Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Transkrypt

1 Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011

2 Projektowania filtrów IIR Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej Podstawowa zasada określajaca: projektujemy filtr cyfrowy, którego czasowa odpowiedź impulsowa jest spróbkowana wersja odpowiedzi impulsowej znanego filtru analogowego tak określony filtr cyfrowy będzie wzorował swoje charakterystyki na odpowiednich charakterystykach filtru analogowego główny problem tej metody: problemy z aliasingiem rzeczywiste filtry nie moga mieć ograniczonego pasma konsekwencja (w procesie próbkowania) - nastapi nałożenie charakterystyk (problemy z rekonstrukcja) Minimalizacja tego efektu - wzięcie możliwie dużej częstotliwości próbkowania

3 Projektowania filtrów IIR Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej - c.d. schemat metody projektujemy prototyp filtru analogowego o pożadabej postaci transmitancji H c (s) ustalamy częstość próbkowania filtru cyfrowego f s (powinna być odpowiednio duża) zapisujemy transmitancję filtru analogowego jako sumę transmitancji filtrów o pojedynczych biegunach (rozkład transmitancji na ułamki proste) z założenia o niezmienności odpowiedzi impulsowej kazda ze składowych analogowej odpowiedzi impulsowej aproksymujemy odpowiedzia impulsowa elementarnego filtra cyfrowego H a (s) H k a(s) h k a(t) h k c(n) h c (n) H c (z) lub inaczej: H k a(s) = A k A k s p k 1 e p k t s z 1 = Hk c (z)

4 Projektowania filtrów IIR Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej - c.d. taka procedura pozwoli nam wyznaczyć pełna odpowiedź impulsowa - sumę wkładów od powyższych odpowiedzi elementarnych - reprezentowana jako iloraz dwóch wielomianów zmiennej z. to z kolei jest równoważne formule na równanie filtru w dziedzinie czasowej aby uniezależnić wzmocnienie filtra cyfrowego od odstępu prókowania t s, mnożymy impulsowa odpowiedz analogowa przez t s częstość próbkowania f s powinna być duża by ograniczyć aliasnig (nakładanie się charakterystyk H a (jω) )

5 Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej - przykład Problem: projekt filtra dolnoprzepustowego filtra opartego o prototyp filtra Czebyszewa zakladane parametry: T s = 0.01, f s = 100Hz, nierównomierność charakterystyki w paśmie przepustowym 1dB, częstotliwość graniczna filtru: 20Hz Transmitancja prototypu: c H c (s) = s 2 + bs + c, gdzie: c = , b = Podział na ułamki proste (jednobiegunowe filtry analogowe): H c (s) = gdzie R = (b 2 4 c)/4) ic/(2r) (s + b/2 + ir) + ic/(2r) (s + b/2 ir)

6 Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej - przykład Ułamki proste: (opisujace jednobiegunowe filtry cyfrowe) H(z) = ic/(2r) 1 e (b/2+ir)ts z + ic/(2r) 1 1 e (b/2 ir)ts z 1 pełna transmitancja filtra cyfrowego: H(z) = (c/r)e bts/2 sin(rt s ) z 1 1 e bts/2 [2cos(RT s )]z 1 + e bts z 2 daje formułę czasową filtra (mnożymy wspołczynniki przy x(n i) przez T c ): y(n) = x(n 1) y(n 1) y(n 2)

7 Metoda transformacji biliniowej bardzo popularna technika projektowania filtrów IIR polega na wykorzystanie projektu filtru analogowego H a (s) do uzyskania charakterystyk filtru dyskretnego H c (z), tak by: H c (e iω ) = H a (iω) zmiany pulsacji analogowej ω w zakresie (, + ) przeszły w zmiany pulsacji cyfrowej Ω (unormowanej wzg. częstotliwości próbkowania) w zakresie ( π, +π) przejście H a (s) H c (z) nie wymaga stosowania transformacji Laplace a ani rozkladu na ułamki proste; nie ma też problemów z aliasingiem podstawa metody - transformacja zespolona Φ zmiennej zespolonej s, z = Φ(s), która stwarza relację między H c (z) i H z (s) postaci: H c (Φ(s)) = H a (s) postać transformacji biliniowej: z = 1+Tss/2 1 T ss/2

