Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011
Dyskretne układy LTI Definicja analogiczna do tej, która podano dla sygnałów analogowych Opis transmisyjny: układ operator T wykonujacy pewna operację na sygnale y = T [x] Niech X - zbiór dopuszczalnych wejść, Y - zbiór dopuszczalych wyjść - dziedzina i zbiór wartości operatora T. Proste układy - jedne wejście (wymuszenie) x(n), jedno wyjście odpowiedź y(n) odpowiedź impulsowa układu h(n) - odpowiedź na wymuszenie δ(n)(= 1 dla n = 0; 0 dla pozostałych n szczególna grupa układów - układy LTI, czyli układy: liniowe: T [ax + by] = at [x] + bt [y] stacjonarne (niezmienne w czasie): jezeli odpowiedzia na x(n) jest y(n), to odpowiedzia na x(n n 0 ) jest y(n n 0 )
Opis dyskretnych ukladów LTI Dla każdej próbki dowolnego sygnału x(n) możemy zapisać: x(n) = x(k)δ(n k) k= Ponadto dla ukladów LTI: odpowiedź na przesunięty impuls to przesunięta odpowiedź impulsowa: δ(n k) h(n k) To w połaczeniu z liniowościa implikuje: x(n) = x(k)δ(n k) y(n) = x(k)h(n k) k= k= Układ przyczynowy taki, dla któego odpowiedź nie poprzedza wymuszenia: h(n) = 0 dla n < 0, czyli y(n) = h(k)x(n k) k=0
Opis dyskretnych ukladów LTI - c.d. Stabilność układu (w sensie BIBO) ograniczona amplituda wymuszenia gwarantuje ograniczoność amplitudy odpowiedzi WKW stabilności - bezwzględna sumowalość odpwiedzi impulsowej: h(k) < k= Odpowiedź impulsowa układów złożonych: równolegle połaczenie dwóch układów LTI: h(k) = h 1 (k) + h 2 (k) kaskadowe połaczenie dwóch układów LTI: h(n) = k= h 1 (k)h 2 (n k) = h 1 (n) h 2 (n) Sprzężenie zwrotne - wyjście zależy od wejścia, ale również od poprzednich wyjść przykład: y(n) = x(n) ay(n 1) kolejne wyjścia to: y(0) = 1, y(1) = a, y(2) = ( a) 2..., czyli h(n) = ( a) n, stabilny gdy a < 1
Ogólna postać układu dyskretnego LTI Dopuszczajac większa ilość opóźnień dostajemy: y(n) = h(m)x(n m) g(k)y(n k) m=0 k=1 Dalej interesować nas będa uklady o skończonej "pamięci" opisywane równaniami różnicowymi: M N y(n) = h(m)x(n m) g(k)y(n k) m=0 k=1 inny zapis zastępujac funkcje impulsowe h(n), g(k) zestawem stałych: M N y(n) = b m x(n m) a k y(n k) m=0 k=1 Projekt ukladu - określenie rzędów równań M, N oraz stałych a i, b j
Transformacja Z Podstawowe narzędzie opisu ukladów dyskretnych - odpowiednik transformaty Laplace a dla układów ciagłych Niech x(n) - sygnał dyskretny. Jego transformatę X (funkcję zmiennej zespolnej z) określa równanie: X(z) = m= x(m)z m pod warunkiem, że powyższy szereg jest zbieżny (co zależy od z) Gdy sygnał x(n) - impulsowy o skończonej ilości niezerowych próbek to zawsze istnieje obszar na płaszczyźnie z, w którym szereg zbieżny przyklady: niech x(n) = (0 dla n < 1, 0.25 dla n = 1, 0.5 dla n = 0, 0.25 dla n = 1, 0 dla n > 1. Wtedy X(z) = 0.25z + 0.5 + 0.25z 1 dla z i z 0
