Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż równanie x 0x x 0 Schemat oceniania zadań otwartych I sposób rozwiązania Wyłączając wspólny czynnik x ze wszystkich składników lewej strony równania otrzymujemy równanie równoważne x x 0x 0 Stąd wynika, że x 0 lub x 0x 0 Rozwiązaniem pierwszego z otrzymanych równań jest liczba x 0, natomiast drugie równanie możemy zapisać w postaci x 0 Stąd x 0, a więc x W rezultacie równanie x 0x x 0 ma dwa rozwiązania: x 0, x Uwaga Możemy również zauważyć, że liczba x 0 jest jednym z rozwiązań równania x 0x x 0, gdyż 0 00 0 0 Gdy x 0, to możemy obie strony podzielić przez x 0 Wtedy otrzymujemy równanie x 0x 0, które rozwiązujemy tak, jak wyżej obliczamy wyróżnik 0 0, a następnie jedyne rozwiązanie tego równania: Schemat oceniania x 0 0 Zdający otrzymuje pkt, gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopni dodatnich, x x 0x i zapisze, że liczba x 0 jest rozwiązaniem równania, np: na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt, gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: x 0, x Uwaga Jeżeli zdający podzieli obie strony równania x 0x x 0 przez x (lub x) i nie założy, że x 0 ani nie zapisze, że liczba x 0 jest rozwiązaniem równania, to otrzymuje 0 punktów II sposób rozwiązania Zauważmy, że lewa strona równania jest kwadratem różnicy, więc równanie możemy zapisać w postaci równoważnej Stąd wynika, że x x Strona z 7 0 x x 0
Wyłączając wspólny czynnik x z obu składników lewej strony tego równania otrzymujemy x x 0, skąd x 0 lub x 0, a więc x 0 lub x Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt, gdy zapisze równanie w postaci równoważnej: popełnia błędy x x 0 i na tym poprzestanie lub dalej Zdający otrzymuje pkt, gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: x 0, x Zadanie (pkt) Rozwiąż nierówność x x Rozwiązanie Nierówność zapisujemy w postaci x x 0, a następnie obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego x x, rozkładając go na czynniki liniowe x x x x Stąd x, x Możemy również obliczyć pierwiastki wykorzystując wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego Wówczas 6, 8, 8 8 x, x Szkicujemy wykres trójmianu kwadratowego y x x, y - 0 x z którego odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności x,, Odpowiedź: x,, Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt, gdy: obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego: x, x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności Strona z 7
rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np x x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności zapisze nierówność w postaci równoważnej x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność błędnie przekształci nierówność do postaci równoważnej, np zapisze x i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność Zdający otrzymuje pkt, gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności:,, lub,, x lub ( x lub x ) sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów x Zadanie ( pkt) x x Oblicz wartość wyrażenia x gdzie a i b to liczby wymierne dla x Wynik zapisz w postaci a b, I sposób rozwiązania Zauważmy, że każdej liczby x i x wyrażenie w postaci xx x x x x x x x wyrażenia jest równa II sposób rozwiązania Obliczmy najpierw Strona z 7 x x możemy zapisać x Zatem dla x wartość tego 6 6 x 8 9 Zatem wartość wyrażenia 9 x x 9 7 0 8 jest równa x 8 8
Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania 0 6 Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt, gdy zapisze wyrażenie obliczy x x x w postaci x x x 9 i zapisze wartość wyrażenia 9 9 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy oraz podstawi x : x x x w postaci Zdający otrzymuje pkt, gdy obliczy wartość wyrażenia i zapisze je w postaci: Zadanie ( pkt) Bok rombu ma długość cm, a jedna z jego przekątnych jest o 6 cm krótsza od drugiej Oblicz pole tego rombu Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku i niech x oznacza długość AC dłuższej przekątnej rombu D A x S C B Wtedy krótsza przekątna tego rombu ma długość x 6 Przekątne rombu są prostopadłe i wzajemnie się połowią, więc trójkąt ABS jest prostokątny, a jego boki mają długości: AB, AS x, AS x6 x Z twierdzenia Pitagorasa dla tego trójkąta otrzymujemy AB AS BS, x x, x x x 9, Strona z 7
