ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW TARCZ SZTYWNYCH 1. Rodzaje więzów i reakcje więzów KaŜda konstrukcja budowlana, stanowiąca przedmiot analizy nauki wytrzymałości materiałów, jest w jakiś sposób posadowiona, będąc pośrednio lub bezpośrednio związana z podłoŝem, na które przekazuje siły pochodzące od jej cięŝaru i przyłoŝonego obciąŝenia uŝytkowego. Od konstrukcji budowlanej wymaga się, aby była ona geometrycznie niezmienna. Aby tak było naleŝy konstrukcji odebrać wszystkie stopnie swobody. (Stopniem swobody nazywamy niezaleŝny parametr słuŝący do opisu połoŝenia obiektu w przestrzeni lub na płaszczyźnie.) Aby odebrać konstrukcji wszystkie stopnie swobody naleŝy ją unieruchomić za pomocą więzów, stanową je wszelkie połączenia konstrukcji z podłoŝem lub inną konstrukcją. Takie połączenia nazywać będziemy takŝe podporami. Siły, z którymi oddziaływują na rozpatrywaną bryłę w miejscach zetknięcia, nazywamy reakcjami podpór. Na poniŝszych rysunkach zaczerpniętych ze skryptu Stefana Piechnika Wytrzymałość Materiałów dla wydziałów budowlanych przedstawione są więzy płaskie, tzn. takie gdzie siły reakcji leŝą w jednej płaszczyźnie. Oczywiście istnieją teŝ więzy przestrzenne, analogiczne do płaskich i siły je zastępujące. Podpory moŝemy sklasyfikować w dwóch grupach: pierwszy rodzaj to kierunkowe, których reakcje leŝą na znanej linii działania l, zaś drugi rodzaj to przegubowe, których reakcje przechodzą przez znany punkt A. RozróŜniamy następujące płaskie: Styk gładki, czyli połączenie na styk, gdy jedna tarcza dotyka innej, a między nimi nie występuje tarcie. W takim przypadku linia działania reakcji jest prostopadła do płaszczyzny styku. Podparcie przegubowo-nieprzesuwne. Na poniŝszym rysunku przedstawiono podparcie przegubowo-nieprzesuwne w konstrukcji stalowej i Ŝelbetowej (rys.1a i 1b), schematy takiego podparcia (rys.1c) i siły zastępujące działanie tych więzów, czyli reakcje (rys.1d). Jak wiemy przy takim sposobie podparcia moŝliwy jest tylko obrót, niemoŝliwy jest natomiast przesuw w Ŝadnym kierunku. Musi wystąpić więc reakcja, którą najczęściej rozkładamy na dwie składowe (pionową R i poziomą H). Rys. 1 www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Dariusz Włochal 1
Podparcie przegubowo-przesuwne. Na poniŝszym rysunku przedstawiono tego typu podporę wykonaną w konstrukcji stalowej, na rys.2b schematy takiego podparcia i na rys.2c reakcje. PoniewaŜ w takiej podporze moŝliwy jest przesuw i obrót, występuje tylko reakcja R o kierunku działania prostopadłym do moŝliwego kierunku przesuwu. Rys. 2 Pełne utwierdzenie. Przykłady więzów, które przyjmować będziemy jako pełne utwierdzenie, przedstawiono na poniŝszych schematach; na rys.a utwierdzenie w ścianie belki drewnianej, na rys.3b pełne utwierdzenie słupa stalowego, zaś na rys. 3c utwierdzenie słupa Ŝelbetowego; schematy tego typu więzów przedstawiono na rys. 3d, a na rys.e pokazano siły zastępujące działanie więzów, czyli reakcje. Utwierdzenie odbiera trzy stopnie swobody, czyli nakłada trzy więzy na pręt. Blokuje ono przesuwy w obu kierunkach oraz obrót wokół. W przypadku pełnego utwierdzenia występują trzy reakcje: pionowa, pozioma oraz moment zginający. Rys. 3 Utwierdzenie z poziomym przesuwem (połączenie teleskopowe). Nazwa tego typu pochodzi stąd, Ŝe więzy uniemoŝliwiają obrót i przemieszczenie pionowe, natomiast umoŝliwiają przemieszczenie poziome (rys.4a); schemat i reakcje przedstawiono na rys.4. Podpora taka odbiera dwa stopnie swobody, czyli nakłada dwa więzy na pręt. Zablokowane zostaną: przesuw w jednym kierunku oraz obrót wokół, moŝliwy jest natomiast przesuw w drugim kierunku. Odpowiada ona dwóm równoległym podporom przegubowo-przesuwnym (rys.4b). www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Dariusz Włochal 2
