UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2... annxn bn który można zapisać w postaci macierzowej: A X = B 2
gdzie: Układy równań liniowych A a11 a12... a1 n a21 a22... a 2n... an1an2... ann X x x x 1 2 n B b b b 1 2 n A macierz główna układu X wektor niewiadomych B wektor wyrazów wolnych 3
Układy równań liniowych Założenie: Układ równań jest oznaczony, (tzn. posiada jedno rozwiązanie) Macierz główna układu równań A nie jest osobliwa (wyznacznik tej macierzy jest różny od zera) 4
Zastosowanie macierzy odwrotnej
Zastosowanie macierzy odwrotnej Układ równań: AX B Można rozwiązać obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej układu: 1 X A B 6
Układ równań, w którym tylko główna przekątna macierzy A ma elementy niezerowe
Układ równań z niezerową główną przekątną macierzy A a x b 11 1 1 a x b 22 2 2 a x b nn n n Algorytm: bi xi, aii 0, i 1,2,..., n a ii 8
Trójkątny układ równań
Trójkątny układ równań a x a x... a x b a x... a x b... a x b 11 1 12 2 1n n 1 22 2 2n n 2 nn n n 10
Trójkątny układ równań Algorytm: x n b a n nn Przy spełnionym warunku: n bi aisxs xi s i 1 a, i n 1, n 2,...,1 ii a 0, i 1,2,..., n ii 11
Trójkątny układ równań Przykład Rozwiązać trójkątny układ równań: 4 1 3 2 x1 15 1 1 0 x 2 4 4 2 x3 1 8 0 0 3 3 12
Trójkątny układ równań x 3 b a 3 33 8 3 1 8 3 x 2 b a x a 2 23 3 22 1 1 8 2 4 15 4 2 5 x 1 b a x a x a 1 12 2 13 3 11 2 2 1 38 5 4 27 5 13
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa)
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa) Układ równań liniowych zapisujemy w postaci macierzowej. Przez W oznaczamy macierz główną układu równań, czyli: W a11 a12... a1n a21 a22... a 2n... an1an2... ann Obliczamy wyznacznik tej macierzy: W 15
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa) Jeżeli W 0 to obliczamy wyznaczniki macierzy pomocniczych: W1 b a... 1 12 1n b a... 2 22 2n... b a... a a a n n2 nn W2 a b... a 11 1 1n a b... a 21 2 2n... a b... a n1 n nn itd.. 16
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa) Następnie obliczamy elementy wektora niewiadomych X: x1 W1 W x2 W2 W 3 x W3 W itd.. 17
Przykład Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa) Rozwiązać układ równań metodą wyznacznikową: 2 3 2 x1 22 4 8 4 x 48 2 5 1 3 x3 32 W 8 18
W1 22 3 2 48 8 4 32 1 3 Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa) W1 24 W2 2 22 2 4 48 4 5 32 3 W2 16 W3 2 3 22 4 8 48 5 1 32 W3 40 19
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa) x1 W1 W 24 3 8 x2 W2 W 16 2 8 x3 W3 W 40 5 8 20
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych
Trójprzekątniowy układ równań: Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych a1 0 b1 c1 x1 d1 a b c x d 2 2 2 2 2 a3 b3 c2 x3 d3... an 1 bn 1 c n1 x n1 d n1 an bn xn dn cn 0 22
