Macierzy rzadkie symetryczne

Podobne dokumenty
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Analiza matematyczna i algebra liniowa

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 2 Działania na ułamkach, krotki i rekordy

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Metody uporządkowania

Rys Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych jednakowo dokładnych C. KRAKOWIANY

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia

2. Tensometria mechaniczna

Metoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).

Regionalne Koło Matematyczne

Metody uporządkowania

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

1Coulomb 1Volt. Rys. 1. Schemat kondensatora płaskiego. Jednostką pojemności w układzie SI, jest Farad (F):

Trapez. w trapezie przynamniej jedna para boków jest równoległa δ γ a, b podstawy trapezu. c h d c, d - ramiona trapezu α β h wysokość trapezu

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

5. Zadania tekstowe.

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Grafy hamiltonowskie, problem komiwojażera algorytm optymalny

Metoda prądów obwodowych

Translacja jako operacja symetrii. Wybór komórki elementarnej wg A. Bravais, połowa XIX wieku wybieramy komórkę. Symetria sieci translacyjnej

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

SZTUCZNA INTELIGENCJA

Tensor liniowa jednorodna funkcja: wektor wektor b=f(a) a ( ˆ) [ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) ˆ. Równanie b=f(a) można więc zapisać w postaci

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki



Zbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

Zagadnienie brachistochrony jako przyk lad zastosowania rachunku wariacyjnego

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

Modelowanie zagadnień technicznych SKRYPT. Siergiej Fialko

4.3. Przekształcenia automatów skończonych

RBD Relacyjne Bazy Danych

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

wersja podstawowa (gradient)

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Badanie regularności w słowach

= (10.1) gdzie: σ - odchylenie standardowe m - wartość średnia (10.2) (10.3) gdzie: p i prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku x i

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Matematyczne Podstawy Informatyki

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

1 Macierze i wyznaczniki

Zaawansowane metody numeryczne

Rachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

MATHCAD Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

Pierwiastek z liczby zespolonej

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych

Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

1 Ułamki zwykłe i dziesiętne

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Wykład 1. Wprowadzenie do teorii grafów

WSTĘP DO INFORMATYKI

PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ ALGEBRA MACIERZY

4. RACHUNEK WEKTOROWY

Algebra liniowa z geometrią

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =

DARIUSZ KULMA. Jak zdać maturę. z matematyki. na poziomie rozszerzonym DLA BYSTRZAKÓW I NIE TYLKO! WYDAWNICTWO ELITMAT Mińsk Mazowiecki 2013

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8].

Instrukcje dla zawodników

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Co można zrobić za pomocą maszyny Turinga? Wszystko! Maszyna Turinga potrafi rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny!

1 Definicja całki oznaczonej

Bardzo krótki wstęp do elektroniki cyfrowej

- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

Programowanie liniowe

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

Transkrypt:

Mcierzy rzkie symetryczne Istnieje wielu problemów technicznych i nukowych, w których zstosownie formlizcji mtemtycznej oprowzi o ziłń n mcierzmi rzkimi symetrycznymi. To są zni mechniki, hyromechniki, elektromgnetyzmu, fizyki jąr tomowego, moelownie różnych systemów ekologicznych,. Zwykłe w tkich znich powstją mcierzy rzkie o użym rozmirze setki tysiące i miliony równń. Rzkimi nzywmy tkie mcierzy, wielu elementów których są równe o zer. Dziłni n tkimi mcierzmi wymgją oprcowni specjlnych struktur nych, które nją możliwość obejść opercji n elementmi zerowymi. Nje to możliwość istotnie ponieść wyjność obliczeń i zmniejszyć zpotrzebownie n pmięć główną. Postwowe ziłni n mcierzmi rzkimi: o mnożenie mcierzy przez wektor o fktoryzcje mcierzy o proste i wsteczne postwieni Obliczeni wysokiej wyjności w8

Obliczeni wysokiej wyjności w8 Typowymi przykłmi, w których powstją mcierzy rzkie - to są przykły z mechniki konstrukcji

