, że operatory anihilacji ˆb i kreacji ˆb nie komutują. Dostajemy wówczas k x n k ˆb + ˆb n k ˆbˆb + ˆbˆb + ˆb ˆb + ˆb ˆb n nn k n + n + k n + n k n + n + n + k n + nn δ k,n + n + δ kn + n + n + δ k,n+, 7.4 co znowu zgadza się z wynikiem z głównej części tekstu. Powtarzamy podobne obliczenia dla operatora pędu. Ze wzoru 7.96b otrzymujemy w zupełnie ten sam sposób k p n i k ˆb ˆb n i n k n n + k n + i n δk,n n + δ k,n+. 7.5 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 6

3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 63 I wreszcie dla kwadratu operatora pędu mamy k p n k ˆb ˆb n k ˆbˆb ˆbˆb ˆb ˆb + ˆb ˆb n nn k n n + k n n + n + k n + n k n + nn δ k,n n + δ kn + n + n + δ k,n+. 7.6 Widzimy więc, że również dla operatora pędu elementy macierzowe są identyczne z relacjami wyprowadzonymi w głównym wykładzie. Prostota powyższych obliczeń jasno pokazuje jak bardzo pożyteczne są operatory anihilacji i kreacji. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 63