ZASTOSOWANIA EKONOMETRII Budowa, esmacja, werfikacja i inerpreacja modelu ekonomercznego. dr Doroa Ciołek Kaedra Ekonomerii Wdział Zarządzania UG hp://wzr.pl/~dciolek doroa.ciolek@ug.edu.pl
Lieraura Osińska M. (red.) (007), Ekonomeria współczesna, TNOiK, Toruń. Srzała, K., T. Przechlewski (006), Ekonomeria inaczej, wd. III, Wdawnicwo Uniwerseu Gdańskiego, Sopo. G.S Maddala (006), Ekonomeria, PWN, Warszawa. Kukuła, K. (red.) (009), Wprowadzenie do ekonomerii w przkładach i zadaniach, PWN, Warszawa. Greene, W.H. (008), Economeric analsis, Macmillan, New York. J.M.Wooldridge (009), Inroducor Economerics. A modern approach.
I Model ekonomerczn Model ekonomerczn - jes podsawowm narzędziem w ekonomerii, służącm do analiz zależności zachodzącch międz różnmi zjawiskami. Model - jes uproszczonm odwzorowaniem rzeczwisości, uproszczoną reprezenacją realnego obieku, realnej suacji lub realnego procesu. - uwzględnia lko isone cech, najważniejsze z punku widzenia określonego celu. - nie jes dokładną reprezenacją rzeczwisości. (Pawłowski 978): Model ekonomerczn jes o konsrukcja formalna, kóra za pomocą jednego równania lub układu równań przedsawia zasadnicze powiązania wsępujące pomiędz rozparwanmi zjawiskami ekonomicznmi.
Ogólna posać modelu: zmienna objaśniana w modelu endogeniczna, zmienne objaśniające, wjaśniają kszałowanie się zmiennej endogenicznej, - składnik zakłócając, f (, ) f( ) - oznacza posać analiczną funkcjnej zależności miedz zmienną endogeniczną i zmiennmi objaśniającmi. Zmienne objaśniające (w modelach jednorównaniowch): - zmienne egzogeniczne, - zmienne endogeniczne opóźnione w czasie.
Przkład modeli o konkrenej posaci analicznej: Model liniow regresja prosa: 0 Model liniow regresja wieloraka: 0 i - są o nieznane, sałe w czasie paramer srukuralne. - paramer srukuraln wrazu wolnego, - paramer srukuralne prz zmiennch - odzwierciedlają siłę i kierunek wpłwu zmiennej objaśniającej na zmienną endogeniczną, i=,,,k. k liczba zmiennch objaśniającch w modelu.... 0 k k
Klasfikacja zmiennch w modelu: Zmienne egzogeniczne ) ) Zmienne endogeniczne ) ) d s c 3 0 d c c 0 d s c 3 0 d c c 0
Składnik zakłócając - losow Przczn uwzględniania składnika losowego w modelu: - pominięcie niekórch cznników objaśniającch (niekóre cznniki są nierozpoznane przez eorię, inne są niemierzalne), - wbór niewłaściwej posaci analicznej funkcji; posać analiczna modelu zwkle nie jes dokładnie określona przez eorię ekonomii, - błęd w pomiarze zmiennch ekonomicznch, - losow charaker zmiennch ekonomicznch. Składnik zakłócając jes zmienną losową i jak każda zmienna losowa charakerzuje się pewnm rozkładem prawdopodobieńswa. Cech rozkładu składnika zakłócającego są ważnm elemenem modelu ekonomercznego.
Zapis macierzow modelu ekonomercznego Dan jes liniow model ekonomerczn:... 0 =,,, T, Ogólnie posać macierzową ego modelu można zapisać jako: k k gdzie: wekor obserwacji na zmiennej endogenicznej, X macierz obserwacji na zmiennch objaśniającch, X - wekor paramerów srukuralnch, - wekor składników losowch.
