Wprowadzenie. Spis treści. Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry

Transkrypt

1 Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry Spis treści 1 Wprowadzenie 2 Filtry cyfrowe: powtórka z wykładu 2.1 Działanie filtra w dziedzinie czasu 2.2 Nazewnictwo 2.3 Przejście do dziedziny częstości Działanie filtra w dziedzinie częstości Opóźnienie grupowe Filtrowanie z zerowym przesunięciem fazowym Pytanie 3 Klasyczne filtry IIR 3.1 Specyfikacja filtra 3.2 Projektowanie filtrów w programie Svarog Przykład Zadanie Wprowadzenie W analizie sygnałów filtowanie rozumiane jest najczęściej jako operacja mająca na celu usunięcie z sygnału pewnych składowych. Często operacja ta dotyczy składowych charakteryzowanych przez częstości np.: w sygnale EEG wiemy, że znaczącym artefaktem jest sygnał pochodzący od sieci energetycznej, zatem stosujemy filtr usuwający składową około 50Hz (w Europie). inny przykład z tej samej dziedziny: interesuje nas czynność alfa (8-12 Hz), chcemy zatem usunąć z sygnału składowe o niższych i o wyższych częstościach. Filtry często są realizowane w postaci systemów LTI (linear time invariant): dla takich systemów funkcjami własnymi są zespolone eksponensy (czyli na mocy wzorów Eulera: sinusy i cosinusy) w przestrzeni częstości filtrowanie odpowiada przemnożeniu każdej składowej częstościowej przez pewną liczbę (zespoloną)-> zatem zmienić się może amplituda i faza każdej częstości w dziedzinie czasu to mnożenie odpowiada splotowi sygnału z pewną funkcją tzw.funkcją odpowiedzi impulsowej

2 Filtry cyfrowe: powtórka z wykładu Działanie filtra w dziedzinie czasu Najczęściej, wyjście filtra jest kombinacją liniową: gdzie: liczba przeszłych próbek wejściowych liczba przeszłych próbek wyjściowych użytych do obliczenia aktualnego wyjścia. Większa z liczb i określa rząd filtra. Zauważmy, że matematycznie operacje te odpowiadają splataniiu próbek wejściowych z wektorem i próbek wyjściowych z wektorem. Nazewnictwo Jeśli i filtr nazywany jest filtrem o skończonej odpowiedzi impulsowej (FIR), czasem jest on nazywany średnią ruchomą (MA). Jeśli i filtr ma nieskończoną odpowiedź impulsową (IIR). Bywa też nazywany filtrem autoregresyjnym (AR). Jeśli i także jest filtrem o nieskończonej odpowiedzi impulsowej. Czasem mówi się o nim filtr ARMA - autoregressive moving average. Zwykle filtry IIR mają niższy rząd niż filtry FIR o tym samym poziomie tłumienia. Przejście do dziedziny częstości

3 zastosowanie transformaty Z do bu stron daje: Przekształcamy: Funkcja w tym równaniu nazywana jest funkcją przenoszenia filtra. Ma ona formę ilorazu dwóch wielomianów: Działanie filtra w dziedzinie częstości Funkcję przenoszenia zależną od częstości,, można uzyskać podstawiając Ta funkcja przypisuje każdej częstości pewną liczbę zespoloną, która ma moduł i fazę :

4 Zatem działanie filtra to mnożenie każdej składowej Fourierowskiej sygnału przez liczbę zespoloną ; Widać więc, że filtr może takiej składowej zmienić amplitudę i fazę, ale nie może jej zmienić częstości. Jest to przejaw tego, że sinusoidy są funkcjami własnymi układów LTI Opóźnienie grupowe Pokazaliśmy, że filtr mnoży każdą składową przez liczbę, przez co zmienia jej fazę o. W konsekwencji składowa o częstości pojawia się na wyjściu filtra z opóźnieniem: Jeśli zależność fazy od częstości jest liniowa (tak jest dla filtrów FIR) to, czyli wszystkie składowe pojawiają się z tym samym opóźnieniem. Dla nieliniowej zależności każda składowa jest opóźniona inaczej. Powoduje to dodatkowe zniekształcenia sygnału. Opóźnienie grupowe i fazowe filtru - interpretacja Interpretacja własności fazowych filtru łatwiejsza jest jeśli zamiast fazy wykreślimy opóźnienie fazowe lub grupowe. Opóźnienie fazowe zdefiniowane jest jako: Sens tej definicji widać jeśli zastosujemy ją do sinusa o częstości i fazie. opóźnienie grupowe zdefiniowane jest jako:

5 Sens tej definicji widać jeśli rozważymy co stanie się z sygnałem składającym się z dwóch cosinusiod o bliskich sobie częstościach i. Załóżmy, że filtr przenosi każdą z nich z niezmienioną amplitudą i jedynie faza ulega przesunięciu odpowiednio o i. Na wejściu nasz sygnał można przedstawić tak: Widać, że takie dwa cosinusy powodują efekt dudnienia. Innymi słowy można je postrzegać jako oscylację z częstością średnią obu cosinusów modulowaną wolno zmienną ( ) obwiednią. Sygnał wyjściowy z naszego filtru modyfikującego tylko fazy można zapisać tak: Oznaczmy. Wprowadzając mamy: Zatem widzimy, że obwiednia przesunięta jest w czasie o. W granicznym przypadku ciągłym Filtrowanie z zerowym przesunięciem fazowym Można temu zaradzić następującą procedurą: filtrujemy sygnał wprowadzamy przesunięcie fazy o odwracamy kolejność próbek i ponownie filtrujemy wprowadzamy przesunięcie fazy o odwracamy kolejność próbek: Efektywnie wygląda to tak jakbyśmy przefiltrowali sygnał filtrem o funkcji przenoszenia z zerowym

