Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu na wszystkie dzia lania określone w pierścieniu P (zredukowane do A). Stwierdzenie 9.. A P jest podpierścieniem pierścienia P wtedy i tylko wtedy, gdy spe lnia nastepuj ace warunki: (I) A oraz (II) a,b A a b, a b A. Dowód. Za lóżmy, że A jest podpierścieniem pierścienia P. Wtedy 0, A (ze wzgledu na wykonalność dzia lań 0-argumentowych) oraz dla dowolnego a A, a A (ze wzgledu na wykonalność dzia lania -argumentowego) i ponadto dla a, b A, a b A oraz a b = a + ( b) A (ze wzgledu na wykonalność mnożenia i dodawania). Na odwrót, za lóżmy, że A oraz a b, a b A dla dowolnych a, b A. Wtedy 0 = A, skad dla b A, b = 0 b A, wiec dla a, b A, a+b = a ( b) A. Zatem w A jest wykonalne mnożenie i dodawanie. Ponieważ wszystkie aksjomaty pierścienia sa spe lnione nawet w P, wiec (A, +,, 0, ) jest pierścieniem. Stwierdzenie 9.3. W dowolnym pierścieniu P podzbiór = {k : k Z} jest najmniejszym (w sensie inkluzji) podpierścieniem P. Dowód. Ponieważ =, wiec. Weźmy dowolne a, b. Wtedy istnieja k, l Z takie, że a = k i b = l. Stad a b = (k l) oraz a b = (k ) (l ) = (kl). Zatem na mocy Stwierdzenia 9., jest podpierścieniem w P. Niech A bedzie dowolnym podpierścieniem pierścienia P. Wtedy A i A jest podgrupa grupy P +. Stad A, czyli jest najmniejszym w sensie inkluzji podpierścieniem w P. Twierdzenie 9.4. Cześć wspólna dowolnej niepustej rodziny podpierścieni pierścienia P jest podpierścieniem P. Dowód. Niech {A t } t T bedzie dowolna niepusta rodzina podpierścieni pierścienia P oraz niech A = t T A t. Ponieważ A t dla każdego t T, wiec A. Weźmy dowolne a, b A. Wtedy a, b A t dla każdego t T, wiec ze Stwierdzenia 9., a b, a b A t dla każdego t T. Zatem a b, a b A. Stad na mocy Stwierdzenia 9., A jest podpierścieniem pierścienia P.

Przyk lad 9.5. Niech P bedzie pierścieniem. Udowodnimy, że dla dowolnego podzbioru X P istnieje najmniejszy (w sensie inkluzji) podpierścień pierścienia P zawierajacy zbiór X. Nazywamy go podpierścieniem generowanym przez zbiór X i oznaczamy przez X. Zatem: X X i X jest podpierścieniem pierścienia P oraz () X A dla każdego podpierścienia A pierścienia P takiego, że X A. () Rzeczywiście, niech {A t } t T bedzie rodzina wszystkich podpierścieni pierścienia P zawierajacych zbiór X. Wtedy P {A t } t T, wiec z Twierdzenia 9.3 mamy, że A = t T A t jest podpierścieniem pierścienia P. Ale X A t dla każdego t T, wiec X A, skad A jest najmniejszym elementem w rodzinie {A t } t T, czyli A jest najmniejszym podpierścieniem pierścienia P zawierajacym zbiór X. Ze Stwierdzenia 9.3 wynika od razu, że = = {k : k Z}. Natomiast dla X mamy nastepuj ace Stwierdzenie 9.6. Niech X bedzie niepustym podzbiorem pierścienia P. Wówczas X sk lada sie ze wszystkich skończonych sum elementów postaci s oraz k x x... x n, gdzie s, k Z, x, x,..., x n X oraz n =,,.... Dowód. Oznaczmy przez S zbiór wszystkich skończonych sum elementów postaci s oraz k x x... x n, gdzie s, k Z, x, x,..., x n X oraz n =,,.... Ponieważ =, wiec S. Weźmy dowolne a, b S. Wtedy a jest skończona suma elementów postaci s oraz k x x... x n, dla pewnych s, k Z, x, x,..., x n X i pewnych n N oraz b jest skończona suma elementów postaci t oraz l y y... y m, dla pewnych t, l Z, y, y,..., y m X i pewnych m N. Z rozdzielności mnożenia wzgledem dodawania wynika zatem, że a b jest skończona suma elementów postaci (s ) (t ) = (st), (s ) (k x x... x n ) = (sk) x x... x n, (k x x... x n ) (t ) = (kt) x x... x n, (k x x... x n ) (l y y... y m ) = (kl) x x... x n y y... y m, wiec a b S. Ponadto, s t = (s t) i (l y y... y m ) = ( l) y y... y m, wiec a b S. Zatem na mocy Stwierdzenia 9., S jest podpierścieniem pierścienia P. Ponadto dla dowolnego x X mamy, że x = x, wiec x S. Zatem X S. Niech teraz A bedzie dowolnym podpierścieniem pierścienia P takim, że X A. Ponieważ A i A P +, wiec A, skad s A dla każdego s Z. Weźmy teraz dowolne k Z, dowolne n N i dowolne x,..., x n X. Wtedy x,..., x n A i A jest pierścieniem, wiec k x x... x n A. Ale A jest podgrupa grupy P +, wiec wszystkie skończone sumy elementów postaci s oraz k x x... x n, gdzie s, k Z, x, x,..., x n X oraz n =,,..., należa do A. Zatem S A. W ten sposób wykazaliśmy, że S spe lnia warunki () i (), czyli S = X. Jeśli X jest zbiorem skończonym oraz X = {a,..., a m }, to zamiast {a,..., a m } b edziemy pisali a,..., a m.

Uwaga 9.7. Ze Stwierdzenia 9.6 wynika od razu, że jeśli X = {a}, to podpierścień a sk lada si e ze wszystkich elementów postaci k 0 +k a+...+k m a m, gdzie k 0, k,..., k m Z oraz m = 0,,,.... Zatem: a = {k 0 + k a +... + k n a n : k 0, k,..., k n Z, n = 0,,,...}. (3) Podstawiajac X = {a, b} uzyskamy, że podpierścień a, b sk lada sie ze wszystkich skończonych sum elementów postaci k a i b j, gdzie k Z oraz i, j N 0. Podstawiajac X = {a, a,..., a s } uzyskamy, że podpierścień a, a,..., a s sk lada sie ze wszystkich skończonych sum elementów postaci k a i a i... a is s, gdzie k Z oraz i, i,..., i s N 0. Stwierdzenie 9.8. Niech X i Y bed a podzbiorami pierścienia P. Wówczas: (i) X Y X Y, (ii) X = Y (X Y oraz Y X). Dowód. (i). Za lóżmy, że X Y. Ponieważ na mocy (), X X, wiec stad X Y. Na odwrót, za lóżmy, że X Y. Wtedy Y jest jakimś podpierścieniem, który zawiera podzbiór X, wiec na mocy (), X Y. (ii). Ponieważ X = Y (X Y oraz Y X), wiec teza wynika od razu z punktu (i). Przyk lady pierścieni i podpierścieni Przyk lad 9.9. Każde cia lo jest pierścieniem. Podpierścienie cia l sa pierścieniami. Przyk lad 9.0. Podpierścienie cia la C nazywamy pierścieniami liczbowymi. Oczywiście sa one pierścieniami. Niech P bedzie pierścieniem liczbowym i niech k Z, m N bed a liczbami wzglednie pierwszymi. Pokażemy, że wówczas: k m P m P. Rzeczywiście, za lóżmy, że P. Wtedy k = k P, wiec k m m m P. Na odwrót, m za lóżmy, że k P. Ponieważ liczby k i m s a m wzglednie pierwsze, wiec istnieja x, y Z takie, że kx + my =. Stad = x k + y P, bo P jest podpierścieniem cia la C m m oraz k P i P. m Przyk lady pierścieni liczbowych: a) Pierścień liczb ca lkowitych Z. b) Z Uwagi 9.7 wynika, że dla ustalonej liczby naturalnej a > { n } = a a : n, k Z, k 0 k 3