Zapis macierzow modelu ekonomercznego T liczba obserwacji, k liczba zmiennch objaśniającch, k+ liczba paramerów srukuralnch. 3 T T ) ( 3 3 k T Tk T k k k X 3 T T ) ( 0 k k
Klasfikacja modeli ekonomercznch Przkład : Q i K L 0 gdzie: L i nakład prac w i-m przedsiębiorswie (w osobach); K i warość bruo zakładu lub fabrki (mln $); Q i warość dodana bruo wpracowana w i-m przedsiębiorswie (mln $). i i e i Model: - opisow, - saczn, - sochasczn, - mikroekonomiczn, - nieliniow, - * - jednorównaniow, - przcznowo skukow.
Wbór posaci analicznej modelu Model nieliniow funkcja analiczna jes nieliniowa ze względu na paramer. Model liniow: ln 0 ln ln z Model nieliniow: Q Wbór posaci analicznej: - Zgodn z konkreną eorią ekonomiczną, - Wbieran meodą prób i błędów. - Na podsawie wkresu regresja prosa. i K i L i 0 e i
Logarm, cz poziom zmiennch? logarm zmiennch, gd: zmienna wrażona jes w jednoskach pieniężnch (o warościach dodanich) wnagrodzenie, sprzedaż firm, warość rnkowa firm, Produk Krajow Bruo; zmienne o wsokich warościach: wielkość populacji, całkowia liczba pracowników, współcznnik skolarzacji, liczba kilomerów; poziom zmiennch, gd: zmienna wrażona w liczbie la: liczba la edukacji lub doświadczenia, wiek; zmienna przjmuje niewsokie warości całkowie: liczba pokoi w domu, liczba osób w gospodarswie domowm, liczba samochodów w gosp. domowm; zmienne szuczne (zero-jednkowe) reprezenujące zmienne jakościowe: płeć, poziom wkszałcenia, prznależność do organizacji, położenie geograficzne.
Logarm, cz poziom zmiennch? Zmienne, kóre są proporcjami lub udziałami procenowmi: sopa bezrobocia, procen sudenów, kórz zdali egzamin, sopień wkrwalności przesępsw krminalnch mogą wsępować albo w posaci poziomów, albo w logarmach, chociaż częściej użwa się poziomów. Uwaga: Prz inerpreacji uważam z procenami: Jeżeli bezrobocie wzrasa z 8 do 9 procen, oznacza o wzros o jeden punk procenow, ale przros o,5 procen w sosunku do warości począkowej. 3
Logarm, cz poziom zmiennch? Jedno ograniczenie: Logarm zmiennej nie może bć uż jeżeli zmienna przjmuje warości ujemne lub jes równa zero. Dla zmiennej przjmującej warości zero rozwiązaniem może bć zasosowanie log(+). (!) Użwając zlogarmowanej zmiennej musim pamięać, że warości eoreczne ego modelu są warościami log() a nie. (!) Nie można porównwać R-kwadra wznaczonch dla modeli, w kórch mam różne zmienne objaśniające: log() i. 4
II Inerpreacja zależności () Paramer przecięn: PP( Paramer przecięn określa ile jednosek zmiennej przpada (w danm okresie ) na jednoskę zmiennej i. Przkład paramerów przecięnch: przecięna skłonność do konsumpcji określa ile jednosek konsumpcji przpada na jednoskę dochodu, przecięn kosz jednoskow - określa jaki jes kosz przpadając w okresie na jednoskę produkcji, przecięna produkwność (wdajność) kapiału oraz przecięna wdajność prac., i ) i 5
