1 Pierścienie, algebry

Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O Shea, Ideals, varieties and algorithms, Springer- Verlag 5. S.Lang, Algebra, PWN 1 Pierścienie, algebry Niech P bȩdzie przemiennym pierścieniem z jedynk a. Wtedy 1 = 0 P jest zbiorem jednoelementowym 0 jest jedynym elementem neutralnym dla dodawania 1 jest jedynym elementem neutralnym dla mnożenia x P, 0 x = 0 Każde ciało K jest pierścieniem. Zbiór wielomianów K[X] = K[X 1,..., X n ] jest pierścieniem. Definicja. Odwzorowanie pierścieni h : P S nazywamy homomorfizmem jeżeli x, y P h(x + y) = h(x) + h(y) h(x y) = h(x) h(y) h(1) = 1

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 2 h(0) = 0 ker h = {x P h(x) = 0} j adro h Im h = {s S x P s = h(x)} obraz h Homomorfizm h : P S jest izomorfizmem, jeżeli istnieje homomorfizm odwrotny g : S P, tzn. g h = id P, h g = id S Homomorfizm h jest izomorfizmem h jest wzajemnie jednoznaczny, tzn. różnowartościowy i na ker h = {0} oraz Im h = S Definicja. Jeżeli istnieje homomorfizm η : R P, to pierścień P nazywamy R algebr a. Pierścień wielomianów K[X] jest K algebr a Jeżeli P jest K algebr a a K jest ciałem, to P jest w naturalny sposób przestrzeni a wektorow a nad K. Dla r K oraz p P definiujemy iloczyn r p = η(r) p. W szczególności K[X] jest K przestrzeni a wektorow a. Definicja. Element p P nazywamy odwracalnym, jeżeli istnieje taki s P, że ps = 1 dzielnikiem zera, jeżeli istnieje taki s P, s 0, że ps = 0 (Jeżeli p 0 to p jest właściwym dzielnikiem zera.) nilpotentnym, jeżeli istnieje taka liczba naturalna n 1, że p n = 0. (Przyjmujemy, że jeżeli p 0 to p 0 = 1.) Definicja. P zbiór elementów odwracalnych w P. (Zawsze 1 P ; 0 P o ile 1 0.) Fakt 1.1 Jeżeli a n = 0 oraz p jest odwracalny, to p + a też jest odwracalny. Definicja. Jeżeli P nie zawiera właściwych dzielników zera, to nazywamy go pierścieniem bez dzielników zera (lub dziedzin a całkowitości). Fakt 1.2 Każdy element p P \ {0} jest odwracalny P jest ciałem.

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 3 Ćwiczenia. 1. Element odwracalny nie jest dzielnikiem zera (o ile 1 0). 2. Dzielnik zera nie jest odwracalny (o ile 1 0). 3. Jeżeli P jest pierścieniem bez dzielników zera, to zbiór elementów odwracalnych w P jest zbiorem elementów odwracalnych w P [X]. 4. Jeżeli iloczyn p q jest odwracalny, to p oraz q s a odwracalne. 5. Jeżeli p jest nieodwracalny, to dla dowolnego q, element p q jest nieodwracalny. 6. W pierścieniu Z/4Z, element 3 jest odwracalny, element 2 jest właściwym dzielnikiem zera i elementem nilpotentnym. 7. Każdy właściwy element nilpotentny jest właściwym dzielnikiem zera. 8. Dowolny pierścień jest Z algebr a. 9. Z = {±1}. 10. (Z/4Z) = {1, 3}. 2 Ideały Definicja. Ideałem pierścienia P nazywamy każdy podzbiór I P spełniaj acy warunki: (a) r, s I r + s I (b) r I, p P r p I {0}, P s a ideałami. Każdy ideał I P nazywamy właściwym Ideał I zawiera element odwracalny I = P Wybierzmy p 1,..., p k P. Wtedy I = {p 1 a 1 + + p k a k p 1,..., p k P }

