3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x y=2 4x + y=5 1 / 38
Macierze i Układy Równań Liniowych Zakładamy że mamy równanie macierzowe AX = B, gdzie A jest znaną macierzą rozmiaru k n oraz B jest znanym wektorem rozmiaru k 1. Podstawiając X = (x 1, x 2,..., x n ) T i wymnażając, otrzymujemy układ k równań z n niewiadomymi, w którym macierz A określa współczynniki niewiadomych a wektor B określa stałe tego układu. Mamy a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 +... a 1,n x n =b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 +... a 2,n x n =b 2...... a k,1 x 1 + a k,2 x 2 +... a k,n x n =b k 2 / 38
Macierze i Układy Równań Liniowych Gdy A jest kwadratową macierzą odwracalną (czyli det(a) 0), mnożąc lewostronnie przez A 1, wyznaczamy rozwiązanie tego układu. np. Za pomocą macierzy odwrotnej, rozwiązać układ równań liniowych 2x + 3y + z=5 x + 2y + 3z=3 y + 2z=1 3 / 38
Macierze i Układy Równań Liniowych A jest macierzą współczynników, X wektorem niewiadomych a B wektorem stałych. 2 3 1 1 2 3 0 1 2 x 5 X = y ; B = 3 z 1 4 / 38
Macierze i Układy Równań Liniowych Więc otrzymujemy układ równań liniowych 2 3 1 5 1 2 3 X = 3 0 1 2 1 Równanie to zostało rozwiązane na końcu ostatniego wykładu. Mamy x 1 X = y = 1. z 0 Czyli x = 1, y = 1, z = 0. 5 / 38
Układy 2 równań z 2 niewiadomymi Mamy a 1,1 x + a 1,2 y=b 1 a 2,1 x + a 2,2 y=b 2 Równania te określają proste w R 2. Proste te mogą być równoległe. Wtedy albo nie ma rozwiązania (proste nie są identyczne) albo jest nieskończenie wiele rozwiązań (proste są identyczne). W tym przypadku det(a) = a 1,1 a 2,2 a 1,2 a 2,1 = 0. 6 / 38
Układy 2 równań z 2 niewiadomymi det(a) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy druga linia lewej stronie jest wielokrotnością pierwszej linii. Gdy b 2 jest taką samą wielokrotnością stałej b 1, oznacza to że jest nieskończenie wiele rozwiązań (proste są identyczne). Gdy b 2 nie jest taką samą wielokrotnością stałej b 1, oznacza to że nie ma rozwiązania (proste są równoległe, ale nie identyczne). 7 / 38
Układy 2 równań z 2 niewiadomymi Na przykład, 2x + 3y=7 4x + 6y=b Łatwo zauważyć że druga linia lewej strony jest po prostu pierwsza linia pomnożona przez 2. Więc gdy b = 2 7 = 14 istnieje nieskończenie wiele rozwiązań. Gdy b 14, nie ma rozwiązania. 8 / 38
Układy 2 równań z 2 niewiadomymi - Przykład 3.1 Gdy det(a) 0, proste te nie są równoległe i więc istnieje jedno rozwiązanie (jeden punkt przecięcia). Rozwiązać układ równań 3x + 2y=13 7x + 5y=31 9 / 38
Układy 2 równań z 2 niewiadomymi - Przykład 3.1 10 / 38
Układy 2 równań z 2 niewiadomymi - Przykład 3.1 11 / 38
Układy 3 równań z 3 niewiadomymi Mamy a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z=b 1 a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z=b 2 a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z=b 3 Równania te określają płaszczyzny w R 3. Tak jest wcześniej gdy det(a) 0 istnieje jeden punkt przecięcia (jedno rozwiązanie). np. Punkt przecięcia podłogi z 2 stykającymi się ścianami. 12 / 38
Układy 3 równań z 3 niewiadomymi Gdy det(a) = 0 albo nie ma rozwiązania (np. podłoga i dwie równoległe ściany nie mają wspólnego punktu) albo istnieje nieskończenie wiele rozwiązań. Gdy istnieją nieskończenie rozwiązań, równania mogą określić tę samą płaszczyzny (zarówno drugie jak i trzecie równanie są wielokrotnościami pierwszego równania). Druga możliwość gdy det(a) = 0: płaszczyzny stykają się w prostej (podobnie do kartek papieru w otwartej książce). W tym przypadku jedno równanie można przedstawić jako sumę wielokrotności pozostałych dwóch (czyli równania są w pewnym sensie zależne). 13 / 38
Przykład 3.2 Napisać następujący układ równań w postaci macierzowej, pokazać że ma on dokładnie jedno rozwiązanie i je wyznaczyć za pomocą macierzy odwrotnej. x + 3y + 2z=8 3x + 2y + z=7 4x + 5y + 4z=17 14 / 38
