Sprawozdanie z zad. nr 4 Wahadło Matematyczne z Fizyki Komputerowej Szymon Wawrzyniak / Artur Angiel / Gr. 5 / Poniedziałek 12:15 =============================================== ========================= Zadanie Sztywne wahadło o długości l i masie m może się wahać bez ograniczeń amplitudy. Współczynnik tłumienia wynosi α. Przeanalizować ruch wahadła w sytuacji drgań swobodnych (z wychyleniem początkowym φ(0)=φ 0 i prędkość ω 0 ) oraz w obecności harmonicznej siły wymuszającej. Wykonać wykres fazowy, wykres zależności położenia i prędkości od czasu a także przeanalizować zmiany energii w układzie. Równanie ruchu wahadła:
Wykresy dla ruchu bez tłumienia oraz bez obecności harmonicznej siły wymuszającej: Dane dla poniższych wykresów: Φ 0 = 10 o m = 5 l = 10 α = 0 ω w = 1 F 0 = 0 Na poniższych wykresach wyraźnie widzimy, że układ wahadła porusza się bez żadnych oporów oraz bez żadnych wymuszeń. Wykresy zależności położenia oraz prędkości od czasu są idealnymi sinusoidami, przesuniętymi względem siebie w fazie o połowę okresu, co świadczy o tym, co zostało napisane powyżej. Wykres fazowy jest okręgiem, co dodatkowo potwierdza powyższe obserwacje. Tak samo zachowują się wykresy zmian energii. Również są przesunięte względem siebie w fazie o połowę okresu, a suma ich energii jest stała w każdym momencie czasu.
Wykresy dla ruchu bez harmonicznej siły wymuszającej Dane dla poniższych wykresów: Φ 0 = 10 o m = 5 l = 10 α = 0,4 ω w = 1 F 0 = 0 Na poniższych wykresach widzimy wyraźnie, że ruch wahadła matematycznego jest tłumiony i z każdym okresem jego amplituda stopniowo się zmniejsza. Zmiana wychylenia w czasie jest łagodna. Wykres zależności prędkości od czasu wygląda bardzo podobnie do wykresu wychylenia w czasie, lecz jest on przesunięty w fazie o pół okresu względem wykresu położenia. Ponieważ wahadło waha się w dwie strony, więc zwrot wektora prędkości ulega zmianie tak samo jak wektora położenia. Tak samo jak w poprzednim przypadku amplituda łagodnie się zmniejsza wraz z upływem czasu. Można stąd łatwo wywnioskować, że po upływie określonego czasu wahadło po prostu się zatrzyma. Wykres fazowy jest spiralą stopniowo zbliżającą się do początku układu współrzędnych, co oznacza, że prędkość i wychylenie zbliżają się do zera, co wiąże się z zatrzymaniem wahadła. Energie kinetyczna i potencjalna również zmieniają się okresowo, tak samo są przesunięte w stosunku do siebie w fazie o połowę okresu oraz zmniejszają się wraz z upływem czasu. Suma tych energii zmniejsza się w czasie wykładniczo. Niestety dyskretyzacja liczb deformuje wykres sumy energii kinetycznej i potencjalnej.