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 4 jest ideałem. Mówimy, że I jest generowany przez a 1,..., a k, i oznaczamy I = (a 1,..., a k ). Jeżeli I ma jeden generator a, to mówimy że I = (a) jest ideałem głównym. W ciele K istniej a tylko dwa ideały: {0}, K. Jeżeli P {0} posiada tylko dwa ideały {0} oraz P, to P jest ciałem Jeżeli h : P S jest homomorfizmem pierścieni, to ker h jest ideałem Jeżeli V K n to jest ideałem w K[X]. I(V ) = {f K[X] f V 0} Jeżeli I K[X] jest ideałem, to definiujemy V (I) = {p K n f I f(p) = 0} Przekrój dowolnej rodziny ideałów jest ideałem. W szczególności, dla dowolnego zbioru A P istnieje najmniejszy ideał w P zawieraj acy A, równy przekrojowi rodziny wszystkich ideałów zawieraj acych A. Nazywamy go ideałem generowanym przez A, i oznaczamy: (A) Jeżeli A = {a 1,..., a k }, wtedy (A) = (a 1,..., a k ) Ideał (A) składa siȩ z tych elementów, które można przedstawić w postaci p 1 a 1 +...+p s a s, gdzie s 1, a 1,..., a s A, p 1,..., p s P Niech I 1, I 2 bȩd a ideałami. Wtedy I 1 + I 2 = {a 1 + a 2 a 1 I 1, a 2 I 2 } jest najmniejszym ideałem zawieraj acym I 1 oraz I 2 Pierścień P nazywamy pierścieniem ideałów głównych, gdy wszystkie ideały w P s a główne. Z oraz pierścień wielomianów jednej zmiennej K[X] s a pierścieniami ideałów głównych. Ćwiczenia. 1. r, s I r s I

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 5 2. Niech x 0 R. Wtedy I = {f R[X] f(x 0 ) = 0} jest ideałem właściwym generowanym przez X x 0 3. Niech x 1,..., x k R. Wtedy I = {f R[X] f(x 1 ) = = f(x k ) = 0} jest ideałem właściwym. Jakie s a generatory I? Czy I jest główny? 4. Niech p = (p 1,..., p n ) K n, K = R, C. Używaj ac wzoru Taylora pokaż, że I({p}) jest generowany przez X 1 p 1,..., X n p n 5. Jeżeli I P jest ideałem, P jest K algebr a, to I jest K podprzestrzeni a liniow a w P 6. Ideał I K[X] jest właściwy I nie zawiera żadnej stałej 7. h : Z R, h(m) = m, jest homomorfizmem, ale h((2)) nie jest ideałem. 8. Jeżeli I J to I + J = J. 9. Czy X 2 K[X, Y ] należy do ideałów (X 3, X 4 ), (X 3, Y 4 ), (X + 1, Y + 1), (X 2 + Y, Y ), (X 3 + 1, X 2 + X + 1) 10. I J = {a 1 b 1 + + a s b s a i I, b i J} jest ideałem. Czy I J = {ab a I, b J}? 11. I J I oraz I J J. 12. Jeżeli I 1,..., I n s a ideałami, to zdefiniowany indukcyjnie zbiór I 1 I n = (I 1 I n 1 ) I n jest ideałem. 13. Którym z symboli " ", "=", " "można zawsze zast apić symbol "?"we wzorze I 1 I n? I 1... I n 3 Kongruencje, pierścień ilorazowy Niech I bȩdzie ideałem w pierścieniu P. Relacja a b a b I jest relacj a równoważności. p 0 p I.

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 6 Jeżeli a 1 a 2 oraz b 1 b 2, to wtedy a 1 + b 1 a 1 + b 2 oraz a 1 b 1 a 2 b 2. Klasy abstrakcji relacji nazywamy warstwami. Warstwa stowarzyszna z elementem p jest zbiorem postaci {p + a a I}. Oznaczac j a bȩdziemy symbolem p + I lub [p]. Zbiór klas abstrakcji, oznaczany symbolem P/I, jest pierścieniem z działaniami zdefiniowanymi w naturalny sposób na reprezentantach warstw: [p] + [q] = [p + q] [p] [q] = [p q] Pierscień P/I jest nazywany pierścieniem ilorazowym. Odwzorowanie κ : P P/I zdefiniowane jako κ(p) = [p] jest surjektywnym homomorfizmem, ker κ = I. Odwzorowanie κ jest nazywane kanonicznym homomorfizmem. Niech h : P S bȩdzie homomorfizmem. Załóżmy, że I = ker h. Wtedy istnieje dokładnie jeden homomorfizm h : P/I S, taki ze h = h κ. Nazywamy go homomorfizmem indukowanym. Jeżeli P jest R algebr a, to P/I też jest R algebr a. A wiȩc jeżeli R = K jest ciałem, to wtedy P/I jest przestrzeni a wektorow a nad ciałem K, a homomorfizm kanoniczny κ : P P/I jest odwzorowaniem K liniowym. Niech h : P S bȩdzie surjektywnym homomorfizmem K algebr (K ciało), niech I = ker h. Wtedy h : P/ ker h S jest izomorfizmem, oraz dim K S = dim K P/I. Jeżeli J I są ideałami, to istnieje surjektywny homomorfizm h : P/J P/I. Wtedy: h jest izomorfizmem J = I dim K P/J = dim K P/I. Ćwiczenia. 1. Jeżeli I = (m) Z, to Z/I = Z/mZ.

