Kartkówka 1 Opracowanie: Próbkowanie częstotliwość próbkowania nie mniejsza niż podwojona szerokość przed spróbkowaniem.

Transkrypt

1 Znowu prosta zasada - zbierzmy wszystkie zagadnienia z tych 3ech kartkówek i opracujmy - może się akurat przyda na dopytkę i uda się zaliczyć labki :) (dodatkowo można opracowania z tych rzeczy z doc ów z moodla zrobić) Kartkówka 1 Opracowanie: Próbkowanie - proces tworzenia sygnału dyskretnego, reprezentującego sygnał ciągły za pomocą ciągu wartości. W ustalonych odstępach czasu mierzona jest wartość chwilowa sygnału i na jej podstawie tworzone są próbki. Częstotliwość próbkowania to odwrotność okresu próbkowania. Aby spróbkowany sygnał z postaci dyskretnej dało się przekształcić bez straty informacji z powrotem do postaci ciągłej częstotliwość próbkowania nie może być mniejsza niż podwojona szerokość pasma sygnału przed spróbkowaniem. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, wówczas występuje zjawisko aliasingu. CFT (ciągła transformata Fouriera) - jest przekształceniem ogólnym dlatego, że można z niego korzystać zarówno do sygnałów okresowych, jak i nieokresowych. Dla sygnałów okresowych daje ono takie same wyniki jak rozkład na współczynniki szeregu Fouriera. Dla sygnałów nieokresowych w wyniku CFT otrzymuje się ciągłą funkcję rozkładu. Oznacza to, że sygnał nieokresowy rozkładany jest na nieskończony zbiór sinusoid i kosinusoid, których częstotliwość zmienia się w sposób ciągły. Dlatego w wyniku przekształcenia otrzymujemy

2 ciągłą funkcję rozkładu, która pokazuje, jaka jest amplituda sinusoidy lub kosinusoidy o danej częstotliwości lub pulsacji. DFT (dyskretna transformata Fouriera) - służy do wyznaczania zawartości harmonicznej lub częstotliwościowej sygnału dyskretnego. Pochodzenie DFT bierze swój początek od ciągłego przekształcenia Fouriera. Dzięki temu przekształceniu możemy przetransformować sygnał z dziedziny czasu w dziedzinę częstotliwości, czyli wyznaczyć jego widmo w postaci ciągłej. To z kolei pozwala nam określić zawartość częstotliwościową sygnału. Przeciek - powoduje, że dowolny sygnał wejściowy, którego częstotliwość nie jest dokładnie równa częstotliwości dla której jest wyznaczany dany prążek DFT, przecieka do wszystkich innych wyznaczanych prążków DFT. Przeciek jest nie do uniknięcia, kiedy wyznaczamy DFT rzeczywistego ciągu czasowego o skończonej długości. Algorytm FFT zachodzi tylko gdy długość próbkowania jest potęgą dwójki. Bazuje na metodzie dziel i zwyciężaj rekurencyjnie dzieląc transformatę wielkości N = x*y na transformaty wielkości x i y. 1. Wykonaj x DFT wielkości y 2. Pomnóż przez zespolony pierwiastek z jedynki zwany czynnikami fazowymi. 3. Wykonaj y DFT wielkości x Widmo amplitudowe i fazowe. - Transformata Fouriera jest funkcją o wartościach zespolonych, zatem przy wykonywaniu wykresów widma wygodne jest niezależne przedstawianie modułu oraz argumentu. Wykres widma amplitudowego (wykres modułu) jest funkcją parzystą, pokazuje, jakie są amplitudy składowych widmowych sygnału o różnych częstotliwościach. Wykres widma fazowego (wykres argumentu) jest funkcją nieparzystą, pokazuje, jakie są fazy tych składowych. Widmo zespolone zawiera informację o zawartości częstotliwościowej. Powstaje ono w wyniku wyznaczania miary korelacji (podobieństwa) sygnału do poszczególnych funkcji harmonicznych. Pytania: co mozna odczytac ze spektrogramu Porównując spektrogramy możemy próbować rozpoznać głos. W spektrogramie mamy do czynienia z reprezentacją czasowo-częstotliwościową dźwięku. narysowac przykladowy wykres widma randn

3 wykres widma funkcji randn(1,2000); Wykres widma jest graficznym przedstawieniem transformaty Fouriera jako funkcji częstotliwości lub pulsacji. Z wykresu widma można przykładowo odczytać, jakie składowe harmoniczne wchodzą w skład danego sygnału, czy sygnał ma ograniczone pasmo, jaka jest jego szerokość pasma, czy zawiera składowe wolnozmienne (o małych częstotliwościach) oraz szybkozmienne (o dużych częstotliwościach). jakie warunki ma spełniać widmo żeby było dokładne żeby widmo było dokładne sygnał musi spełniać twierdzenie Kotielnikowa-Shannona (nie może występować aliasing) twierdzenie Kotielnikowa-Shannona o próbkowaniu Jeśli sygnał ciągły nie posiada składowych widma o częstotliwości równej lub większej niż B, to może on zostać wiernie odtworzony z ciągu jego próbek tworzących sygnał dyskretny, o ile próbki te zostały pobrane w odstępach czasowych nie większych niż 1/(2B). co to jest decymacja i jakie ma parametry jest to przekształcenie sygnału dyskretnego, polegające na zachowaniu co M-tej próbki, a odrzuceniu pozostałych. Oznaczając sygnał wejściowy jako, a sygnał wyjściowy jako, możemy zapisać decymację w następujący sposób: Parametr M jest nazywany współczynnikiem decymacji.