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych Układ można zapisać w następujący sposób: a x b x c x d, i 1, 2,..., n i i1 i i i i1 i a 1 0, c 0 n (1) Rozwiązania tego układu równań poszukuje się w postaci: lub inaczej zapisując: x x i i xi 1 i (2) x (3) i1 i1 i i1 i, i nieznane współczynniki 23
Po podstawieniu (3) do (1) i obliczeniu x i : Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych x i c d a x a b a b i i i i1 i1 ii1 i ii1 i (4) Z porównania prawych stron (2) i (4): c i i i i1 i i ai i1 bi ai i 1 bi d a (5) 24
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych Na podstawie równania (1) można wyznaczyć wartości początkowe (dla i = 1): b x c x d 1 1 1 2 1 x c d x (6) 1 1 1 2 b1 b1 Ponieważ z (2) dla i = 1 wynika, że: x x (7) 1 1 2 1 więc: c d, (8) 1 1 1 1 b1 b1 25
Do ostatniego równania układu (1), czyli: Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych anxn 1 bn xn dn (9) wstawiamy zależność (3) (dla i = n): n n1 n n1 n n n a x b x d (10) skąd otrzymujemy: x n d a a b n n n1 n n1 n n (11) 26
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych Po wyznaczeniu wartości x n kolejne niewiadome obliczamy z równania (3) dla i = n1, n2,...,1 27
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych Algorytm: c 1 1 1 1 b1 b1 d c i i i i1 i i ai i1 bi ai i 1 bi d a i 2,3,..., n x n n x i n 1, n 2,...,1 i ixi 1 i 28
Przykład Rozwiązać układ równań metodą Thomasa: Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych 2 2 0 0 0 x1 2 3 1 1 0 0 x 2 6 0 1 2 4 0 x3 4 0 0 1 1 1 x 4 1 0 0 0 2 2 x 5 4 29
c 1 b 1 1 c 2 1 2 2 2 1 1 a 2 1 b2 3 ( 1) 1 2 c 3 3 4 8 a 3 2 b3 1 (1/ 2) 2 5 c 4 4 1 5 a 4 3 b4 1 ( 8/5) 1 3 Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych c 5 5 0 a 5 4 b5 2 (5/3) 2 0 30
2 1 d b d a 1 1 a b 2 2 1 2 1 2 2 1 2 6 31 3 3 ( 1) 1 2 Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych d a 3 3 2 4 1 ( 3/ 2) 11 3 a3 2 b3 1 (1/ 2) 2 5 4 d a a b 4 4 3 4 3 4 11 (11/5) 1 ( 8/5) 1 d5 a5 4 22 4 5 a5 4 b 5 2 (5/3) 2 2 0 31
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych x5 5 0 x x x 4 4 5 4 x 3 3 4 3 5 0 2 2 3 8 11 2 1 5 5 x 1 3 x 1 2 2 2 2 2 3 x x 1 ( 2) 1 3 1 1 2 1 32
Metoda eliminacji Gaussa
a11 a12... a1 n a21 a22... a 2n A B... an1an2... ann b b b Metoda eliminacji Gaussa Macierz główną układu równań i wektor wyrazów wolnych: Zapisujemy w postaci macierzy C: 1 2 n C a11 a12... a1 n b1 a21 a22... a2n b 2............... an1 an2... ann bn c c... c c c c... c c............... c c... c c 11 12 1n 1, n1 21 22 2n 2, n1 n1 n2 nn n, n1 34
Metoda eliminacji Gaussa Podstawowy wariant metody: 1. etap: Przekształcenie macierzy C w taki sposób, aby n pierwszych kolumn tworzyło macierz trójkątną. 2. etap: Rozwiązanie trójkątnego układu równań. 35
Metoda eliminacji Gaussa Jeżeli c 11 0 Pierwsze równanie mnożymy przez: c i 1 c 11 Odejmujemy to równanie od każdego kolejnego, i tego równania (i = 2, 3,..., n) Obliczone współczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich. 36