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 7 2. Niech I K[X] (K ciało). Wtedy istnieje wielomian h taki, że I = (h). Weźmy f, g K[X]. Dziel ac te wielomiany z reszt a przez h otrzymamy: Wtedy f g r 1 = r 2. f = ph + r 1, deg(r 1 ) < deg(h), g = qh + r 2, deg(r 2 ) < deg(h). 3. R[X]/(X + 7) jest izomomorficzny z R. 4. R[X]/(X 2 + 5) jest izomorficzny z C. 5. R[X]/(X 2 3) jest izomorficzny z R R. 6. Jeżeli 0 h R[X] jest wielomianem posiadającym tylko jednokrotne pierwiastki, to R[X]/(h) jest izomorficzny (jako R agebra!) z R } {{ R } } C {{ C }, r s gdzie r jest liczbą pierwiastków rzeczywistych, s jest połową liczby pierwiastków nie leżących na osi rzeczywistej. Czy można podobnie opisać R[X]/(h) jeżeli dopuścimy istnienie pierwiastków wielokrotnych? 4 Chińskie twierdzenie o resztach Jeżeli P 1,..., P n s a pierścieniami, to ich iloczyn kartezjański P 1 P n, z naturalnie zdefiniowamymi działaniami, jest też pierścieniem. Uwaga. Jeżeli P 1,..., P n s a ciałami, to P 1 P n nie musi być ciałem. Bȩdziemy od teraz zakładać, że wszystkie pierścienie s a K- algebrami dla ustalonego ciała K.

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 8 Skoro teraz każdy P i jest K algebr a, to P 1 P n jest też K algebr a. Niech I 1,..., I n bȩd a ideałami w pierścieniu P. Dla 1 k n oraz p P, [p] k oznaczać bȩdzie warstwȩ elementu p w P/I k. Ćwiczenie. 1. Odwzorowanie h : P P/I 1 P/I n : jest homomorfizmem K algebr. h(p) = ([p] 1,..., [p] n ) Twierdzenie 4.1 (Chińskie twierdzenie o resztach) Załóżmy, że k l, I k + I l = P. Wtedy (i) I 1... I n = I 1 I n. (ii) Istnieje kanoniczny izomorfizm K algebr P/I 1... I n P/I 1 P/I n zdefiniowany wzorem p + I 1... I n ([p] 1,..., [p] n ). Przykład. Jeżeli m 1,..., m n s a wzglȩdnie pierwszymi liczbami całkowitymi, to Z/m 1 m n Z/m 1 Z Z/m n Z. Wniosek 4.2 Załóżmy, że k l, I k + I l = P. Wtedy wtedy i tylko wtedy, gdy dim K P/I 1... I k < 1 k n dim K P/I k <. Wniosek 4.3 Jeżeli k l, I k +I l = P oraz I 1... I n = I 1 I n = {0} to P P/I 1 P/I n.