Inerpreacja zależności () Paramer krańcow: PK( Paramer krańcow określa o ile jednosek wzrośnie (spadnie) zmienna, gd zmienna i wzrośnie o jednoskę. Przkład paramerów krańcowch:, krańcowa skłonność do konsumpcji - określa o ile jednosek wzrośnie konsumpcja, gd dochód wzrośnie o jedną jednoskę, kosz krańcow, kór określa przros koszu całkowiego przpadając na jednoskow przros produkcji, i krańcowa produkwność kapiału, kóra określa przros produkcji na skuek wzrosu nakładów kapiału o jednoskę. 6 ) i
Inerpreacja zależności (3) Elasczność różnicowa: E(, i ) i / / i PK( PP( Elasczność zmiennej względem zmiennej i, informuje o ile % wzrośnie (zmaleje) zmienna jeśli zmienna i wzrośnie o %.,, i i ) ) i i Przkład elasczności: elasczność dochodowa konsumpcji, elasczność koszów względem produkcji, elasczność produkcji względem kapiału, elasczność produkcji względem prac. 7
Inerpreacja modelu liniowego Ogóln zapis sacznego modelu liniowego: 0... k k ; (,..., T Przros krańcow w m modelu: ) Oznacza o, że: PK(, ) Paramer srukuralne w modelu linowm są przrosami krańcowmi. Inerpreacja: Jeżeli zmienna egzogeniczna wzrośnie o jednoskę, a pozosałe zmienne objaśniające nie ulegną zmianie, o oczekujem, że zmienna endogeniczna wzrośnie (spadnie) średnio o jednosek. 8
Inerpreacja modelu liniowego cd. Ogóln zapis sacznego modelu liniowego: 0... k k ; (,..., T Elasczność w m modelu: E( Oznacza o, że:, ) ) Elasczność w modelu linowm jes zmienna i zależ od począkowch warości zmiennch modelu. Inerpreacja: Prz danch warościach zmiennch egzogenicznch, jednoprocenow wzros zmiennej spowoduje przros (spadek) zmiennej średnio o E %, prz założeniu niezmienności pozosałch zmiennch. 9
Inerpreacja modelu poęgowego Ogóln zapis sacznego modelu poęgowego: 0... k k e Przros krańcow w m modelu: PK(, ) Oznacza o, że: Przros krańcow w modelu poęgowm jes zmienn i zależ od począkowch warości zmiennch modelu. 0
Inerpreacja modelu poęgowego cd. Ogóln zapis sacznego modelu poęgowego:... Elasczność w m modelu: E(, i ) 0 i i Oznacza o, że: Paramer srukuralne w modelu poęgowm są elascznościami cząskowmi. Jes o model o sałch elascznościach. Inerpreacja: Jeżeli zmienna egzogeniczna wzrośnie o %, a pozosałe zmienne objaśniające nie ulegną zmianie, o oczekujem, że zmienna endogeniczna wzrośnie (spadnie) średnio o %. k k e i i i i
Linearzacja modelu poęgowego Ogóln zapis sacznego modelu poęgowego: 0... k k e Posać modelu logarmiczno-liniowa: ln ln 0 ln ln... (,..., T) k ln k ; (Posać liniowa ze względu na paramer)
Zapis macierzow modelu poęgowego T liczba obserwacji, k liczba zmiennch objaśniającch, k+ liczba paramerów srukuralnch. X 3 3 ln ln ln ln T T ) ( 3 3 ln ln ln ln ln ln ln ln k T Tk T k k k X 3 T T ) ( 0 k k
Inerpreacja modelu wkładniczego Ogóln zapis sacznego modelu wkładniczego: e Przros krańcow w m modelu: Oznacza o, że: 0 Przros krańcow w modelu wkładniczm jes zmienn i zależ od począkowch warości zmiennch modelu. ( PK, )... k k 4
Inerpreacja modelu wkładniczego cd Ogóln zapis sacznego modelu wkładniczego: e Elasczność w m modelu: 0... k k E( Oznacza o, że:, ) Elasczność w modelu wkładniczm jes zmienna i zależ od począkowch warości zmiennch modelu. 5
Inerpreacja modelu wkładniczego cd Ogóln zapis sacznego modelu wkładniczego: e Można wkazać, że: 0 Jeżeli zmienna egzogeniczna wzrośnie o jednoskę, a pozosałe zmienne objaśniające nie ulegną zmianie, o oczekujem, że zmienna endogeniczna wzrośnie (spadnie) średnio o i ( e ) 00 00 %.... i k k 6