8 Metoda transformacji biliniowej własności transformacji biliniowej szczególny przypadek transformacji holograficznej posiada transformację odwrotna s = 2 z 1 T s z+1 przekształca płaszczyznę zespolona w siebie transformujac okręgi uogólnione (linie + okręgi) w okregi uogólnione niech s = σ + iω; wtedy z = Φ(s) = 1+σTs/2+iωTs/2 1 σt s/2 iωt s/2 zaś z 2 = (1+σTs/2)2 +(ωt s/2) 2 (1 σt s/2) 2 +(ωt s/2) 2 gdy σ > 0 to z 2 > 1, gdy σ = 0 to z = 1, zaś gdy σ < 0 to z 2 < 1 wnioski: transformacja biliniowa przekszałca płaszczyznę zespolonego s na płaszczyznę zespolonego z tak, że oś urojona s = iω koło jednostkowe z = e iω bieguny lewej półpłaszczyzny (σ < 0) bieguny wewnatrz koła jednostkowego bieguny prawej półpłaszczyzny (σ > 0 bieguny na zewnatrz koła jednostkowego

9 Metoda transformacji biliniowej - algorytm metody zwiazek między pulsacjami: ω = 2 T tg(ω/2) Ω = 2arctg(ωT s/2) Algorytm metody: wyznaczamy transmitancję H a (s) prototypu filtra analogowego ustalamy częstotliwość próbkowania filtra cyfrowego podstawiamy jako zmienna transmitancji H a (s) wielkość z 1 (z+1) dostajemy transmitancję H c(z) filtra cyfrowego 2 T s sprowadzamy H c (z) do postaci ilorazu dwóch wielomianów z tej postaci potrafimy wypisać równania struktury filtra

10 Metoda transformacji biliniowej - przykład Zadanie - konstrukcja filtru dolnoprzepustowego w oparciu o taki sam zestaw danych, co w poprzednim przykładzie Transmitancja prototypu - jak wyżej (LP Czebyszew drugiego rzędu, f s = 100Hz, ): c H a (s) = s 2 + bs + c, gdzie: c = , b = wyznaczamy H c (z) = H a (s = 2 T s 1 z 1 1+z 1 ) wymnożenie licznika i mianownika, zebranie wyrazów o równych potęgach, normalizacja tak, by wyraz wolny w mianowniku był = 1 daje: H c (z) = c (a 2 +2b+c) (1 + 2z 1 + z 2 ) 1 + (2c 2a2 ) (a 2 +ab+c) z 1 + (a2 +c ab) (a 2 +ab+c) z 2

11 Metoda transformacji biliniowej - przykład wstawienie danych numerycznych, wypisanie jako równania strukturalne: y(n) = x(n) x(n 1) x(n 2) y(n 1) y(n 2) Porównanie metod Amlituda Faza

12 Filtry nierekursywne FIR Sa to cyfrowe filtry bez sprzężęnia zwrotnego, przyczynowe, opisane odpowiedzią impulsowa h(n): y(n) = h(k)x(n k) k=0 ze względów implementacyjnych bierzemy skończona ilość (pierwsze N współczynników odpowiedzi impulsowej - działanie filtra zadane przez N liczb h(n) (lub - w konwencji Matlaba - b n ), n = 0,.., N 1 y(n) = N 1 k=0 h(k)x(n k) reakcja na wymuszenie impulsowe zanika w skończonym czasie (stad nazwa FIR) każda próbka sygnału wyjściowego średnia ważona ustalonej ilości ostatnich próbek sygnału wejściowego

13 Filtry FIR - własności, metody projektowania zalety: łatwość projektowania, stabilność, możliwość uzyskania liniowej charaterystyki fazowo-częstotliwościowej (filtr nie zniekształca sygnału) wady: konieczność stosowania dużej (w porównaniu z IIR) ilości współczynników większa złożoność obliczeniowa konieczność wykonania duzej ilości operacji arytmetycznych (czyli mniejsza szybkość działania) najważniejsze metody projektowania metoda próbkowania w dziedzinie częstotliwości metoda aproksymacji Czebyszewa (algorytm Remesa) metoda okien