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 9 5 Ideały pierwsze i maksymalne Definicja. Ideał I P nazywamy pierwszym, gdy dla dowolnych elementów a, b P : ab I a I lub b I. Jeżeli I jest pierwszy, a 1 a n I to 1 i n a i I. Jeżeli P S jest homomorfizmem oraz S jest pierścieniem bez dzielników zera, to ker h jest ideałem pierwszym. {0} P jest ideałem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy P jest pierścieniem bez dzielników zera. Ideał I jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy P/I jest pierścieniem bez dzieników zera. Jeżeli h : P S jest homomorfizmem oraz J S ideałem pierwszym, to h 1 (J) P jest ideałem pierwszym. Definicja. Ideał właściwy I P nazywamy maksymalnym, gdy dla każdego ideału J P : I J J = I lub J = P. I jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy, gdy P/I jest ciałem. Ideał maksymalny jest pierwszy. Każdy ideał zawiera siȩ w pewnym ideale maksymalnym. Ćwiczenia 1. Załóżmy, że h : P S jest surjektywnym homomorfizmem oraz I P jest ideałem pierwszym. Czy h(i) S jest zawsze pierwszy? 2. (n) Z jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczb a pierwsz a. 3. Niech f Z[X] bȩdzie wielomianem stopnia 2. Ideał (f) jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy f nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 10 4. Niech h : P S bȩdzie surjektywnym homomorfizmem oraz niech I P będzie ideałem maksymalnym. Czy h(i) S jest zawsze ideałem maksymalnym? 5. Niech P bȩdzie pierścieniem ideałów głównych bez dzielników zera. Niezerowy ideał właściwy I jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy I jest maksymalny. 6 Pierścienie noetherowskie Definicja Pierścień nazywamy noetherowskim, gdy każdy ideał tego pierścienia jest skończenie generowany. Każdy pierścień ideałów głównych jest noetherowski. Każde ciało jest pierścieniem noetherowskim Twierdzenie 6.1 Poniższe warunki s a równoważne: (i) P jest noetherowski, (ii) Każdy wstȩpuj acy ci ag ideałów I 1 I 2 stabilizuje siȩ, tzn. dla pewnego n: I n = I n+1 =. (iii) Każda niepusta rodzina ideałów posiada element maksymalny ze wzglȩdu na relacje zawierania. Twierdzenie 6.2 (Twierdzenie Hilberta o bazie) Jeżeli P jest noetherowski, to pierścień wielomianów P [X] jest też noetherowski. Wiȩc pierścień wielomianów n zmiennych K[X] = K[X 1,..., X n 1 ][X n ] o współczynnikach w ciele K jest noetherowski. Ćwiczenia. 1. Z[X] nie jest pierścieniem ideałów głównych. 2. Niech I bȩdzie ideałem w pierścieniu noetherowskim P. Wtedy pierścień P/I jest noetherowski. 3. Niech I, J bȩda takimi ideałami w pierścieniem noetherowskim P, że: f I k > 0 f k J, g J l > 0 g l I. Wtedy istniej a stałe r, s > 0 takie, że I r = I } {{ I} J, J s I. r

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 11 4. Niech f α bȩdzie dowoln a rodzin a wielomianów w K[X]. Oznaczmy V = α f 1 α (0). Każdy zbiór tej postaci nazywamy zbiorem algebraicznym. Pokaż, że istnieje skończony podzbiór indeksów α 1,..., α m taki, że V = m i=1 f 1 α i (0), a wiȩc każdy zbiȯr algebraiczny może być opisany za pomoc a skończonej ilości równań. 7 Twierdzenie Hiberta o zerach Twierdzenie 7.1 Załóżmy, że m C[X] jest ideałem maksymalnym. Wtedy istnieje jednoznacznie wyznaczony punkt p = (p 1,..., p n ) C n taki, że m = m p = {f C[X] f(p) = 0} = (X 1 p 1,..., X n p n ). Wniosek 7.2 Jeżeli m C[X] jest ideałem maksymalnym, to C[X]/m C. Przykład. Ideał (X 2 + 1) R[X] jest maksymalny, ale R[X]/(X 2 + 1) R. Definicja. Jeżeli I jest ideałem, to rad(i) = {p P n > 0 p n I} jest ideałem. Nazywamy go radykałem ideału I. Twierdzenie 7.3 (Tw. Hilberta o zerach I) Niech f 1,..., f r C[X]. Wtedy układ równań f 1 = = f r = 0 ma rozwiazanie w C n wtedy i tylko wtedy, gdy ideał (f 1,..., f r ) C[X] jest właściwy, tzn. nie zawiera żadnego elementu odwracalnego, czyli niezerowej stałej.

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 12 Twierdzenie 7.4 (Tw. Hilberta o zerach II) Niech I C[X] bȩdzie ideałem, niech V = V (I). Załóżmy, że g C[X] jest takim wielomianem, że g V 0. Wtedy istnieje m > 0 takie, że g m I (czyli g rad(i)). Ćwiczenia. Dla K = C: 1. V (f 1,..., f r ) = V (g 1,..., g s ) rad(f 1,..., f r ) = rad(g 1,..., g s ), czyli V (I) = V (J) rad(i) = rad(j). 2. I J V (I) V (J). 3. V (I) V (J) rad(i) rad(j). 4. V (I J) = V (I) V (J). 5. V (I J) = V (I) V (J). 6. V (I k ) = V (I). 7. V (I + J) = V (I) V (J). 8. Jeżeli V (I) = V (J), to istniej a k, l > 0 takie, że I k J oraz J l I. 9. W których z powyższych zadań można zast apić ciało C przez R? 8 Rozszerzenia całkowite Niech B bȩdzie pierścieniem bez dzielników zera. Definicja. Podzbiór A B nazywamy podpierścieniem, jeżeli A z działaniami indukowanymi z B jest pierścieniem. Załóżmy, że A B jest podpierścieniem. Definicja. Mówimy, że element b B jest całkowity wzglȩdem A, jeżeli istnieje taki wielomian unormowany f A[X], że f(b) = 0, tzn.: dla pewnych a 0,..., a n 1 A. b n + a n 1 b n 1 + + a 0 = 0

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 13 B nazywamy rozszerzeniem całkowitym pierścienia A, jeżeli każdy element b B jest całkowity wzglȩdem A. Podzbiór M B nazywamy skończenie generowanym A modułem, jeżeli istniej a b 1,..., b s B, takie że M = {a 1 b 1 + + a s b s a i A} = A b 1 + + A b s. Ćwiczenia. 1. Jeżeli M jest skończenie generowanym A modułem, to m 1, m 2 M m 1 + m 2 M, a A, m M a m M. 2. Jeżeli b 1,..., b s B to A[b 1,..., b s ] = {f(b 1,..., b s ) f A[X 1,..., X s ]} jest podpierścieniem w B. Wyjaśnij, jaka jest różnica pomiȩdzy A[b 1,..., b s ] oraz A b 1 + + A b s. 3. Niech k L bȩd a ciałami. Wtedy b L jest całkowity wzglȩdem k wtedy i tylko wtedy, gdy b jest algebraiczny wzglȩdem k. Lemat 8.1 Jeżeli b B jest całkowity wzglȩdem A, to A[b] = {h(b) h A[X]} jest skończenie generowanym A modułem. Twierdzenie 8.2 Poniższe warunki s a równoważne: (i) B jest rozszerzeniem całkowitym A, (ii) jeżeli b 1,..., b s B, to A[b 1,..., b s ] jest skończenie generowanym A modułem, (iii) każdy skończony podzbiór zbioru B jest zawarty w pewnym podpierścieniu C B, który jest skończenie generowanym A modułem. Wniosek 8.3 Jeżeli B jest skończenie generowanym A modułem, to B jest rozszerzeniem całkowitym A. Wniosek 8.4 Zbiór wszystkich elementów w B cakowitych wzglȩdem A jest podpierścieniem w B.

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 14 Twierdzenie 8.5 Jezeli A B C s a pierścieniami bez dzielników zera, B jest rozszerzeniem całkowitym A oraz C jest rozszerzeiem całkowitym B, to C jest rozszerzeniem całkowitym A. Niech k bȩdzie ciałem, zaś k[x] pierścieniem wielomianów. Niech { } f(x) k(x) = f, g k[x], g 0 g(x) bȩdzie ciałem funkcji wymiernych. Oczywiście istnieje naturalne zanurzenie k[x] k(x). Twierdzenie 8.6 Jeżeli h k(x) jest całkowity wzglȩdem k[x], to h k[x]. Wniosek 8.7 Załóżmy, że ciało k jest podciałem ciała L.Załóżmy, że element b L jest przestȩpny wzglȩdem ciała k, tzn. b nie jest pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu o współczynnikach z k. Wtedy k[x] k[b], k(x) k(b). Jeżeli f k(b) jest całkowity wzglȩdem k[b], to f k[b]. (Oczywiście k[b] k(b).) 9 Pierścienie lokalne Definicja. Pierścień A nazywamy lokalnym, gdy zawiera dokładnie jeden ideał maksymalny m. Np. każde ciało jest pierścieniem lokalnym, m = {0}. Fakt 9.1 Jeżeli I jest ideałem właściwym w pierścieniu lokalnym A, to A/I jest pierścieniem lokalnym. Twierdzenie 9.2 Poniższe warunki s a równoważne: (i) A jest pierścieniem lokalnym, (ii) zbiór elementów nieodwracalnych w A jest ideałem (właściwym) Twierdzenie 9.3 (Lemat Nakayamy I) Niech I, J bȩd a ideałami w pierścieniu lokalnym (A, m). Załóżmy, że I jest skończenie generowany oraz I J +m I. Wtedy I J.

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 15 Wniosek 9.4 (Lemat Nakayamy II) Jeżeli I jest takim skończenie generowanym ideałem w pierściniu lokalnym (A, m), że I = m I, to wtedy I = {0}. Wniosek 9.5 Jeżeli A jest lokalnym pierścieniem noetherowskim, to dla dowolnych ideałów I, J A: (i) I J + m I I J, (ii) I = m I I = {0}. Twierdzenie 9.6 Załóżmy, że (A, m) jest pierścieniem lokalnym i K algebr a, gdzie K A/m. Załóżmy też, że ideał maksymalny m jest skończenie generowany oraz I jest ideałem w A. Wtedy poniższe warunki s a równoważne: (1) dim K A/I < (2) l m l I (3) l m l + I = m l+1 + I Symbolem N oznaczmy zbiór złożony z zera i liczb naturalnych, tzn. N = {0, 1, 2,...}. Definicja. Każdy napis a α X α = α α a α X α 1 1 Xα n n, gdzie α = (α 1,..., α n ) N n oraz a α K, nazywamy formalnym szeregiem potȩgowym. Zbiór szeregów potȩgowych oznaczamy symbolem K[[X]] = K[[X 1,..., X n ]]. K[[X]] z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia jest K- algebr a. Twierdzenie 9.7 K[[X]] jest pierścieniem noetherowskim i lokalnym. Ideał maksymalny m składa siȩ z tych szeregów, których wyraz wolny jest równy zero.

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 16 Ćwiczenie. Dla dowolnego ideału I K[X] i punktu p V (I); niech m p = {f K[X] f(p) = 0} = (X 1 p 1,..., X n p n ) K[X] bȩdzie ideałem maksymalnym stowarzyszonym z punktem p. Wtedy dla każdej liczby naturalnej k; 1. pierścień ilorazowy K[X]/(I +m k p) jest pierścieniem noetherowskim i lokalnym, gdzie jedynym ideałem maksymalnym jest [m p ] = (I + m p )/(I + m k p), 2. f = f(x) jest odwracalny w K[X]/(I + m k p) wtedy i tylko wtedy, gdy wyraz wolny f(p) 0, 3. znajdź (2 + X 2 1 X 2 ) 1 w K[X]/m 6 0, 4. znajdź (2 + X 2 1 X 2 ) 1 w K[[X]]. 10 Algebry skończenie wymiarowe Niech I K[X] będzie ideałem. Niech V (I) = V (I) K = {p K n f I, f(p) = 0}, oznacza zbiór zer ideału I. Niech A = A K = K[X]/I oznacza K-algebrę stowarzyszoną z ideałem I. (Symbolu V (I) K lub A K używa się aby podkreślić jakie ciało K rozpatrujemy.) Twierdzenie 10.1 (i) dim K A = 0 V (I) =, (ii) dim K A < V (I) jest zbiorem skończonym, (iii) K = C oraz V (I) C = dim C A C = 0, (iv) V (I) C skończony dim C A C <. Definicja. Algebra A jest skończenie wymiarowa, jeżeli dim K A <.

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 17 Ćwiczenia. 1. Załóżmy, że X 3 XY oraz Y 2 + X Y należą do ideału I K[X, Y ]. Pokaż, że dim K A 6. 2. Niech f i K[X] = K[X 1,..., X n ] będą takimi wielomianami, że f i = X k(i) i + p i (1 i n) gdzie wielomian p i ma stopień < k(i). Niech Pokaż, że dim K A <. f 1,..., f n I K[X], A = K[X]/I. 3. Niech I = (X 2 +Y, XY 1) K[X, Y ]. Pokaż,że dim K K[X, Y ]/I <. Ćwiczenia 1. Jeżeli f = c α X α C[X], to f = c α X α C[X] oraz f = 1 2 (cα + c α )X α R[X]. 2. Jeżeli f C[X] to: f R[X] f = f f = f. Fakt 10.2 Niech g, f 1,..., f r R[X]. Oznaczmy: I R ideał generowany przez f 1,..., f r w R[X] I C ideał generowany przez f 1,..., f r w C[X] Wtedy (i) g I R g I C, więc I R = I C R[X]. (ii) I R = R[X] I C = C[X]. Fakt 10.3 Niech I R (odp. I C ) będzie ideałem w R[X] (odp. w C[X]) generowanym przez f 1,..., f r R[X]. Wtedy dim R R[X]/I R = dim C C[X]/I C, oraz dim R C[X]/I C = 2 dim C C[X]/I C = 2 dim R R[X]/I R.

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 18 Twierdzenie 10.4 Niech f 1,..., f r K[X]. Jeżeli 0 < dim K K[X]/(f 1,..., f r ) < to r n. Ćwiczenie. Udowodnij powyższe Twierdzenie, gdy n = 2. Definicja. Wielomian h K[X] jest jednorodny stopnia k jeżeli wszystkie jego jednomiany są stopnia k, tzn. h = α a α X α, α = k. (Przyjmujemy że wielomian zerowy ma dowolny stopień!) Każdy wielomian f stopnia p daje się jednoznacznie przedstawić jako suma f = (f) 0 + (f) 1 + + (f) p, gdzie (f) k jest sumą jednomianów z f stopnia k, oraz (f) p 0. Jeżeli h jest jednorodny stopnia k 1, to 0 h 1 (0). Wielomiany jednorodne stopnia 0 są stałymi. Ćwiczenia. 1. Niech h 1,..., h s będą wielomianami jednorodnymi. Jeżeli x 0 h 1 1 (0)... h 1 s (0), x 0 0 to prosta K x 0 jest zawarta w h 1 1 (0)... h 1 s (0). Więc h 1 1 (0)... hs 1 (0) jest zbiorem pustym jeżeli jeden z h i 0 jest stopnia 0, = {0}, albo jest zbiorem nieskończonym. (Jeżeli n = 2 to w trzecim wypadku jest to skończona suma prostych przechodzących przez początek układu 0.)

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 19 2. Jednorodny wielomian h C[X, Y ] daje się jednoznacznie (z dokładnością do niezerowej stałej) rozłożyć na iloczyn składników liniowych postaci ax + by. Twierdzenie 10.5 (Bézout I) Jeżeli h 1,..., h n C[X] = C[X 1,..., X n ] są jednorodne stopni k 1,..., k n to poniższe warunki są równoważne: (i) h 1 1 (0)... h 1 n (0) jest skończony (tzn. = {0}), (ii) dim C C[X]/(h 1,..., h n ) <, (iii) dim C C[X]/(h 1,..., h n ) = k 1 k n. Twierdzenie 10.6 (Bézout II) Niech g 1,..., g n K[X] = K[X 1,..., X n ] będą stopnia k 1,..., k n (K = C lub K = R). Niech h 1 = (g 1 ) k1,..., h n = (g n ) kn. Jeżeli {z C n h 1 (z) = = h n (z) = 0} jest skończony (tzn. = {0}), to dim K K[X]/(g 1,..., g n ) = k 1 k n. Twierdzenie 10.7 (Bézout I, wersja lokalna) Jeżeli h 1,..., h n C[X] = C[X 1,..., X n ] są jednorodne stopni k 1,..., k n to poniższe warunki są równoważne: (i) h 1 1 (0)... h 1 n (0) jest skończony (tzn. = {0}), (ii) dim C C[[X]]/(h 1,..., h n ) <, (iii) dim C C[[X]]/(h 1,..., h n ) = k 1 k n. Twierdzenie 10.8 (Bézout II, wersja lokalna) Niech g 1,..., g n K[X] = K[X 1,..., X n ] będą niezerowymi wielomianami. Wtedy istnieją niezerowe jednorodne wielomiany h i stopnia l i takie, że g i = h i + jednomiany stopnia > l i. Jeżeli {z C n h 1 (z) = = h n (z) = 0} jest skończony (tzn. = {0}), to dim K K[[X]]/(g 1,..., g n ) = l 1 l n.