Linearzacja modelu wkładniczego Ogóln zapis sacznego modelu wkładniczego: e Posać modelu logarmiczno-liniowa: 0 ln (Posać liniowa ze względu na paramer)...... k k 0 k k 7
Zapis macierzow modelu wkładniczego T liczba obserwacji, k liczba zmiennch objaśniającch, k+ liczba paramerów srukuralnch. X 8 3 ln ln ln ln T T ) ( 3 3 k T Tk T k k k X 3 T T ) ( 0 k k
III Esmacja modelu - MNK Oszacować (esmować) model oznacza znaleźć ocen paramerów srukuralnch na podsawie konkrenej prób. Meod szacowania paramerów srukuralnch: - Meoda Momenów, - Meoda Najmniejszch Kwadraów, - Meoda Największej Wiargodności, - i wiele innch Twierdzenie Gaussa-Markowa: W klascznm modelu regresji liniowej najlepszm nieobciążonm esmaorem linowm paramerów jes esmaor uzskan Meodą Najmniejszch Kwadraów (MNK).
Własności esmaorów Nieobciążoność g jes nieobciążonm esmaorem, jeżeli E(g)=, co znacz, gd warość oczekiwana w rozkładzie z prób g jes równa. Oznacza o, że gdbśm obliczali warość g dla każdej z prób, kórmi dsponujem i powarzali en proces nieskończenie wiele raz, o średnia z uzskanch ocen błab równa. Efekwność esmaor jes efekwn, jeżeli warości g wliczone dla różnch prób nie różnią się międz sobą znacznie zn. jeżeli wariancja esmaorów jes mała. Esmaor z najmniejszą wariancją najbardziej efekwn.
Własności esmaorów Zgodność (własność dużch prób) zwiększanie liczebności prób umożliwia uzskiwanie esmaora o warości coraz bliższej szacowanego parameru, z prawdopodobieńswem bliskim jedności: Można wkazać, że: Meoda Najmniejszch Kwadraów jes esmaorem - nieobciążonm, - zgodnm, lim n P g - najbardziej efekwnm w klasie esmaorów nieobciążonch. BLUE Bes Linear Unbiased Esimaor
Założenia MNK Założenia numerczne warunki sosowalności: ) T > (k+), czli liczba obserwacji musi bć większa niż liczba szacowanch paramerów. ) r(x)=(k+), czli rząd macierz X musi bć równ liczbie szacowanch paramerów. Drugi warunek oznacza brak współlinowości zmiennch objaśniającch, zn. że zmienne objaśniające są liniowo niezależne, *(czli nie worzą ze sobą akiej kombinacji liniowej, kóra w wniku daje wekor zerow).
Przkład współlinowości zmiennch: X-liczba pracowników w przedsiębiorswie, X-liczba pracowników na sanowiskach kierowniczch, X3-liczba pracowników na sanowiskach niekierowniczch. X=X+X3, czli X-X-X3=0 X 30 56 47 0 60 4 8 6 3 0 6 48 4 7 50 Rząd macierz X=3 < k+=4 Nie da się zasosować MNK!
Założenia MNK Założenia sochasczne (doczą składnika losowego): 0 ) E dla wszskich - warość oczekiwana składnika losowego jes równa zero. ) dla wszskich wariancja jes jednakowa dla wszskich obserwacji - homoscedasczność. 3) i i j są niezależne dla - składniki losowe dla różnch obserwacji nie zależą od siebie, i j nie są skorelowane; brak auokorelacji składników losowch. 4) i są niezależne dla wszskich zmienne objaśniające nie zależą od składnika losowego, zn. zmienne objaśniające są nielosowe. 5) - składnik losow dla każdej obserwacji ma ~ N 0, rozkład normaln.
