Zasada najmniejszego działania

Zasada najmniejszego działania S = T dtl(x, ẋ) gdzie L(x, ẋ) jest lagrangianem. Dokonajmy przesuniecia x = x + y, ẋ = ẋ + ẏ, gdzie y(0) = y(t ) = 0. Wtedy T T S = dt L(x, ẋ ) = dt L(x + y, ẋ = ẋ + ẏ) 0 = 0 T 0 ( dt 0 L(x, ẋ) + L x y + L ẋẏ +... ). 1

Stąd Stąd równania ruchu: δs = S S = = T 0 T 0 dt ( L x y + L ) ẋẏ ( L dt x ) L y + L t ẋ ẋ y δs = 0 = L x L t ẋ = 0. T 0.

Zasada najmniejszego działania dla pola elektromagnetycznego Jaką postać ma gęstość Lagrange a L L = d 3 xl, która prowadzi do równań Maxwella, jeśli przy ustalonym J µ? A µ A µ + (δa) µ L = 1 4 F µνf µν J µ A µ. L = 1 ( E B ) J µ A µ. 3

Rzeczywiście δs = δ d 4 x [ 14 ] F µνf µν J ν A ν wariacja kwadratu δf = F (δf ) = d 4 x [ 1 ] F µν (δf ) µν J ν (δa) ν jawna postać F µν = d 4 x [ 1 ] F µν [ µ (δa) ν ν (δa) µ ] J ν (δa) ν antysymetria F µν ] = d 4 x [ F µν µ (δa) ν J µ (δa) µ całka przez części = d 4 x [ µ F µν (δa) ν J ν (δa) ν ] zamiana indeksów górnych na dolne = d 4 x [ µ F µν J ν ] (δa) ν = 0 µ F µν = J ν. 4

Potencjał A µ nie jest jednozacznie określony prowadzą do tego samego tensora pola A µ oraz A µ + µ χ F µν = µ A ν ν A µ µ A ν ν A µ + } µ ν χ {{ ν µ χ } =0 Transformacja A µ A µ = A µ + µ χ = F µν. nazywa się transformacją cechowania (gauge transformation). Pod wpływem transformacji cechowania zmienia się jednak działanie: (J ν A ν ) S = d 4 x J ν ν χ całka przez części = d 4 x ( ν J ν ) χ. S = 0 dla dowolnego χ, jedynie gdy zachowany jest ładunek ν J ν = 0. 5

Zasada najmniejszego działania dla pola skalarnego Dla funkcji skalarnej ϕ wprowadzamy gęstość lagrangianu L(ϕ, µ ϕ), gdzie ϕ(t, r) (lokalność). S = d 4 x L(ϕ, µ ϕ). x ϕ, dx dt 0ϕ. δs = 0 = L ϕ L µ ( µ ϕ) = 0. Jak wygląda L (przyjmujemy = 1 i c = 1)? L(ϕ, µ ϕ) = 1 ( µ ϕ µ ϕ m ϕ ) = 1 ( g µν µ ϕ ν ϕ m ϕ ). Zadanie: przeprowadzić jawnie rachunek wariacyjny dla pola ϕ i wstawić i c do L. 6

Rozpady: Oddziaływania słabe 17 9 F 17 8 O + e + + ν e n p + e + ν e zachodzą poprzez oddziaływania zwwane słabymi, gdyż średni czas życia wynosi minuty, podczas gdy typowy czas rozpadów elektomagnetycznych to 10 15 s. Jak opisać takie oddziaływania? 7

Prądy: Teoria Fermiego 1 j ν = ψ e γ ν (1 γ 1 5)ν e + ψ µ γ ν (1 γ 1 5)ν µ + ψ τ γ ν (1 γ 5)ν τ oddziaływanie (nierenormalizowalne) L = G F g νµ j ν j µ G F = 1.16639 10 5 GeV. Pamietajmy: P L = 1 (1 γ5 )ψ = P R = 1 (1 + γ5 )ψ = [ ] [ 1 0 ψl 0 0 ψ [ ] [ R 0 0 ψl 0 1 ψ R ] ] = = [ ψl 0 [ 0 ψ R ], ] 8