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 20 11 Bazy Gröbnera dla dwóch zmiennych W zbiorze N 2 można wprowadzić tzw. porządek leksykograficzny z gradacją: Definicja. Jeżeli α = (α 1, α 2 ), β = (β 1, β 2 ) należą do N 2 to α > β jeśli α > β, lub α = β i α 1 > β 1. Dla niezerowego wielomianu f = α a αx α K[X, Y ] oznaczmy multideg(f) = max(α a α 0), LC(f) = a multideg(f), LM(f) = X multideg(f), LT(f) = a multideg(f) X multideg(f). Fakt 11.1 multideg(f g) = multideg(f) + multideg(g), LC(f g) = LC(f) LC(g), LM(f g) = LM(f) LM(g), LT(f g) = LT(f) LT(g). Definicja. Niech I K[X] będzie niezerowym ideałem. Oznaczmy: LT(I) = {LT(f) f I \ {0}}, < LT(I) > ideał generowany przez LT(I). Fakt 11.2 Jeżeli jednomian X α < LT(I) >, to dla każdego β N 2 jednomian X α X β = X α+β < LT(I) >. Twierdzenie 11.3 (i) Istnieją g 1,..., g s I takie, że ideał < LT(I) > jest generowany przez LM(g 1 ),..., LM(g s ), (ii) g 1,..., g s generują ideał I,

Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 21 (iii) dla dowolnego f K[X] istnieje dokładnie jeden wielomian g = g(f) oraz dokładnie jeden wielomian r = r(f) takie, że f = r(f) + g(f) = r + f, g I oraz żaden jednomian wielomianu r nie dzieli się przez żaden z jednomianów LM(g 1 ),..., LM(g s ). Definicja. Wielomiany g 1,..., g s nazywamy bazą Gröbnera ideału I. Wielomian r(f) nazywamy postacią normalną wielomianu f. (Uwaga: nie każdy zbiór generatorów ideału jest jego bazą Gröbnera!) Wniosek 11.4 Każdy element pierścienia ilorazowego K[X]/I daje się jednoznacznie przedstawić jako skończona K liniowa kombinacja jednomianów które nie dzielą się przez żaden z jednomianów LM(g 1 ),..., LM(g s ), wymiar dim K K[X]/I jest równy ilości jednomianównie które nie dzielą się przez żaden z jednomianów LM(g 1 ),..., LM(g s ). Ćwiczenie. Niech f 1, f 2 K[X] = K[X, Y ] będą takimi wielomianami, że f 1 = X k(1) + p 1, f 2 = Y k(2) + p 2, gdzie wielomian p i ma stopień < k(i). Niech I = (f 1, f 2 ) K[X]. Pokaż, że f 1, f 2 są bazą Gröbnera ideału I. (Można skorzystać z Twierdzenia Bézout.) 12 Dziedziny z jednoznacznością rozkładu Niech P będzie dziedziną całkowitości. Element a 0 nazywamy nierozkładalnym, jeżeli nie jest odwracalny, i jeżeli a = bc, to b lub c jest odwracalny.

Zbiór wszystkich elementów P jest sumą parami rozłącznych zbiorów: {0}, zbiór elementów odwracalnych, zbiór elementow nierozkładalnych, zbiór elementow rozkładalnych. Element nieodwracalny jest pierwszy, jeżeli: a bc a b lub a c. Fakt 12.1 Elementy pierwsze są nieodwracalne. Dziedzinę całkowitości P nazywamy dziedziną z jednoznacznością rozkładu, jeżeli (a) każdy element rozkładalny jest iloczynem pewnej liczby elementow nierozkładalnych, (b) przedstawienie w postaci iloczynu jest jednoznaczne z dokładnością do porządku i stowarzyszenia. Twierdzenie 12.2 P jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu wtedy i tylko wtedy, gdy (i) każdy element rozkładalny jest iloczynem elementów nierozkładalnych, (ii) każdy element nierozkładalny jest pierwszy. Twierdzenie 12.3 Jeżeli P jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu, to pierścień wielomianów P [x] jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Twierdzenie 12.4 Jeżeli K jest ciałem ułamków dziedziny z jednoznacznością rozkładu P i element a P [x] jest nierozkładalny w P [x], to a jest nierozkładalny w K[x] lub a P i a jest nierozkładalny w P. (Więc jeżeli a jest rozkładalny w K[x], to jest też rozkładalny w P [x].)