Rys. 4 Utwierdzenie z pionowym przesuwem. Utwierdzenie z moŝliwością pionowego przesuwu przedstawia rys.5a, schemat więzów rys.5b, reakcje rys.5c. W literaturze taki typ często określany jest jako podpora ślizgowa, potocznie natomiast często takie połączenie nazywamy łyŝwą. Rys. 5 W poniŝszej tabeli przedstawię krótkie zestawienie rodzajów podpór, uzupełniając podstawowe informacje i cechy: Rodzaj Schemat Nazwa Opis linii działania reakcji Niewiadome kierunkowe styk gładki linia I jest prostopadła do pł. styku p wartość reakcji kierunkowe pręt z dwoma przegubami kulistymi linia l pokrywa się z osią pręta wartość reakcji www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Dariusz Włochal 3
kierunkowe przgub przesuwny linia l jest prostopadła do moŝliwego kierunku przesuwu wartość reakcji kierunkowe łoŝysko poziome linia l jest prostopadła do osi pręta wartość reakcji przegubowe przegub kulisty linia l przechodzi przez znany punkt A wartość i kierunek reakcji przegubowe przegub nieprzesuwny linia l przechodzi przez znany punkt A wartość i kierunek reakcji przegubowe łoŝysko pionowe linia l przechodzi przez znany punkt A wartość i kierunek reakcji www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Dariusz Włochal 4
2. Klasyfikacja i analiza płaskich układów tarcz sztywnych RozwaŜmy układ powstały w wyniku połączenia pewnej tarczy z tarczą podporową, czyli pewną nieruchomą tarczą odniesienia (rysunki poniŝej). W zaleŝności od liczby więzów, które łączą obie tarcze, oraz od sposobu ułoŝenia tych więzów wyróŝnić moŝemy kilka przypadków: Najpierw przeanalizujmy jedną tarczę i zastanówmy się, jaki sposób rozmieszczenia więzów, oraz jaka ich liczba gwarantuje geometryczną niezmienność. a) Tarcza oznaczona jako 1 dołączona jest do tarczy podporowej za pomocą jednego więzu. Więz ten nie jest w stanie unieruchomić tarczy. Odbiera jej tylko jeden stopień swobody. Rys. 2.1 a b) Tarcza 1 połączona jest z tarcza podporową za pomocą dwóch więzów, które odbierają dwa stopnie swobody, pozostawiając jej jeszcze jeden stopień swobody (obrót). Tarcza z prawej połączona jest za pomocą przegubu z tarczą podporową, natomiast ta po lewej stronie rysunku, połączona jest z tarczą podporową za pomocą dwóch prętów sztywnych. Oba więzy są jednakowe pod względem zdolności połączenia. Rys. 2.1b Rys. 2.1c c) Tarcza 1 połączona jest z tarczą podporową za pośrednictwem trzech więzów (zauwaŝmy dodatkowo więzów prętów o kierunkach NIE przecinających się w jednym punkcie), które odbierają tarczy wszystkie stopnie swobody, a więc unieruchamiają całkowicie tarczę 1 względem tarczy podporowej. NaleŜy zauwaŝyć, Ŝe bardzo istotny jest warunek, aby kierunki prętów nie przecinały się w jednym punkcie (jest to warunek dostateczny dla tego typu układów). Tylko wtedy moŝemy mówić o układzie geometrycznie niezmiennym. (Układy chwilowo geometrycznie zmienne zostaną omówione później.) www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Dariusz Włochal 5