Będziemy chcieli zastąpić G F g νµ D νµ propagator D νµ gνµ p M czas p' 1 p 1 p' 1 p p' p' p p' 3 p' 1 p 1 p' 1 p p' p' p p' 3 9

p' 1 p p' p' 3 Gdyby "foton"miał masę, to amplituda rozpadu byłaby proprcjomalna do: M ie (p + p 3 ) M Jeżeli M (p + p 3) to mamy oddziaływanie czterofermionowe. Pytania: Jak nadać "fotonowi"masę, aby nie złamać symetrii cechowania? Jak nadać "fotonowi"ładunek, by n p? Jak sprzęgać "foton"do fermionów: γ µ, czy jakoś inaczej? 10

Łamanie symetrii w modelach teoriopolowych Rozważmy zepolone pole skalarne: Gęstość lagrangianu (rzeczywista) Φ = 1 (φ 1 + i φ ). L = µ Φ µ Φ m Φ Φ = Φ Φ t t Φ Φ m Φ Φ gdzie gęstość potencjału identyfikujemy jako: Φ Φ + m Φ Φ Minimum jest dla stałego pola, gdzie jedyny przyczynek jest od członu masowego i minimum potencjału wypada dla Φ = 0. Co się stanie gdy zmienimy znak m? Niestabilność! ω = k m 11

Wybierzmy gdzie φ 0 jest stałą. Wtedy V (Φ Φ) = m φ 0 [ Φ Φ φ ] 0, L = µ Φ µ Φ V (Φ Φ). Wtedy minimum potencjału jest dla modułu Φ = φ 0. (Rysunek). 1

Swoboda wybory kierunku, bo w minimum 1 ( φ 1 + φ ) = φ 0. Czyli mamy symetrię globalną U(1): Φ e iα Φ. 13

Jednak system musi wybrać jakiś kierunek i wtedy następuje spontaniczne łamanie symetrii U(1). Symetria lagrangianu nie jest symetrią próżni. Niech próżnia ma postać Φ 0 = (φ 0, 0) ψ φ 0 χ Wtedy pole dynamiczne Φ = φ 0 + 1 (χ(x) + iψ(x)). 14

Przepiszmy lagrangian L = 1 µχ µ χ + 1 µψ µ ψ m Podnieśmy nawias do kwadratu φ 0 [...] = φ 0χ + wyższe potegi Wyższe potegi to oddziaływanie. Mamy Mamy: masowe pole χ [ φ0 χ + 1 χ 1 ] ψ L = 1 µχ µ χ m χ + 1 µψ µ ψ + L int. bezmasowe pole ψ (bozon Goldsone a) Przykład zastosowań: łamanie symetrii chiralnej SU(), trzy bozony Goldstone: mezony π. 15

Żądanie symetrii lokalnej dodaje pole wektorowe: Łamanie symetrii lokalnej Φ(x) Φ (x) = e iy θ(x) Φ(x) L = [ ( µ igy A µ ) Φ ] [( µ + igy A µ ) Φ] 1 4 F µν F µν V (Φ Φ), gdzie F µν = µ A ν ν A µ. Symetria cechowania wymaga by A µ (x) A µ(x) = A µ (x) + 1 g µθ(x). Pochodna została zastąpiona przez pochodną kowariantną: Potencjał wybieramy jak poprzednio µ D µ = µ + igy A µ V (Φ Φ) = m φ 0 16 [ Φ Φ φ ] 0.

Różnica z poprzednim przypadkiem jest taka, że czynnik fazowy zależy od x i zawsze możemy tak wybrać cechowanie, żeby Φ (x) było rzeczywiste (unitary gauge). Φ (x) = φ 0 + 1 h(x), h(x) rzeczywiste. Wtedy: gdzie (g Y = Y g): L = L free + L int L free = 1 µh µ h m h 1 4 F µν F µν + g Y φ 0A µ A µ. Pole fotonowe ma masę proporcjonalną do średniej próżniowej pola Φ i stałej sprzężenia (ładunku) q. Dla kompletu ( φ0 L int = gy A µ A µ h + 1 ) ( h m φ0 φ h h + 1 ) 0 4 h. 17

Przed złamaniem symetrii mieliśmy 4 stopnie swobody: bezmasowe pole wektorowe stopnie swobody, zespolone pole skalarne stopnie swobody, po złamaniu symetrii mamy masowe pole wektorowe 3 stopnie swobody, jedno skalarne pole rzeczywiste 1 stopień swobody. Zjawisko zamiany jednego pola skalarnego na masę pola wektorowego nosi nazwę mechanizmu Higgsa, a pole skalarne h nazywamy polem Higgsa. 18

