WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

Podobne dokumenty
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

Transmitancje układów ciągłych

Laboratorium nr 3. Projektowanie układów automatyki z wykorzystaniem Matlaba i Simulinka

Informatyczne Systemy Sterowania

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA

Podstawy środowiska Matlab

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania

Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji

Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Badanie stabilności liniowych układów sterowania

Projektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów

ELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

Automatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy

Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

Stabilność. Krzysztof Patan

Podstawowe człony dynamiczne

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:

PODSTAWY AUTOMATYKI. Analiza w dziedzinie czasu i częstotliwości dla elementarnych obiektów automatyki.

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Ćwiczenie 3. Transformata Z; blokowe struktury opisujące filtr

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ. Podstawowe wzory. Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat. Transmitancja układu zamkniętego

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

PAiTM. materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż.

Technika regulacji automatycznej

Automatyka i robotyka

Celem dwiczenia jest poznanie budowy i właściwości czwórników liniowych, a mianowicie : układu różniczkującego i całkującego.

Automatyka i Regulacja Automatyczna Laboratorium Zagadnienia Seria II

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności

Podstawy Automatyki. wykład 1 ( ) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Opis matematyczny. Równanie modulatora. Charakterystyka statyczna. Po wprowadzeniu niewielkich odchyłek od ustalonego punktu pracy. dla 0 v c.

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.

Laboratorium z automatyki

Podstawy Automatyki. Wykład 7 - obiekty regulacji. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

1. Transformata Laplace a przypomnienie

1. Opis teoretyczny regulatora i obiektu z opóźnieniem.

PODSTAWY ELEKTRONIKI I TECHNIKI CYFROWEJ

Laboratorium z podstaw automatyki

Inżynieria Systemów Dynamicznych (5)

4. Właściwości eksploatacyjne układów regulacji Wprowadzenie. Hs () Ys () Ws () Es () Go () s. Vs ()

Laboratorium z podstaw automatyki

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

Modelowanie Systemów Dynamicznych Studia zaoczne, Automatyka i Robotyka, rok II. Podstawy SIMULINKA

REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ. T I - czas zdwojenia (całkowania) T D - czas wyprzedzenia (różniczkowania) K p współczynnik wzmocnienia

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Podstawy MATLABA, cd.

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - instrukcje i funkcje zewnętrzne. Grafika w Matlabie. Wprowadzenie do biblioteki Control System Toolbox.

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

PODSTAWOWE CZŁONY DYNAMICZNE

Podstawy Automatyki. Wykład 4 - algebra schematów blokowych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Funkcja liniowa - podsumowanie

Część 1. Transmitancje i stabilność

Języki Modelowania i Symulacji 2018 Podstawy Automatyki Wykład 4

Podstawy Automatyki. Wykład 4 - algebra schematów blokowych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Systemy. Krzysztof Patan

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

Lista 3 Funkcje. Środkowa częśd podanej funkcji, to funkcja stała. Jej wykresem będzie poziomy odcinek na wysokości 4.

1. Regulatory ciągłe liniowe.

Macierz A nazywamy macierzą systemu, a B macierzą wejścia.

układu otwartego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Sformułowane przez Nyquista kryterium stabilności przedstawia się następująco:

Podstawy Automatyki. Wykład 6 - Miejsce i rola regulatora w układzie regulacji. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

ĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności

Sterowaniem nazywamy celowe oddziaływanie na przebieg procesów. Można wyróżnid ręczne oraz automatyczne.

Sterowanie napędów maszyn i robotów

Dynamika układów podstawy analizy i symulacji. IV. Układy wielowymiarowe (MIMO)

analogowego regulatora PID doboru jego nastaw i przetransformowanie go na cyfrowy regulator PID, postępując według następujących podpunktów:

Procedura modelowania matematycznego

A-2. Filtry bierne. wersja

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

Podstawy Automatyki. Wykład 4 - algebra schematów blokowych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Dobór parametrów regulatora - symulacja komputerowa. Najprostszy układ automatycznej regulacji można przedstawić za pomocą

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

POWTÓRKA ROZDZIAŁU III FUNKCJA LINIOWA

Ćwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Ćwiczenie 3 Badanie własności podstawowych liniowych członów automatyki opartych na biernych elementach elektrycznych

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a

Ogólny schemat blokowy układu ze sprzężeniem zwrotnym

Transkrypt:

