Algebraiczna Teoria Liczb

Transkrypt

1 Algebraiczna Teoria Liczb Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze letnim roku 2008r. (niekompletne- pominięto ostatnie wykłady o szeregach Diricheta) r.

2 W tej części rozważań wszystkie rozszerzenia ciał są skończone i algebraiczne. Definicja1(Elementcałkowity)NiechR R 1 będąprzemiennymidziedzinamiz1.elementa R 1 nazywamycałkowitymnadrjeżeliistniejewielomian unormowanyf=x n +a n 1 x n a 1 x+a 0,należącydoR[x],żef(a)=0. Twierdzenie1NiechR R 1,a R 1.Następującewarunkisąrównoważne: ajestcałkowitynadr, R[a] ={g(a), g(x) R[x]} jest skończenie generowanym R- modułem, istniejer[a]-modułm,skończeniegenerowanyjakor-modułtaki,że: R[a] M R 1, istnieje R[a]- moduł wierny, który jako R- moduł jest skończenie generowany. Twierdzenie2ZbiórwszystkichelementówcałkowitychzR 1 nadrjestpodpierścieniemzawierającymr.nazywamygocałkowitymdomknięciemrwr 1. Definicja 2(Całkowita domkniętość) Pierścień R jest całkowicie domkniętywr 1 jeżelikażdyelementcałkowitya R 1 nadrjestwistocieelementem R. Twierdzenie 3 Całkowite domknięcie jest całkowicie domknięte(dwukrotne wzięcie całkowitego domknięcia nie daje nowych elementów). Definicja 3(Pierścień normalny) Pierścień R nazywamy normalnym gdy jest on całkowicie domknięty w swoim ciele ułamków. Twierdzenie4JeżeliRjestnormalnyorazR (R) K,gdzieK-ciało,todlakażdegoelementucałkowitegoa KnadR,wielomianminimalny unormowany(wsensieteoriiciał)dlaanadrnależydor[x]. Twierdzenie 5 Jeżeli R jest pierścieniem z jednoznacznym rozkładem, to jest normalny. 1

3 Definicja 4(Liczby całkowite) Jeżeli rozważamy całkowite domknięcie Z w ciele K, to jego elementy nazywamy liczbami całkowitymi w K i oznaczamy przezz K. Twierdzenie 6 Niech m będzie niezerową liczbą całkowitą. Wówczas: Z[ m], dlam 1mod4 Z Q[ m] =. Z[ 1+ m 2 ], dlam=1mod4 Twierdzenie7Niechω n będziepierwiastkiempierwotnymstopnianz1.wówczasz Q[ωn]= Z[ω]. Definicja 5(Dziedzina Dedekinda) Dziedzina całkowitości R jest Dedekinda wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki: R jest noetherowska, R jest normalna, każdy niezerowy ideał pierwszy R jest maksymalny. Twierdzenie8Z + K jestdladowolnegociałaskończeniegenerowanąwolnągrupą abelową. Twierdzenie9PierścienieZ K sądziedzinamidedekinda. Definicja6(Normaiśladelementu)NiechK L-skończonerozszerzenie algebraiczne ciał charakterystyki 0. Definicja ma cztery równoważne postaci: 1.L K,a L,f=a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 -wielomianminimalny azk[x].wówczas: N L/K (a)=(( 1) n a 0 ) [L:K(a)], T L/K (a)= (a n 1 ) [L:K(a)]. 2.L K,a L K,f-wielomianminimalny,rozważanywKmapostać: f(x)=(x a)(x b 2 )...(x b n ).Wówczas: N L/K (a)=(a b 2... b n ) [L:K(a)], T L/K (a)=(a+b b n ) [L:K(a)]. 2