Transformata a sygnał. Obliczanie transformat Z Znajac X(z) - mozemy odczytać sygnał x(n) przyklad: wiemy, że X(z) = 0.2 + 1/z 2/z 2 + 3/z 3 z definicji transformaty Z dostajemy: x(0) = 0.2, x(1) = 1, x(2) = 2, x(3) = 3 Przykłady wyznaczania transformat Z skok jednostkowy u(n) = 1 dla x 0 oraz = 0 dla n < 0 X(z) = m= u(m)z m = m=0 z m = 1 1 z 1, z > 1 przyczynowy szereg wykładniczy a n u(n) X(z) = a m u(m)z m = (a/z) m = 1 z z a, m= m=0 z > a szereg wykładniczy a n dla ujemnych n, 0 dla nieujemnych: X(z) = 1 (z/a) m = m= (z/a) m + 1 = 1 1 m=0 1 z/a = z z a, 1 az 1 = z < a
Obliczanie transformat Z. Transformata odwrotna Wyrażenie typu: x(n, k) = n k u(n); przyklad dla k=1. Dla k = 0 mamy: X 0 (z) = z n = 1 1 z 1 n=0 Różniczkujac stronami dostajemy:1/z nz n = n=0 co prowadzi do zwiazu: X 1 (z) = z 1 /(1 1/z) 2 1/z 2 (1 1/z) 2 Transformata odwrotna - służy wyznaczeniu sygnału x(n) z jego transformaty X(z). Definicja: x(n) = 1 2πi Γ X(z)z n 1 dz gdzie Γ kontur całkowania okrażaj acy poczatek układu Uzasadnienie: Tw. całkowe Cauchy ego mówi: z n 1 dz = 1 dla n = 0 lub 0 dla n 0 1 2πi Γ
Transformata Z - podstawowe własności Liniowość: ax(t) + by(t) ax(z) + by (z) Niezależność od przesunięcia: x(n) X(z) x(n n 0 ) z n 0 X(z) Własność splotu transformata Z splotu dyskretnego jest równa iloczynowi transformat Własność iloczynu transformata Z iloczynu funkcji dyskretnych jest splotem transformat Wykorzystujac powyższe własności obliczamy transformatę Z wyrażenia typu b m x(n m): m=0 ( M ) b m x(n m) z n = n= m=0 ( M ) [ M ] b m x(n m)z n = b m z m X(z) m=0 n= m=0 M
Transmitancja układow dyskretnych stosujac to do ogolnego równania różnicowego dyskretnego układu LTI postaci: y(n) = M b m x(n m) m=0 N a k y(n k) k=1 otrzymujemy: [ M ] [ N ] Y (z) = b m z m X[z] a k z k Y (z) m=0 k=1 dzielac obustronnie przez X(z) i dostajemy formulę na transmitancję dyskretnego układu LTI: H(z) = Y (z) X(z) = b 0 + b 1 /z + b 2 /z 2 + + b M /z M 1 + a 1 /z + a 2 /z 2 + + a N /z N gdzie liczby M, b 0,... b M - opisuja zależność wyjścia od (opóźnionych) wejść, zaś N, a 0,... a N - sprzężenie zwrotne
Transmitancja układow dyskretnych - c.d. powyższa postać transmitancji jednoznacznie wyznacza równania czasowe układu, który ja realizuje Przykład: Transmitancja postaci 2+3/z 1/z2 oznacza, że 1+2/z 4/z 3 równanie czasowe ma postać: y(n) = 2 x(n)+3 x(n 1) x(n 2) (2y(n 1) 4 y(n 3) inne formy transmitancji dyskretnej: mnożac licznik i mianownnik przez z M+N otrzymujmy postać: H(z) = zn z M b 0 z M + b 1 z M 1 +... b M 1 z + b M z N + a 1 z N 1 + + a N 1 z + a N zaś zapisujac wielomiany w postaci czynnikowej (poprzez zera z k i bieguny p k transmitancji) dostajemy: H(z) = z N M b 0 (z z 1 )(z z 2 )... (z z M ) (z p 1 )(z p 2 )... (z p N )
Projektowanie układów dyskretnych Projekt dyskretnego układu LTI - projekt transmitancji ukladu, czyli określenie liczb M, N, b j, j = 1... M, a k, k = 1... N Ograniczenia - warunek stabilności równoważny ograniczeniu p k < 1 - bieguny transmitancji musza leżeć wewnatrz okręgu jedostkowego Główna przesłanka projektowania - interpretacja częstotliwościowa transmitancji Dla układów analogowych - transmitancja H(jω) to widmo odpowiedzi impulsowej; ω ma sens rzeczywistej częstości rzeczywiste pulsacje odpowiadaja osi urojonej na płaszczyźnie zespolonego s dla transmitancji dyskretnej - konieczne jest określenie relacji pomiędzy zespolomym z a częstościa (pulsacja)