Łamanie symetrii globalnej Twierdzenie Goldstone a: Na każdy złamany generator przypada bezmasowa cząstka zwana bozonem Goldstone a. W naszym przykładzie grupa U(1) miała tylko jeden generator i została całkowcie złamana. Łamanie symetrii lokalnej Mechanizm Higgsa: Bezmasowy bozon Goldstone a zostaje zjedzony przez pole wektorowe i dostarcza mu polaryzacji podłużnej; pole wektorowe uzyskuje masę. 19

Symetria SU() U(1) Wystartujmy z lagrangianu, który oprócz symetrii U(1) ma symetrię SU() (Yang, Mills 1954): [ ] [ ] ΦA φ1 + iφ Φ = =. Φ B φ 3 + iφ 4 Niech U będzie unitarną macierzą U = e i α τ, U U = UU = 1 gdzie α = (α 1, α, α 3 ) jest zbiorem trzech parametrów rzeczywistych, τ = (τ 1, τ, τ 3 ) jest wektorem macierzy Pauliego (generatory symetrii SU()). Dodatkowo rozważmy mnożenie przez fazę e iθτ 0 gdzie τ 0 jest macierzą jednostkową. Postulujemy symetrię potencjału Lagrangian Φ Φ = e iθτ 0 UΦ. L Φ = µ Φ µ Φ V (Φ Φ), 0

gdzie µ Φ µ Φ = Φ Φ = 4 µ φ i µ φ i, i=1 4 φ i. i=1 1

Transformacja cechowania Pełna symetria U(1) SU() Φ Φ = e iθτ 0 UΦ, D µ Φ D µφ = e iθτ 0 U D µ Φ ( B µ B µ = e iθτ 0 B µ + i ( µ e )) iθτ 0 e iθτ 0, ( g 1 W µ W µ = UW µ + i ) ( µ U) U. g Pochodna kowariantna ma postać: µ D µ = µ + i g 1 Bµ + i g W µ = µ + i g 1 Bµ + i g W k µ τ k Trzy pola W i µ maja tę samą stałą sprzężenia g a pole abelowe B µ inną stałą g. Lagrangian pola Φ L Φ = (D µ Φ) (D µ Φ) V (Φ Φ) musi zostać uzupełniony o lagrangian dla pól B µ oraz W k µ.

Model z lokalną symetrią SU() U(1) Dla pełnej teorii z symatrią SU() U(1): Lagrangian gdzie pochodna kowariantna Φ Φ = e iθ(x)τ 0 UΦ U = e i α(x) τ L = L dyn + L Φ L dyn = L B + L W = 1 4 B µνb µν 1 8 Tr(W µνw µν ), L Φ = (D µ Φ) (D µ Φ) V (Φ Φ) B µν = µ B ν ν B µ, W µν = D µ W ν D ν W µ. D µ = µ + i g 1 Bµ + i g W µ D µ = µ + i g W µ 3

Łamanie lokalnej symetrii U(1) SU() Chcemy teraz nadać masę bozonom W a pozostawić bezmasowy foton, czyli bozon grupy U(1). W tym celu potenncjał wybieramy jak poprzednio: V (Φ Φ) = m [ Φ φ Φ φ 0] 0 = m [ φ φ 1 + φ + φ 3 + φ 4 φ 0] 0 gdyż [ ] [ ] ΦA φ1 + iφ Φ = =. Φ B φ 3 + iφ 4 Podobnie jak w przypadku łamania symetrii U(1) możemy tak wybrać cechowanie SU(), żeby Φ A = 0, Φ B = rzeczywiste. (1) Są to w sumie 3 warunki, które odpowiadają wyborowi trzech z czterech parametrów transformacji cechowania (θ(x), α(x)). 4

Wybieramy Niezłamana symetria U(1) Φ vac = [ 0 a wzbudzenia mają postać (zawsze możemy tak wybrać kąty SU() i fazę, żeby zachodziło (1)): [ ] 0 Φ = φ 0 + 1. h(x) Takie pole jest niezmiennicze względem transformacji (czwarty stopień swobody): [ ] [ ] e Φ = iϕ 0 0 0 1 φ 0 + 1 = Φ h(x) Macierz [ e iϕ 0 0 1 ] = e iϕ/ [ e iϕ/ 0 0 e +iϕ/ ] φ 0 ], Jest to równoczesna transformacja U(1) U(1) SU(). = e iϕ/ e iϕτ 3/ = e iϕ/ U 3 (ϕ/). 5