Założenia MNK Jeżeli nie są spełnione założenia numerczne nie jeseśm w sanie zasosować maemacznch formuł na MNK. Jeżeli nie są spełnione sochasczne założenia ), ), 3), 4) esmaor MNK, przesaje bć BLUE, daje obciążone ocen paramerów srukuralnch. Założenie 5) nie ma znaczenia dla własności MNK. Jego spełnienie jes konieczne, ab można bło zasosować es sasczne pozwalające sprawdzić wszskie powższe założenia. Większość esów sascznch bazuje na złożeniu, że analizowana zmienna losowa ma rozkład normaln.
Model z jedną zmienną objaśniającą: 0 o równanie opisuje, zachowanie rzeczwisch warości zmiennej endogenicznch. MNK o meoda, kóra do punków dopasowuje aką prosą, kóra przechodzi najbliżej wszskich punków równocześnie. Równanie prosej: ˆ ˆ o równanie opisuje, eoreczne warości zmiennej endogenicznch, (warości, kóre leżą na dopasowanej prosej). ˆ 0
ˆ ˆ ˆ 0 ŷ ˆ
Odległość rzeczwisego punku od prosej nazwana jes odchleniem, albo reszą: ˆ ˆ Resza nie jes składnikiem losowm, jes o oszacowan składnik losow (błąd) w modelu. Na szeregu resz sprawdzane będą założenia sochasczne.
Idea MNK MNK dopasowuje prosą do punków, w aki sposób, ab odległości od wszskich punków bł jednocześnie jak najmniejsze. Każda odległość podnoszona jes do kwadrau, ponieważ mają różne znaki. MNK minimalizuje sumę kwadraów odchleń (resz): T T ˆ min T ˆ min ˆ 0 ˆ
Esmaor MNK Po dokonaniu minimalizacji sum kwadraów resz orzmujem nasępującą macierzową formułę pozwalającą wznaczć ocen paramerów srukuralnch modelu liniowego MNK: ˆ X T X X T ˆ - wekor ocen paramerów srukuralnch wekor obserwacji na zmiennej endogenicznej, X macierz obserwacji na zmiennch objaśniającch.
IV Werfikacja modelu Werfikacja ekonomiczna: - Sprawdzenie zgodności wników oszacowania z eorią ekonomiczną. Werfikacja ilościowa: - Sprawdzenie dobroci dopasowania modelu do danch rzeczwisch, - Sprawdzenie poprawności doboru posaci analicznej modelu, - Sprawdzenie isoności zależności międz zmienną endogeniczną a zmiennmi objaśniającmi. Werfikacja sochasczna: - Sprawdzenie prawdziwości założeń doczącch składnika losowego badanie własności esmaora MNK w m modelu. - Sprawdzenie własności prognoscznch modelu.
Miar dopasowania ) Błęd szacunku paramerów srukuralnch ) Średni błąd reszow (odchlenie sandardowe resz): określa o ile jednosek (in plus; in minus), przecięnie rzecz biorąc, zaobserwowane warości zmiennej objasnianej odchlają się od warości eorecznch (wznaczonch na podsawie oszacowanego modelu) ej zmiennej. 3) Współcznnik zmienności losowej V ˆ 00 Informuje o m, jaki jes procenow udział średniego błędu resz w średniej warości zmiennej endogenicznej. ˆ
Miar dopasowania 4) Współcznnik deerminacji: R informuje jaka część całkowiej zmienności zmiennej endogenicznej zosała,,wjaśniona'' przez model empirczn. 5) Współcznnik zbieżności (indeerminacji): Informuje, jaka część rzeczwisej zmienności zmiennej endogenicznej nie zosała,,wjaśniona'' przez model empirczn, j. kszałuje się pod wpłwem cznników nieuwzględnionch w modelu empircznm.