Przykład 3.2 15 / 38
Przykład 3.2 16 / 38
Metoda Gaussa Niestety, metoda odwracania macierzy współczynników tylko działa gdy macierz ta A jest odwracalna. Innymi słowy, aby zastosować taką metodę, liczba równań musi być równa liczbie niewiadomych oraz musi istnieć dokładnie jedno rozwiązanie. Gdy A jest stopnia 2 lub 3, dosyć łatwo sprawdzić warunek ten (czyli czy det(a) 0), i jeśli jest on spełniony, potem wyznaczyć macierz odwrotną A 1. Metoda Gaussa działa dla dowolnego układu równań liniowych i gdy nie ma jednoznacznego rozwiązania pozwala nam określić czy nie ma rozwiązań albo czy istnieje nieskończenie wiele rozwiązań (i wyznaczyć ogólne rozwiązanie w tym wypadku). 17 / 38
Metoda Gaussa - Ogólne podejście Zaczynamy od macierzy rozszerzonej A B, czyli dopisujemy wektor B po prawej stronie macierzy A Za pomocą przekształceń liniowych, chcemy prowadzić macierz rozszerzoną do postaci A B, gdzie pod główną przekątną macierzy A są same zera. Z tej postaci dosyć łatwo możemy wyznaczyć rozwiązanie układu. Niech a i,j oznacza element w i-tym wierszu a j-tej kolumnie macierzy rozszerzonej (w dowolnym momencie). 18 / 38
Metoda Gaussa - Dozwolone operacje Niech w i oznacza i-ty wiersz macierzy. Używamy następujących operacji 1. w i w j (zamieniamy i-ty wierz j-tym wierszem: czyli po prostu zmieniamy kolejność równań, zwykle to robimy aby uzyskać jedynkę na głównej przekątnej). 2. w i w i /c (dzielimy wiersz przez stałą, zwykle to robimy aby uzyskać jedynkę na głównej przekątnej) 3. w i w i + cw j (czyli dodajemy [lub odejmujemy] wielokrotność jednego wiersza do drugiego, używamy tego aby uzyskać zero pod główną przekątną). 4. Jeżeli dany wiersz składa się z samych zer, możemy go skreślić (odpowiada on równaniu 0=0). 5. Jeżeli jeden wiersz jest wielokrotnością drugiego, możemy skreślić jeden z tych wierszy (są równoważne). 19 / 38
Metoda Gaussa - Postać rozszerzona np. chcemy rozwiązać układ równań x + 3y + 2z=8 3x + 2y + z=7 4x + 5y + 4z=17 Postać rozszerzona jest 1 3 2 8 3 2 1 7 4 5 4 17 20 / 38
Metoda Gaussa - Krok 1 W pierwszym kroku otrzymujemy 1 w górnym lewym kącie macierzy (albo poprzez zamianę wierszów albo dzieląc pierwszy wiersz przez element w górnym lewym rogu). Potem otrzymujemy zera w pierwszej kolumnie poniżej pierwszego elementu (za pomocą przekształcenia w i w i a i,1 w 1, 2 i k, gdzie w 1 oznacza pierwszy wiersz po przekształcenia). Już mamy 1 w górnym lewym rogu (czyli nie przekształcamy pierwszego wierszu). Przekształcamy pozostałe wiersze następująco: w 2 w 2 3w 1, w 3 w 3 4w 1 21 / 38
Metoda Gaussa - Krok 1 Wynikiem tych przekształceń jest 1 3 2 8 0 7 5 17 0 7 4 15 Interpretujemy to jako następujący układ równań, który jest równoważny oryginalnemu układowi x + 3y + 2z=8 7y 5z= 17 7y 4z= 15 22 / 38
Metoda Gaussa - Krok 2 W drugim kroku, otrzymujemy jedynkę w drugiej pozycji głównej przekątnej oraz zera poniżej tego elementu. Działania te są analogiczne do tych z pierwszego kroku. Dzielimy drugi wiersz przez -7. Potem dodajemy 7 razy ten nowy drugi wiersz do trzeciego wiersza. 23 / 38
Metoda Gaussa - Krok 2 Wynikiem tych operacji jest 1 3 2 8 0 1 5 17 7 7 0 0 1 2 Już pod główną przekątną mamy same zera, a wzdłuż przekątnej same jedynki. W tym przypadku, gdy liczba równań równa się liczbie niewiadomych, istnieje dokładnie jedno rozwiązanie. W tym momencie, przechodzimy do odczytywania rozwiązania. Zaczynamy od ostatniego równania (wiersza) i działamy wstecz. 24 / 38
Metoda Gaussa - Odczytywanie rozwiązania Macierz rozszerzona odpowiada następującemu układowi równań x + 3y + 2z=8 y + 5z 7 =17 7 z=2 Czyli z z ostatniego równania mamy z = 2. 25 / 38
Metoda Gaussa - Odczytywanie rozwiązania Z przedostatniego równania możemy wyznaczyć wartość przedostatniej niewiadomej, y. Przenosząc pozostałe niewiadome na prawą stronę, mamy y = 17 7 5z 7 = 17 7 10 7 = 1 Analogicznie, z pierwszego równania mamy x = 8 3y 2z = 8 3 4 = 1. Więc istnieje jedno rozwiązanie x = 1, y = 1, z = 2. 26 / 38