Metoda eliminacji Gaussa Otrzymujemy następujący układ równań: c x c x c x... c x c... 11 1 12 2 13 3 1n n 1, n1 (1) (1) (1) (1) c22 x2 c23 x3... c2n xn c2, n1 (1) (1) (1) (1) c32 x2 c33 x3... c3n xn c3, n1 c x c x... c x c (1) (1) (1) (1) n2 2 n3 3 nn n n, n1 37
Metoda eliminacji Gaussa Układ ten odpowiada sprowadzeniu macierzy C do C 1 : C 1 c c c... c c 0... 0..................... 0 c c... c c 11 12 13 1n 1, n1 (1) (1) (1) (1) c22 c23 c2n c2, n1 (1) (1) (1) (1) c32 c33 c3n c3, n1 (1) (1) (1) (1) n2 n3 nn n, n1 za pomocą wzorów określających nowe współczynniki: c c c c, i 2,3,..., n j 2,3,..., n 1 (1) i1 ij ij ij c11 38
Metoda eliminacji Gaussa Jeżeli c (1) 22 0 Drugie równanie mnożymy przez: (1) c i 2 (1) c22 Odejmujemy to równanie od każdego kolejnego, i tego równania (i = 3, 4,..., n) Obliczone współczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich. 39
Metoda eliminacji Gaussa Otrzymujemy następujący układ równań: c x c x c x... c x c... 11 1 12 2 13 3 1n n 1, n1 (1) (1) (1) (1) c22 x2 c23 x3... c2n xn c2, n1 (2) (2) (2) c33 x3... c3n xn c3, n1 c x... c x c (2) (2) (2) n3 3 nn n n, n1 40
Metoda eliminacji Gaussa Układ ten odpowiada sprowadzeniu macierzy C 1 do C 2 : C 2 c c c... c c 0... 0 0..................... 0 0 c... c c 11 12 13 1n 1, n1 (1) (1) (1) (1) c22 c23 c2n c2, n1 (2) (2) (2) c33 c3n c3, n1 (2) (2) (2) n3 nn n, n1 za pomocą wzorów określających nowe współczynniki: c c c c, i 3,4,..., n j 3,4,..., n 1 (1) (2) (1) i2 (1) ij ij (1) 2 j c22 41
Metoda eliminacji Gaussa Po wykonaniu n kroków otrzymujemy trójkątny układ równań: c x c x c x... c x c... 11 1 12 2 13 3 1n n 1, n1 (1) (1) (1) (1) c22 x2 c23 x3... c2n xn c2, n1 (2) (2) (2) c33 x3... c3n xn c3, n1 c x c ( n1) ( n1) nn n n, n1 42
Metoda eliminacji Gaussa Dla tego układu macierz C n1 ma postać: C n 1 c c c... c c 0... 0 0..................... 0 0 0... c c 11 12 13 1n 1, n1 (1) (1) (1) (1) c22 c23 c2n c2, n1 (2) (2) (2) c33 c3n c3, n1 ( n1) ( n1) nn n, n1 43
Metoda eliminacji Gaussa Algorytm: s1,2,..., n1 i s 1, s 2,..., n ( s1) ( s) ( s1) cis ( s1) cij cij c, 1, 2,..., 1 ( s 1) sj j s s n css 44
Metoda eliminacji Gaussa Przykład Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa: 4 1 3 x1 2 1 4 1 x 1 2 2 3 2 x3 4 4 1 3 2 C 1 4 1 1 2 3 2 4 45
Metoda eliminacji Gaussa s 1 i 2 c c c c (1) 21 22 22 12 c11 1 4 1 4 15 4 c c c c (1) 21 23 23 13 c11 1 1 3 4 1 4 (1) c21 c24 c24 c 1 14 1 2 c11 4 1 2 46
Metoda eliminacji Gaussa i 3 c c c c (1) 31 32 32 12 c11 2 3 1 4 5 2 c c c c (1) 31 33 33 13 c11 2 2 3 4 1 2 (1) c31 c34 c34 c 2 14 4 2 c 3 11 4 47
Metoda eliminacji Gaussa C 1 4 1 3 2 15 1 1 0 4 4 2 5 1 0 3 2 2 48
s 2 i 3 c c c c (1) (2) (1) 32 (1) 33 33 (1) 23 c22 1 5 4 1 2 2 15 4 Metoda eliminacji Gaussa 1 3 c c c c (1) (2) (1) 32 (1) 34 34 (1) 24 c22 5 4 1 3 2 15 2 8 3 49
Metoda eliminacji Gaussa C 2 4 1 3 2 15 1 1 0 4 4 2 1 8 0 0 3 3 Macierz odpowiada trójkątnemu układowi równań. Rozwiązanie takiego układu równań: patrz wcześniejszy przykład 50