d) Tarcza 1 połączona jest czterema prętami. Występuje tutaj więc nadmiar więzów, tzn. ich liczba większa jest od liczy stopni swobody układu. Rys. 2.1d Tarcza sztywna ma na płaszczyźnie trzy stopnie swobody, co oznacza, Ŝe dla unieruchomienia tarczy sztywnej na płaszczyźnie potrzebne jest wprowadzenie trzech więzów. Układy tarcz przedstawione w podpunktach a) i b) nazywali będziemy układami geometrycznie zmiennymi, co związane jest bezpośrednio z faktem, ze tarcza 1 ma odpowiednio 1 (podpunkt b) i 2 (podpunkt a) stopnie swobody. Układ z podpunktu c) nazywany będzie układem geometrycznie niezmiennym, co ma podkreślać, ze tarczy 1 odebrano 3 (wszystkie) stopnie swobody, a więc liczba stopni swobody tarczy 1 wynosi 0. NaleŜy jednak pamiętać, Ŝe liczba stopni swobody równa zeru nie gwarantuje jeszcze geometrycznej niezmienności. Jest to tylko warunek konieczny, nie jest natomiast warunkiem dostatecznym. Oprócz tego warunku układ prętowy powinien takŝe spełniać warunki wystarczające geometrycznej niezmienności. JeŜeli tarcza podparta jest trzema podporami przegubowo-przesuwnymi (kaŝda z podpór nakłada po jednym więzie na tarczę) to, aby tarcza była geometrycznie niezmienna kierunki trzech podpór nie mogą przecinać się w jednym punkcie. Gdyby taka sytuacja zaistniała, moŝliwy byłby obrót względem przegubu wirtualnego, leŝącego właśnie w miejscu przecięcia kierunków prętów. JeŜeli tarcza jest podparta podporą przegubowo-przesuwną i przegubowonieprzesuwną to, aby był geometrycznie niezmienny podpora przegubowonieprzesuwna nie moŝe leŝeć na kierunku przegubowo-przesuwnej. Układ pokazany w podpunkcie d) to przykład, w którym zaangaŝowana jest czynnie większa liczba więzów niŝ to konieczne dla odebrania tarczy 1 wszystkich stopni swobody. Układ ten jest oczywiście takŝe układem geometrycznie niezmiennym. Z uwagi jednakŝe na wystąpienie nadmiaru więzów układ taki nazywali będziemy układem przesztywnionym. Przejdźmy do układów złoŝonych z dwóch tarcz (nie wliczając podłoŝa ) Dodanie do układu tarcz (tarcza 1 i tarcza podporowa) kolejnej tarczy wymaga dodania kolejnych trzech więzów, o ile oczywiście chcemy nadal zachować geometryczną niezmienność. MoŜemy w tym miejscu sformułować warunek konieczny geometrycznej niezmienności układu w następujący sposób: 3 t p gdzie t oznacza liczbę tarcz naleŝących do układu, nie licząc tarczy podporowej, p natomiast jest liczbą wszystkich więzów występujących w układzie. www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Dariusz Włochal 6
Wprowadzone dla jednej tarczy określenia będziemy odnosili równieŝ dla układów zbudowanych z większej liczby tarcz. Na poniŝszych rysunkach przedstawiono układy dwóch tarcz, stanowiące kolejno przykłady układów: geometrycznie zmiennego, geometrycznie niezmiennego i przesztywnionego. - układ geometrycznie zmienny: Rys. 2.2 a Na rysunku 2.2a sytuacja jest jednoznaczna. Tarcza 2 jest połączona z podłoŝem tylko jednym prętem; nie jest więc spełniony nawet warunek konieczny geometrycznej niezmienności. Tarcza 3 połączona jest z geometrycznie zmienną tarczą 2 równieŝ tylko jednym prętem, a więc całość jest geometrycznie zmienna. - układ geometrycznie niezmienny: Rys. 2.2 b Rysunek 2.2b to typowy przykład układu geometrycznie niezmiennego. Tarcza 2 jest geometrycznie niezmienna, poniewaŝ łączy się z podłoŝem (tarczą 1 ) za pomocą trzech prętów, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Spełnione są więc oba warunki geometrycznej niezmienności: konieczny i dostateczny. Tarczę 2 w takiej sytuacji traktować moŝna jako podłoŝe dla tarczy 3. Analiza geometrycznej niezmienności tarczy 3 jest analogiczna jak tarczy 2. Tarcza 3 równieŝ łączy się z częścią geometrycznie niezmienną trzema prętami, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Spełniony jest więc warunek konieczny i wystarczający, a więc całość pozostaje geometrycznie niezmienna. www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Dariusz Włochal 7