Efek pozornego wjaśniania Suma kwadraów resz zależ od liczb zmiennch objaśniającch w modelu im większa liczba zmiennch m mniejsza suma kwadraów resz. W modelu z bardzo dużą ilością zmiennch objaśniającch możem uzskać sumę kwadraów resz = 0. Warość współcznnik deerminacji wzrasa wraz z dodawaniem nowch zmiennch objaśniającch, niezależnie od ego cz nowe zmienne mają ison wpłw na zmian zmiennej endogenicznej. Oba współcznniki należ skorgować uwzględniając liczbę zmiennch objaśniającch w modelu.
Sneczne miar dopasowania Koreka o liczbę sopni swobod: 6) Skorgowan współcznnik zbieżności (indeerminacji) 7) Skorgowan współcznnik deerminacji Po uwzględnieniu liczb sopni swobod w modelu, informuje, jaka część całkowiej zmienności zmiennej endogenicznej zosała,,wjaśniona'' przez model empirczn.
Sneczne miar dopasowania Warość zwkłego współcznnika deerminacji wzrasa wraz z dodawaniem do modelu nowej zmiennej objaśniającej. Warość skorgowanego współcznnika wzrasa lko wówczas, gd dołączane zmienne mają ison wpłw na zmienność zmiennej endogenicznej. Miar skorgowane: wkorzsuje się do porównwania różnch modeli, z różną liczbą zmiennch objaśniającch. R Niewielka różnica miedz i świadcz o braku efeku,,pozornego wjaśnienia. R
Model regresji bez wrazu wolnego Regresja przez począek układu współrzędnch: - gd wmaga ego eoria ekonomiczna, - gd wraz woln znika w wniku przekszałceń zmiennch. Konsekwencje: Współcznnik deerminacji może przjmować warości mniejsze niż 0 i warości większe niż 00%. Uzskujem niedoszacowane błęd szacunku paramerów srukuralnch. Nie możem korzsać z niekórch esów sascznch. Współcznnik deerminacji powinno się liczć jako kwadra współcznnika korelacji miedz warościami rzeczwismi i eorecznmi zmiennej endogenicznej.
Isoność paramerów srukuralnch ) Tes -Sudena indwidualnej isoności parameru srukuralnego Hipoez: H H 0 A : : i 0 0 i ( i 0,,..., k) Saska z prób: i ˆ i ˆ( ˆ ) i ( i 0,,..., k) Iloraz en na rozkład: ~ i T k
Isoność paramerów srukuralnch W hipoezie zerowej mam równość sąd: obszar krczn jes obszarem dwusronnm Pole obszaru krcznego w każdm eście jes równe poziomowi isoności (sąd konieczność podzielenia na ). W eście -Sudena H 0 odrzucam gd: i / Mówim wówczas, że: Paramer sascznie różni się od zera, jes sascznie ison. Zmienna objaśniająca sojąca prz m paramerze ma sascznie ison wpłw na zmienną endogeniczną.
Isoność paramerów srukuralnch ) Tes F łącznej isoności parameru srukuralnego Hipoez: H 0 : * H A : *... 0 k 0 Saska z prób: F * T k k R Saska na rozkład: k F * ~ F T k
Esmacja przedziałowa Orzmujem: P P ˆ i i P / / ˆ( ˆ i ) ( ˆ ) ˆ ˆ( ˆ ) / ˆ i i i / i ˆ ˆ( ˆ ) ˆ ˆ( ˆ ) i / i i i / i Jes o przedział ufności dla parameru srukuralnego. Z prawdopodobieńswem równm współcznnikowi ufności, powższ przedział zawiera nieznan paramer srukuraln i
Werfikacja sochasczna: - Werfikacja hipoez o braku auokorelacji składników losowch. - Werfikacja hipoez o sałości wariancji składników losowch. - Werfikacja hipoez o normalności rozkładu składnika losowego. Jeżeli powższe hipoez są prawdziwe wówczas: esmaor MNK paramerów srukuralnch liniowego modelu ekonomercznego jes esmaorem nieobciążonm, zgodnm i najbardziej efekwnm w klasie esmaorów nieobciążonch BLUE.