4 3.L K,a L K.Jeżeli[L:K]=n,tomamnróżnychwłożeńLw K:σ 1,σ 2,...,σ n.ztwierdzeniaabelal=k(c),dlapewnegoalgebraicznegoc.jegowielomianminimalnyfmawknróżnychpierwiastków.włożenialwktoliniowerozszerzeniaformułyc jedenzpierwiastkówf. Wówczas: N L/K =σ 1 (a)σ 2 (a)...σ n (a), T L/K (a)=σ 1 (a)+σ 2 (a)+...+σ n (a). 4. Rozszerzenie L K można traktować jako algebrę skończenie wymiarową nad L. Wówczas ślad i norma to odpowiednio ślad i wyznacznik macierzy przekształcenia liniowego x ax. Twierdzenie 10 Ślad i norma mają następujące własności: T L/K (a),n L/K (a) K, jeżeliajestcałkowite(nadczymś),tonormaiśladteż, dladowolnycha,b L,x,y Kmamy: N L/K (ab)=n L/K (a) N L/K (b) T L/K (xa+yb)=xt L/K (a)+yt L/K (b). Definicja7(Wyróżnik)NiechL K,[L:K]=n.Wybieramyα 1,α 2,...,α n L.RozważamynróżnychwłożeńLwK:σ 1,σ 2,...,σ n.wyznacznikiemukładu discr(α 1,α 2,...,α n ) L/K nazywamykwadratwyznacznikanastępującejmacierzy: σ 1 (α 1 ) σ 2 (α 1 ) σ n (α 1 ) σ 1 (α 2 ) σ 2 (α 2 ) σ n (α 2 ) σ 1 (α n ) σ 2 (α n ) σ n (α n ) JeżeliokreślićformędwuliniowąT(x,y)=T L/K (x y),wówczaswyróżnikjest macierzątejformy:(t(α i,α j )) n i,j=1. Definicja8(Dyskryminant)Przezdyskryminant K (a)elementualgebraicznegoa L Krozumiemywyróżnikukładu:{1,a,a 2,...,a n 1 },gdziento stopień rozszerzenia ciał. 3

5 Twierdzenie11Jeżelia L K,orazftowielomianminimalnyelementu a,to K (a)=±n L/K (f (a)).stąddyskryminantelementucałkowitegojest całkowity. Ogólnie wyróżnik układu elementów całkowitych jest całkowity. Twierdzenie12Dladwóchróżnychbazcałkowitych Z K mamyrównedyskryminanty. Stąd z ciałem skojarzyć można dyskryminant. Twierdzenie13Jeżeliwyróżnikukładu{a 1,a 2,...,a n }niezależnychelementówz K nad Zmawyróżnikbezkwadratowy,toukładtenjestbazącałkowitą Z K. Definicja 9(Względnie pierwsze ideały) I, J są ideałami względnie pierwszymipierścieniar,jeżelii+j=r. Definicja 10(Najmniejsza wspólna wielokrotność ideałów) Przez NWW(I, J) określamyi J. Twierdzenie14NiechI 1,I 2,...,I n ideałypierścieniar,paramiwzględnie pierwsze.wówczasi 1 I 2... I n =I 1 I 2... I n. Twierdzenie15(Chińskieoresztach)JeżeliI 1,I 2,...,I n -ideałypierścieniar,paramiwzględniepierwsze,tor/ I k R/I k. Twierdzenie 16 Niech R noetherowski. Wówczas każda niepusta rodzina ideałów ma element maksymalny. Definicja 11(Ideał ułamkowy) Niech R- dziedzina całkowitości, z ciałem ułamków(r). I (R) nazwiemy ideałem ułamkowym R w(r), jeżeli spełnione są dwa warunki: IjestR-podmodułemK,zmnożeniema x y = ax y, istniejeniezerowea Rtakie,żeaI R. Twierdzenie 17 Jeśli R jest noetherowski wówczas równoważne są warunki: Ijestułamkowyw(R), I jest skończenie generowanym R- podmodułem(r). W szczególności twierdzenie jest prawdziwe dla dziedzin Dedekinda. 4

6 Twierdzenie 18 Niech I będzie nietrywialnym ideałem właściwym w dziedzinie Dedekinda R. Wówczas istnieje ideał J, że IJ jest główny. Twierdzenie19NiechI jw.wówczasistniejąideałypierwszep 1,P 2,...,P k takie,żei P 1 P 2...P r. Twierdzenie 20 Niech R Dedekinda, I nietrywialny ideał właściwy. WówczaszbiórJ={x (R):xI R}stanowiideałułamkowyRorazJI=R. Twierdzenie 21 Niech I będzie nietrywialnym ideałem właściwym w dziedzinie Dedekinda R. Wówczas rozkłada się on jednoznacznie na iloczyn ideałów pierwszych. Definicja 12(Grupa dywizorów, grupa klas ideałów) Niech R- dziedzina Dedekinda. Możemy w niej na dwa równoważne sposoby określić tzw. grupę klas ideałów. Wprowadźmy na rodzinie jej ideałów relację równoważności: I J a,b R (a)i (b)j.wówczasklasyrównoważnościtejrelacjitworzągrupę ze względu na mnożenie:[i] [J] =[IJ]. Elementem neutralnym jest[(1)], Rodzina ideałów ułamkowych pierścienia R tworzy grupę ze względu na mnożenie. Nazywamy ją grupą dywizorów. Dzielimy ją przez ideały ułamkowe główne. Iloraz to grupa klas. Twierdzenie22NiechR Dedekinda,I 0-ideałwR.Wówczasdladowolnegox Iistniejetakiy I,żeI=(x,y). Twierdzenie 23 Niech R Dedekinda z jednoznacznością rozkładu. Wówczas RjestPID. 5

7 W najbliższych rozważaniach przyjmujemy konwencję: Q K L. Z Z K Z L Wszystkie rozszerzenia są skończone. Twierdzenie24NiechP ideałpierwszywz K.WówczasP Z L Z K =P. Odwrotnie:jeżelidlapewnegoideałupierwszegoQ Z L mamyq Z K P,to QwystępujewrozkładzieP Z L. Definicja13(Indeksyrozgałęzienia)NiechP ideałpierwszywz K oraz P Z L =Q e1 1 Qe2 2 Qe Qer r rozkładideałup Z L naczynnikipierwsze zz L.Wówczaswspółczynnikie i Z +,i {1,2,...r}nazywamywspółczynnikamirozgałęzienia(lubindeksamiramifikacji)PwQ i.mówimy,żezachodzi ramifikacjapwz L jeślir>1. Definicja14(Indeksyinercji)NiechP ideałpierwszywz K orazp Z L = Q e1 1 Qe2 2 Qe Qer r rozkładideałup Z L naczynnikipierwszezz L.Wówczas skoroq i sąmaksymalne,toz L /Q i sąciałami.przezindeksyinercjipwq i nazywamystopnierozszerzenia:f i =[Z L /Q i :Z K /P]. Twierdzenie25Niech[L:K]=n.WówczasdlakażdegoideałupierwszegoP wz K mamyn= r e i f i. i=1 Twierdzenie26Ideałpierwszy(p) ZjestrozgałęzionywZ K wtedyitylko wtedy, gdy p dzieli dyskryminant rozszerzenia Q K. Zakładamydalej,żeK LjestGalois. Twierdzenie27NiechP ideałpierwszywz K orazp Z L =Q e1 1 Qe2 2 Qe Q er r rozkładideałup Z L naczynnikipierwszezz L.Wówczasdlakażdych i,j {1,2,...r}istniejeσ Gal(L/K),żeσ(Q i )=Q j. 6

8 Twierdzenie28JeżeliK LjestGalois,todlakażdegoideałupierwszegoP wz L mamye i =e,f i =forazn= r ref. i=1 Definicja 15(Grupa rozkładu) Przez grupę rozkładu D określać będziemy grupęizotopiiideałuq=q 1 rozkładupnaczynnikiwz L. Twierdzenie29[Gal(K/L):D]=r. Definicja 16(Grupa inercji) D jako podgrupa grupy Galois zadaje pewien automorfizmrozszerzenia[z L /Q:Z K /P].MamywobectegoepimorfizmD Gal((Z L /Q)/(Z K /P)).Jeżelizałożymy,żeZ L /Q Z K /P jestrozdzielcze, wówczasjegoobrazemtegoepimorfizmujestgal((z L /Q)/(Z K /P)).Jegojądro nazywamy grupą inercji E. Twierdzenie 30 Grupę inercji można opisać explicite jako: {σ D:σ(x) x Q, x Z L }. Twierdzenie31Rządgrupyinercjitoe.PodniesienieciałaKdoLodbywasię zatem w trzech krokach poprzez ciała pośrednie odpowiadające grupom rozkładu i inercji. Nazywamy je ciałami inercji i dekompozycji. L e= E F E f= D E F D r= [L:K] ef K CałaramifikacjamamiejscenaL,całerozszczepienienapoziomieciałaF D. CiałarezidualnepochodzącezinercjipochodzącązprzejściadoF E.Wyrażato tabelka: e f r F D 1 1 r F E 1 e 1 L f

9 Twierdzenie 32(Norma ideału) Przez normę ideału I oznaczać będziemy indeksiwz K. Twierdzenie33DladowolnychideałówI,JpierścieniaZ K mamy IJ = I J. Twierdzenie34Dladanegom ZistniejeskończeniewieleideałówIwZ K, żei=m. Dowód.Zauważmy,żedlaideałuImamy I I.Istotnie,niechx I.Wówczaselement I (x+i)jestelementemneutralnymgrupyaddytywnejz K /I. Istotnie,ponieważgrupatamarząd I,torządelementux+Ijestpewnym dzielnikiem I.Zatem I x I,kładącwięcx=1mamy I I.Oznacza to w szczegóności, że I dzieli( I ). Z jednoznaczności rozkładu( I ) rozpada się na iloczyn skończenie wielu ideałów pierwszych, a więc jest skończenie wiele ideałówi,któremogąbyćtymiiloczynami. Twierdzenie35Niech0 α Z K.Wówczas N K/Q (α) = (α). Twierdzenie36Niech Q K-skończone.WówczasdlakażdegoideałuI Z K istniejeα Itakie,żeistniejeλ R,że N K/Q (α) γ I. Twierdzenie37DlakażdegoideałuIwZ K istniejeideałjzklasy[i],że J γ. Definicja17(KrataciałaKwR n )NiechKbędzieskończonymrozszerzeniem Q,aZ K pierścieniemliczbcałkowitych.wśródnwłożeńσ i,i=1,...,n ciałakw C,r 1 idziecałkowiciewliczbyrzeczywiste,zaś2r 2 =n r 1 jest zespolonych.rozważamyprzekształcenieφ:z K R r1 C r2,którex Z K przesyła na: φ(x)=(σ 1 (x),σ 2 (x),...,σ r1 (x),σ r1+1(x),...,σ r1+r 2 (x)). Podgrupazłożonazobrazówxjestwolnągrupaabelowarangin.Mamywięckratę n- wymiarową. Mamy tu pewien obszar fundamentalny, który określić możemy jako{a i σ i,a i [0,1)}.JegomiaręLebesgue aoznaczamyjakovol(r n /L). Twierdzenie38Mamynastępującąrówność:(2i) r2 vol(r n /K)= discr(k/q). 8

10 Twierdzenie 39(Minkowski) Niech S będzie zbiorem mierzalnym względem miarylebesgue ana R n,przyczymµ(s)>vol(r n /L).Wówczasistniejądwa różnepunktyx,y S,żex y H. Twierdzenie40(Minkowski)NiechHbędziekratąwR n.załóżmy,żes jest mierzalny względem n- wymiarowej miary Lebesgue a, symetrycznym wokół środka i wypukłym. Wówczas jeśli: µ(s)>2 n vol(h)lub, µ(s) 2 n vol(h)isjestzwarty,to: S (H{0}). Twierdzenie 41(Minkowski) Niech Q L będzie rozszerzeniem stopnia n. Wówczasistniejenzanurzeńσ i L C.Jeżeliσ i (C R),todlaσ i istnieje sprzężoneznimzanurzenie.zatemn=r 1 +2r 2,gdzier 1 ilośćrzeczywistych zanurzeń,2r 2 ilośćzespolonychzanurzeń.stałąwtwierdzeniu36,37można wyrazićwpostaci: ( ) ( ) 4 n! r2 π n n L. Twierdzenie 42 Grupa klas ideałów jest skończona. Twierdzenie 43(Kroneckera o elementach odwracalnych) Niech K będzie skończonym rozszerzeniem ciała Q. Wówczas elementy odwracalne pierścieniaz K wyrażająsięjakoiloczynprostygrup:u K =W K UK 0,gdzieW K oznaczapodgrupęzłożonązewszystkichpierwiastków1zawartychwz K,zaśUK 0 jestpewnąwolnągrupąabelowąorandzer 1 +r 2 1. Twierdzenie 44(Kronecker- Weber) Niech K będzie skończonym i abelowymrozszerzeniemciała Q.Wówczasistniejetakien,żeK Q[ω n,gdzieω n jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia n z 1. Definicja 18(Liczba regularna) Niech p- liczba pierwsza. Powiemy, że jest onaregularna,jeżelipniedzielirzędugrupyklasideałówwz[ω p ]. Twierdzenie45Równaniex p +y p =z p niemarozwiązańwzdlap>2, regularnych. 9

11 Definicja 19(Rozszerzenie Kummera) Niech K- ciało liczbowe, zawierająceω p.niechα K.Jeżeli p α/ K,wówczasrozszerzenieK K(ω n )jest nietrywialne, stopnia p, abelowe. Nazywamy je rozszerzeniem Kummera. Twierdzenie46Załóżmy,żeNWD(p,α)=1.WtedyK K( p α)jestnierozgałęzione wtedy i tylko wtedy gdy: (α)=i p, α=v p modp p,v Z K,P=(1 ω p ). Definicja20(Ciałoklas)NiechK-ciałoliczbowe,Z K całkowitedomknięcie ZwK,zaśCl(K)-grupaklasideałówZ K.Wówczasistniejedokładniejedno ciało E, będące skończonym rozszerzeniem K, spełniające warunki: [E:K]= Cl(K), EjestGaloisnadKiGal(E/K) Cl(K), każdyideałi KjestideałemgłównymwE żadenideałpierwszypniepodlegaramifikacjiwz E,cowięcej rozkłada sięnadokładnie Cl(K) o(pz E) czynników,gdzieo(pz E)oznaczarządideału o(pz E )wgrupieklasideałówz E. 10