x x 6 0, x 6x 0, x 6x9 0, x 0, x x 0, x x 8 0 Stąd x lub x 8 Drugie z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, więc x Wtedy BD x 6 8, a pole rombu jest równe P 8 6 Odpowiedź: Pole rombu jest równe 6 cm Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt, ABCD gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą, np: x x dłuższej przekątnej rombu, gdzie x oznacza długość Zdający otrzymuje pkt, gdy obliczy pole rombu: PABCD 6 Uwaga Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca popełniając jedynie błędy rachunkowe, to otrzymuje punkt Zadanie ( pkt) Dwusieczna kąta CAB trójkąta prostokątnego ABC przecina przyprostokątną BC w punkcie E Punkt D jest środkiem przeciwprostokątnej AB tego trójkąta Udowodnij, że BDC EAC Dowód (I sposób) Oznaczmy EAC i niech F będzie środkiem przyprostokątnej BC B D F E A C Półprosta AE jest dwusieczną kąta BAC, więc BAC Odcinek DF łączy środki boków AB i BC trójkąta ABC, więc jest równoległy do boku AC To oznacza, że () BDF BAC oraz BFD BCA 90 Trójkąty BDF i CDF są przystające, gdyż oba są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną DF, a ich przyprostokątne BF i CF mają równe długości (cecha b-k-b) Stąd wynika, że BDF CDF, a w konsekwencji BDC BDF To kończy dowód Strona z 7
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt, gdy poprowadzi odcinek DF równoległy do AC i zapisze, że kąty BDF i CDF są równe i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt, gdy uzasadni, że BDC Dowód (II sposób) Oznaczmy EAC i niech G będzie środkiem przyprostokątnej AC B D E Półprosta AE jest dwusieczną kąta BAC, więc BAC Odcinek DG łączy środki boków AB i AC trójkąta ABC, więc jest równoległy do przyprostokątnej BC, a więc jest prostopadły do AC Stąd z kolei wynika, że trójkąty AGD i CGD są przystające (oba są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną DG oraz przyprostokątne AG i CG równej długości) Zatem DCA DAC Kąt ADC jest więc równy ADC 80 80, więc kąt BDC do niego BDC 80 ADC 80 80 To kończy dowód przyległy jest równy Uwaga Ostatnią równość możemy również otrzymać z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta Wtedy mamy od razu BDC DAC DCA Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt, gdy poprowadzi odcinek DG równoległy do BC i zapisze, że kąty DAC i DCA są równe i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt, gdy uzasadni, że BDC Dowód (III sposób) Oznaczmy EAC Narysujmy okrąg opisany na trójkącie ABC Środkiem tego okręgu jest środek D przeciwprostokątnej AB A G C Strona 6 z 7
B D E A C Półprosta AE jest dwusieczną kąta BAC, więc BAC Kąt BAC jest kątem wpisanym w narysowany okrąg opartym na łuku BC tego okręgu Na tym samym łuku oparty jest też kąt środkowy BDC, więc BDC BDF To kończy dowód Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt, gdy narysuje okrąg opisany na trójkącie ABC i zapisze, że kąt BDC jest kątem środkowym opartym na łuku BC kąt BAC jest kątem wpisanym opartym na łuku BC i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt, gdy uzasadni, że BDC Zadanie 6 ( pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b spełniających warunek ab, prawdziwa jest nierówność a b Dowód (I sposób) Z założenia ab, więc b a Nierówność w postaci równoważnej a a, a a a a, a a 0, a a 0, a 0 Ta nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej a Dowód (II sposób) Nierówność a b możemy zapisać w postaci równoważnej Strona 7 z 7 a b możemy zatem zapisać
a a b ab b a b ab, a b ab a b Ponieważ z założenia ab, więc nierówność jest równoważna nierówności ab, ab Pozostaje wykazać, że jeśli ab, to ab Pokażemy kilka sposobów dowodu Sposób A Z równości ab otrzymujemy b a, więc nierówność ab jest równoważna nierówności a a, a a a, aa, a, 0 a 0 Ta nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej a Sposób B Z równości ab wynika, że liczby a i b możemy zapisać w postaci a x oraz b x, gdzie x jest liczbą rzeczywistą Wówczas ab x x x, gdyż x 0 dla każdej liczby rzeczywistej x Sposób C Jeżeli liczby a i b są różnych znaków, to wówczas ab 0, więc nierówność ab jest prawdziwa W przeciwnym razie muszą być nieujemne, gdyż ich suma jest dodatnia ( ab ) Zatem z twierdzenia o średniej arytmetycznej i geometrycznej otrzymujemy a b ab, ab, skąd ab Dowód (III sposób) Nierówność a b możemy zapisać, wykorzystując wzór na sumę sześcianów, w postaci równoważnej a ba ab b, Strona 8 z 7 a b a b ab Ponieważ z założenia ab, więc nierówność jest równoważna nierówności ab, ab Dalsza część dowodu przebiega tak, jak poprzednio Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze nierówność w postaci równoważnej: a a 0