Skuki auokorelacja składników losowch - MNK przesaje bć BLUE nadal jes esmaorem nieobciążonm, ale przesaje bć najefekwniejsz. - Wariancja reszowa saje się obciążonm esmaorem wariancji składników losowch. - Obciążone i nieefekwne sają się esmaor błędów szacunku paramerów srukuralnch. - Błędne są wniki esów isoności. - Niewiargodne sneczne miar dopasowania.
Tesowanie wsępowania auokorelacji Tesowanie zachowania składników losowch przeprowadzam na szeregu resz uzskanch z modelu oszacowanego MNK. 3) Tes Durbina-Wasona - Służ do badania auokorelacji rzędu pierwszego Saska z prób: DW T ( ˆ ˆ T ˆ ) Jeżeli DW 0, w modelu podejrzewam wsępowanie auokorelacji dodaniej, wówczas hipoez esu: H 0 H A : : 0 0 DW 0,4
Tesowanie wsępowania auokorelacji Jeżeli DW, 4 w modelu podejrzewam wsępowanie auokorelacji ujemnej, wówczas hipoez esu: H 0 H A : : 0 0 W akim przpadku wliczam nową warość saski: * DW 4 DW W obu przpadkach z ablic esu Durbina-Wasona odczujem dwie warości krczne (dla liczb obserwacji T i liczb zmiennch objaśniającch k): d l d u
Tesowanie wsępowania auokorelacji Reguła deczjna: * - Jeżeli ( DW lub DW ), o odrzucam hipoezę zerową. * d l - Jeżeli ( DW lub DW ) d u, brak podsaw do odrzucenia hipoez zerowej. * - Jeżeli dl ( DW lub DW ) d u, o warość saski znajduje się w zw. obszarze niekonkluzwności esu, es DW nie daje odpowiedzi, cz w modelu wsępuje auokorelacja składników losowch. Relacja międz saską DW a współcznnikiem auokorelacji: DW ( ˆ )
Tesowanie wsępowania auokorelacji Warunki sosowania esu Durbina-Wasona: - W modelu musi wsępować wraz woln. - Zmienne objaśniające muszą bć nielosowe. - Wśród zmiennch objaśniającch nie może znajdować się zmienna endogeniczna opóźniona w czasie. - Liczba obserwacji powinna bć wsarczająco duża: im mniejsza liczba obserwacji m szersz przedział niekonkluzwności esu. Należ pamięać, że es DW bada lko auokorelację rzędu pierwszego (pomiędz sąsiednimi obserwacjami).
Sposob eliminacji auokorelacji z modelu ) Rozpoznanie przczn wsępowania auokorelacji i odpowiednia zmiana konsrukcji modelu: - dołączenie nowej zmiennej objaśniającej, - zdnamizowanie modelu, bądź zmiana opóźnień, - dołączenie zmiennej lub funkcji ej zmiennej, b wodrębnić nadzwczajn efek cznnika losowego, - zmianie posaci analicznej modelu, - redukcji liczb zmiennch objaśniającch (zmniejszenie efeków pozornego wjaśnienia), - dołączeniu zmiennej cklicznej dwuokresowej.
Sposob eliminacji auokorelacji z modelu ) Zasosowanie innej niż MNK meod szacowania paramerów srukuralnch Uogólnione Meod Najmniejszch Kwadraów. Meod e polegają na odpowiednim przekszałceniu pierwonch obserwacji zmiennch modelu, ak b weliminować z nich auokorelację i nasępnie na oszacowaniu modelu MNK
Tesowanie heeroskedasczności Z własności numercznch MNK wnika, że resz są nieskorelowane ze zmiennmi objaśniającmi. Dlaego bada się np. zależność resz od warości zmiennch podniesionch do kwadraów, do poęgi rzeciej id. różne es. 4) Tes Whie a W jednej z wersji wkorzsuje regresję kwadraów resz ze względu na sałą i kwadra warości eorecznej zmiennej endogenicznej: ˆ 0 ˆ u Badam, cz paramer α jes sascznie ison.