Interpretacja częstotliwościowa Kluczowa obserwacja - zwiazek pomiędzy transformacja Z X(z) sygnału dyskretnego x(n) a jego transformacja Fouriera X(e jω ): X(z) = X(e jω ) = n= n= x(n)z n x(n)e jωn Wielkości te sa sobie równe dla z = e jω gdzie Ω - pulsacja unormowane względem częstości próbkowania Ω = 2πF = 2π f f pr Tak więc rzeczywistym, dozwolomym wartosciom pulsacji unormowanej Ω (0, 2π) odpowiadaja wartości z na okręgu jednostkowym.
Przesłanki do projektowania Podstawowe zasady - podobne do przypadku analogowego jeżeli pulsacja Ω jest liczba rzeczywista, to zmianie wartości Ω od π do π odpowiada przejście przez wielkość e iω okręgu jednostkowego Podstawienie z = e iω prowadzi do wyrażenia na transmitancję: H(e iω ) = (e iω ) M N b 0 (e iω z 1 )(e iω z 2 )... (e iω z M ) (e iω p 1 )(e iω p2)... (e iω p N ) główne zasady projektowania podobne do tych, jakie obowiazuj a dla zmiennych analogowych
Porównanie zasad projektowania uklad analogowy dyskretny płaszczyzna zesp. s zespol. z zmienna ω Ω zakres 0... π... π linia oś urojona s okrag jednostkowy zera cała płaszcz. s cała płaszcz. z bieguny Res < 0 wnętrze okręgu jednost. osłab. zero na osi urojonej zera na okręgu K (0, 1) wzmoc. biegun bliski osi urojonej biegun blisko K (0, 1)
Projektowanie - przykłady Ilustracja graficzna zasad projektowania transmitancji układów dyskretnych
Metody projektowania Przykład projektowania - metoda zer i biegunów problem: sygnał zawiera skladowa o częstotliwości f s =10 Hz (właściwy sygnał) oraz f z =50 Hz (przydźwięk sieci energetycznej); częstotliwość próbkowania - f p =1000 Hz. zadanie - zaprojektować filtr, który usunie zakłócenia sieciowe stosowana metoda - "zer i biegunów" realizacja: pulsacje unormowane odpowiadajace składowym synału to: sygnał właściwy: Ω s = 2πf s /f p = π/50 zakłócenie: Ω z = 2πf z /f p = π/10 usunięcie zakłócenia: zero transmitancji na okręgu jednostkowym dla kata ϕ z = Ω z, z z = e iϕz by uzyskać rzeczywisty wielomian - licznik transmitancji - dodajemy drugie zero, sprzężone z z z
Metoda zer i biegunów wzmocnienie sygnału właściwego - umieszczenie bieguna w pobliżu punktu na okręgu jednostkowym zadanym przez kat ϕ s = Ω s, czyli p s = 0.98e iϕs oraz bieguna z nim sprzężonego to daje transmitancję: H(z) = (1 z z/z)(1 z z /z) (1 p s /z)(1 p s/z) = 1 1.9021/z + 1/z 2 1 1.9561/z + 0.9604/z 2 by uzyskać charakterystykę częstotliwościowa robimy podstawienie: z = e iω co prowadzi do: H(e iω ) = 1 1.9021e iω + e 2iΩ 1 1.9561e iω + 0.9604e 2iΩ efekty działania dla składowych sygnału: H(Ω s ) = 37.23e i1.4 - wzmocnienie sygnału 37 razy, przesunięcie w fazie (opóźnienie) o 1.4 radiana; H(Ω z ) = 0 - całkowite usunięcie zakłóceń