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 2. REPREZENTACJA UKŁADÓW LTI W MATLABIE W Matlabie istnieją trzy podstawowe sposoby reprezentacji układów LTI (ang. Linear Time-Invariant): za pomocą transmitancji (ang. transfer function), za pomocą zer, biegunów i wzmocnienia układu (ang. zero/pole/gain) w przestrzeni stanów (ang. state space) Na dwiczeniach należy wykonad w Matlabie wszystkie poniższe przykłady obrazujące zastosowanie różnych metod reprezentacji i konwersji liniowych układów dynamicznych. 1. Transmitancja Dla obiektu o postaci: Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia) to stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego U(s) przy zerowych warunkach początkowych: Transmitancja w postaci wielomianowej jest dana wzorem: Przykładowo, prosty model zawieszenia samochodowego można przedstawid za pomocą układu inercyjnego II rzędu. Taki model składa się z masy osadzonej na sprężynie i tłumiku. Pod wpływem

siły zewnętrznej masa może się przemieszczad w osi pionowej. Schemat układu przedstawia poniższy rysunek. Układ można opisad równaniem różniczkowym II rzędu: Aby policzyd transmitancję, obie strony równania należy poddad transformacie Laplace'a (zakładamy zerowe warunki początkowe): Po uporządkowaniu: Zakładając, że F(s) jest wejściem, a X(s) wyjściem układu, transmitancja jest dana wzorem: Przyjmij następujące parametry układu: M = 1000; F = 1000; α = 500; c = 400; Aby zapisad tą transmitancję w Matlabie należy podad współczynniki licznika i mianownika, zaczynając od najwyższej potęgi s: licz = [0 0 1]; mian = [1000 500 400]; Licznik i mianownik transmitancji w pełni charakteryzują obiekt, można ich używad jako argumenty np. funkcji step (odpowiedź skokowa) i impulse (odpowiedź impulsowa):

step(licz,mian); impulse(licz,mian); Innym sposobem jest zastosowanie funkcji tf: obiekt = tf(licz,mian) gdzie obiekt jest strukturą przechowującą wszystkie informacje o obiekcie. Aby wyświetlid pola tej struktury należy zastosowad polecenie get(obiekt). obiekt można stosowad podobnie jak licznik i mianownik transmitancji, np: step(obiekt); impulse(obiekt); W wersji sfaktoryzowanej transmitancję można wyrazid jako: gdzie: z1...zn zera, p1...pm bieguny, k wzmocnienie. W celu znalezienia zer (pierwiastków licznika transmitancji), biegunów (pierwiastków mianownika transmitancji) oraz wzmocnienia układu, można zastosowad funkcję tf2zp (ang. transfer function to zero-pole) konwersji transmitancji do reprezentacji zera/bieguny/wzmocnienie: [z, p, k] = tf2zp(licz, mian); Wektor z zawiera zera układu, wektor p bieguny, k wzmocnienie. Zera i bieguny można przedstawid graficznie na płaszczyźnie zespolonej za pomocą funkcji pzmap: pzmap(p,z); albo: pzmap(licz,mian); albo: pzmap(obiekt); 1.1. Współczynnik tłumienia Transmitancję można przedstawid w postaci standardowej (wyraz wolny mianownika jest jedynką): Porównując ten wzór ze wzorem transmitancji dla układu inercyjnego II rzędu w postaci standardowej:

gdzie: K wzmocnienie, T stała czasowa, ξ - współczynnik tłumienia można wyliczyd, że w naszym przypadku: Współczynnik tłumienia ξokreśla charakter układu: dla ξ < 1 układ jest oscylacyjny dla ξ 1 układ jest tłumiony Zadanie 1 a) Odpowiedz na pytania: - czy bieguny są rzeczywiste? - czy układ jest stabilny? - czy układ jest nieminimalnofazowy? (czyli czy posiada zera w prawej półpłaszczyźnie s) b) Za pomocą funkcji tf2zp oblicz zera, bieguny i wzmocnienie transmitancji i przedstaw ją w postaci sfaktoryzowanej. c) Dobierz tak parametry układu aby zaobserwowad odpowiedzi układu na skok jednostkowy w przypadku oscylacyjnym i tłumionym. 2. Zera, bieguny, wzmocnienie Dany jest układ o transmitancji: Jak widad jest jedno zero z = 1/3 oraz trzy bieguny p1 = 0, p2 = 1, p3 = 3. Wzmocnienie wynosi k = 3. Licznik i mianownik transmitancji w postaci wielomianowej łatwo jest znaleźd stosując funkcję zp2tf (ang. zero-pole to transfer function) konwersji reprezentacji zera/bieguny/wzmocnienie do transmitancji: [licz,mian] = zp2tf(z, p, k); czyli: [licz,mian] = zp2tf(-1/3,[0-1 -3],3);

Aby wyświetlid transmitancję należy wpisad: printsys(licz, mian); Innym sposobem jest zastosowanie funkcji zpk: obiekt = zpk(-1/3,[0-1 -3],3) Zadanie 2. Za pomocą funkcji zpk zapisz poniższą transmitancję: Uwaga: przed użyciem funkcji zpk transmitancję należy przekształcid tak, aby współczynnikiem przy każdym s była jedynka. 3. Przestrzeo stanów Obiekt w tzw. przestrzeni stanów jest opisany za pomocą układu równao: { gdzie u jest wejściem, y wyjściem, x stanem układu. Współrzędne stanu wybiera się zazwyczaj jako wyjścia z integratorów (bloków całkujących). W naszym przypadku (modelu zawieszenia) możemy wybrad jako zmienne stanu przemieszczenie x oraz prędkośd dx/dt:, Wobec tego, pochodne zmiennych stanu wynoszą: zmienne stanu { co można zapisad w postaci macierzowej dla równania stanu: [ ] [ ] * + [ ]

i dla równania wyjścia: [ ] * + Macierze A, B, C, D wynoszą więc: [ ] [ ] [ ] Aby zamienid reprezentację zera/bieguny/wzmocnienie lub transmitancję na reprezentację w przestrzeni stanów, należy zastosowad funkcję: [A,B,C,D] = zp2ss(z,p,k) % zero-pole to state space lub: [A,B,C,D] = tf2ss(licz,mian) % transfer function to state space Macierze A,B,C,D w pełni charakteryzują obiekt, można ich używad jako argumenty np. funkcji step i impulse: step(a,b,c,d); impulse(a,b,c,d); Aby obliczyd wzmocnienie w stanie ustalonym można zastosowad funkcję dcgain: k = dcgain(a,b,c,d); Zadanie 3. Dokonaj konwersji transmitancji modelu zawieszenia do przestrzeni stanów obiema metodami tj. za pomocą funkcji zp2ss oraz tf2ss i porównaj wyniki (czy macierze A,B,C,D są takie same? Czy odpowiedzi skokowe są takie same?). 4. Dokładnośd obliczeo Funkcje MATLABa dają zazwyczaj wiarygodne wyniki. Należy jednak uważad w przypadku obliczeo zer i biegunów wielokrotnych oraz w przypadku układów wysokiego rzędu. Mogą pojawid się wtedy błędy numeryczne. Jako przykład weźmy układ bez zer i z 10 biegunami wielokrotnymi w s = -1, oraz ze wzmocnieniem k = 1: z = []; p = [-1-1 -1-1 -1-1 -1-1 -1-1]; k = 1; przejdź do transmitancji: [licz, mian] = zp2tf(z, p, k); przejdź z powrotem do reprezentacji z/p/k:

[z1, p1, k1] = tf2zp(licz, mian); Obliczony wektor biegunów p1 powinien byd taki sam jak wektor zadany p, ale nie jest. Jaka jest różnica? 5. Wpływ zer i biegunów na kształt odpowiedzi skokowej Ten przykład pokazuje wpływ położenia biegunów układu II rzędu na jego odpowiedź skokową. Poniższy kod generuje trójwymiarowy wykres 12 odpowiedzi skokowych dla układu z biegunami położonymi w s = -n/4 ±3i gdzie n zmienia się od 1 do 12. t=0:0.05:5; dl=length(t); LiczbaWykresow=12; y=zeros(dl,liczbawykresow); n=1; while(n<=liczbawykresow) [licz,mian]=zp2tf([],[-n/4+3*i -n/4-3*i], (n/4)^2+9); [y(1:dl,n),x,tt]=step(licz,mian,t); n=n+1; end mesh(t,1:12,y'); Częśd urojona biegunów jest stałą i wynosi ±3i, natomiast częśd rzeczywista zmienia się od 0.25 do 3 z krokiem 0.25. Ostatni argument funkcji zp2tf (wzmocnienie) zapewnia normalizację stanu ustalonego do 1 dla wszystkich odpowiedzi (dlaczego?). Jak widad na rysunku, w miarę jak bieguny przesuwają się w lewo, układ staje się coraz mniej oscylacyjny (wzrasta współczynnik tłumienia) i układ staje się wolniejszy (wzrasta czas narastania). 6. Łączenie modeli 6.1. Łączenie szeregowe Dwa obiekty sys1 i sys2, połączone szeregowo, można połączyd w jeden obiekt sys za pomocą funkcji series: sys = series(sys1,sys2) Transmitancja obiektu sys jest nazywana transmitancją zastępczą dla całego układu.

6.2. Łączenie równoległe Dwa obiekty sys1 i sys2, połączone równolegle, można połączyd w jeden obiekt sys za pomocą funkcji parallel: sys = parallel(sys1,sys2) 6.3. Sprzężenie zwrotne Dwa obiekty sys1 i sys2, połączone za pomocą ujemnego sprzężenia zwrotnego, można sprowadzid do jednego obiektu sys za pomocą funkcji feedback: sys = feedback(sys1,sys2) W przypadku dodatniego sprzężenia zwrotnego należy zastosowad: sys = feedback(sys1,sys2,+1) Zadanie 6. Oblicz transmitancję zastępczą Gsys dla połączenia szeregowego, równoległego i ujemnego sprzężenia zwrotnego, zakładając, że transmitancje obiektów sys1 i sys2 są dane jako: 7. Sprawozdanie W sprawozdaniu przedstaw krótko podstawowe sposoby reprezentacji układów LTI w Matlabie. Podaj rozwiązania wszystkich zadao wraz z wynikami i kodem źródłowym.