6 przesunięciem fazowym: Pytanie co to jest odpowiedź impulsowa filtra? jak filtr działa w dziedzinie czasu? co to jest funkcja przenoszenia filtra? jak filtr działa w dziedzinie częstości? Klasyczne filtry IIR Mamy cztery klasyczne typy filtrów IIR: Butterwortha daje monotoniczną funkcję przenoszenia Czebyszewa typu I - dopuszczalne tętnienia w paśmie przenoszenia, monotoniczne w paśmie zaporowym Czebyszewa typu II -monotoniczne w paśmie przenoszenia, dopuszczalne tętnienia w paśmie zaporowym, nieco mniej strome zbocze opadające funkcji przenoszenia niż dla typu I Filtr eliptyczny mają dopuszczalne tętnienia zarówno w paśmie przenoszenia jak i tłumienia. Dają najbardziej strome zbocza przy tym samym rzędzie co powyższe wersje. Specyfikacja filtra W określaniu parametrów filtrów używa się często pojęcia decybel [db]. Dwa poziomy sygnału oraz różnią się o decybeli, jeżeli Ilustracja pojęć używanych przy specyfikacji filtra: Rp- tętnienia w paśmie przenoszenia Rs - tłumienie w paśmie tłumienia

7 Przykładowe parametry specyfikujące filter można też podać częstość odcięcia i zbocze filtru zgodnie z oznaczeniami na poniższym rysunku: Przykład projektu fltra i jego działanie na sygnały testowe:

8 a) Moduł funkcji przenoszenia. Projekt (szara linia), realizacja dla filtra eliptycznego 5 rzędu (czarna linia), b) Opóźnienie grupowe. c) Zastosowanie filtra do sygnału złożonego z sinusoidy 10Hz i 50Hz: szare - wejście, czarne- wyjście. d) Przesunięcia i efekty brzegowe: wejście (szare) to sinusoida 3Hz ze strukturą 25Hz w okolicach 0.6s; wyjście (czarna linia) (i) w pierwszych 0.1s zniekształcenia brzegowe (ii)opóźnienia: sinusoida 3Hz jest opóźniona wzg wejścia, struktura 25Hz ma większe opóźnienie i rozciągłość, co wynika z funkcji opóźnienia grupowego b)} } Projektowanie filtrów w programie Svarog Program SVAROG ma wygodne narzędzie do projektowania filtrów IIR. Zanim przejdziemy do implementowania tych filtrów w pythonie, spróbujemy nabrać wyczucia w SVAROGU. W celu zaprojektowania filtru w Svarogu należy sprecyzować następujące parametry: Typ filtru - dolnoprzepustowy, górnoprzepustowy, pasmowoprzepustowy, pasmowozaporowy. Rodzaj filtru - Butterwortha, Czebyszewa I i II, eliptyczny. Częstotliwość graniczna pasma przepustowego 1 - górna częstotliwość pasma przenoszenia oddzielająca pasmo przenoszenia od obszaru przejściowego. Częstotliwość graniczna pasma przepustowego 2 - w przypadku filtru pasmowoprzepustowego lub pasmowozaporowego istnieją dwa obszary przejściowego; w

9 związku z tym częstotliwość graniczna 1 oddziela pasmo przenoszenia od pierwszego obszaru przejściowego (ma niższą wartość), a częstotliwość graniczna 2 separuje pasmo przenoszenia od drugiego obszaru przejściowego. Częstotliwość graniczna pasma zaporowego 1 - dolna częstotliwość pasma zaporowego oddzielająca pasmo zaporowe od obszaru przejściowego. Częstotliwość graniczna pasma zaporowego 2 - w przypadku filtru pasmowoprzepustowego lub pasmowozaporowego częstotliwość graniczna 1 oddziela pasmo zaporowe od pierwszego obszaru przejściowego (ma niższą wartość), a częstotliwość graniczna 2 separuje pasmo zaporowe od drugiego obszaru przejściowego. Zafalowania w paśmie przenoszenia - maksymalna wartość tłumienia w paśmie przenoszenia. Tłumienie w paśmie zaporowym - minimalna wartość tłumienia w paśmie zaporowym. Przykład Rysunek poniżej przedstawia charakterystykę amplitudową górnoprzepustowego filtru Czebyszewa I. Filtr został zaprojektowany przy użyciu następujących parametrów: Filter type = high-pass Filter family = Chebyshev I Passband edge frequency 1 = 20 Hz Stopband edge frequency 1 = 16 Hz Passband ripple = 3 db Stopband attenuation = 40 db Rząd filtru zostaje dostosowany do wymagań projektowych. Charakterystyka amplitudowa górnoprzepustowego filtru Czebyszewa I.

10 Okienko projektowania flirtrów w programie SVAROG Zadanie Przydadzą nam się pliki: Plik z sygnałem EKG Plik z metadanymi do tego sygnału Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry