TEORIA PORTFELA MARKOWITZA

Podobne dokumenty
Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego

Statystyka Inżynierska

0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. Strona 1


= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału

BADANIE STABILNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA BETA AKCJI INDEKSU WIG20

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

I. Elementy analizy matematycznej

Procedura normalizacji

) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD A

KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Pattern Classification

Definicje ogólne

65120/ / / /200


BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Natalia Nehrebecka. Wykład 2

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W 11: Analizy zależnościpomiędzy zmiennymi losowymi Model regresji wielokrotnej

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim

Model ASAD. ceny i płace mogą ulegać zmianom (w odróżnieniu od poprzednio omawianych modeli)

Weryfikacja hipotez dla wielu populacji

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Badanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 7. KLASYFIKATORY BAYESA. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3

Proces narodzin i śmierci

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

OPTYMALNE STRATEGIE INWESTYCYJNE PODEJŚCIE FUNDAMENTALNE OPTIMAL INVESTMENT STRATEGY FUNDAMENTAL ANALYSIS

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5

Ryzyko inwestycji. Ryzyko jest to niebezpieczeństwo niezrealizowania celu, założonego przy podejmowaniu określonej decyzji. 3.

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Katarzyna Rosiak-Lada. Zajęcia 3

-Macierz gęstości: stany czyste i mieszane (przykłady) -równanie ruchu dla macierzy gęstości -granica klasyczna rozkładów kwantowych

Funkcje i charakterystyki zmiennych losowych

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7

Wpływ płynności obrotu na kształtowanie się stopy zwrotu z akcji notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody iteracyjne. P. F. Góra

Mikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

CAPM i APT. Ekonometria finansowa

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB

Statystyka. Zmienne losowe

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Zaawansowane metody numeryczne

Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. Strona 1

Metody predykcji analiza regresji

dy dx stąd w przybliżeniu: y

ALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.

Analiza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH

Oligopol dynamiczny. Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencji ilościowej jako gra jednokrotna z pełną i doskonalej informacją

Badanie współzaleŝności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej. Badanie zaleŝności dwóch cech ilościowych. Analiza regresji prostej

Regresja liniowa i nieliniowa

Dobór zmiennych objaśniających

Analiza korelacji i regresji

Statystyka Opisowa 2014 część 2. Katarzyna Lubnauer

Analiza struktury zbiorowości statystycznej

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Wykład Mikro- i makrostany oraz prawdopodobie

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

β i oznaczmy współczynnik Beta i-tego waloru, natomiast przez β w - Betę całego portfela. Wykaż, że prawdziwa jest następująca równość

Wykłady Jacka Osiewalskiego. z Ekonometrii. CZĘŚĆ PIERWSZA: Modele Regresji. zebrane ku pouczeniu i przestrodze

WPROWADZENIE DO ANALIZY KORELACJI I REGRESJI

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

WYBÓR PORTFELA PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH ZA POMOCĄ METODY AHP

Rozmyta efektywność portfela

Kształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu

ZASTOSOWANIE WYBRANYCH ELEMENTÓW ANALIZY FUNDAMENTALNEJ DO WYZNACZANIA PORTFELI OPTYMALNYCH

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

System Przeciwdziałania Powstawaniu Bezrobocia na Terenach Słabo Zurbanizowanych SPRAWOZDANIE Z BADAŃ Autor: Joanna Wójcik

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

ELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany

Analiza regresji modele ekonometryczne

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz

Rozwiązania (lub wskazówki do rozwiązań) większości zadań ze skryptu STATYSTYKA: MATERIAŁY POMOCNICZE DO ZAJĘĆ oraz EGZAMINÓW Z LAT

ZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności

Rozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy x i p i 0 1-p 1 p suma 1

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7

WERYFIKACJA EKONOMETRYCZNA MODELU CAPM II RODZAJU DLA RÓŻNYCH HORYZONTÓW STÓP ZWROTU I PORTFELI RYNKOWYCH

4. OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA

Egzamin ze statystyki/ Studia Licencjackie Stacjonarne/ Termin I /czerwiec 2010

Proste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie

dr hab. Renata Karkowska 1

Zarządzanie ryzykiem w przedsiębiorstwie i jego wpływ na analizę opłacalności przedsięwzięć inwestycyjnych

Dywersyfikacja portfela poprzez inwestycje alternatywne. Prowadzący: Jerzy Nikorowski, Superfund TFI.

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Transkrypt:

TEORIA PORTFELA MARKOWITZA Izabela Balwerz 28 maj 2008 1 Wstęp Teora portfela została stworzona w 1952 roku przez amerykańskego ekonomstę Harry go Markowtza Opera sę ona na mnmalzacj ryzyka nwestycyjnego przy jednoczesnej maksymalzacj stopy zwrotu Zakłada ona, że nwestorzy postępują racjonalne, zawsze podejmując decyzje take, aby otrzymać najwększy zysk przy ustalonym pozome ryzyka, o którym sam decydują Teora portfela dała początek welu nowym sposobom analzy paperów wartoścowych Przestano rozważać jedyne pojedyncze akcje, a zaczęto skupać sę na ch zestawe, czyl tzw portfelu Zróżncowane jego zawartośc wpływa bowem na całkowte ryzyko, które jest tym mnejsze m wększa jest dywersyfkacja (ryzyko pojedynczych akcj jest wększe nż ryzyko całego portfela, składającego sę z nch) W mojej pracy przedstawam ujęce matematyczne problemu doboru walorów, składających sę na optymalny portfel 2 Optymalny portfel o neskorelowanych walorach Rozpatrzmy najperw portfel, w którym wszystke walory są neskorelowane Oczywśce to przyblżene jest bardzo duże, gdyż w rzeczywstośc na ceny akcj ma wpływ wele różnych czynnków tylko wedza nwestora umożlwa przewdzene, le wynoszą te wartośc Spróbujmy znaleźć komproms pomędzy ryzykem a oczekwaną stopą zwrotu W tym celu wprowadźmy najperw odpowedne oznaczena welkośc Rozważmy zbór o M różnych ryzykownych walorach X, = 1,, M jeden walor bez ryzyka X 0 (o zerowej warancj) Ilość walorów w portfelu wynos opowedno n, a ch początkowa wartość x 0 Całkowta wartość portfela wynos węc w chwl początkowej W = M =0 n x 0 W praktyce częścej używa sę wag walorów w portfelu zdefnowanych jako: p = nx0 W, które są znormalzowane: M =0 p = 1, przy czym p mogą być ujemne Wartość portfela w chwl T wynos: S = M =0 n x (T ) = W M =0 p x (T ) x 0 Ponadto przyjmujemy, że średna stopa zwrotu m jest znana Wyznaczene jej jest jednak trudne aby otrzymać dobrą statystykę potrzeba paru lat obserwacj gełdy Stąd m należy bardzej rozumeć jako spodzewany przyszły

zysk, który jest szacowany na podstawe nformacj posadanych przez nwestora Może sę węc on różnć Powstaje węc pytane, jak stworzyć optymalny portfel, dostosowany do różnych możlwych wartośc m 21 Walory opsywane rozkładem Gaussa 211 Portfel zawerający walory ryzykowne oraz jeden walor o zerowym ryzyku Jeśl założymy, że ryzyko wartośc akcj X po czase T podlega rozkładow Gaussa, to cały portfel równeż podlega temu rozkładow Średn przyrost wartośc portfela m p jest dany jako: m p = p m = m 0 + p (m m 0 ), =0 gdyż M =0 p = 1 Poneważ walory X są nezależne, to całkowte ryzyko zwązane z zanwestowanem w portfel (w przypadku gaussowskm jest to warancja) wynos: σ 2 p = p 2 σ 2, poneważ σ 2 0 = 0 z założena Znalezene optymalnego portfela sprowadza sę do mnmalzacj ryzyka (warancj σ 2 p) przy danym średnm przyrośce wartośc portfela (średnej stope zwrotu) lub maksymalzacj zysku, zakładając jakeś ryzyko Można to osągnąc stosując metodę mnożnków Lagrange a: (σ 2 p λm p ) p p=p = 0 Oblczając tę pochodną otrzymujemy: czyl gdze 2p σ 2 = λ(m m 0 ), p = λ(m m 0 ) 2σ 2, ( M ) 1 (m m 0 ) 2 λ = 2(m p m 0 ) σ 2 2

Ryzyko dla całego portfela jest dane przez: σ 2 p = λ2 4 (m m 0 ) 2 σ 2 ( M ) 1 = (m p m 0 ) 2 (m m 0 ) 2 σ 2 Ostatne równane wyznacza na wykrese zależnośc średnego zysku m p od ryzyka σ 2 p parabolę, zwaną grancą efektywnośc Leżą na nej optymalne portfele, a pod ną zaś te, które równeż są dostępne, ale są bardzej ryzykowne Ponad parabolą znajdują sę nedostępne portfele Ilustruje to ponższy rysunek: Rysunek 1: Wykres zależnośc stopy zwrotu od ryzyka 212 Portfel zawerający tylko walory ryzykowne Tutaj średn przyrost wartośc portfela m p jest dany jako: m p = p m, gdyż M p = 1 Całkowte ryzyko zwązane z zanwestowanem w portfel wynos: σ 2 p = p 2 σ 2 3

Ponowane stosujemy metodę mnożnków Lagrange a z dodatkowym współczynnkem: ( ( M )) σp 2 λm p λ p 1 = 0 p Stąd czyl 2p σ 2 = λm + λ, p = λm + λ 2σ 2 p=p 213 Efektywna kontrola lczby walorów w portfelu Ważną kwestą jest zróżncowane portfela w celu mnmalzacj ryzyka Naturalną rzeczą jest, że jeśl mamy w portfelu węcej neskorelowanych walorów, to ponesemy mnejsze straty, nż posadając akcje tylko jednej frmy, która nagle zbankrutowała Dlatego przydatne jest wprowadzene obektywnego sposobu merzena dywersyfkacj portfela, dzęk czemu możemy dostosować tę welkość tak, aby dalej portfel był optymalny W tym celu defnujemy welkość Y 2 = M =0 p2, która reprezentuje średną wagę waloru w portfelu Możemy równeż zdefnować efektywną lczbę walorów w portfelu jako M eff = 1 Y 2, która może być narzucona w celu unknęca zbyt małej lośc walorów w portfelu Ponowne korzystamy z metody Lagrange a otrzymujemy: Stąd czyl ( σ 2 p λm p λ ( M p 1 p ) λ ( 2p σ 2 = λm + λ 2λ p, p = λm + λ 2(σ 2 + λ ) Y 2 )) M p2 p=p = 0 Ogólne welkość Y q zdefnowana jest jako Y q = M =0 (p ) q używana do defncj efektywnej lośc walorów: Y q = M 1 q eff Różnczkując tę welkość po q w punkce q = 1 otrzymujemy mnus entropę, czyl średną lość nformacj 22 Ogony potęgowe Często w rejonach dużych strat (ogonów rozkładów) walory ne podlegają rozkładow Gaussa Dzeje sę tak w przypadku, gdy duże straty lub duże zysk są 4

bardzej prawdopodobne nż w przypadku gaussowskm Wtedy mnmalzacja warancj ne jest równoważna mnmalzacj ryzyka Cekawym przypadkem są ogony potęgowe, dla których fluktuacje waloru X opsywane są przez funkcję gęstośc prawdopodobeństwa daną przez: gdze µ > 1 oraz A µ P (η ) = µaµ η 1+µ, to ampltuda w ogonach 221 Portfel zawerający walory ryzykowne oraz jeden walor o zerowym ryzyku Całkowta ampltuda portfela będze równa A µ p = M pµ Aµ oraz prawdopodobeństwo straty na pozome Λ: P = ( Ap Λ )µ Stąd mnmalzacja P wymaga mnmalzacj ampltudy A µ p, nezależne od Λ przy danej stope zwrotu m p Znów stosujemy metodę Lagrange a: ( ) A µ p λm p = 0 p Stąd czyl gdze p=p µp () A µ = λ(m m 0 ), ( ) 1 p λ(m m 0 ) =, µa µ λ = µ(m p m 0 ) ( M (m m 0 ) µ A µ ) 1 µ Prawdopodobeństwo straty (funkcja ryzyka) wyraża sę nastomast następująco: P = 1 ( ) µ ( λ M (m m 0 ) µ Λ µ µ = 1 M ) µ A Λ µ (m p m 0 ) µ (m m 0 ) µ 1 µ µ A Wdzmy stąd, że parabolę otrzymamy dla µ = 2 222 Portfel zawerający tylko walory ryzykowne Gdy w portfelu mogą znajdować sę tylko akcje ryzykowne to udzały (wag) p poszczególnych walorów będa równe: 1 p µ µ = A A, 5

a prawdopodobeństwo straty: P = 1 Λ µ A µ Jeśl wszystke walory mają podobną ampltudę, to okazuje sę, że prawdopodobeństwo dużych strat dla optymalnego portfela jest mnejsze nż prawdopodobeństwo dla każdego waloru osobno o czynnk M 1 µ 3 Portfel o skorelowanych walorach Do tej pory rozważalśmy optymalzację portfela o neskorelowanch akcjach, podlegających rozkładow Gaussa (wtedy mnmalzowalśmy warancję) oraz nnym rozkładom (gdze mnmalzacja ryzyka odbywała sę w bardzej skomplkowany sposób) W rzeczywstośc fluktuacje różnych akcj są slne skorelowane Na przykład krótkotrwały wzrost cen udzałów jednej akcj często prowadz do spadku cen drugej akcj Te zwązk w oczywsty sposób modyfkują zawartość optymalnego portfela jego szukane czyną trudnejszym 31 Fluktuacje rozkładu Gaussa Rozważmy przypadek, gdy fluktuacje η waloru X podlegają rozkładow Gaussa zakładamy jakeś korelacje Są one opsane przez symetryczną macerz kowarancj C j = η η j m m j Ważną własnoścą skorelowanych zmennych gaussowskch jest to, że mogą być one przedstawone, jako kombnacja lnowa nezależnych zmennych Gaussa o wartośc oczekwanej zero warancj σa 2 Wynka stąd, że fluktuacje całego portfela też są gausowske o oczekwanej stope zwrotu: m p = p (m m 0 ) + m 0 (1) warancj σ 2 p = p p j C j Mnmalzację σ 2 p dla ustalonej m p, borąc pod uwagę, że możlwy jest walor bez ryzyka X 0 otrzymujemy metodą mnożnków Lagrange a: co może być zapsane jako: 2 p j C j = ξ(m m 0 ), p = ξ 2 (m j m 0 ) j (2) 6

Wynk ten otrzymał Markowtz, za co dostał Nagrodę Nobla Łącząc wzory (1) (2) otrzymujemy ostateczną zależność na średn zysk z optymalnego portfela: m p m 0 = ξ 2 oraz na jego zmenność: σ 2 p = ξ2 4 j (m m 0 )(m j m 0 ) (3) j (m m 0 )(m j m 0 ) = ξ 2 (m p m 0 ) Możemy węc z (3) oblczyć współczynnk Lagrange a, który jest równy: a stąd ξ = 2(m p m 0 ) p = (m p m 0 ) j (m j m 0 )(m m 0 ) j (m j m 0 )(m m 0 ) 1 M 1, (4) j (m j m 0 ) (5) oraz σp 2 = (m p m 0 ) 2 j (m j m 0 )(m m 0 ) 1 (6) Równane (6) na wykrese średnego zysku od ryzyka równeż, jak w poprzednch paragrafach, przedstawa parabolę, na której leżą optymalne portfele Gdy wykluczymy z portfela walor bez ryzyka będzemy mnmalzować ryzyko bez warunku na stopę zwrotu m p całego portfela, to wag walorów będą dane przez: p = M C 1 j M C 1 j Warto zaznaczyć, że przy oblczanu udzałów p w portfelu powstaje problem, wynkający z przekształceń macerzy kowarancj C j, która występuje w powyższych wzorach, jako macerz odwrotna Proces jej odwracana powoduje powstane dużych błędów numerycznych, a co za tym dze wzrostu ryzyka optymalnego portfela Jest jednak sposób, aby wyczyścć macerz korelacj, tak aby mogła ona służyć do konstrukcj efektywnego portfela W tym celu stosuje sę metodę sprowadzana macerzy do jednostkowej 7

32 Model Wyceny Aktywów Kaptałowych Z rozważań z poprzednej sekcj wdzmy, że efektywne portfele są do sebe proporcjonalne Oznacza to, że superpozycja optymalnych portfel jest równeż optymalna Jeśl wszyscy agenc gełdow będą posadal efektywne portfele o tej samej stope zwrotu współczynnkach korelacj (co jest właścwe neprawdopodobne), to portfel rynkowy równeż jest optymalny Stwerdzene to jest podstawową zasadą Modelu Wyceny Aktywów Kaptałowych (CAPM), który pozwala zobrazować zależność mędzy stopą zwrotu akcj a jego powązanem z portfelem rynkowym Zależność, która pozwala wylczyć oczekwaną stopę zwrotu wygląda następująco: m m 0 = β (m p m 0 ), gdze m p to stopa zwrotu z rynku, a wspóczynnk β to współczynnk określający udzał ryzyka danego paperu wartoścowego w ryzyku rynkowym Jest on lorazem kowarancj stóp zwrotu m z paperu wartoścowego X portfela rynkowego do warancj stóp zwrotu z portfela rynkowego Stopa wolna od ryzyka m 0 to stopa zwrotu z oblgacj, bądź bonów skarbowych, zaś stopa zwrotu z rynku m p to np stopa zwrotu z ndeksu gełdowego 4 Numeryczne wylczane udzałów p w porfelu W celu sprawdzena metody napsałam program, który na podstawe wzoru (5) z rodzału 31 wylcza udzały poszczególnych walorów w optymalnym portfelu Jako dane wejścowe zadajemy żądaną, procentową stopę zwrotu z całego portfela m p, stopy zwrotu z poszczególnych akcj m, zmennośc każdego waloru σ oraz macerz korelacj walorów c j, z której otrzymujemy macerz kowarancj C j za pomocą przeksztalcena: C j = c j σ σ j Dane te generujemy za pomocą generatora dołączonego do pracy, który zwraca przykładowe lczby m p m z przedzału (0,1) oraz σ : (001,101), gdyż rozpatrujemy sytuację tylko dla wszystkch walorów ryzykownych (σ ne może byś równe 0) Macerz korelacj jest macerzą symetryczną, która składa sę z jedynek na dagonal, a pozostałe lczby są z zakresu (-1,1) Dla dzesęcu walorów w portfelu otrzymałam przy różnych wartoścach na wejścu programu następujące udzały (wag) p : p 0 0195981 p 1 0495530 p 2-0036985 p 3 0061736 p 4 0072666 p 5 0001275 p 6 0041454 p 7 0017978 p 8 0029928 p 9 0120436 p 0-0604637 p 1 1897184 p 2 0445188 p 3 0000178 p 4 0069166 p 5-0900799 p 6 0028436 p 7-0069331 p 8 0067597 p 9 0067018 p 0-3872861 p 1 0667436 p 2-1542075 p 3-1127814 p 4-0086832 p 5 4201099 p 6 0309313 p 7 3730506 p 8-1622536 p 9 0343764 8

Wdzmy węc, że udzały te mogą być równeż ujemne, czyl w tzw pozycj krótkej Suma wszystch p daje 1 aby portfel był optymalny akcje muszą być dobrane właśne w ten sposób 5 Podsumowane Jak wdzmy z rozważań w pracy, możemy otrzymywać różne optymalne portfele, które będą sę różnły od sebe ryzykem w zależnośc od oczekwanej stopy zwrotu W teor portfela Makowtza każdy nwestor mus zdecydować, jak duże ryzyko jest w stane podjąć dopero wtedy może użyć przedstawonych w pracy narzędz matematycznych do dywersyfkacj portfela Chocaż teora ta jest bardzo pomocna, to jednak dalej najważnejszą kwestą jest wedza dośwadczene nwestora 9