Tesowanie heeroskedasczności Hipoez esu: H H o A : : H o odrzucam, gd paramer α okaże się sascznie ison, zn. że warości resz wzrasają lub zmniejszają się wraz ze wzrosem warości wszskich zmiennch objaśniającch w modelu wariancja resz nie jes sała. Saska esu W wliczana w pakieach kompuerowch ma dwie wersje: Dla dużch prób: ~ s,,..., T s Dla małch prób: F ~ F (, T )
Skuki heeroskedasczności - Esmaor MNK paramerów srukuralnch nadal jes esmaorem nieobciążonm, ale saje się nieefekwn. - Obciążone ocen błędów szacunku paramerów srukuralnch. - Niewiargodne wniki esów isoności. Sposob rozwiązania problemu - Sosujem Ważoną Meodę Najmniejszch Kwadraów (WMNK). - Wkorzsujem zw., deflaor, kóre zmieniają poziom warości zmiennch. - Transformujem dane do posaci logarmicznej.
Normalność rozkładu składnika losowego Sosując wszskie powższe es zakładaliśm, że badana zmienna, a zaem składnik losow, ma rozkład normaln. Tesowanie normalności rozkładu Tes Jarque,a-Ber W rozkładzie normalnm: miara skośności S=0 miara kuroz K=3 3 4 S K 3, 3, gdzie rozkładu. 4 - drugi, rzeci i czwar momen cenraln
Normalność rozkładu składnika losowego Hipoez esu: H H 0 A : ~ N : nie ma N Saska z prób: S JB T 6 Saska ma asmpocznie rozkład. Prawosronn obszar krczn określon przez. Tes ma zasosowanie lko dla dużch prób. K 3 4 () ()
Normalność rozkładu składnika losowego W przpadku niespełniania założenia o normalności: - Zmodfikować meod uwzględniając inn, lepsz w danm przpadku rozkład: gamma, log-normaln, id. - Dokonać ransformacji zmiennch (np. zlogarmować, podnieść do poęgi) ak, ab uzskać rozkład normaln. Przkładem akiej ransformacji jes ransformacja Boa-Coa.
Tesowanie poprawności wboru posaci analicznej Tes Ramsea (RESET - es) Tesuje, cz posać liniowa jes poprawna, cz eż należałob wbrać wielomian wższego sopnia. W jednej z wersji esu sprawdzane jes, cz podniesione do kolejnch poęg warości eoreczne zmiennej endogenicznej nie są pominięmi zmiennmi w modelu. Hipoez esu: p p k k ) ˆ (... ) ˆ ( ) ˆ (... 3 3 0 0 0 3 0 i i A p H H :... :
Tesowanie poprawności wboru posaci analicznej Saska dla dużch prób: gdzie: ( S ( S (k) ) ( k p) ( k) ( k p) asmp. S S p ( ) ~ ( k) p - suma kwadraów resz z modelu bez warości eorecznch. ) Saska dla małch prób: S / T - suma kwadraów resz z modelu poszerzonego. F ( k) ( k p) asmp. { S S }/( k p k) p ~ F ( k p) T k p S /( T k p )
Do wszskich esów sascznch Prawdopodobieńswo empirczne p-value, warość-p Jes o prawdopodobieńswo przjęcia przez saskę warości nie mniejszej od uzskanej warości saski z prób, prz założeniu, że hipoeza zerowa jes prawdziwa. Reguła deczjna: p p value value - brak podsaw do odrzucenia H 0. - odrzucam H 0. Inaczej p value oznacza poziom isoności powżej kórego należ odrzucić hipoezę zerową.