zapisze nierówność w postaci równoważnej ab i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Zadanie 7 ( pkt) W urnie znajduje się kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od do Losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej kuli Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn numerów wylosowanych kul jest nieparzysty i większy od 00 I sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa - ciągi) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary ( xy, ) różnych liczb naturalnych ze zbioru {,6,7,8,9,0,,,,,} Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 0 0 Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym Oznaczamy przez A zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy kule, których iloczyn numerów jest nieparzysty i większy od 00 Zauważmy najpierw, że iloczyn dwóch liczb całkowitych jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste Oznacza to, że numery obu wylosowanych kul muszą być ze zbioru {,7,9,,,} Wypiszmy więc wszystkie te pary różnych liczb z tego zbioru, których iloczyn jest większy od 00, a więc wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:,, 7,, 9,, 9,,,,,,,7,,9,,9,,,,, Strona 9 z 7, 6 Zatem A i PA 0 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule, których iloczyn numerów będzie nieparzysty i większy od 00 jest równe 6 Uwaga Możemy zilustrować zbiór wszystkich zdarzenia elementarnych w tabeli na oraz zaznaczyć pola sprzyjające zdarzeniu A 6 6 7 8 9 0 7 X 8 9 X X 0 X X X X X X X X X Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania A 6 P A 0 Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 0 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i spełniające jeden spośród dwóch warunków: o oba numery kul są nieparzyste o iloczyn numerów kul jest większy od 00 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: 0, A = {7,, 9,, 9,,,,,,,,,7,,9,,9,,,,,, } i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i poda ich liczbę: 0, A = {7,, 9,, 9,,,,,,,,,7,,9,,9,,,,,, }, A Rozwiązanie pełne pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: 6 PA Uwagi Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P A, to otrzymuje 0 punktów Jeśli zdający błędnie obliczy liczbę kul w urnie, pisząc, że jest ich 0 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty Jeśli zdający wypisując zdarzenia elementarne pominie jedno zdarzenie lub dwukrotnie wypisze jedno zdarzenie i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty II sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa - zbiory) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie zbiory xy, złożone z dwóch liczb naturalnych ze zbioru {,6,7,8,9,0,,,,,} Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne Strona 0 z 7
0 Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym Oznaczamy przez A zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy kule, których iloczyn numerów jest nieparzysty i większy od 00 Zauważmy najpierw, że iloczyn dwóch liczb całkowitych jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste Oznacza to, że numery obu wylosowanych kul muszą być ze zbioru {,7,9,,,} Wypiszmy więc wszystkie te zbiory dwóch różnych liczb z tego zbioru, których iloczyn jest większy od 00, a więc wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:, 7,, 9,, 9,,,,,, 6 Zatem A 6 i PA Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule których iloczyn numerów będzie nieparzysty i większy od 00 jest równe 6 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Strona z 7 0 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i spełniające jeden spośród dwóch warunków: o oba numery kul są nieparzyste o iloczyn numerów kul jest większy od 00 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: 0,, } A = {7,, 9,, 9,,,,,, i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i poda ich liczbę: 0,, }, A = {7,, 9,, 9,,,,,, A 6 Rozwiązanie pełne pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA 6 Uwagi Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P A, to otrzymuje 0 punktów