Rozwżymy przykł moelu obliczeniowego rmy płskiej. Moel się skł z prętów i węzłów. N rysunku są pone numery węzłów, które użytkownik wprowzi w sposób losowy Stą wynik, że l tego smego moelu obliczeniowego możliwe w różne sposoby przenumerowć węzły. Jk wić z portretów mcierzy, przestwionych po kżym schemtem obliczeniowym, położenie elementów nie zerowych w mcierzy zleży o sposobu numercji. Portretem mcierzy bęziemy nzywli schemt położeń elementów niezerowych, który oznczymy jko. Elementy n głównej igonli zwykłe są różne o zer (zerowe elementy n głównej igonli njczęściej są skutkmi błęów moelu obliczeniowego). Dl ułtwieni pobrni numeru wiersz lub kolumny mcierzy elementy n głównej igonli oznczmy,,, N. Bęziemy uwżli, że kży węzeł zwier tylko jene równnie. To pozwoli nm wprowzić uproszczenie w rozwżnie mteriłu bez utrty generlności. Jeśli kży węzeł zwier n równń, to kży element mcierzy nleży potrktowć jko blok mcierzowy gęst pomcierz - o rozmirze nn trzeb zstąpić kży element opowienim blokiem, co nie zmieni rozwżni generlnego i wniosków osttecznych. Obliczeni wysokiej wyjności w8

Struktur rzk l kżej mcierzy wynik z tego, że kży element mcierzy o ineksch ij powstje przy łączeniu prętem (elementem skończonym) węzłów i, j. Jeśli topologi konstrukcji jest tk, że węzły k, m nie są łączone żnym elementem skończonym, to element mcierzy o ineksch k,m bęzie zerowym. Portret mcierzy istotnie zleży o sposobu numercji węzłów, i l mcierzy symetrycznej jej struktur (portret) może być przestwion grfem nieskierownym G(X, E), gzie X zbiór wierzchołków, E zbiór krwęzi grfu. W tym grfu wierzchołki reprezentują węzły moelu obliczeniowego, krwęzi pręty (elementy skończone). Dl mcierzy rzkiej kolumny lbo wierszy (numery równń) są przestwione wierzchołkmi grfu, elementy niezerowe krwęzimi grfu. Przejście o jenego ukłu numercji węzłów o rugiego możn przestwić jko proceur renumercji. N przykł, bęziemy uwżli, że pierwszy ukł numercji (przykł) jest początkowym. Wtey rugi ukł możn przestwić jko nową numercje (kolor czerwony n rugim grfie), i mcierz w nowym ukłzie jest tworzon tk: n pierwszym miejscu stoi wierzchołek, n rugim wierzchołek, trzecim,. Obliczeni wysokiej wyjności w8

Obliczeni wysokiej wyjności w8

Przejście o jenego ukłu numercji o rugiego możn przestwić w postci mtemtycznej przez tblice permutcyjną (permuttion rry): ol_number = Perm[new_number] Dl przykłu ponego: Perm = ( ) ol_number = Perm[new_number] new_number Przetworzenie mcierzy ukłu równń liniowych lgebricznych przy zminie numercji niewiomych nzyw się permutcjmi. Opertorem tego przetworzeni jest mcierz permutcji P kwrtow mcierz o rozmirze NN (N ilość równń), kż kolumn i kży wiersz której zwierją tylko jeną jeynkę, reszt elementów są zer, P T P = I, B = P T A P, gzie A mcierz o ponej numercji, B mcierz o nowej numercji, P mcierz permutcji. Obliczeni wysokiej wyjności w8

7 Obliczeni wysokiej wyjności w8 A := P := B P T A P := B = P T P = Pony przykł:

Nzywmy w węzły (wierzchołki) grf sąsienimi, jeśli {, y} E Jeśli Aj Y X ( Y) = X Y{, y}, to sąsieni (przyległy) zbiór l Y jest { E l owoln ego y Y} Przykł: y = Aj {,} Y X ( Y ) = = {,} X Y {, y} { E} Obliczeni wysokiej wyjności w8 8

Struktur przyległości grfu to jest list wierzchołków przyległych l kżego wierzchołk grf:,,,,,, Pozycj 7 8 9 List wierzchołków Wskźnik pozycji 7 9 Numer wierzchołku Drog o wierzchołku o wierzchołku y ługością L jest zbiór uporząkowny z L+ różnych wierzchołków (,,..., L+ ), Aj( ), i+ i i L Obliczeni wysokiej wyjności w8 9

Oległością (,y) pomięzy wom wierzchołkmi grfu spójnego G = ( X, E) jest ługość njkrótszej rogi, któr łączy te wierzchołki. Grf spójny to tki grf, l którego kż pr wierzchołków jest łączoną przynjmniej jeną rog Grf spójny Grf nie spójny; skł się z wóch skłowych, kż z których jest grfem spójnym Obliczeni wysokiej wyjności w8