Metoda Gaussa - Układ sprzeczny Jeżeli wynikiem tych operacji otrzymujemy wiersz, który składa się z samych zer oprócz ostatniego elementu b 0, wtedy układ jest sprzeczny (mamy równanie 0 = b). Na przykład x + 3y + 2z=8 2x + 5y + 5z=7 3x + 8y + 7z=17 27 / 38
Metoda Gaussa - Układ sprzeczny Macierz rozszerzona jest 1 3 2 8 2 5 5 7 3 8 7 17 Skoro już mamy 1 w pierwszej pozycji głównej przekątnej, w pierwszym kroku wystarczy uzyskać zera pod tym elementem. Odpowiednie operacje są następująco w 2 w 2 2w 1 ; w 3 w 3 3w 1 28 / 38
Metoda Gaussa - Układ sprzeczny Wynikiem tych operacji jest 1 3 2 8 0 1 1 9 0 1 1 7 Teraz mnożymy drugi wiersz przez -1 i do trzeciego wiersza dodajemy nowy drugi wiersz. 29 / 38
Metoda Gaussa - Układ sprzeczny Wynikiem tych operacji jest 1 3 2 8 0 1 1 9 0 0 0 2 Skoro ostatni wiersz odpowiada równaniu 0=2, wiemy że układ jest sprzeczny. 30 / 38
Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań Jeżeli doprowadziliśmy macierz rozszerzoną do końcowej postaci (czyli pod główną przekątną są same zera) i jest mniej równań niż niewiadomych, znaczy to iż istnieje nieskończenie wiele rozwiązań. Uwaga: Jeżeli jest więcej równań niż niewiadomych, albo układ jest sprzeczny albo w trakcie algorytmu Gaussa skreślamy tyle równań iż na końcu liczba równań będzie mniejsza lub równa liczbie niewiadomych. Zakładamy że na końcu naszych przekształceń jest k równań a n niewiadomych, gdzie k < n. Trzeba opisać ogólne rozwiązanie takiego układu za pomocą n k parametrów, gdzie parametry przyjmują dowolną wartość rzeczywistą. 31 / 38
Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań Aby wyznaczyć jedno szczególne rozwiązanie układu, przypisujemy określone wartości tym parametrom. Gdy potrzebujemy 1 parametru, rozwiązania leżą na prostej. Gdy potrzebujemy 2 parametrów, rozwiązania leżą w jakiejś płaszczyźnie. 32 / 38
Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań Na przykład x + 3y + 2z=8 2x + 5y + 5z=17 4x + 11y + 9z=33 Macierz rozszerzona jest 1 3 2 8 2 5 5 17 4 11 9 33 33 / 38
Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań W pierwszym kroku wykonujemy następujące operacje w 2 w 2 2w 1 ; w 3 w 3 4w 1. Wynikiem tych operacji jest 1 3 2 8 0 1 1 1 0 1 1 1 34 / 38
Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań Skoro wiersz 3 równa się wierszowi 2 (czyli jest wielokrotnością wiersza 2), możemy go skreślić. Aby uzyskać 1 w drugiej pozycji głównej przekątnej, mnożymy drugi wiersz przez -1. Wynikiem tych operacji jest ( ) 1 3 2 8 0 1 1 1 35 / 38
Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań: odczytywanie ogólnego rozwiązania Skoro są same zera pod główną przekątną jest to postać końcowa, która odpowiada następującemu układowi x + 3y + 2z=8 y z= 1 Skoro są 3 niewiadome a tylko 2 równania, potrzebujemy 1 parametru aby opisać ogólne rozwiązanie. Gdy potrzebujemy i parametrów, zwykle używamy ostatnich i niewiadomych (tutaj z). 36 / 38
Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań: odczytywanie ogólnego rozwiązania Najpierw piszemy y (niewiadoma odpowiadająca pierwszemu niezerowemu współczynnikowi w ostatnim wierszu) jako funkcję parametrów. Mamy y z = 1 y = z 1. Teraz wracamy do pierwszego równania i piszemy x jako funkcję parametru z (korzystamy z podstawienia y = z 1). x + 3y + 2z = 8 x = 8 3(z 1) 2z = 11 5z. 37 / 38
Metoda Gaussa - Nieskończenie wiele rozwiązań: odczytywanie ogólnego rozwiązania Wynika z tego że ogólne rozwiązanie jest x = 11 5z, y = z 1, gdzie z R Aby wyznaczyć jedno szczególne rozwiązanie, możemy podstawić np. z = 0. Wynika z tego że x = 11, y = 1, z = 0 jest szczególnym rozwiązaniem tego układu. Analogicznie, podstawiając z = 1, x = 6, y = 0, z = 1 też jest szczególnym rozwiązaniem tego układu. 38 / 38