Metoda zer i biegunów - c.d. Realizacja w dziedzinie czasu - z definicji transmitancji: H(z) = Y (z) X(z) oraz uzyskanej postaci transmitancji mamy: ( 1.9561/z+0.9604/z 2 )Y (z) = (1 1.9021/z+1/z 2 )X(z) co się tłumaczy na równanie czasowe opisujace układ: y(n) = x(n) 1.9021x(n 1) + x(n 2) + 1.9561y(n 1) 0.9604y(n 2) Analiza odpowiedzi filtra na impuls jednostkowy - sygnał ustala się bardzo długo ( 200 300) pytanie - dlaczego, skoro filtr ma tylko kilka współczynników? odpowiedz bo jest to filtr ze sprzężeniem zwrotnym, może mieć nieskończna odpowiedź impulsowa analiza (rozkład transmitancji na czynniki proste) pokazuje następujac a postać odpowiedzi h(n) = 2 0.7669 (0.98) n cos(πn/50 1.5977) Wynik analizy - czas ustalania się odpowiedzi długość opowiedzi impulsowej
Filtry IIR Poprzedni przyklad pokazuje - gdy jest sprzężenie zwrotne, to filtr jest typu IIR (ma nieskończona odpowiedź impulsowa) - filtr rekursywny Matematycznie - takie filtry maja wielomianowy mianownik w transmitancji Własności fitrów IIR zaleta: możliwość uzyskiwania bardzo stromych charakterystyk przy małej liczbie współczynników a n, b k aby uzyskać ten sam efekt dla filtru nierekursywnego (FIR) trzeba użyć użyć znacznie więcej współczyników b k i o wiele dłuższej linii opóźniajacej wady: nieliniowosć charakterystyki fazowo-częstotliwościowej różnicowanie czasów opóźnień zniekształcenia sygnału wady: niebezpieczeństwo niestabilności konieczność bardzo starannego projektowania
Metody projektowania filtrów IIR Punkt startu - określenie wymagań stawianym filtrom Przykład: filtry LP zadane przez: parametry: δ pass, δ stop, Ω pass, Ω stop relacje: H LP (e iω ) = 1 ± δ pass dla Ω < Ω pass H LP (e iω ) = 0 + δ stop dla Ω > Ω stop charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa - w "tunelu" wyznaczonym przez parametry i relacje między nimi Dwie podstawowe grupy metod projektowania filtrów IIR projektowanie bezpośrednie projektowanie pośrednie Metody bezpośrednie nie odwołuje się do wyników uzyskanych dla filtrów innego rodzaju dobór współczynników wielomianów filtra przez minimalizację średniego kwadratu odchylenia od żadanej charakterystyki filtra przykład - metoda Youe a-walkera
Projektowania filtrów IIR Metody pośrednie wykorzystuja umiejętność projektowania odpowiednich filtrów analogowych dokonuja transformacji z dziedziny analogowej do dyskretnej Najważniejsze metody tego rozaju: niezmienności odpowiedzi impulsowej dopasowanej transformacji Z (rzadko stosowana, problemy z aliasingiem) transformacji biliniowej Metoda transformacji biliniowej najważniejsza z metod pośrednich projektowania filtrów IIR zakłada, że każdemu filtrowi analogowemu H a (s) odpowiada pewien filtr cyfrowy H c (e iω ) taki, że H c (e iω ) = H a (iω) oznacza to istnienie transformacji wiaż acej s i z: z = φ(s), spełniajacej pewne określone wymagania - patrz następny wykład.