Mimośró wierzchołku : l( ) = m{ (, y) y X } Trzeb onleźć tki wierzchołek y grf, że oległość (, y) l ponego wierzchołku bęzie njwiększą. Śrenic grfu - { l( ) X} = m{ (, y) y X} δ ( G) = m, Trzeb onleźć tki wierzchołek grf, który m njwiększy mimośró l(). Wierzchołek (węzeł) peryferyjny to tki wierzchołek, mimośró którego jest równy śrenicę grf l( ) = δ ( G) Obliczeni wysokiej wyjności w8

Struktur poziomów grf z korzeniem w węźle pseuo peryferyjnym: Obliczeni wysokiej wyjności w8

Dl mcierzy rzkich ilość elementów niezerowych po fktoryzcji istotnie zleży o sposobu uporząkowni równń: Zpełnienie - (fill in) niezerowy element mcierzy sfktoryzownej, który powstje n pozycji zerowego elementu mcierzy źrółowej Obliczeni wysokiej wyjności w8

I. Reorering methos 99 noes, 9 finite elements n equtions Obliczeni wysokiej wyjności w8

No reorering -7Mb RCM -8Mb Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко Obliczeni wysokiej wyjności w8

Slon -8Mb PSM+MMD -Mb Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко Obliczeni wysokiej wyjności w8

ND -Mb QMD, MMD 9(9)Mb Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко Obliczeni wysokiej wyjności w8 7

Multilevel Reorering 9 Mb Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко Obliczeni wysokiej wyjności w8 8

Reorering Metho Nonzero entries in fctorize mtri Size of fctorize mtri, Мb No reorering 9 7 7 RCM 8 Slon 8 7 8 PSM+MMD 8 8 ND 8 7 QMD 7 777 9 MMD 7 9 Multilevel Reorering 8 9 Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко Obliczeni wysokiej wyjności w8 9

Sposoby przechowywni mcierzy rzkich Chocz mcierzy gęste nie są mcierzmi rzkimi, zczniemy o sposobów przechowywni mcierzy gęstych. Mcierz gęst niesymetryczn 9 7 8 7 8 9 Wiersz po wiersze Kolumn po kolumnie Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко Obliczeni wysokiej wyjności w8

Obliczeni wysokiej wyjności w8 Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко. Mcierz gęst symetryczn olny trójkąt 9 8 7 Wiersz po wiersze 9 7 8 Kolumn po kolumnie

Obliczeni wysokiej wyjności w8 Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко. Sposób profilowy oln część, wiersz po wiersze 9 98 97 8 87 8 7 7 7 9 8 7 9 8 7 Struktur mcierzy pos 7 8 9 Spce[i] 7 7 8 87 97 98 Pos[i] 7 9 Dig[i] 7 8 9 i 7 8 9 Dostęp o elementów mcierzy: [ij] przy i > j pos = Pos[i+] - (i-j); przy j > i pobrć [ji] = [ij]

Obliczeni wysokiej wyjności w8 Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко. Sposób profilowy oln część, kolumn po kolumnie 9 98 97 8 87 8 7 7 7 Struktur mcierzy pos 7 8 9 Spce[i] 7 7 8 87 97 98 Pos[i] 9 Dig[i] 7 8 9 i 7 8 9 9 8 7 8 9 7

Obliczeni wysokiej wyjności w8 Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко. Mcierzy rzkie oln część, wiersz po wiersze Struktur mcierzy źrółowej (l mnożeni przez wektor) pos 7 jn[i] Spce[i] Pos[i] 7 Dig[i] i Dostęp o elementów mcierzy: l nego i pos=pos[i],,pos[i+]-, j = jn[pos]; [ij] = Spce[pos]; (j < i)

. Mcierzy rzkie oln część, kolumn po kolumnie Struktur mcierzy źrółowej (l mnożeni przez wektor) pos 7 in[i] Spce[i] Pos[i] 7 7 Dig[i] j Dostęp o elementów mcierzy: l nego j pos=pos[j],,pos[j+]-, i = in[pos]; [ij] = Spce[pos]; (i > j) Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко Obliczeni wysokiej wyjności w8

Obliczeni wysokiej wyjności w8 Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко 7. Mcierzy rzkie oln część, kolumn po kolumnie, mcierz sfktoryzown, zpełnienie Struktur mcierzy sfktoryzownej pos 7 8 in[i] Spce[i] Pos[i] 7 8 8 Dig[i] j ~ 7