Wykresy dla ruchu z obecnością harmonicznej siły wymuszającej: Dane dla poniższych wykresów: Φ 0 = 10 o m = 5 l = 10 α = 0,4 ω w = 1 F 0 = 0,5 Powyższe dane różnią się od danych dla drgań swobodnych tylko i wyłącznie wartością F 0, która odpowiada za wymuszenie drgań. Przedstawione wykresy ukazują ruch wahadła po upływie 30s. Początkowo wykres położenia od czasu zachowuje się jak w pierwszym przypadku, czyli amplituda się zmniejsza, ale już po upływie 20s występuje rezonans spowodowany wymuszeniem drgań. Zwroty wahadła oraz siły wymuszającej nie są w tym momencie sobie zgodne, więc wychylenie gwałtownie słabnie po to, aby następnie stopniowo zwiększać swoją wartość wraz z upływem czasu. Podobnie zachowuje się wykres zależności prędkości od czasu, z tym że również jest przesunięty o połowę okresu w stosunku do wykresu prędkości od czasu. Wektory prędkości i siły wymuszającej znów mają w pewnym momencie przeciwne zwroty, więc prędkość gwałtownie spada, aby później stopniowo rosnąć. Wzrost tej prędkości, podobnie jak wyżej wychylenia, spowodowany jest przez siłę wymuszającą. Wykres fazowy przypomina spiralę, do tego lekko chaotyczną, ale od spirali różni go to, że początkowo dąży do początku układu współrzędnych, ale jak zauważono powyżej, siła wymuszająca zaburza jej przebieg i spirala zaczyna biec do zewnątrz i bardzo prawdopodobne, że w pewnym momencie znalazłaby się ona w punkcie początkowym, a następnie rozszerzałaby się jeszcze bardziej. Wykresy energii kinetycznej i potencjalnej są, tak samo jak we wszystkich przypadkach, przesunięte względem siebie w fazie o połowę okresu. Siła wymuszająca wraz z upływem czasu powoduje stopniowe zwiększanie amplitud tych wykresów. Suma energii rośnie logarytmicznie i jakby opiera się na wierzchołkach wykresów tych energii. Niestety dyskretyzacja wartości deformuje wykres sum energii.
Wykresy dla ruchu chaotycznego: Dane dla poniższych wykresów: Φ 0 = 10 o m = 5 l = 10 α = 15 ω w = 1 F 0 = 60 Poniższe wykresy przedstawiają sytuację kiedy ruch tego wahadła jest chaotyczny. Pierwsza ich seria przedstawia ruch przez pierwsze 10s, a druga seria, w czasie 100s. Na wykresach położenia od czasu widać wyraźne zniekształcenia sinusoidy, co jednoznacznie świadczy o chaosie, który wdarł się do ruchu wahadła. Wyraźnie widać to na wykresach prędkości od czasu, gdzie zaburzenia tej sinusoidy są o wiele bardziej widocznie. W tych przypadkach nie możemy mówić o tym, że wykresy te są przesunięte w względem siebie w fazie, ponieważ nie są one okresowe, na co wskazują wykresy fazowe ruchów tego wahadła. Zwiększając czas, w którym wahadło się porusza, wykres fazowy robi się coraz bardziej pogmatwany i aktualny punkt położenia i prędkości, nigdy nie znajdzie się w tym samym miejscu co punkt początkowy, co ewidentnie mówi nam o chaotycznym ruchu tego wahadła. Wykresy zmian energii w ogóle nie posiadają porządku tak jak to było w poprzednich przypadkach, co dodatkowo potwierdza to, co zostało zauważone powyżej.
Wnioski: Na powyższych wykresach widać wyraźnie, że prędkości i wychylenia mają niemalże identyczny charakter. Różnią się jedynie tym, że są w stosunku do siebie przesunięte w fazie o połowę okresu. Różnią się też oczywiście wymiarem. Wykresy fazowe przypominają spirale, a to czy aktualnie ta spirala się powiększa czy pomniejsza, związane jest z tym, czy amplitudy na poprzednich dwóch wykresach odpowiednio się zwiększają czy zmniejszają. To samo dzieje się z wykresami energii. Powyższe wnioski nie dotyczą oczywiście sytuacji, w której ruch jest chaotyczny, ponieważ wtedy nie możemy mówić o okresowości takiego ruchu, czy charakterze sum energii. Wykres fazowy takiego ruchu wraz ze zwiększaniem czasu, w którym obserwujemy ruch wahadła, będzie coraz bardziej chaotyczny, co nie pozostawia żadnych wątpliwości co do chaotyczności takiego ruchu. Wyniki działania programu są zatem zgodne z naszymi oczekiwaniami, ogólnie przyjętymi prawami fizyki, które zostały na przestrzeni dziejów oczywiście udowodnione, oraz z zasadami logiki jak i intuicją.