14 Funkcje okna - pojęcie i zastosowania W dziedzinie przetwarzania sygnałów - funkcja w(t) równa zero poza ustalonym przedziałem typowy przyklad - okno prostokatne analiza częstotliwościowa sygnałów - przypadek ciagły - skończony przedział czasu technicznie równoważne: wyjściowy ciagły sygnał analizowany x(t) (na ogół nieskończony) wycinamy zakres czasowy odpowiadajacy interesujacemu nas obszarowi - odpowiada to iloczynowi x w (t) = x(t)w(t) analiza częstotliwościowa takiego sygnału - widmo sygnału na obszarze skończonym określone przez splotow widma sygnału i widma funkcji okna jak oddzielić sygnał od okna?

15 Funkcje okna - c.d. przykład - analiza sygnału x(t) = cos(ω 0 t) zakres nieskończony - X(ω) = 0.5δ(ω ω 0 ) + 0.5δ(ω + ω 0 ) wycięcie - okno prostokatne o szerokości T ; W(ω) = 2 sin(ωt) T widmo sygnału obciętego: X w (ω) = sin((ω ω 0)T) ω ω 0 wpyw okna - oscylacje X w (ω) + sin((ω + ω 0)T) ω + ω 0 podobnie dla sygnału dyskretnego - DFT używa skończonego ciagu próbek - konieczność stosownania okien - wynik - jak dla przypadku ciagłego - prażki w widmie spróbkowanego sygnału, ponadto powielenie widma

16 Funkcje okna - c.d. struktura widm - listek główny (wysokość, szerokość ml zdefiniowana np. przez pozycję zer), listki boczne (główny parametr - tłumienie A sl w stosunku do listka głównego) możliwe inne okna - różne charakterystyki, wpływ na kształt obciętego sygnału nazwa definicja ml A sl prostokatne 1 4π/N 13.3 db trojkatne 1 2 n (N 1)/2 N 1 8π/N 26.5 db Hamminga cos( 2πn N 1 ) 8π/N 42.7 db wzrost N spadek ml, bez wpływu na tłumienie A sl inne możliwość - okna parametryczne (Dolpha Czebyszewa, Kaisera)

17 Metoda okien - cechy prosta pod względem teoretycznym i implementacyjnym efektywna z tych powodów: szeroko stoswana Algorytm metody: wybierz typ filtra (LP, HP, BP, BS, jego pulsacje graniczne) - to zadaje jego idealna (prostokatn a) transmitancję H(e iω ) wyznacz analityczna formułę na dyskretna odpowiedź impulsowa filtra h(n) (dla idealnych filtrów gotowe wyrażenia) - zazwyczaj h(n) - gasnace, nieskończone oscylacje wymnóż obliczona odpowiedź impulsowa z wybrana funkcja okna h w (n) = h(n) w(n) o skończonej ilości niezerowych próbek, w(n) = 0 dla n > M przesuń uzyskana funkcję h w (n) w prawo o M probek, pobierz 2M + 1 probek filtr hw M (n) gotowy

18 Metoda okien - dyskusja wpływu okna Rola okna - wybór z nieskończonej odpowiedzi impulsowej filtra jej skonczonego, najbardziej istotnego fragmentu dobór długości (N = 2 M + 1) oraz kształtu - ważny dla uzyskania liniowości charakterystyki amplitudowej w pasmie przepuszczania, odpowiedniego tłumienia w paśmie zaporowym oraz właściwej stromości filtra Zależność widma okna od parametrów ustalony kształt okna - zwiekszanie jego długości - zmniejszenie szerokości listka głównego filtra, brak wpływu na poziom tłumienia listków bocznych by zwiększyć tłumienie listków bocznych - weź "lepsze" okno Zależność widma filtra od wyboru okna aby zwiekszyc stromość - wydłuż okno aby zwiekszyc tlumienie w pasmie zaporowym - wybierz inny typ okna (z mniejszym poziomem listkow bocznych) Do projektowania filtrów korzystnie jest zastosowac okna parametryczne (np. Kaisera, Dolpha-Czebyszewa).