4 Sygnał po M-krotnej decymacji zawiera M-krotnie mniej próbek od sygnału przed decymacją, czyli jest próbkowany z M-krotnie mniejszą częstotliwością. Takie obniżenie częstotliwości próbkowania wiąże się z niebezpieczeństwem powstania aliasingu, o ile pasmo sygnału przed decymacją nie będzie odpowiednio ograniczone przy pomocy filtru antyaliasowego. narysować wykres chirp o zadanych parametrach (przykładowy wykres chirp) co to jest aliasing i kiedy występuje? to nieodwracalne zniekształcenie sygnału w procesie próbkowania (wynikające z niespełnienia twierdzenia Kotielnikowa-Shannona o próbkowaniu). Objawia się obecnością w sygnale składowych o błędnych częstotliwościach. zakres częstotliwości sygnału mowy 300Hz - 3kHz (w telefonii), jednakże w wielu wypadkach sygnał mowy może mieć częstotliwości do 8 khz widmo zespolone widmo amplitudowe widmo fazowe algorytm FFT Podstawowe wywołanie funkcji fft ma postać fft(x,nf). Funkcja fft realizuje algorytm FFT, jeśli Nf jest potęgą dwójki. W innych przypadkach realizowany jest algorytm DFT. Kartkówka 2

5 Opracowanie: Równanie różnicowe - dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Rozwiązywanie metodami: Eulera (przewidywanie) oraz Metodą transformaty Laurenta, która jest odpowiednikiem transformaty Laplace'a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych. Odpowiedź impulsowa (Charakterystyka impulsowa) - odpowiedź układu liniowego na wymuszenie w postaci bardzo wąskiego i bardzo wysokiego impulsu o powierzchni jednostkowej, który można uznać za przybliżenie delty Diraca (w przypadku układów dyskretnych impulsem tym jest impuls Kroneckera). Zera i bieguny transmitancji - Pierwiastki licznika transmitancji określane są zerami transmitancji. Pierwiastki mianownika transmitancji określa się mianem biegunów transmitancji. FIR - filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej. Oznacza to tyle, że reakcja na wyjściu tego układu na pobudzenie o skończonej długości jest również skończona. Aby warunek ten był spełniony, w filtrach tego typu nie występuje pętla sprzężenia zwrotnego IIR - układ rekursywny. Oznacza nieskończoną odpowiedź impulsową. Znaczy to tyle, że reakcja na pobudzenie o skończonym czasie trwania jest teoretycznie nieskończenie długa. Jest to efektem występowania pętli sprzężenia zwrotnego Pasmo przepustowe filtru - przedział częstotliwości o skończonej lub nieskończonej szerokości, dla którego filtr wnosi tłumienie nie większe niż przyjęte maksymalne tłumienie dla pasma przepustowego. Granicę pasma przepustowego wyznacza częstotliwość graniczna filtru. Pasmo zaporowe filtru przedział częstotliwości o skończonej lub nieskończonej szerokości, dla którego filtr wnosi tłumienie nie mniejsze niż przyjęte minimalne tłumienie dla pasma zaporowego. Składowe widmowe sygnału wejściowego wypadające w przedziale częstotliwości pasma zaporowego są przez filtr tłumione. Pasmo przejściowe są to częstotliwości pomiędzy pasmem przenoszenia, a pasmem zaporowym, w przypadku gdy wartości graniczne obu pasm są równe, przyjmuje się, że pasmo przejściowe nie występuje. Transmitancja iloraz transformat wielkości charakteryzujących sygnały wejściowy i wyjściowy. Okno - funkcja opisująca sposób pobierania próbek z sygnału. Od postaci funkcji okna zależą różnice pomiędzy widmem sygnału obserwowanego, a widmem wyniku obserwacji.