Jeśli zdający błędnie obliczy liczbę kul w urnie, pisząc, że jest ich 0 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty Jeśli zdający wypisując zdarzenia elementarne pominie jedno zdarzenie lub dwukrotnie wypisze jedno zdarzenie i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty Zadanie 8 ( pkt) Punkt A, jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD, którego dwa sąsiednie boki zawierają się w prostych o równaniach x y 0 i y x Oblicz obwód tego równoległoboku Rozwiązanie Sprawdźmy najpierw, czy punkt A leży na którejś z podanych prostych Ponieważ 9 0 oraz, więc punkt A nie leży na żadnej z tych prostych Wynika stąd, że punkt przecięcia tych prostych jest wierzchołkiem C równoległoboku Oznaczmy literą B ten wierzchołek równoległoboku, który leży na prostej o równaniu y x, a literą D ten, który leży na drugiej z podanych prostych, jak na rysunku y B C - 0 6 - Obliczmy współrzędne wierzchołka C Wystarczy rozwiązać układ równań Stąd otrzymujemy równanie więc y Zatem Strona z 7 A x x 0, x x 0, 6x, x 6, C, D x x y 0 y x Wyznaczmy równanie prostej AB Jest ona równoległa do prostej o równaniu x y 0, więc jej współczynnik kierunkowy jest równy Ponadto przechodzi ona przez punkt A,, więc jej równanie ma postać x x x y, y Rozwiązując układ równań, obliczymy współrzędne wierzchołka B y x Przyrównując prawe strony równań układu dostajemy równanie x x, y x,
więc Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania y Zatem, B x, Długość boku AB równoległoboku ABCD jest równa a długość boku BC 9 AB 9, 9 9 BC Zatem obwód równoległoboku ABCD jest równy L Schemat oceniania ABCD Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający C, obliczy współrzędne wierzchołka C: wyznaczy równanie prostej AB: y x y x wyznaczy równanie prostej AD: Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający C, obliczy współrzędne wierzchołków B i C:, B, obliczy współrzędne wierzchołków C i D: C,, D, obliczy współrzędne wierzchołków B i D:, B,, D Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający obliczy długość jednego z boków równoległoboku ABCD, np AB Rozwiązanie pełne pkt Zdający obliczy obwód równoległoboku ABCD: LABCD Zadanie 9 ( pkt) Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS do płaszczyzny podstawy ABC ma miarę 60 Objętość tego ostrosłupa jest równa 7 Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku Strona z 7
S H h C B Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny, więc ze wzoru na wysokość takiego trójkąta otrzymujemy AD a Ostrosłup jest prawidłowy, więc spodek O jego wysokości opuszczonej z wierzchołka S jest środkiem okręgu wpisanego w tę podstawę Punkt ten jest też środkiem ciężkości trójkąta ABC, więc OD AD a 6 Trójkąt ODS jest połową trójkąta równobocznego, więc SO OD oraz SD OD, czyli a a H oraz 6 Objętość ostrosłupa jest równa ale z treści zadania 7 ABCS a a h 6 a a a ABC VABCS P H, V, więc a 7, a 7 86 6, a Zatem h Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest zatem równe a PABCS PABC PBCS ah 08 Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe PABCS 08 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający wyznaczy długość odcinka OD w zależności od długości krawędzi podstawy: OD a 6 A a zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt O 60 D Strona z 7
Zdający wyznaczy wysokość ostrosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy: a H Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np: 7 Rozwiązanie prawie pełne pkt Zdający obliczy długość krawędzi podstawy i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy rozwiąże zadanie do końca, popełniając błędy rachunkowe Rozwiązanie pełne pkt Zdający obliczy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa: PABCS 08 Zadanie 0 ( pkt) Z dwóch miejscowości oddalonych od siebie o 7 km wyjechały naprzeciw siebie dwa samochody A i B Samochód A wyjechał o pół godziny wcześniej i jechał ze średnią prędkością o km/h większą od średniej prędkości samochodu B Do miejsca spotkania obu samochodów samochód A przebył drogę km Oblicz średnią prędkość każdego z tych samochodów I sposób rozwiązania Niech v oznacza średnią prędkość samochodu A, natomiast t czas (w godzinach), jaki upłynął