Masa pola Higgsa Przy takim wyborze Φ: φ 3 = φ 0 + h/, pozostałe są równe zero: [ ( ] φ 0 + 1 h) φ 0 V (Φ Φ) = m φ 0 = m φ 0 [ 1 h + ] φ 0 h = = m h + m h 3 + m φ0 8φ h 4. 0 Mamy więc jedno pole skalarne h o masie m. 6

Definiujemy czyli Zmiana bazy [ Wµ W µ (x) = 3 Wµ 1 iwµ Wµ 1 + iwµ Wµ 3 [ ] W 3 = µ W + µ W µ Wµ 3, W ± µ = 1 ( W 1 µ iw µ). ] Taka definicja bierze się stąd, że mamy: τ ± = 1 (τ 1 ± iτ ) τ 1 = 1 ( τ + + τ ) Ostatecznie mamy τ = i ( τ τ +) L W = 1 4 W 3 µνw 3 µν 1 W µνw + µν. 7

Pochodna kowariantna: ( D µ Φ = µ + i g 1 B µ + i g ) W µ Φ = = ( µ + i g 1 B µ + i g [ 0 µ h/ ] + i g 1 Masy pól wektorowych [ [ W 3 µ W + µ W µ W 3 µ 0 B µ ( φ0 + h/ ) ]) [ ] + i g 0 φ 0 + h/ [ W + µ W 3 µ ] ] ( φ 0 + h/ ) Człon kinetyczny jest rzeczywisty, zawiera człony masowe: (D µ Φ) (D µ Φ) = 1 { } g ( µ h µ h + 1 4 Bµ B µ + g 4 (W µ W µ + + W 3µ Wµ) 3 φ 0 + h/ ) g 1g Bµ W 3 µ ( φ 0 + h/ ) 8

Trzeba zdiagonalizować formę kwadratową (opuszczamy indeksy µ): ( F = g1b g 1 g BW 3 + g ) W 3 lub [ B W 3 ] [ ] [ ] g1 g 1 g B g 1 g g W 3 definiując nowe pola (kąt Weinberga): B = A cos θ W Z sin θ W Kąty: cos θ W = W 3 = Z cos θ W + A sin θ W g g 1 + g, sin θ W = g 1 g 1 + g. Wartości własne [ A Z ] [ ] [ ] 0 0 A 0 g1 + g Z Widać, że współczynnik przy A jest równy zero!!!!! Zatem (D µ Φ) (D µ Φ) = 1 µ h µ h + { g 4 1 W µ W µ + + (g 1 + g) } ( Z µ Z µ φ 4 0 + h/ ) 9

Jak taki obrót Sprzężenia pól cechowania B µ = A µ cos θ W Z µ sin θ W W 3 µ = Z µ cos θ W + A µ sin θ W zmienia człon kinetyczny dla pól cechowania? 30

Swobodny Lagrangian L 0 po złamaniu symetrii W sumie pełny lagrangian L = (D µ Φ) (D µ Φ) m φ 0 = L 0 + L 1, gdzie [ Φ Φ φ 0] 1 4 B µνb µν 1 4 W 3 µνw 3 µν 1 W µνw + µν D µ = µ + i g 1 Bµ + i g W µ, Φ = [ 0 φ 0 + h(x)/ ]. Wolne parametry g 1, g, φ 0, m 31

L 0 = 1 µh µ h m h 1 4 Z µνz µν + 1 4 φ 0(g 1 + g )Z µ Z µ 1 4 A µνa µν 1 ( µ W ν νw µ ) ( µ W + ν ν W + µ) + 1 g φ 0W µ W + µ gdzie: A µν = µ A ν ν A µ, Z µν = µ Z ν ν Z µ oraz pochodna kowariantna µ W + µ = ( µ + ig sin θ W A µ ) W + µ µw µ = ( µ ig sin θ W A µ ) W µ 3