6 Filtr Butterwortha filtr charakteryzujący się maksymalnie płaską charakterystyką amplitudową w paśmie przenoszenia. Częstotliwość graniczną filtru wyznacza spadek sygnału o 3dB. Filtr Czebyszewa którego charakterystyczną cechą jest wykorzystanie wielomianów Czebyszewa do aproksymacji charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej. I typu ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie przepustowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie zaporowym. II typu (inwersyjny) ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym. Pytania: Jak położenie zer wpływa na transmitancję filtra? Im dalej od środka układu współrzędnych tym mniejsza wartość początkowa modułu transmitancji. Gdy zera są po prawej stronie to wykres maleje a potem rośnie, a gdy po lewej to tylko rośnie. Definicje: okno, odpowiedź impulsowa, częstotliwość graniczna Okno czasowe funkcja opisująca sposób pobierania próbek z sygnału. Wyobraźmy sobie, że obserwujemy pewien sygnał obserwacji jest sygnał: w skończonym przedziale czasu. Wtedy wynikiem naszej gdzie jest właśnie funkcją okna. Od postaci funkcji okna zależą różnice pomiędzy widmem sygnału obserwowanego, a widmem wyniku obserwacji. Częstotliwość graniczna filtru wartość graniczna częstotliwości, dla której kończy się umowne pasmo przepustowe filtru. W popularnej interpretacji, jest to częstotliwość, poza którą tłumienie wnoszone przez filtr staje się większe niż 3dB w stosunku do tłumienia wewnątrz pasma przepustowego, które idealnie powinno wynosić 0dB. W ścisłej definicji, częstotliwość graniczna pasma przepustowego może być wyznaczona przez punkt o dowolnym tłumieniu, które dla danego filtru wyznaczają gabaryty filtru. Zasadnicza różnica między FIR a IIR?

7 Filtr IIR (nieskończonej odpowiedzi impulsowej) jest układem rekursywnym (teoretycznie nieskończona reakcja na pobudzenie o skończonym czasie trwania), a FIR (skończonej odpowiedzi impulsowej) nie. Co wpływa na pasmo przejściowe filtra podczas projektowania go metodą okna? Różnica między filtrami Czebyszewa a Butterwortha? Mają inaczej położone bieguny Definicja transmitancji na płaszczyźnie Z? Równanie różnicowe? To dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Wyznacza zależność między nieznaną funkcją a jej pochodnymi. Narysować parę zer

8 dla pz = 0.25) dla mz = 0.8 i pz = 0.75 (tak samo wyglada Narysować parę biegunów i moduł transmitancji do nich

9 Widmo sygnału mowy dla filtru przepustowo zaporowego (?) Narysować wykres filtrów Czebyszewa I i II oraz Butterwortha.

10 (Butterworth)

11 (Czebyszewa 1)

12 (Czebyszewa 2) FIR metodą okna (prostokątnego)

13 (trójkątnego) Kartkówka 3 Opracowanie: Estymacja to zbiór metod pozwalających na uogólnianie wyników badania próby losowej na nieznaną postać i parametry rozkładu zmiennej losowej całej populacji oraz szacowanie błędów wynikających z tego uogólnienia. -Estymacja parametryczna występuje wówczas, gdy szacujemy jedynie wartość nieznanych parametrów w znanym typie rozkładu. -Estymacja nieparametryczna zajmuje się modelami i metodami, nie wymagającymi założeń co do rozkładu populacji z której losowana jest próba. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa sygnału losowego określa prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wartość sygnału w dowolnej chwili jest zawarta w określonym przedziale. Korelacja - związek pomiędzy dwiema zmiennymi losowymi X i Y. Taka zależność oznacza, że znając wartość jednej z nich, da się dokładniej przewidzieć wartość drugiej zmiennej, niż bez jej znajomości. Funkcja autokorelacji sygnału losowego x(t) jest wartością średnią iloczynu sygnału x(t) w chwili t oraz x(t+t) w chwili t+t. Jest to funkcja okresowa o takim samym okresie jak okres sygnału obserwowanego. Umożliwia określenie wartości średniej i średniokwadratowej sygnału okresowego oraz jego częstotliwości. Metodą tą wykrywa się i przeprowadza pomiary parametrów sygnału okresowego na tle losowego zakłócenia. Funkcja gęstości widmowej mocy określa rozkład wartości średniokwadratowej sygnału na poszczególne częstotliwości. Dwustronna funkcja gęstości widmowej mocy jest transformatą Fouriera funkcji autokorelacji.

14 Statystyka: I rząd wartość oczekiwana II rząd prosta regresji Proces ergodyczny - proces stacjonarny dla którego wartości parametrów statystycznych (czyli wartość średnia, wariancja i funkcja autokorelacji) są równe wartościom tych parametrów z jego dowolnej realizacji czasowej. proces stacjonarny to proces stochastyczny dla którego rozkłady gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nie zmieniają się wraz z przesunięciem w czasie lub przestrzeni. W efekcie, parametry takie jak średnia i wariancja także nie ulegają zmianie wraz z przesunięciem w czasie lub przestrzeni. Przykładem procesu stacjonarnego jest szum biały. Pytania: Jaką funkcję spełnia gęstość prawdopodobieństwa? Co to korelacja? Teoretyczna i estymowana postać funkcji autokorelacji/widmowej gęstości mocy dla funkcji sinusoidalnej/szumu. - narysować wykresy Różnica pomiędzy szumami wygenerowanymi funkcjami rand() a randn() Co to jest estymator? Co się pojawia na wyjściu radaru?