- układ przesztywniony: Rys. 2.2 c Rysunek 2.2c przedstawia przykład układu przesztywnionego. Tarczę 2 do podłoŝa 1 przytwierdzają aŝ cztery pręty, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Moglibyśmy więc usunąć jeden, dowolny z tych prętów, aby układ nadal pozostawał geometrycznie niezmienny. Podobnie, gdy rozpatrujemy tarczę 3. Tarcza ta połączona jest z częścią nieruchomą aŝ pięcioma prętami. śadne trzy z nich nie przecinają się w jednym punkcie, a więc moglibyśmy usunąć dowolne dwa z tych prętów bez szkody na stateczność układu. Nawet w układach pozornie przesztywnionych (jak wskazuje na to warunek konieczny) naleŝy koniecznie sprawdzić warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Nawet cztery i więcej prętów moŝe nie gwarantować sztywności. Zachodzi to w sytuacji, gdy ich kierunki przecinają się w jednym punkcie. MoŜna równieŝ wyobrazić sobie układ złoŝony, którego poszczególne fragmenty stanowią układy wyróŝnionych typów. PoniŜej pokazany jest układ, który jako całość nazywalibyśmy geometrycznie zmiennym, mimo Ŝe poszczególne fragmenty połączone są ze sobą za pomocą dwóch i większej liczby prętów. Rys. 2.3 Tarcza 2 połączona jest z tarcza podporową czterema prętami, a więc te dwie tarcze tworzą układ przesztywniony. Tarcze 3 oraz 4 połączone są ze sobą za pomocą trzech prętów, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie, a więc względem siebie są geometrycznie niezmienne. ZauwaŜmy jednak, Ŝe połączenie tarcz 2 i 3 ze sobą odbiera jedynie dwa stopnie swobody, co nie wystarcza do całkowitego usztywnienia układu. Właśnie połączenie między tarczami 2 i 3 decyduje o tym, ze układ jako całość nazywamy układem geometrycznie zmiennym. www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Dariusz Włochal 8
Zajmijmy się dokładniejszą analizą warunku dostatecznego geometrycznej niezmienności. Warunek ten jest niezwykle istotny, poniewaŝ często to on rozstrzyga czy układ jest geometrycznie zmienny, niezmienny, czy naleŝy do trzeciej grupy: układów chwilowo geometrycznie zmiennych. Przeanalizujmy tarczę połączoną z podłoŝem za pomocą trzech więzów, których kierunki przecinają się w jednym punkcie (rys. 3.1a). Tarcza ta ma moŝliwość wykonania nieskończenie małego obrotu wokół punktu przecięcia się kierunków więzów. Punkt taki nazywali będziemy biegunem (środkiem) chwilowego obrotu. Rys. 3.1a Podobna sytuacja zachodzi na poniŝszym przykładzie (rys. 3.1b). Tutaj równieŝ kierunki więzów (tutaj prętów) przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten w przypadku prętów równoległych znajduje się w nieskończoności. Jest to tak zwany biegun niewłaściwy. Rys. 3.1b RównieŜ tarcza przedstawiona na rys. 3.1c moŝe obrócić się o pewien bardzo mały kąt, co wynika z faktu, Ŝe łuki, zakreślone promieniami BC i AC, mają wspólną styczną, a zatem mają nieskończenie mały wspólny odcinek BB, o który właśnie moŝe przemieścić się punkt C. Na poniŝszym schemacie przedstawiono tą sytuację w znacznym wyolbrzymieniu. Rys. 3.1c www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Dariusz Włochal 9