L 0 = 1 µh µ h m h masywne pole skalarne 1 4 Z µνz µν + 1 4 φ 0(g1 + g)z µ Z µ masywne pole wektorowe 1 4 A µνa µν bezmasowe pole wektorowe masywne, naładowane pole wektorowe 1 ( ) ( µ Wν νwµ µ W + ν ν W + µ) + 1 g φ 0Wµ W + µ gdzie: A µν = µ A ν ν A µ, Z µν = µ Z ν ν Z µ oraz pochodna kowariantna µ W µ + = ( µ + ig sin θ W A µ ) W µ + µw µ = ( µ ig sin θ W A µ ) W µ 33

L 0 = 1 µh µ h m h masywne pole skalarne 1 4 Z µνz µν + 1 4 φ 0(g 1 + g )Z µ Z µ 1 4 A µνa µν masywne pole wektorowe bezmasowe pole wektorowe masywne, naładowane pole wektorowe 1 ( ) ( µ Wν νwµ µ W + ν ν W + µ) + 1 g φ 0Wµ W + µ gdzie: A µν = µ A ν ν A µ, Z µν = µ Z ν ν Z µ oraz pochodna kowariantna ( ) µ W µ + = µ + i } g sin {{ θ W} A µ W µ + e µwµ = ( µ i { g }}{ ) sin θ W A µ Wµ 34

Parametry: cos θ W = g g 1 + g, sin θ W = g 1 g 1 + g. e = g sin θ W = g 1 cos θ W M W = 1 φ 0 g M Z = 1 φ 0 g 1 + g M h = m 35

Parametry: cos θ W = g g 1 + g, sin θ W = g 1 g 1 + g. e = g sin θ W = g 1 cos θ W M W = 1 φ 0 g = 80.385 ± 0.015 GeV M Z = 1 φ 0 g 1 + g = 91.1876 ± 0.001 GeV M h = m = 15.09 ± 0.4 GeV 36

Parametry: cos θ W = g g 1 + g, sin θ W = g 1 g 1 + g. e = g sin θ W = g 1 cos θ W M W = 1 φ 0 g = 80.385 ± 0.015 GeV = cos θ W = M W = 0.8815 = sin θ W = 0.9 M Z M Z = 1 φ 0 g 1 + g = 91.1876 ± 0.001 GeV M h = m = 15.09 ± 0.4 GeV 37

Parametry: cos θ W = g g 1 + g, sin θ W = g 1 g 1 + g. e = g sin θ W = g 1 cos θ W M W = 1 φ 0 g = 80.385 ± 0.015 GeV = cos θ W = M W = 0.8815 = sin θ W = 0.9 M Z M Z = 1 φ 0 g 1 + g = 91.1876 ± 0.001 GeV M h = m = 15.09 ± 0.4 GeV Wartość próżniowa pola Higgsa: φ 0 = M W g = M W e sin θ W = 180 GeV (jednostki!!!!) 38

Lagrangian L 1 po złamaniu symetrii L 1 = m h 3 m φ0 8φ h 4 0 + ( 1 4 h + φ ) 0 h (g W µ W + µ + 1 (g1 + g )Z ) µ Z µ + g 4 ( W µ W + ν W ν W + µ ) ( W µ W + ν W ν W + µ) + i g (Z µν cos θ W + A µν sin θ W ) ( W µ W + ν W ν W + µ) g cos θ W ( Zµ Z µ W ν W + ν Z µ Z ν W ν W + µ) + i g cos θ W {( ) ( Zµ Wν Z ν Wµ µ W + ν ν W + µ) ( ) ( Z µ W ν + Z ν W µ + µ W ν ν W µ)} W L 1 praktycznie nie widać wyjściowej symetrii U(1) SU(). Jednakże właśnie ten skomplikowany układ wzajemnie powiązanych oddziaływań czyni teorię renormalizowalną. 39

Policzmy stopnie swobody: Przed złamaniem symetrii 1. Φ: dublet SU() zespolonych pól skalarnych 4. B µ : jedno bezmasowe pole wektorowe U(1) 3. W µ : trzy bezmasowe pola wektorowe SU() 6 W sumie: 1 stopni swobody Po złamaniu symetrii: 1. h: masywne rzeczywiste pole skalarne (Higgs) 1. A µ : foton, bezmasowe pole wektorowe 3. Z µ : masywne, neutralne pole wektorowe 3 4. W ± µ : dwa masywne pola wektorowe 6 W sumie: 1 stopni swobody Uwaga: Pola zwiazane z grupą U(1) (e iθτ 0) i z podgrupą U(1) grupy SU() (e iα 3τ 3 ) mieszają się dając foton i bozon Z 40