od wyjazdu tego samochodu do momentu spotkania z samochodem B Wówczas średnia prędkość samochodu B jest równa v, a czas, jaki upłynął od wyjazdu tego samochodu do momentu spotkania z samochodem A jest równy t Do momentu spotkania samochód A przejechał drogę równą km, a samochód B drogę równą 7 km km 6 km Otrzymujemy więc układ równań vt v t 6 Drugie z równań możemy zapisać w postaci równoważnej vt v t 6 Stąd i z pierwszego równania układu otrzymujemy v t 6, v 8v t, t Podstawiając w miejsce t w pierwszym równaniu układu v, uzyskujemy równanie z jedną niewiadomą v 8v, 8v v 0, v 8v0 0 Strona z 7 8 8 0 76, 76, 8 8 v 0 lub v 6 Gdy v 0, to v 6, a gdy v 6, to v 8
Odpowiedź: Średnia prędkość samochodu A była równa 0 km/h i wtedy średnia prędkość samochodu B była równa 6 km/h, średnia prędkość samochodu A była równa 6 km/h i wtedy średnia prędkość samochodu B była równa 8 km/h Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający przyjmie oznaczenia, np: v średnia prędkość samochodu A, t czas (w godzinach), jaki upłynął od wyjazdu tego samochodu do momentu spotkania v t 6 z samochodem B oraz zapisze równanie: Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze układ równań: v t 6 vt i Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający doprowadzi układ do równania z jedną niewiadomą, np: v 8v Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Zdający rozwiąże równanie v 8v i nie obliczy prędkości samochodu B w każdym z dwóch przypadków rozwiąże równanie z niewiadomą t i na tym poprzestanie: 8t 8t 0, t, t rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi Rozwiązanie bezbłędne pkt Zdający obliczy średnie prędkości samochodu A i samochodu B w dwóch przypadkach: 0 km/h to średnia prędkość samochodu A i wtedy 6 km/h to średnia prędkość samochodu B lub 6 km/h to średnia prędkość samochodu A i wtedy 8 km/h to średnia prędkość samochodu B II sposób rozwiązania Niech v oznacza średnią prędkość samochodu A, natomiast t czas (w godzinach), jaki upłynął od wyjazdu tego samochodu do momentu spotkania z samochodem B Wówczas czas (w godzinach), jaki upłynął od wyjazdu tego samochodu do momentu spotkania z samochodem B, a więc czas, w jakim samochód ten przebył drogę km jest równy v, średnia prędkość samochodu B jest równa v, a czas, jaki upłynął od wyjazdu tego samochodu do momentu spotkania z samochodem A, a więc czas, w jakim przebył on drogę równą 7km km 6 km jest równy 6 v Ponieważ samochód B wyjechał godziny później niż samochód A, więc otrzymujemy równanie 6 v v vv, otrzymujemy Mnożąc obie strony tego równania przez 0 v v vv, 0 0 v v v v, Strona 6 z 7
v 8v0 0 8 0 76, 76, 8 8 v 0 lub v 6 Gdy v 0, to v 6, a gdy v 6, to v 8 Odpowiedź: Średnia prędkość samochodu A była równa 0 km/h i wtedy średnia prędkość samochodu B była równa 6 km/h, średnia prędkość samochodu A była równa 6 km/h i wtedy średnia prędkość samochodu B była równa 8 km/h Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający wprowadzi jako niewiadomą v średnią prędkość jednego z samochodów, np samochodu A, następnie zapisze w zależności od wprowadzonej zmiennej średnią prędkość samochodu B oraz czas (w godzinach), jaki upłynął od wyjazdu samochodu B do momentu spotkania z samochodem A: v, 6 v Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający wprowadzi jako niewiadomą v średnią prędkość jednego z samochodów, np samochodu A, następnie zapisze w zależności od wprowadzonej zmiennej czas (w godzinach), jaki upłynął od wyjazdu tego samochodu do momentu spotkania z samochodem B, średnią prędkość samochodu B oraz czas (w godzinach), jaki upłynął od wyjazdu samochodu B do momentu spotkania z samochodem A: v, v, 6 v Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt 6 Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np: v v Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Zdający 6 rozwiąże równanie i nie obliczy prędkości samochodu B w każdym v v z dwóch przypadków rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi Rozwiązanie bezbłędne pkt Zdający obliczy średnie prędkości samochodu A i samochodu B w dwóch przypadkach: 0 km/h to średnia prędkość samochodu A i wtedy 6 km/h to średnia prędkość samochodu B lub 6 km/h to średnia prędkość samochodu A i wtedy 8 km/h to średnia prędkość samochodu B Strona 7 z 7