Typ układów przedstawionych na rysunkach 3.1a i 3.1c określali będziemy mianem układów chwilowo geometrycznie zmiennych (chwilowo, bo kaŝde najmniejsze przemieszczenie spowoduje, Ŝe kierunki więzów nie będą przecinały się w jednym punkcie). W świetle powyŝszych rozwaŝań sformułować moŝna warunek dostateczny geometrycznej niezmienności układu tarcz, łącząc ze sobą warunki dotyczące zarówno liczby jak i kierunków więzów: Układ dwóch tarcz sztywnych jest układem geometrycznie niezmiennym, gdy tarcze składowe połączone są za pomocą trzech więzów, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie (rzeczywistym lub niewłaściwym). Spróbujmy sformułować podobne kryterium dla układów zbudowanych z trzech tarcz połączonych między sobą w sposób przedstawiony na rysunkach 3.2 a-d, gdzie kaŝda tarcza połączona jest z pozostałymi za pomocą dwóch (i tylko dwóch) więzów. Układy tarcz o podanej strukturze noszą nazwę układów trójprzegubowych. Przykłady takich układów przedstawiają poniŝsze rysunki: Rys. 3.2 a Rys. 3.2 b Rys. 3.2 c Rys. 3.2 d Dla kaŝdego układu trójprzegubowego spełniony jest warunek konieczny geometrycznej niezmienności potrojona liczba tarcz (nie licząc tarczy podporowej) równa jest liczbie zastosowanych więzów. Nie kaŝdy jednak układ trójprzegubowy jest układem geometrycznie niezmiennym, tzn. nie dla kaŝdego układu trójprzegubowego spełniony jest warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Na rysunku 3.3a przedstawiony jest jeden z takich układów. Punkt B w tym układzie moŝe doznać nieskończenie małego przemieszczenia w kierunku prostopadłym do linii, na której leŝą przeguby A, B i C, a zatem układ ten jest chwilowo geometrycznie zmienny. www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Dariusz Włochal 10
Rys. 3.3a Wystarczyłoby jednak, aby jeden z przegubów nie leŝał na prostej przechodzącej przez dwa pozostałe przeguby. Układ taki byłby geometrycznie niezmienny. Tak więc sformułujmy warunek dostateczny geometrycznej niezmienności układu trójprzegubowego: Układ trójprzegrzegubowy jest układem geometrycznie niezmiennym, gdy trzy przeguby (rzeczywiste lub fikcyjne przez które rozumiemy punkty przecięcia się więzów nie mających w rzeczywistości punktów wspólnych) łączące tarcze sztywne tego układu ze sobą nie leŝą na jednej prostej. Wszystkie układy trójprzegubowe przedstawione na rysunkach 3.2a-d są układami geometrycznie niezmiennymi. Rysunki 3.3a-f przedstawiają układy trójprzegubowe chwilowo geometrycznie zmienne. Warto zwrócić uwagę, Ŝe o klasyfikacji układu decyduje warunek dostateczny, poniewaŝ w kaŝdym z poniŝszych przypadków warunek konieczny geometrycznej niezmienności jest spełniony. NaleŜy zauwaŝyć, Ŝe w przypadku, gdy jeden z przegubów znajduje się w nieskończoności (rys. 3.3e oraz 3.3f), aby układ był geometrycznie niezmienny dwa pozostałe przeguby nie mogą leŝeć na prostej równoległej do kierunku prętów tworzących ów przegub fikcyjny. Rys. 3.3 b Rys. 3.3c Rys. 3.3d Rys. 3.3e www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Dariusz Włochal 11