jest najmniejszym podpierścieniem w Q zawierajacym. Ponadto a = a pα p α... p αs s dla pewnych różnych liczb pierwszych p, p,..., p s i pewnych α, α,..., α s N. Zatem n = p α... ps αs N. Ponadto p... p s = n p α... pαs s a. Zatem ze Stwierdzenia 9.8, p... p s a. Niech α b edzie najwieksz a z liczb α,..., α s N. Wtedy α α i N 0 dla każdego i =,..., s, skad m = p α α... p α αs s N oraz = m a p α =... pαs s (p... p s). α Zatem na mocy Stwierdzenia 9.8, a p... p s i ostatecznie a = p... p s. Zauważmy jeszcze, że dodatkowo zachodzi wzór: =,,...,. (4) p... p s p p p s Rzeczywiście, p... p s = p p... p s p, p,..., p s, wiec ze Stwierdzenia 9.8, p... p s p, p,..., p s. Ponadto m i = p p...p s N dla każdego i =,,..., s oraz p i = m i p... p s p... p s, wiec na mocy Stwierdzenia 9.8, p, p,..., p s co kończy dowód wzoru (4). Z Uwagi 9.7 mamy ponadto wzór:,,..., p p p s { = n p i p k p k... p ks s p... p s, : n Z, k, k..., k s N 0 }. (5) c) Niech d bedzie liczba ca lkowita, która nie jest kwadratem liczby ca lkowitej. Wówczas z teorii liczb wiadomo, że d nie jest kwadratem liczby wymiernej. Określamy d jako zwyk ly pierwiastek arytmetyczny z liczby d dla d > 0, zaś dla d < 0 określamy d = d i. Zatem w obu przypadkach ( d) = d. Wówczas na mocy Uwagi 9.7 d = {a + b d : a, b Z} jest najmniejszym podpierścieniem cia la C zawierajacym d. Ten podpierścień b edziemy dalej oznaczali przez Z d. Zatem Z d = {a + b d : a, b Z}. Z niewymierności liczby d wynika, że dla dowolnych a, a, b, b Q: a + b d = a + b d (a = a oraz b = b ). d) Niech d bedzie liczba ca lkowita, która nie jest kwadratem liczby ca lkowitej taka, że ( + d (mod 4). Ponieważ ) d = + d + d, wiec 4 na mocy Uwagi 9.7, + d = {x + y + d : x, y Z} jest najmniejszym podpierścieniem cia la C zawieraj Ten podpierścień bedziemy dalej oznaczali przez Z. Zatem: Z + { d = x + y + d 4 + d : x, y Z }. acym + d.

Z niewymierności liczby + d wynika, że dla dowolnych a, a, b, b Q: a + b + d = a + b + d (a = a oraz b = b ). Przyk lad 9.. Niech m > bedzie liczba naturalna i niech Z m = {0,,..., m }. Dla a, b Z m określamy: a m b = reszta z dzielenia a + b przez m; a m b = reszta z dzielenia a b przez m. Wówczas na mocy Wyk ladu (Z m, m, m, 0, ) jest pierścieniem. Nazywamy go pierścieniem reszt modulo m i oznaczamy przez Z m. Przyk lad 9.. Zbiór wszystkich wielomianów o wspó lczynnikach zespolonych (rzeczywistych, wymiernych, ca lkowitych) z dodawaniem i mnożeniem funkcji tworzy pierścień. Oznaczamy go odpowienio przez Cx, Rx, Qx i Zx. Przyk lad 9.3. Niech P,..., P n bed a pierścieniami. określamy dodawanie i mnożenie nastepuj aco: W zbiorze P... P n (a,..., a n ) + (b,..., b n ) = (a + b,..., a n + b n ), (a,..., a n ) (b,..., b n ) = (a b,..., a n b n ), Ponadto określamy 0 = (0,..., 0) oraz = (,..., ). Można sprawdzić, że wtedy (P... P n, +,, 0, ) tworzy pierścień. Nazywamy go iloczynem kartezjańskim pierścieni P,..., P n. Przyk lad 9.4. Dowolny zbiór jednoelementowy P = {a} z dzia laniami + i takimi, że a + a = a i a a = a oraz z wyróżnionymi elementami 0 = = a tworzy pierścień. Nazywamy go pierścieniem zerowym. Zauważmy, że jeśli pierścień P jest niezerowy, to P >, wiec istnieje niezerowe a P. Wtedy a = a oraz a 0 = 0 a, skad wynika, że 0 w P. Na odwrót, jeśli 0 w pierścieniu P, to P >, wiec pierścień P nie jest zerowy. Przyk lad 9.5. Niech A i B bed a podpierścieniami pierścienia P. Oznaczmy przez AB zbiór wszystkich skończonych sum elementów postaci a b, gdzie a A, b B. Wtedy = AB. Ponadto z określenia AB oraz z tego, że (a b) = ( a) b wynika od razu, że jeśli x, y AB, to x y AB. Ponadto z rozdzielności mnożenia wzgledem dodawania i z tego, że dla a, a A, b, b B jest (a b ) (a b ) = (a a ) (b b ) AB wynika, że dla dowolnych x, y AB, x y AB. Zatem na mocy Stwierdzenia 9. mamy, że AB jest podpierścieniem pierścienia P. Zauważmy jeszcze, że dla a A i b B, a = a AB i b = b AB, a wiec A B AB. Jeśli S jest podpierścieniem pierścienia P takim, że A B S, to dla dowolnych a A i b B mamy a, b S, skad a b S, a zatem AB S. W takim razie AB = A B, czyli AB jest najmniejszym w sensie inkluzji podpierścieniem pierścienia P zawierajacym zbiór A B. 5

3 Elementy odwracalne Definicja 9.6. Powiemy, że a P jest elementem odwracalnym pierścienia P, jeżeli istnieje x P takie, że a x =. Zbiór wszystkich elementów odwracalnych pierścienia P oznaczamy przez P. Przyk lad 9.7. Niech d bedzie liczba naturalna, która nie jest kwadratem liczby naturalnej. Z elementarnej teorii liczb wiemy, że istnieje wówczas nieskończenie wiele par (x, y) N N takich, że x dy =. Stad w pierścieniu Z d: (x+y d)(x y d) =. Wobec tego x + y d (Z d) i pierścień Z d ma nieskończenie wiele elementów odwracalnych. Przyk lad 9.8. Niech p, p,..., p s bed a różnymi liczbami pierwszymi. Pokażemy, że,,..., = {±p k p k... p ks s : k, k,..., k s Z}. p p p s Ze wzoru (5) wynika, że ±p l p l... p ls s p, p,..., p s dla dowolnych l, l,..., l s Z. Weźmy dowolne k, k,..., k s Z. Wtedy (±p k p k... p ks s ) (±p k p k... p ks s ) =, skad ±p k p k... p ks. s p, p,..., p s Niech teraz a. p, p,..., p s Wówczas a b = dla pewnego b p, p,..., n p s. Ponadto ze wzoru (5), a = n i b = p k pk...pks s p l p l...p ls s dla pewnych n, n Z oraz dla pewnych k i, l i N 0 dla i =,,..., s. Zatem n n = p k +l p k +l... p ks+ls s. Wobec tego n = ±p t p t... p ts s dla pewnych t, t,..., t s N 0, skad a = ±p t k p t k... ps ts ks, co kończy nasz dowód. Twierdzenie 9.9. Dla dowolnego pierścienia P system algebraiczny (P,, ) jest grupa abelowa. Dowód. Ponieważ =, wiec P. Niech a P. Wtedy istnieje x P takie, że a x =, skad x a =, czyli x P. Dalej, dla a, b P istnieja x, y P takie, że a x = i b y =, wiec (a b) (x y) = (a x) (b y) = =, czyli a b P. Ponieważ mnożenie jest l aczne w P, wiec mnożenie jest l aczne w P. Zatem z tych rozważań mamy, że (P,, ) jest grupa. Natomiast z P5 wynika od razu, że grupa ta jest abelowa. Uwaga 9.0. Element odwrotny do elementu a P oznaczamy przez a. Z dowodu Twierdzenia wynika, że dla dowolnych a, b P mamy wzór: (a b) = a b. Stwierdzenie 9.. Niech m > bedzie liczba naturalna. Wówczas zachodzi wzór: W szczególności Z m = ϕ(m). Z m = {a {,,..., m} : (a, m) = }. 6

Dowód. Weźmy dowolne a Z m. Wtedy a {0,,..., m } oraz istnieje x Z m takie, że a m x =. Stad a x m =, a wiec a x (mod m). Zatem z elementarnej teorii liczb, (a, m), skad (a, m) =. Ale m >, wiec (m, 0) = m >, czyli a {,,..., m}. Na odwrót, niech a {,,..., m} i (a, m) =. Ponieważ m >, wiec (m, m) = m >, skad a {,,..., m }, czyli a Z m. Ponadto z elementarnej teorii liczb istnieje y Z takie, że a y (mod; m), skad x = y m Z m i a x (mod; m). Zatem a m x = a x m = m =, wiec a Z m. Stwierdzenie 9.. Niech P, P,..., P n bed a dowolnymi pierścieniami. Wówczas: (P P... P n ) = P P... P n. Dowód. Weźmy dowolne x (P P... P n ). Wtedy x P P... P n i istnieje y P P... P n takie, że x y = (,,..., ). Ale x = (x, x,..., x n ) i y = (y, y,..., y n ) dla pewnych x i, y i P i, i =,,..., n oraz x y = (x y, x y,..., x n y n ), wiec x i y i =, skad x i Pi dla i =,,..., n. Zatem x P P... Pn. Na odwrót, weźmy dowolne x P P... Pn. Wtedy istnieja x i Pi, i =,,..., n, takie, że x = (x, x,..., x n ). Stad dla każdego i =,,..., n istnieje y i P i takie, że x i y i =. Wobec tego y = (y, y,..., y n ) P P... P n i x y = (x y, x y,..., x n y n ) = (,,..., ). Zatem x (P P... P n ). 4 Dzielniki zera Definicja 9.3. Mówimy, że element a pierścienia P jest dzielnikiem zera, jeżeli istnieje niezerowy element b P taki, że a b = 0. Elementy pierścienia P, które nie sa dzielnikami zera nazywamy elementami regularnymi. Zbiór wszystkich dzielników zera pierścienia P bedziemy oznaczali przez D(P ), zaś zbiór wszystkich elementów regularnych pierścienia P bedziemy oznaczali symbolem R(P ). Uwaga 9.4. Zauważmy, że w dowolnym pierścieniu P : D(P ) = P \R(P ). W każdym pierścieniu niezerowym P mamy, że 0 oraz 0 = 0, wi ec 0 jest dzielnikiem zera w każdym pierścieniu niezerowym P. Dzielniki zera różne od 0 nazywamy w laściwymi dzielnikami zera. Przyk lad 9.5. Niech A i B bed a niezerowymi pierścieniami. Wówczas pierścień A B posiada w laściwe dzielniki zera, którymi sa (, 0) i (0, ), gdyż te elementy sa różne od (0, 0) i (, 0) (0, ) = ( 0, 0 ) = (0, 0). Przyk lad 9.6. Dla liczb z lożonych m pierścień Z m posiada w laściwe dzielniki zera, gdyż istnieja liczby naturalne a, b < m takie, że a b = m i wtedy a, b sa niezerowymi elementami pierścienia Z m oraz a m b = 0. 7

Stwierdzenie 9.7. Niech P, P,..., P n bed a dowolnymi pierścieniami. Wówczas: W szczególności: R(P P... P n ) = R(P ) R(P )... R(P n ). D(P P... P n ) = (P P... P n ) \ R(P ) R(P )... R(P n ). Dowód. Weźmy dowolne x R(P P... P n ). Wtedy x = (x, x,..., x n ) dla pewnych x i P i, i =,,..., n. Ustalmy i =,,..., n i weźmy dowolne a i P i takie, że x i a i = 0. Niech a j = 0 dla wszystkich j {,,..., n} \ {i} oraz a = (a, a,..., a n ). Wtedy x a = (0, 0,..., 0), wiec z regularności x, a = (0, 0,..., 0), skad a i = 0. Oznacza to, że x i R(P i ) dla każdego i =,,..., n. Zatem R(P P... P n ) R(P ) R(P )... R(P n ). Weźmy dowolne x R(P ) R(P )... R(P n ). Wtedy istnieja x i R(P i ), i =,,..., n, takie, że x = (x, x,..., x n ). Weźmy dowolne a P P... P n takie, że x a = (0, 0,..., 0). Wtedy a = (a, a,..., a n ), wiec (0, 0,..., 0) = (x a, x a,..., x n a n ), wiec dla każdego i =,,..., n: x i a i = 0, skad na mocy regularności elementu x i, a i = 0. Wobec tego a = (0, 0,..., 0) i element x jest regularny. Zatem R(P ) R(P )... R(P n ) R(P P... P n ). Twierdzenie 9.8. W dowolnym pierścieniu P : (i) iloczyn elementów regularnych jest elementem regularnym; (ii) jeśli a P jest regularny i a x = a y, to x = y; (iii) każdy element odwracalny jest elementem regularnym. Dowód. (i). Niech a, b P bed a elementami regularnymi. Weźmy dowolny x P taki, że (ab)x = 0. Wtedy a(bx) = 0, wiec z regularności a, bx = 0, skad x = 0, z regularności b. Zatem ab jest elementem regularnym. (ii). Niech a P bedzie elementem regularnym i niech x, y P bed a takie, że ax = ay. Wtedy a(x y) = 0, skad z regularności a mamy, że x y = 0, czyli x = y. (iii). Za lóżmy, że tak nie jest. Wtedy istnieje element odwracalny a P, który jest dzielnikiem zera. Zatem istnieje niezerowe b P takie, że a b = 0 oraz istnieje x P takie, że a x =. Wobec tego b = b = b (a x) = (b a) x = (a b) x = 0 x = 0 i mamy sprzeczność. Wniosek 9.9. Dowolne cia lo nie posiada w laściwych dzielników zera. Definicja 9.30. Niezerowy pierścień P, który nie posiada w laściwych dzielników zera nazywamy dziedzina ca lkowitości. Wobec tego, dziedziny ca lkowitości sa to takie niezerowe pierścienie, w których każdy element niezerowy jest regularny. W szczególności na mocy Wniosku 9.9, każde cia lo 8

jest dziedzina ca lkowitości, a nawet każdy podpierścień cia la jest dziedzina ca lkowitości. Z Twierdzenia 9.8 mamy natychmiast nastepuj acy Wniosek 9.3. Jeżeli a jest niezerowym elementem dziedziny ca lkowitości P oraz x, y P sa takie, że ax = ay, to x = y. Zagadka. Udowodnij, że dla dowolnych pierścieni A i B: D(A B) = A D(B) D(A) R(B). Zagadka. Wyznacz (Q Z), D(Q Z) i R(Q Z). Zagadka 3. Czy suma dwóch dzielników zera pierścienia P może być elementem odwracalnym w P? Zagadka 4. Czy i należy do podpierścienia 3 4 i cia la C? Zagadka 5. Niech k i Z, m i N, m i > oraz NW D(k i, m i ) = dla każdego i =,,..., s. Udowodnij, że w ciele Q zachodzi wzór: k, k,..., k s =. m m m s m m... m s Zagadka 6. Niech A bedzie podpierścieniem pierścienia P i a A. Czy jest prawda, że (a) jeśli a P, to a A? (b) jeśli a A, to a P? (c) jeśli a jest dzielnikiem zera w P, to a jest dzielnikiem zera w A? (d) jeśli a jest dzielnikiem zera w A, to a jest dzielnikiem zera w P? Zagadka 7. Niech P b edzie pierścieniem skończonym. Udowodnij, że R(P ) = P. Uzasadnij też, że skończona dziedzina ca lkowitości jest cia lem. 9