Rys. 3.3f Na koniec zajmijmy się układami złoŝonymi: Analizę kinematyczną układu złoŝonego z wielu tarcz rozpoczynamy od sprawdzenia warunku koniecznego, jeśli jest spełniony sprawdzamy warunek dostateczny geometrycznej niezmienności, wyodrębniając z układu złoŝonego fragmenty o budowie opisanej powyŝej, a więc dwie tarcze połączone ze sobą trzema prętami, układy trójprzegubowe, lub ich kombinacje, pamiętając o istotnym warunku niewspóliniowości przegubów układu trójprzegubowego i warunku dostatecznym geometrycznej niezmienności tarcz sztywnych połączonych trzema prętami. Przeanalizujmy dla przykładu poniŝszy układ składający się z 7 tarcz sztywnych i tarczy podporowej. Sprawdźmy najpierw warunek konieczny geometrycznej niezmienności tego układu: U nas: 3 t p t = 7 (liczba tarcz, nie licząc tarczy podporowej) p = 11 1+ 5 2 = 21 (11 prętów odbierających po jednym stopniu swobody kaŝdy, i 5 przegubów, kaŝdy odbierający dwa stopnie swobody) 3 7 21 21 21 Otrzymaliśmy toŝsamość, a więc spełniony jest warunek konieczny. www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Dariusz Włochal 12
Rozpatrzymy na początku połączenie tarczy 1 z tarczą podporową. Tarcze te związane są ze sobą za pomocą trzech więzów jednego przegubu i jednego pręta, przy czym przegub nie leŝy na kierunku pręta. Tarczy 1 więzy odbierają więc trzy stopnie swobody. Tarcze 1 i tarcza podporowa stanowią zatem zespół geometrycznie niezmienny zwany tarczą zastępczą. Po takiej analizie połączenie tarcz: podporowej i tarczy 1 uznajemy za sztywne i tarczę 1 traktujemy wraz z tarczą podporową jako całość. Tarcza 1 moŝe więc stanowić podporę dla innych, dalszych tarcz. Na rysunku zaznaczymy to schematycznie zespalając tarczę 1 z tarczą podporową: Do takiego układu dołączone są tarcze 2 oraz 3, tworzące razem z nim układ trójprzegubowy. KaŜda z tarcz ( 1 i 2 ) połączona jest z tarczą podporową jednym przegubem, a drugim przegubem łączy się z tarczą tworzącą układ. PoniewaŜ przeguby nie leŝą na jednej prostej, to równieŝ układ tarcz: tarcza podporowa (p ), 2 i 3 moŝemy traktować w naszej analizie kinematycznej jako układ geometrycznie niezmienny. Znów schematycznie zaznaczymy to jako powiększenie tarczy podporowej o geometrycznie niezmienny układ trójprzegubowy: Kolejno do tej niezmiennej części przyłączona jest za pomocą trzech prętów tarcza 4. PoniewaŜ kierunki prętów nie przecinają się w jednym punkcie, równieŝ ta tarcza pozostaje niezmienna geometrycznie. www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Dariusz Włochal 13
Idąc dalej zauwaŝamy układ trójprzegubowy. Tworzą go tarcza podporowa i tarcze 5 oraz 6. Przeguby (rzeczywiste i fikcyjne) nie leŝą na jednej prostej, a więc układ ten jest geometrycznie niezmienny. Mamy więc: Pozostała tarcza 7, która połączona jest z tarcza podporową za pomocą trzech prętów, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Tarcza ta jest więc nieruchoma względem tarczy podporowej. Zaznaczmy to schematycznie zespalając i tą tarczę z tarcza podporową. W ten sposób pokazaliśmy, Ŝe cały układ jest geometrycznie niezmienny. Na tym kończymy analizę kinematyczną układu tarcz sztywnych. www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Dariusz Włochal 14
Opracowano na podstawie: Wytrzymałość materiałów zarys teorii, przykłady, zadania. Część I Praca zbiorowa pod redakcją K. Wrzesniowskiego. Wyd. PP, 1985 r. Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych Stefan Piechnik, PWN, Warszawa Kraków, 1978 r. Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych Andrzej Gawęcki, Wyd. PP, 1998 r. Materiałów zamieszczonych na stronie: http://student.uci.agh.edu.pl/ www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Dariusz Włochal 15